Конспект урока по теме интеграл

Обновлено: 02.07.2024

Математический анализ как раздел математики возник в результате объединения двух различных и первоначально не связанных направлений математических исследований – дифференциального и интегрального исчислений.

Первоначально интуитивное представление о математическом объекте, который мы сейчас называем определенным интегралом, встречалось в работах ученых Древней Греции. Так, Архимед для вычисления объемов и площадей поверхности тел пользовался разбиением фигур на элементы с последующим суммированием этих элементов, предвосхищая тем самым понятия интегральных сумм.

Аналогичными задачами, развивая метод Архимеда, занимались И.Кеплер, Б.Паскаль, П.Ферма и другие ученые. Ферма также занимался задачами, которые мы сейчас относим к дифференциальному исчислению, - проведением касательных к кривым, нахождением наибольшего и наименьшего значений функций и т.д., причем для решения этих задач он, по существу, пользовался понятием приращения функции. Связь между этими различными классами задач была осознана учеными после исследований И.Ньютона и Г.Лейбница. Лейбницем и были введены используемые в настоящее время обозначения интеграла и дифференциала.

Строгое обоснование большинства понятий математического анализа было дано Коши в середине XIX столетия на основе теории пределов.

Дальнейшее развитие математического анализа привело к выделению таких самостоятельных разделов математики, как теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория интегральных уравнений, теория функций комплексной переменной, теория функций действительной переменной, функционального анализа и т.д.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Свойства. Формулы интегрирования.

Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной.

Дифференцируемая функция называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство .

Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной.

Так, функция есть первообразная функции на интервале , поскольку для всех имеет место равенство .

Решение: Используя правило дифференцирования, можно догадаться, что на интервале первообразной является . Действительно, для всех .

Решение: Степень получается при дифференцировании . Так как , то, чтобы при дифференцировании получить перед коэффициент 1, нужно взять с коэффициентом 1/7. Следовательно, .

Дифференцирование функции – однозначная операция , т.е. если функция имеет производную, то только одну. Это утверждение непосредственно следует из определений предела и производной: если функция имеет предел, то только один. Обратная операция – отыскание первообразной – не однозначна.

Так, функции , где С – любое постоянное действительное число, являются первообразными функции , поскольку все эти функции имеют одну и ту же производную .

Теорема. Если является первообразной функции на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид , где С – любое действительное число.

Доказательство: Пусть . Тогда .

Покажем теперь, что все первообразные функции отличаются лишь постоянным слагаемым.

Пусть Ф(х) – другая первообразная функции на рассматриваемом промежутке, т.е. .

Тогда при всех х из рассматриваемого промежутка. Следовательно, , что и требовалось установить.

Таким образом, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, а выражение исчерпывает множество всех первообразных заданной функции . Итак, задача нахождения первообразной неоднозначна. Она имеет бесконечное множество решений.

Геометрически выражение представляет собой семейство кривых, получаемых из любой из них параллельным переносом вдоль оси Оу.

Как уже было отмечено, первообразную можно находить не только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу. В дальнейшее мы будем этим пользоваться.

Определение. Совокупность всех первообразных функции на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом , где - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Таким образом, если - какая-нибудь первообразная функции на некотором промежутке, то , где С – любое действительное число.

Так, пользуясь определением неопределенного интеграла, можно записать: .

Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну из ее первообразных и прибавить к ней произвольную постоянную С.

Чтобы проверить, правильно ли найден неопределенный интеграл, необходимо продифференцировать полученную функцию, если при этом получается подынтегральное выражение, то интеграл найден верно.

Например, . Сделаем проверку: или . Следовательно, интеграл найден верно.

Основные свойства неопределенного интеграла

Из рассмотренных ранее примеров видно, что можно находить интегралы, подбирая первообразные. Однако это не всегда просто. При интегрировании помогает знание некоторых свойств интеграла, формул интегрирования, а также специальных приемов.

Рассмотрим сначала основные свойства неопределенного интеграла.

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Это свойство непосредственно вытекает из определения неопределенного интеграла, поскольку , а .

На этом свойстве основано доказательство следующих свойств.

Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е.

где m – постоянная величина, не равная нулю.

Это свойство доказывается дифференцированием обеих частей приведенного равенства. При этом учитывается свойство 1: производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Например, , где а – постоянная, не равная нулю.

Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

Для доказательства найдем производные обеих частей равенства и покажем, что они равны между собой. Сначала найдем производную левой части:

мы воспользовались свойством 1 неопределенного интеграла.

Теперь найдем производную правой части равенства:

Здесь был использован тот факт, что производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме этих функций, а также свойство 1 неопределенного интеграла.

Итак, производные обеих частей равенства равны между собой, что и доказывает свойство 3.

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

Это свойство следует из определения неопределенного интеграла. Действительно, , а . Свойство 4 означает, что знак дифференциала аннулирует знак интеграла.

Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С, т.е.

Действительно, . Возьмем интеграл от обеих частей равенства и получим . Но, по определению, , т.е. .

На основании этого свойства выводятся формулы интегрирования.

Из определения интеграла следует, что для того, чтобы проинтегрировать функцию, нужно найти ее первообразную. Для ряда функций это легко сделать, используя соответствующие формулу интегрирования.

Например, мы знаем, что ; отсюда следует, что .

Итак, формулы интегрирования получаются обращением соответствующих формул дифференцирования. Выпишем в таблицу основные интегралы.

Интегралы, приведенные в этой таблице, называются табличными интегралами.

Для вывода этих формул, как уже отмечалось, используется свойство 5 неопределенного интеграла, а именно дифференцирование правой части равенства. Производная правой части равенства дает подынтегральную функцию, а дифференциал – подынтегральное выражение.

Формула 1 справедлива при любом n, кроме n=-1, так как в этом случае знаменатель обращается в нуль и выражение теряет смысл. Для доказательства найдем производную правой части равенства:

Мы получили подынтегральную функцию; следовательно, формула верна.

Случаю n=-1 соответствует формула 2:

Чтобы найти , заметим, что функция непрерывна в промежутках и , причем в каждом из них она имеет первообразную.

В промежутке этой первообразной, очевидно, является функция , так как , т.е. при .

В промежутке первообразной по отношению к является , т.е. при . Действительно, существует при и .

Итак, оба промежутка непрерывности подынтегральной функции объединяются записью .

Справедливость всех остальных табличных интегралов легко проверить, если продифференцировать их правые части.

Отметим, что формула 3 является частным случаем формулы 4 при .

Вычисление интегралов способом приведения их к табличным с помощью преобразования подынтегрального выражения и применения свойств 2 и 3 неопределенного интеграла называется непосредственным интегрированием . При этом полезно запомнить, что (формула 1 при ).

Метод подстановки в неопределенный интеграл

Если заданный интеграл с помощью алгебраических преобразований трудно или невозможно свести к одному или нескольким табличным интегралам, то для его отыскания применяют особые способы, одним из которых является способ подстановки (замены переменной).

Заметим, что все способы интегрирования имеют целью свести данный интеграл к табличному с помощью тех или иных искусственных приемов.

Способ подстановки заключается в следующем: заменяют новой переменной такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя, на который всегда можно умножить и разделить подынтегральное выражение).

Например, в интеграле удобно произвести замену , так как оставшаяся часть подынтегрального выражения равна . Тогда перепишем данный интеграл в виде . Полученный интеграл является табличным; он находится по формуле 1: .

Далее, производя обратную замену , получим ответ: .

Решение этого примера можно кратко оформить так:

Напомним, что если при интегрировании одной и той же функции разными способами получили различные результаты, то необходимо показать, что они отличаются на постоянную величину.

Так, рассмотренный выше пример можно решить иначе, если применить формулу .

Результат по виду отличается от найденного ранее; однако, преобразуя первый результат, имеем .

Отсюда видно, что разность функций равна , т.е. постоянному числу.

Естественно, возникает вопрос: как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Все же можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Форма проведения: комбинированная форма - сочетание различных форм проведения урока (беседа, лекция, самостоятельная работа).

Образовательные:

познакомить с понятием интеграла и формулой Ньютона-Лейбница;

первичное закрепление понятия интеграла и знания формулы Ньютона-Лейбница;

Развивающие:

способствовать развитию наблюдательности, развитию грамотной устной и письменной математической речи;

Воспитательная:

воспитывать умение участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение;

воспитывать умение слушать;

прививать интерес к математической науке, формировать восприятие учащимися целостной картины мира.

Оборудование: учебник Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс / А.Н.Колмогоров и др. (стр. 185 – 188), презентация, компьютер, проектор, экран.

Тип урока: Комбинированный урок (урок изучения и первичного закрепления нового материала).

Организационный этап.

Проверка готовности помещения к уроку, приветствие учеников, проверка посещаемости.

Этап актуализации знаний учащихся.

Итак, повторим с вами то, что вы уже знаете о первообразной и криволинейной трапеции. Это поможет вам в изучении новой темы.

Вопрос: Что такое криволинейная трапеция?

Ответ: Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x), отрезком [a, b] и прямыми x=a, x=b.

Вопрос: Чему равна площадь криволинейно трапеции?

Ответ: S = F(a) – F(b), где F(x) – первообразная для функции f(x).

Проверочная работа: Построить фигуру, ограниченную линиями и найти ее площадь:

Ответы:

Этап изучения новой темы.

Итак, приступим к изучению темы урока.

Рассмотрим другой способ нахождения площади криволинейной трапеции. Для простоты будем считать функцию f неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; b] тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.
Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков одинаковой длины точками

И на каждом из отрезков [x_k-1; x_k] постоим прямоугольник высотой f(x_k-1).

Сумма всех этих прямоугольников приблизительно равна площади нашей криволинейной трапеции.

Чем меньше отрезки, на которые мы разбиваем функцию, т.е. чем больше этих отрезков, тем ближе объединение всех прямоугольников походит на нашу трапецию, т.е. почти совпадает с ней.

Т.е. говорим что Sn→S, при n→.
Для любой непрерывной на отрезке функции Sn стремится к некоторому числу.

Это число называют ИНТЕГРАЛОМ ФУНКЦИИ f от a до b. И обозначают .
числа a и b называют пределами интегрирования, знак – интегралом, а f(x) подынтегральная функция, а переменная х – переменной интегрирования.

Таким образом, S =

А сравнивая эту формула с формулой изученной на прошлом уроке, получим, что

= F(b) – F(a)

Это и есть формула, которая носит имя сразу двух великих математиков Ньютона и Лейбница.

Заметим, проверка правильности нахождения интеграла до подстановки пределов, такая же как и проверка правильности нахождения площади криволинейной трапеции: нужно найти производную полученного выражения и если она совпадет с подынтегральной функцией, то интеграл найден верно и можно подставлять пределы интегрирования.

Рассмотрим примеры применения формулы Ньютона-Лейбница.

Нахождение интегралов состоит из двух этапов:

Подстановка пределов интегрирования

Пример 1. Вычислим:

Теперь давайте найдем площадь фигуры, ограниченной линиями и сравним полученный ответ с примером 3.

Сверьте, пожалуйста, полученные ответы. Что вы можете заметить?

Ученики: данные примеры имеют один и тот же ответ, а значит это площади одних и тех же криволинейных трапеций, т.е. убедились, что вычислять площадь можно либо по формуле F(b)-F(a), либо с помощью интеграла.

Этап закрепления изученного материала.

Решаем вместе с вами номера № 357, 359, 360.

Перед началом решения откройте дневники и запишите домашнее задание:

п. 29, 30, № 358, 361 (б, в),прочитать стр.196-197, найти короткую справку почему формула имеет двойное имя.

4. Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа рассчитана на 10-15 минут, с последующей проверкой решения, выполненного одним из учащихся за доской.

Последнее задание предлагается выполнить в паре.

Самостоятельная работа

Интеграл. Формула Ньютона - Лейбница

Вычислите интеграл:

1. Систематизация практических и теоретических знаний, выработка умений находить неопределенный и определенный интегралы. Развитие культуры устного вычисления определенных интегралов.

2. Развитие мышления и речи учащихся, навыков самостоятельного мышления, интеллектуальных навыков (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимания, памяти.

“Чтобы переваривать знания,
их надо поглощать с аппетитом”
А.Франс

Тема урока: "Вычисление интегралов."

Цели урока:

Обучающая цель: Систематизировать практические и теоретические знания, выработать умение находить неопределенный и определенный интегралы. Развивать культуру устного вычисления определенных интегралов.

Развивающая цель: Развивать мышление и речь учащихся. развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память;

Воспитательная цель: Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности.

Задачи урока:

Развитие познавательного интереса к предмету;

воспитание самостоятельности, настойчивости при достижении конечного результата.

формирование культуры учебной деятельности и информационной культуры;

обеспечить повторение основных понятий.

Тип урока: изучение нового материала.

Ученик должен знать: понятие первообразной, таблицу первообразных функций, формулу Ньютона –Лейбница, геометрический смысл определенного интеграла

Ученик должен уметь: вычислять определенный интеграл

Оборудование: Карточки,

Формы организации учебной деятельности учащихся:

Работа в малых группах, фронтальный опрос, элементы беседы, тестирование, выполнение индивидуальных заданий, комплексный подход к оценке знаний.

Объявление темы и целей урока.

Актуализация опорных знаний

Изучение новой темы

Закрепление изученного материала.

Подведение итогов урока.

Орг.момент. Проверка Д/З

Объявление темы и целей урока

Актуализация знаний

1) фронтальный опрос:

- Неопределенный интеграл, запись

- Чему равна первообразная функции у=f(kx+m)?

- Что такое определенный интеграл для данной функции?

- Обратная операция нахождения первообразной для данной функции называют…

Найдите первообразную функции (устно): y=5; y=2x; y=3x 2 ; y=cosx; y=1/x.

Ответы на обороте доски: 5x; x 2 ; x 3 ; sinx; ln│x│.

2) Теоретический тест на проверку знаний (Ответы писать на листах теста)

Если для любого х из множества Х выполняется равенство F´(x) = f(x), то функцию F(x) называют … для функции f(x) на данном множестве.

А) производной; В) первообразной;

С) обратной; D) непрерывной.

Совокупность всех первообразных функций F(x) + С для данной функции f(x) называется … функции f(x)

А) область определения; В) производной;

С) область значения; D) интегралом.

С помощью формулы Ньютона – Лейбница находят…

А) определенный интеграл; В) производную; С) обратную функцию.

4. Найдите множество первообразных для функции f(x) = 2

А) 0; В) 2х + С; С) 2х; D) 2.

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком

функции у = f(x), снизу осью … , с боков прямыми … .

А) непрерывной функции; Ох; х = а, х = b;

В) непрерывной, неотрицательной; у = а, у = b; Ох.

С) непрерывной, неотрицательной; х = а, х = b; Оу.

3) Устная работа: (задания записаны на доске)

б) ∫−5 dx=5 x. (– 5x + C)

2) Найти интеграл:

а) ∫ 3 dx; ( +C )

б) ∫ dx ; ( + C = - + C )

в) ( 5 ln │x│+ C)

3) Вычислить: а) dx ; (1)

б) dx ( sinπ - sin0 = 0 ).

Изучение нового материала

Интеграл, интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.

Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4; 3 века до н.э.) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (объем) вычисляли как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков

Во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим развитием математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским физиком и математиком И. Ньютоном и немецким математиком В.Г. Лейбницем. Они создали стройную систему понятий и выработали правила, по которым можно вычислять интегралы.

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади (квадратуру) любых фигур и объёмы (кубатуру) произвольных тел.

Предположим, что надо вычислить объём лимона, имеющего неправильную форму, и поэтому применить какую-либо известную формулу объёма нельзя. С помощью взвешивания найти объём также трудно, так как плотность лимона в разных частях его разная.

Поступим следующим образом. Разрежем лимон на тонкие дольки. Каждую дольку приближённо можно считать цилиндриком, радиус основания, которого можно измерить. Объём такого цилиндра вычислить легко по готовой формуле. Сложив объёмы маленьких цилиндров, мы получим приближенное значение объёма всего лимона. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы сможем разрезать лимон.

Современное обозначение неопределенного интеграла было введено Лейбницем в 1675 году. Он адаптировал интегральный символ , образованный из буквы S — то есть от сокращения слова латинского summa (сумма).

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то справедлива формула , где F(x) – первообразная для f(x). Приведенную формулу называют формулой Ньютона-Лейбница .

Определенным интегралом ) в пределах от а до в от функции f(x), непрерывной на отрезке [а, в], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=в:

Данная формула так же называется формулой Ньютона-Лейбница, ее называют основной формулой интегрального исчисления.

разработка "Вычисление интеграла" представляет собой план-конспект урока закрепления ЗУН с подробным решением нахождения неопределенного интеграла и вычислением определенного интеграла.

Содержимое разработки

Урок № 15-16. Вычисление интеграла.

Цель урока: закрепление умений вычислять неопределенные и определенные интегралы.

Закрепить умения и навыки вычислять неопределенные и определенные интегралы.

Развивать умения и навыки применять формулы и правила интегрирования при вычислении определенных и неопределенных интегралов; развивать логическое мышление.

Воспитывать трудолюбие и упорство.

Тип урока: урок закрепления ЗУН.

Приветствие. Постановка цели урока.

Проверка домашнего задания.

Работа в парах, в мини - группах.

Проверка домашнего задания: а) проверить наличие домашнего задания в тетрадях; б) разобрать у доски нерешенные задания; в) устный опрос.

Работа в парах, в мини – группах: учащиеся в парах и мини – группах решают задания.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .

Применяем, где .

Получаем:

Пример 2. Найти интеграл .

Подынтегральная функция - это дробь . Запишем ее в виде степенной функции, а именно, . Затем используем, при . Получаем:

Пример 3. Найти интеграл .

В подынтегральной функции разделим почленно числитель на знаменатель. Затем воспользуемся неопределенного интеграла, а также, преобразовав предварительно , если нужно подынтегральную функцию к виду . Получаем:

Пример 4. Найти интеграл .

Решение.

Этот интеграл не является табличным. Преобразуем числитель следующим образом: , затем разделим числитель на знаменатель почленно. Получим:

Пример 5: Решение:

Пример 6: Решение:

Пример 7: Решение:

Пример 8: Решение:

Пример 9. Вычислить определенный интеграл
Решение:

Читайте также: