Конспект урока понятие конуса 11 класс атанасян
Обновлено: 04.07.2024
Оборудование: Компьютер, проектор, презентация.
Программы: MS Power Point ; Screen Media ; Наглядная математика (стереометрия и многогранники). Все скрытые слайды – использование других программ.
Тип урока: Урок усвоения новых знаний
- Познакомить учащихся с понятием конуса, с историей развития представлений о конусе.
- Сформировать навык решения задач по нахождению элементов конуса.
- Показать возможность применения конуса в различных областях
- Воспитание познавательной активности, культуры общения, культуры диалога.
- Развитие математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.
I. Организационный момент
III. Историческая справка
IV. Изучение нового материала
V. Решение задач на нахождение элементов конуса
VI. Дополнительная информация о конусе
VII. Подведение итогов урока
VIII. Задание на дом
Ход урока
I этап. Организационный момент
Организуется начало урока. Активизируется внимание учащихся на начало учебного процесса.
Демонстрируют готовность к началу урока.
II этап. Подготовка учащихся к усвоению новых знаний
Определяет тему урока.
Фиксируют в тетрадь.
Тема: Конус. Слайд № 1
II этап: Актуализация знаний.
Решение задач на нахождение элементов цилиндра.
Просит учащихся дать определение и назвать на чертеже цилиндра: высоты, оси цилиндра, апофему (программа Наглядная математика, Стереометрия , вращение треугольника)
учащийся отвечают на вопросы. Слайд № 2
Самостоятельная работа для учащихся в виде теста
Учащиеся самостоятельно выполняют Слайд № 3-11
III этап. Историческая справка (слайд презентации №15-17)
Конус в переводе с греческого “konos” означает “сосновая шишка”. С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287-212 гг. до н.э.) “О методе”, в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470-380 гг. до н.э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулу для вычисления объема пирамиды и конуса.
Большой трактат о конических сечениях был написан АполлониемПергским (260-170 гг. до н.э.) – учеником Евклида (III в. До н.э.), который создал великий труд из 15 книг под названием “Начала”. Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.
I V этап. Изучение нового материала
На экран высвечивается конус. ( программа Наглядная математика, Многогранники , вращение треугольника)
Учащимся, по аналогии с цилиндром, предлагается сформулировать определения конуса, образующей, высоты, оси и боковой поверхности конуса. программа Наглядная математика, Стереометрия , определение конуса)
Учащимся дается понятие сечений конуса, различных видов конуса. ( программа Наглядная математика, Многогранники , Сечение Конуса)
Фиксируют в тетрадь рисунок конуса, подписывают элементы конуса. Учащиеся формулируют определения. Фиксируют в тетрадь рисунки с видами сечений конуса.
V этап. Решение задач на нахождение элементов конуса. (По готовым чертежам).
Которые сохранены в программе СМАРТ для интерактивной доски:
Повторить Теорему Пифагора
Дано: конус: радиус и высота – 1,5 см. Найти: образующую, угол образующей с осью,S – площадь осевого сечения.
Ответ: α = 30°, l = 1,5√2; S = 2,25 см2.
VI этап: Дополнительная информация о конусе.
В геологии существует понятие “конус выноса”. Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину. Слайд №38
В биологии есть понятие “конус нарастания”. Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани. Слайд № 40
“ Конусами” называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2-16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры. Слайд № 41
По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса.некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но древо не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения. Слайд № 43-44
Конус Морзе — одно из самых широко применяемых креплений инструмента. Был предложен Стивеном А. Морзе (он же изобретатель спирального сверла) приблизительно в 1864 году. Слайд № 45
VII этап. Подведение итогов.
Итак, мы с вами познакомились с понятием конуса, его элементов и научились решать задачи на нахождение элементов конуса. Вопрос о конусе важен, так как конические детали имеются во многих машинах и механизмах. В автомобилях, танках, бронетранспортерах – конические шестерни; носовая часть самолетов и ракет имеет коническую форму.
VIII этап. Домашнее задание. № 551, 554 (учебник Атанасян)
Цель урока: рассмотреть понятия конуса, его элементов. Виды сечений конуса различными плоскостями.
Организационная форма учебного занятия: урок
обучающая: ввести понятие конуса, его элементов, рассмотреть виды сечений конуса различными плоскостями, рассмотреть конус как тело вращения, показать связь между элементами конуса в процессе решения задач, показать связь темы с окружающим миром.
развивающая: развивать логическое мышление и конструктивные навыки, сознательное восприятие учебного материала, зрительную память и грамотную математическую речь, навыки самоконтроля и самооценки.
воспитательная: продолжить формирование навыков эстетического оформления записей в тетради и выполнения чертежей; развивать умение общаться и выслушивать других; развитие творческой самостоятельности и инициативы.
Тип урока : урок изучения нового материала.
Метод обучения : информационно – иллюстративный; проблемный диалог; элементы информационных технологий.
Формы работы : фронтальная, групповая, индивидуальная.
Оборудование : ПК, мультимедиа проектор, ЭОР.
1. Постановка целей урока. – 2 мин
2. Объяснение нового материала. – 7 мин
3.Устная работа (отработка новой темы). – 5 мин
4. Задания на готовых чертежах . – 5 мин
5. Физкультминутка. – 2 мин
6. Занимательная страничка. – 5 мин
7.Закрепление при решении задач. – 12 мин
8. Подведение итогов урока. – 2мин
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
КОНУСЫ ВОКРУГ НАС
Нахождение конуса в природе В природе мы часто встречаем конус. Например, в песчаной пустыне Сахаре, где сами холмы представляют собой конус.
А так же в космическом пространстве…
Нас окружает множество предметов
Предварительный просмотр:
Технологическая карта урока
Структура урока (этапы)
Постановка целей урока.
2.Постановка целей и задач урока.
Приветствие учащихся. Проверка класса готовности к уроку.
Учитель объявляет тему урока, ставит цели и задачи урока.
Записывают в тетрадях тему урока.
Создание благоприятного психологического климата.
Объяснение нового материала.
1.Дать определение конуса, конической пове рхности.
2.Рассмотреть элементы конуса.
Учитель с помощью презентации дает понятия конической поверхности,
конуса, его элементов.
Учащиеся записывают определение в своих тетрадях, выполняют рисунки.
Учащиеся должны знать что называется конусом, название его элементов.
1.Отработать новый материал на рисунках.
Используя различные модели и рисунки конусов, учитель задает вопросы классу:
1)Назвать две образующие, сравнить их Сделать выводы.
2)Сравнить углы наклона образующих к плоскости основания.
3)Каков угол между осью конуса и основанием?
4)Каким способом можно получить конус?
Учащиеся устно отвечают на вопросы учителя:
1)Образующие конуса равны.
2)Эти углы равны.
4)Вращением прямоугольного треугольного вокруг своего катета.
Учащиеся должны сделать выводы о свойствах элементов конуса.
Задания на готовых чертежах
Рассмотреть различные сечения конуса.
Учитель предлагает вниманию рисунки на которых показаны различные сечения конуса
( Слайды №16-19 ). Совместно с классом делает выводы о видах сечений.
Учащиеся получат представления о видах сечений конуса.
Предупреждение зрительного утомления и релаксация.
Учитель сообщает, какие упражнения необходимо выполнить.
Учащиеся выполняют гимнастику для глаз:
-Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до пяти. Повторить 4-5 раз.
-Вытянуть правую руку вперёд. Следить глазами, не поворачивая головы, за медленным движением указательного пальца вытянутой руки влево и вправо, вверх и вниз. Повторить 4-5 раз.
Предупредить зрительное утомление и напряжение.
1.Историческая справка о понятии конуса.
2.Показ связи конуса с окружающим миром.
Учитель оценивает выступление ученика.
Закрепление при решении задач.
1.Вывод формулы для вычисления площади поверхности конуса.
2.Решить задачи на применение этой формулы.
1.Учитель предлагает развертку конуса
( Слайд №20 ) и используя ее получает формулу для нахождения боковой поверхности, а затем и полной поверхности.
2.Решить задачи из учебника №547; №549а.
Учитель разбирает с классом задачи, приглашает к доске двоих учащихся оформить решение.
1.Учащиеся участвуют в выводе формул, делают записи в своих тетрадях.
2.Учащиеся участвуют в разборе задач, оформляют решение в своих тетрадях. Сравнивают свои решения с записями на доске.
Знание формулы для вычисления площади поверхности конуса.
Умение решать задачи по теме урока.
Подведение итогов урока.
Подвести итоги урока.
Учитель подводит итоги урока. Задает вопросы на повторение пройденной темы ( Слайды №21-24 ).
Объявляет оценки за урок.
Учащиеся записывают ответы в тетрадях и потом сравнивают свои ответы с ответами на слайде №22 (самопроверка).
Обобщение полученных на уроке знаний.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
КОНУС α Рассмотрим окружность О( r ) Є α . О r
КОНУС α Проведем прямую ОР α . О r Р
КОНУС α Соединим каждую точку окружности О ( r ) с точкой Р. О r Р
КОНУС Поверхность, образованная отрезками, соединяющими каждую точку окружности с точкой, лежащей на прямой перпендикулярной плоскости этой окружности и проходящей через центр этой окружности – это поверхность прямого кругового конуса. α О r Р
КОНУС КРУГОВОЙ КОНУС – ТЕЛО, ОГРАНИЧЕННОЕ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ И КРУГОМ . α О r Р
КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Коническая поверхность – боковая поверхность конуса
КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Круг – основание конуса
КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Точка Р – вершина конуса Р
КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Образующие конической поверхности – образующие конуса ℓ
КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Прямая, проходящая через центр основания и вершину – ось конуса О
КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Радиус основания конуса – радиус конуса О r
боковая (коническая) поверхность высота конуса ( РО ) ось конуса вершина конуса (Р) основание конуса радиус конуса ( r ) Элементы конуса B r образующие P
КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания – высота конуса О Н У прямого конуса ось и высота совпадают. У наклонного конуса ось и высота не совпадают
КОНУС КОНУС – ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, причем этот катет будет является высотой конуса, второй катет – радиусом конуса, а гипотенуза образующей конуса. Н r ℓ
КОНУС СЕЧЕНИЯ КОНУСА Сечения, проходящее через ось(осевые) Сечения, перпендикулярные оси (поперечные) Сечение, проходящее через вершину, не содержащее ось конуса Равнобедренный треугольник: боковые стороны – образующие, основание – диаметр конуса Если равносторонний треугольник – конус называется равносторонним Круг радиуса меньшего, радиуса основания Равнобедренный треугольник: боковые стороны – образующие, основание – хорда окружности основания
Конические сечения конуса – линии пересечения секущих плоскостей с боковой поверхностью конуса Конические сечения широко используются в технике ( эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны ); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.
КОНУС Касательная плоскость – плоскость, проходящая через образующюю и перпендикулярная плоскости осевого сечения
ВИДЫ КОНУСОВ НАКЛОННЫЙ КОНУС ПРЯМОЙ КОНУС УСЕЧЁННЫЙ КОНУС
Так выглядит развертка конуса Развёрткой конуса является круговой сектор, у которого радиус равен образующей конуса R=ℓ , а длина дуги равна длине окружности основания конуса L=C=2 π R ℓ α С = 2 π R Формулы для вычисления боковой поверхности и полной поверхности конуса: S бок.= π Rℓ S осн.= π R² S п.п.к. =S бок. +S осн. = π R(R+ ℓ )
Какое из изображённых тел является конусом?
Ответьте на вопрос и запишите ответы в столбик. Из первых букв составьте слово. Как называется: 1. Фигура, полученная при поперечном сечении конуса? 2. Отрезок, соединяющий вершину с окружностью основания? 3. Имеет ли конус центр симметрии? 4. Тело, полученное при пересечении конуса плоскостью, параллельной основанию? 5. Фигура, являющаяся боковой поверхностью конуса?
Проверь себя Задание1 : 1; 5; 10. Задание2 : 1. К руг. 2. О бразующая. 3. Н ет. 4. У сечённый конус. 5. С ектор.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка: предполагаемый план проведения урока - При подготовке к уроку использовать как вспомпгательный ориентир для каждого этапа урока. Презентация отражает создание условий для учебных действий на уроке.
При подготовке к уроку использовать как вспомпгательный ориентир для каждого этапа урока. Презентация отражает создание условий для учебных действий на уроке.
Знакомство со стихотворениями С.Есенина, посвящёнными теме родины, с творческим методом поэта.
Конспект открытого урока по технологии в 6 классе. Тема урока: Игровые технологии на уроках обслуживающего труда. Одежда и требование к ней. Снятие мерок для построения чертежа юбки. (Презентация к уроку)
Разработка урока с презентацией помогает учителю более доступно и понятно познакомить учащихся с историей юбки. На уроке используются игровые технологии, что помогают учащимся лучше усвоить материал у.
Урок для учащихся 9 класса по теме "Системы счисления. Перевод чисел". Урок в разделе программы по счету третий. Цель:Образовательная: систематизация и расширение знаний обучающихся о операциях п.
Урок обобщающего повторения по теме Южная Америка.Урок-игра.Особый колорит уроку придаёт просмотр ролика"Танго и футбол", вопрос от шеф повара с угощением мамалыгой и синквейн. Легенда рассказанная в начале урока настраивает ребят на работу.
Урок географии в 7-м классе по теме "Южная Америка". Подготовила и провела: учитель географии 1квалификационной категории Васильева Елена Тихоновна в МБОУ СОШ №21 г. Коврова, в рамках подго.
Конспект урока Вторая война Рима с Карфагеном 5 класс, Конспект урока кубановедения Появление человека современного облика 5 класс, Конспект урока Королевство франков и христианская церковь в VI— VIII вв. 6 класс, Конспект урока Московское княжество и его
В ходе подготовки к урокам использовались современные информационные технологии. Участники проектной деятельности в ходе подготовки к уроку использовали свободное образовательное пространство сети Инт.
Коническая поверхность – это поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, и точку, не лежащую в плоскости этой окружности.
Эти прямые – образующие конической поверхности.
Прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярно к плоскости – ось конической поверхности.
Конус– тело, ограниченное конической поверхностью, точкой и кругом.
Круг – основание конуса; точка - вершина конуса, отрезки образующих, заключённые между основанием и вершиной – образующие конуса; образованная ими часть конической поверхности – боковая поверхность конуса.
Ось конической поверхности называется осью цилиндра.
Расстояние от вершины до основания конуса называется высотой конуса, а радиус основания – радиусом конуса.
Сечение – изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью.
Осевое сечение – вариант сечения, при котором плоскость проходит через ось тела.
Развёртка боковой поверхности конуса – сектор, радиус которого - образующая конуса, а длина дуги - длина окружности основания конуса.
Основная литература:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 130-133.
Дополнительная литература:
Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-79.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Основные определения
В плоскости 𝛂 построю окружность L с центром в точке О. Проведу прямую ОР перпендикулярно плоскости 𝛂. Соединю точку Р со всеми точками окружности L прямыми линиями. Поверхность, состоящую из этих прямых, называют конической поверхностью, сами прямые называют образующими конической поверхности, точку Р называют вершиной, а прямую ОР – осью конической поверхности.
Ввожу новые понятия конуса, основания конуса, вершины конуса, образующих конуса, боковой поверхности конуса, оси конуса и высоты конуса.
Определение
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.
Определение
Круг называют основанием конуса.
Определение
Вершину конической поверхности называют вершиной конуса.
Определение
Отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием называют образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.
Определение
Ось конической поверхности называют и осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием называют высотой конуса.
Отмечу, что все образующие конуса равны друг другу. Это легко доказать, если рассмотреть различные прямоугольные треугольники, в которых один катет – это высота конуса, а вторыми катетами являются радиусы основания конуса. Тогда образующие, являясь гипотенузами этих прямоугольных треугольников с равными катетами, также будут равны.
Конус можно получить ещё одним способом - вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Тогда этот катет (вокруг которого происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, гипотенуза станет образующей и будет образовывать боковую поверхность, а оставшийся катет образует основание, одновременно являясь его радиусом.
2. Сечения конуса различными плоскостями
- Пусть секущая плоскость проходит через ось конуса. Такое сечение называют осевым. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – образующие конуса, а его основанием является диаметр основания конуса.
- Если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то сечение представляет собой круг с центром, расположенном на оси.
Это два основных вида сечения конуса, которые изучаются в средней школе на базовом уровне. Следует упомянуть, что существуют и другие сечения конусов, вид которых зависит от расположения секущей плоскости относительно оси.
3. Основные формулы
Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса: Sбок=𝛑RL.
Площадь полной поверхности конуса: Sполн=𝛑R(R+L).
4. Усеченный конус
Если взять произвольный конус и провести секущую плоскость перпендикулярно его оси, то исходный конус разделится на две части. Верхняя часть представляет собой конус меньших размеров, а оставшуюся часть называют усечённым конусом.
Определение
Основание исходного конуса и круг, получившийся в сечении, называют основаниями усечённого конуса.
Определение
Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса.
Определение
Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса.
Определение
Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Отмечу, что все образующие усечённого конуса равны друг другу.
Усечённый конус можно получить ещё одним способом - вращением прямоугольной трапеции вокруг той боковой стороны, которая перпендикулярна основанию.
Тогда эта сторона (вокруг которой происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, другая боковая сторона станет образующей и при вращении будет образовывать боковую поверхность, а основания трапеции станут соответственно радиусами верхнего и нижнего оснований усечённого конуса.
5. Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6, а площадь основания равна 8.
Его высота SO является высотой конуса.
OB - радиус основания.
Его найдем из равенства: Sосн=πR 2 .
R===OB.
Теперь найдем высоту:
6=SO·OB=SO·.
Ответ: 3.
2. Прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 7 и меньшей боковой стороной 4 вращается вокруг меньшей стороны. Найдите элементы усеченного конуса.
Радиус меньшего основания
Радиус большего основания
Площадь боковой поверхности конуса
Площадь осевого сечения
Площадь полной поверхности конуса
Трапеция ABCD вращается вокруг стороны AD.
AD – высота усеченного конуса, AD=4.
АВ – радиус меньшего основания, AB=4.
DC – радиус большего основания, DC=7.
Площадь боковой поверхности конуса вычислим по формуле: Sбок.пов.ук=π(r+R)L.
Для того чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти образующую.
Ее найдем из треугольника BHC: BC=5 (это египетский треугольник).
Теперь найдем площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности равна 55π.
Осевое сечение представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями 8 и 14 и высотой, равной 4.
Для того чтобы найти площадь полной поверхности, нужно к площади боковой поверхности прибавить площади ее оснований.
В этом уроке мы вспомним понятие конуса. Дадим его определение. Узнаем, какие окружающие нас предметы имеют форму близкую к форме конуса. Подробно рассмотрим, какими элементами он обладает. А также рассмотрим сечения конуса различными плоскостями.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Понятие конуса"
На этом уроке мы вспомним понятие конуса. Дадим его определение. Рассмотрим, какими элементами он обладает. А также рассмотрим сечения конуса различными плоскостями.
Вокруг нас существует множество объектов, которые являются физическими моделями конуса, или проще говоря, имеют форму конуса.
Например, вафельные рожки для мороженного имеют форму конуса, дорожный конус, пожарное ведро, колпаки для дня рождения, шляпа ведьмочки для хэлоуина тоже имеют форму конуса.
Некоторые архитектурные сооружения.
Декоративным растениям, также придают форму конуса. И многое другое.
Итак, перейдём к самому конусу. Рассмотрим произвольную плоскость , окружность с центром О, лежащую в плоскости и прямую , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Через точку и каждую точку окружности проведём прямую.
Определение:
Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. Точка называется вершиной, а прямая называется осью конической поверхности.
Определение:
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей , называется конусом.
Назовём элементы конуса.
Основанием конуса называется круг, границей которого служит окружность .
Вершиной конуса называется вершина конической поверхности.
Образующими конуса называются отрезки образующих конической поверхности, заключенные между его вершиной и основанием. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу.
Боковой поверхностью конуса называется фигура, образованная всеми образующими конуса.
Ось конической поверхности называется осью конуса. А её отрезок (или его длина), заключённый между вершиной и основанием, - высотой конуса.
Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов на .
На экране изображён конус, полученный вращением прямоугольного треугольника вокруг катета . В этом случае основание конуса образуется вращением катета , а боковая поверхность конуса – вращением гипотенузы .
Рассмотрим сечения конуса различными плоскостями.
Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.
Определение:
Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром , расположенным на оси конуса.
Замечание. На практике очень часто встречаются предметы, которые имеют иную форму конусов.
На экране изображён конус, основанием которого является круг, но ось конуса не перпендикулярна к плоскости основания. Такой конус называют ещё наклонным конусом. Однако в дальнейшем мы будем рассматривать только прямые круговые конусы (называя их просто конусы).
Задача: точка лежит на высоте конуса, а точки и принадлежат граничной окружности основания конуса. Верно ли, что ?
Решение: рассмотрим треугольники и .
Высота конуса перпендикулярна его основанию. А значит, и перпендикулярна любой прямой лежащей в плоскости основания. Прямые и лежат в плоскости основания. Значит, прямая , . Отсюда получаем, что и – прямоугольные.
Так как основанием конуса является круги, то , как радиусы.
По условию задачи точка лежит на высоте конуса. Прямая является общей стороной и . Следовательно, равны по двум катетам. Отсюда вытекает, что .
Задача: длина образующей конуса равна см, а высота конуса – см. Вычислите радиус основания конуса.
Решение: рассмотрим . Напомним, что высота конуса перпендикулярна основанию конуса, и следовательно, перпендикулярна его радиусу.
По теореме Пифагора найдём его катет , который и является радиусом основания конуса. Получаем, что (см).
Не забудем записать ответ.
Задача: площадь осевого сечения конуса равна см 2 , а высота конуса – см. Вычислите радиус основания конуса.
Решение: рассмотрим , который является осевым сечением конуса.
Напомним, что осевое сечение конуса проходит через ось конуса и представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Значит, – равнобедренный.
Площадь треугольника равна . Отсюда выразим длину основания треугольника. Получаем, что (см). А так как основание треугольника есть диаметр основания конуса , то можем найти радиус основания конуса. Напомним, что радиус равен половине диаметра. Значит, радиус основания конуса равен (см).
На этом уроке мы вспомнили понятие конуса. Узнали, что тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей, называется конусом. Назвали элементы, из которых состоит конус. А также рассмотрели сечения конуса различными плоскостями.
Читайте также: