Конспект урока первый признак равенства треугольников 7 класс мерзляк

Обновлено: 02.07.2024

Равные треугольники – треугольники,которые можно совместить наложением.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

2. Погорелов А. В. Геометрия: 7–9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы уже познакомились со способом сравнения треугольников путем наложения. Например, поворачивая треугольники, построенные Фалесом, на 180°, мы совмещали стороны и углы.

Но бывают ситуации, в которых этот способ неприменим. Например, если возникает необходимость сравнивать земельные участки треугольной формы.

Сегодня мы узнаем, как можно установить равенство треугольников без наложения их друг на друга.

Мы познакомились со способом определения расстояния до недоступной точки, предложенным Фалесом. Этот способ примечателен не только своей новизной по меркам древней Греции, но и тем, что Фалес впервые в истории науки понял необходимость доказательства.

Сравнить треугольники можно используя, так называемые, признаки равенства треугольников.

Чтобы убедиться в равенстве треугольников способом наложения, необходимо проверить равенство 6 соответственных элементов: 3 сторон и 3 углов треугольников.

Оказывается, что все 6 проверять нет необходимости. Мы сегодня докажем, что достаточно проверить только 3 пары элементов.

Будем утверждать, что достаточно сравнить только 3 пары элементов – 2 стороны и угол между ними.

В математике любое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой.

А сами рассуждения называются доказательством теоремы.

Рассмотрим теорему о равенстве треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ ABC, ∆А₁В₁С₁, АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, А =А₁.

вершина А совместится с вершиной А₁, стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А₁С₁.

В частности, совместятся точки В и В_1, С и С₁. Сторона ВС совпадет со стороной В₁С_1.

Доказанная теорема позволит нам сделать вывод о равенстве треугольников, сравнивая 3 пары элементов – по 2 сторонам и углу между ними каждого треугольника.

Такая теорема называется признаком.

В частности, первым признаком равенства треугольников.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Доказать, что треугольники АВD и АСD равны.

Рассмотрим ∆ROS и ∆РОТ:

Из равенства треугольников следует, что ∠Т =∠R (как соответствующие элементы равных треугольников). Значит, ∠Т = 30°.

Дополнительный материал.

Докажите, что центрально симметричные отрезки равны.

Доказательство: Точки А и В являются центрально симметричными относительно точки О, если они лежат на одной прямой , проходящей через центр О, на равных расстояниях от центра О.

Добавим еще одну пару центрально симметричных точек относительно точки О – точки С и D.

Соединим отрезками точки А и С, В и D. Получим отрезки АС и ВD, которые являются центрально симметричными относительно точки О.

Докажем, что отрезки АС и ВD равны.

Рассмотрим треугольники АОС и ВОD:

Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов, т.е. АС = ВD.

Открытие учащимися нового способа равенства двух треугольников, расширение понятийной базы за счет введения понятий теорема, доказательство теоремы – признак.

Создать условия для доказательства учащимися первого признака равенства данных треугольников по двум равным сторонам и углу между ними;

Способствовать решению простейших задач на применение первого признака равенства треугольников.

Развивающая:

Создать условия для предположения учащихся о достаточных условиях равенства двух треугольников.

Способствовать развитию умения самостоятельно добывать знания, анализировать, делать выводы.

Способствовать развитию устной и письменной математической речи.

Создать условия для развития коммуникативных компетенций при работе в парах.

Воспитывающая:

Способствовать воспитанию интереса к математике, активности, дисциплинированности, честности, ответственности за свой труд и труд одноклассника.

Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.

Методы обучения: эвристический, репродуктивный.

Формы работы: фронтальная, парная, индивидуальная.

Приветствует обучающихся, настраивает на работу, контролирует готовность к уроку. Создаёт рабочий настрой на урок.

настраиваются на урок.

2.Актуализация знаний и умений

1. Объясните, какая фигура называется треугольником?

а) треугольника DEK, прилежащие к стороне ЕК;

D K

( треугольник DЕК изображен на доске)

б) треугольника MNP, прилежащие к стороне MN;

( изображения треугольника MNP на

3. Назовите угол:

а) треугольника DEK, заключенный между

сторонами DE и DK;

б) треугольника MNP, заключенный между

4. Между какими сторонами:

а) треугольника DEK заключен угол K;

б) треугольника MNP заключен угол N.

5. Какие треугольники называются равными?

6. Какие выводы можно сделать из равенства треугольников?

(запишите, что следует из этого равенства).

1. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и отрезков попарно соединяющих их.

2.а) Угол E и угол K- углы, прилежащие

к стороне ЕК треугольника DEK.

б) Угол M и угол N- углы, прилежащие к стороне MN треугольника MNP.

3.а) Угол EDK- угол, заключенный между сторонами DE и DK

б) Угол NPM – угол,

заключенный между сторонами NP и PM треугольника MNP.

4.а) В треугольнике DEK угол K заключен между сторонами KD и KE.

б) В треугольнике MNP угол N заключен между сторонами NM и NP.

5. Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением (попарно совместятся их вершины и стороны).

6. Если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника.

7. MNK = PQR = MN=PQ,

Записывают решение задачи в тетрадь

3.Выявление места и причины затруднения

Мы с вами уже вспомнили, что два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Сколько элементов треугольников при наложении должно совместиться?

Но не так просто это сделать. Например, найти в ваших тетрадях два равных треугольника.

Как это можно будет сделать и сколько времени на выполнение этой задачи уйдет?

Действительно, данный процесс затруднителен, как вы думаете, существуют ли другие способы доказательства равенства треугольников?

Назовите тему нашего урока.

Попытаемся сформулировать цели нашего урока, исходя из задачи, которую мы решили ранее.

При наложении треугольников должны совместиться 6 элементов: 3 стороны и 3 угла.

Чтобы найти в тетрадях два равных треугольника их нужно очень аккуратно вырезать и наложить друг на друга. Долго, сложно и можно не получить

Способы доказательства равенства треугольников.

Рассмотреть новые способы доказательства равенства треугольников, доказать их, применить при решении задач.

4.Построение проекта выхода из ситуации затруднения

Предлагает под своим руководством

Выполнить практическую работу,

по ходу работы задает вопросы.

На каждой парте лежат три конверта, с

вырезанными из бумаги разного цвета треугольниками.

Конверт № 1. Пары

треугольников с одним равным элементом (по одной равной стороне или по одному равному углу).

Вы берете треугольники из конверта №1 и пробуете наложением их совместить.

Достаточно ли одного равного элемента у треугольников, чтобы сделать вывод, что они равны?

Конверт № 2. Пары треугольников с двумя равными элементами (по двум равным сторонам, по двум равным углам, по одной равной стороне и одному равному углу).

Вы берете треугольники из конверта № 2 и пробуете наложением их совместить.

Достаточно ли двух равных элементов у

треугольников, чтобы сделать вывод, что они равны?

Конверт № 3. Пары треугольников с тремя равными элементами

(по двум равным сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней равным углам, по трем равным сторонам, по трем равным углам).

Вы берете треугольники из конверта № 3 и пробуете наложением их совместить.

Достаточно ли трех равных элементов утреугольников, чтобы сделать вывод, что они равны?

Какое минимальное количество равных элементов в треугольниках достаточно, чтобы они совместились при наложении?

Работают в парах, выполняют практическую работу, делают выводы, отвечая на вопросы, и формулируют все три признака

равенства треугольников по трем элементам.

Вывод 1: одного равного элемента не достаточно, треугольники не совмещаются, значит, они не равны.

Вывод 2: двух равных элементов недостаточно, треугольники не совмещаются, значит, они не равны

Вывод 3: трех равных элементов достаточно, треугольники при наложении совместились, значит, они равны.

Три соответственно равных элемента.

5.Реализация построенного проекта

пары равных треугольников из конверта

№ 3 и скажите, какие три равных элемента необходимо, для того чтобы сделать вывод о равенстве треугольников?

Будут ли равны треугольники, если три угла равны, а стороны не равны?

Давайте сформулируем признаки, по которым можно сделать вывод о равенстве треугольников.

Эти утверждения, справедливость которых

устанавливается путем рассуждений, называются теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы.

Сегодня я вам докажу только первый признак равенства треугольников.

Формулирует первый признак равенства треугольников и производит доказательство на доске.

1. Две стороны и угол между ними;

2. одна сторона и два прилежащих к ней угла;

Нет, по трем углам треугольники не равны.

1.Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Слушают, потом записывают доказательство в тетрадь.

Дано: АВС, А1В1С1,

Док-ть: АВС = А1В1С1

6.Первичное закрепление изученного материала

Проектирует готовые рисунки на доску и дает задание.

1.Доказать равенство треугольников

А) Треугольник ABC равнобедренный

Выполнить письменно № 93

Отрезки AE и CD пересекаются в точке B, являющейся серединой каждого из них.

А) Докажите, что треугольники ABC и EBD равны;

B) найдите углы A и С треугольника ABC, если в треугольнике BDE

Устно доказывают равенство двух треугольников.

Проговаривая первый признак равенства треугольников, объясняют, почему они равны (устно).

А) В треугольнике ABC проведем отрезок BD так, что AD=CD. AB=BC и

B) Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD.

Читают задачу, выделяют условие и заключение, строят рисунок, устно проговаривают решение и оформляют письменно

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока по геометрии для учащихся 7 класса

средних общеобразовательных учреждений

Образовательная: сформировать представление о первом признаке равенства треугольников и о способе его доказательства; формировать навыки применения первого признака равенства треугольников при решении задач.

Развивающая: формировать умения анализировать, сопоставлять данные, выводить логические следствия из данных предпосылок, умение делать выводы, оценивать влияние условий на результат, развивать логическое мышление учащихся.

Воспитательная: формировать умение концентрировать внимание, сосредотачиваться.

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Тип урока: изучение новых знаний.

Требования к ЗУН:

учащиеся должны знать:

- формулировку первого признака равенства треугольников;

- содержание доказательства первого признака равенства треугольников.

учащиеся должны уметь:

- доказывать первый признак равенства треугольников;

- решать задачи с применение первого признака равенства треугольников.

Оборудование: компьютер, экран, проектор, мультимедиа презентация.

Организационный момент (2 минуты)

Актуализация знаний (6 минут)

Изучение нового материала (20 минут)

Закрепление изученного материала (11 минут)

Подведение итогов (4 минуты)

Домашнее задание (2 минута)

1. Организационный момент.

Приветствие учеников, проверка готовности кабинета и учащихся к уроку, проверка отсутствующих.

2. Актуализация знаний.

Учитель: вспомните, какая фигура называется треугольником?

Ученик: треугольником называется фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой и соединяющими их отрезками.

Учитель: начертите треугольник и покажите его стороны вершины и углы.

Ученик выходит к доске, чертит на ней треугольник с помощью линейки и мела, показывает вершины, углы и стороны треугольника.

Учитель: что такое периметр треугольника?

Ученик: периметр треугольника – это сумма длин трех его сторон.

Учитель: какие треугольники называются равными?

Ученик: две фигуры, в частности два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Учитель: верно. Теперь посмотрите на слайд. Там изображены треугольники ∆ DEK , ∆ MNP .

На слайде изображены треугольники (слайд 2)

Учитель: назовите углы ∆ DEK , прилежащие к стороне ЕК.

Ученик: это углы Е и К.

Учитель: назовите углы ∆ MNP , прилежащие к стороне MN .

Ученик: это углы М и N .

Учитель: назовите угол ∆ DEK , заключенный между сторонами DE и D К.

Ученик: это угол D .

Учитель: назовите угол ∆ MNP , заключенный между сторонами NP и РМ.

Ученик: это угол P .

Учитель: между какими сторонами ∆ DEK заключен угол К?

Ученик: между сторонами EK и DK .

Учитель: между какими сторонами ∆ MNP заключен угол N ?

Ученик: между сторонами MN и PN .

3. Изучение нового материала.

Запись на слайде (слайд1) и в тетрадях:

Классная работа.

Первый признак равенства треугольников.

Учитель: Чтобы установить равенство двух треугольников, надо их совмещать или проверить равенство соответствующих сторон и соответствующих углов. Но иногда ни совместить, ни проверить все равенства нет возможности. Оказывается, достаточно установить лишь часть из них.

Посмотрите на слайд. Там изображены два треугольника АВС и АС D .

На слайде изображены треугольники (слайд 3)

Учитель: скажите, равны ли данные треугольники.

Ученик: нет.

Учитель: объясните почему.

Ученик: потому что при наложении они не совпадут.

Учитель: верно, теперь рассмотрим на слайде треугольники АВ D и АС D . Какие стороны и углы у них равны или являются общими?

На слайде изображены треугольники (слайд 4)

Ученик: угол А - общий и сторона А D общая.

Учитель: верно, а равны ли стороны AB и BC ?

Ученик: они не равны.

Учитель: какой же мы можем сделать вывод?

Ученик: данные треугольники не равны.

Учитель: итак, у двух треугольников угол общий и общая сторона, но этого недостаточно, чтобы они были равны. Подумайте, если бы нам было известно, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, можно ли утверждать, что такие треугольники равны?

Ученик: нет, так как другие стороны не равны.

Учитель: о двух других сторонах ничего не известно, что нужно сделать в такой ситуации?

Ученик: нужно выяснить, являются ли эти стороны равными.

Учащиеся переписывают со слайда первый признак равенства треугольников (слайд 5).

Учитель: в математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы.

Учитель: какие теоремы нам уже известны?

Ученик: свойство смежных углов и свойство вертикальных углов.

Учитель: Признак (по В.Далю) – это знак, отличие, все, почему узнают что–либо. Увидев морозный узор на окне, можно, не выходя из дома, сказать, что на улице холодно. Признак дает возможность устанавливать равенство двух треугольников, не проводя фактического наложения одного из них на другой, а сравнивая только некоторые элементы треугольников.

Ученик: условие - это уже известные факты, о которых говорится в теореме, а заключение – это то, что нужно доказать.

Ученик: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.

Учитель: выделите заключение теоремы.

Ученик: то такие треугольники равны.

Учитель: итак, докажем первый признак равенства треугольников. Посмотрите на слайд, там изображены равные треугольники.

На слайде изображены треугольники (слайд 6)

Учитель: опираясь на данные рисунка, скажите, что нам дано?

Учитель: верно, что нужно доказать?

Учитель: хорошо. Запишите это себе в тетрадь.

Запись на слайде (слайд 7) и в тетрадях:

Дано: ∆ АВС, ∆ А₁В₁С₁, АВ = А₁В₁,

АС = А₁С₁, А = А₁.

Доказать: ∆ АВС = ∆ А₁В₁С_1.

Учитель: наложим ∆ АВС на ∆ А₁В₁С_1. так, чтобы 1) точка А совместилась с точкой А₁; 2) сторона АС совпала со стороной А₁С₁. Что можно сказать про точку С?

Ученик: так как АС = А₁С₁, то точка С совпадает с точкой С_1.

Учитель: правильно. Так как А = А₁ по условию, то мы можем наложить ∆ АВС на ∆ А₁В₁С₁ Так, чтобы: 3) сторона АВ совпала со стороной А₁В₁. Что нужно сделать дальше?

Ученик: так как АВ = А₁В₁, то точка В совпадет с точкой В₁. И сторона ВС совпадет со стороной В₁С_1.

Учитель: точка В совпала сточкой В₁, точка С совпала сточкой С₁, а через две точки можно провести только одну прямую – есть такое утверждение. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ полностью совместились, значит, они равны по определению равных треугольников. Теорема доказана. Запишите доказательство себе в тетрадь.

Учащиеся записывают доказательство, при необходимости, сверяясь с записью на слайде (слайд 8)

Доказательство:

При наложении АС = А₁С_1.Так как А = А₁ по условию, то АВ = А₁В_1.Точка В совпадет с точкой В_1,а следовательно, ВС = В₁С_1.Точка В совпала сточкой В₁, точка С совпала сточкой С₁, а через две точки можно провести только одну прямую. Следовательно, ∆ АВС = ∆ А₁В₁С_1.

Учитель: рассмотрим еще одну пару треугольников ∆ АВС и ∆А D С, изображенных на слайде.

На слайде изображены треугольники (слайд 9)

Учитель: внимательно выслушайте формулировку и ответьте мне на вопрос: если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. Как вы думаете, верно ли это утверждение?

Мнения учащихся могут разделиться.

4. Закрепление изученного материала.

Учитель: перейдем к решению задач.

Ученик выходит к доске, решает задачу у доски, комментируя свои действия; остальные учащиеся решают на местах, делают записи в своих тетрадях (рисунок и требование к задаче на слайде 10).

Доказать: ∆МЕ F = ∆ D ЕС

Ученик: по рисунку, ME = DE , CE = EF , углы CED и FEM – вертикальные, значит они равны. Следовательно ∆МЕ F = ∆ D ЕС по первому признаку равенства треугольников.

Ученик записывает доказательство на доске, а все остальные – в тетрадях:

Дано : ∆ МЕ F, ∆D ЕС , ME=DE, CE=EF.

Доказать: ∆МЕ F = ∆ D ЕС.

Доказательство: по условию ME = DE , CE = EF , углы CED и FEM равны (вертикальные), значит ∆МЕ F = ∆ D ЕС.

Учитель: давайте проверим, верно ли вы доказали, посмотрите доказательство, которое приведено на слайде (слайд 11).

Дано : ∆ МЕ F, ∆D ЕС , ME=DE, CE=EF.

Доказать: ∆МЕ F = ∆ D ЕС.

Доказательство: по условию ME = DE , CE = EF , углы CED и FEM равны (вертикальные), значит ∆МЕ F = ∆ D ЕС.

Учитель: следующая задача.

Ученик записывает доказательство на доске, а все остальные – в тетрадях, затем все сверяются с доказательством, приведенным на слайде (слайд 13)

BC || AD . Доказать: ∆ ABC = ∆ ADC .

Дано: ∆ ABC , ∆ ADC , AB = CD , AC -общая.

Доказать: ∆ ABC = ∆ ADC .

Доказательство: по условию AB = CD , AC -общая, углы BAC и DCA равны (накрест лежащие), значит ∆ ABC = ∆ ADC .

5. Подведение итогов.

Учитель: сегодня на уроке вы в целом хорошо поработали; те учащиеся, которые работали у доски, получают соответствующие отметки. Итак, давайте повторим, какие треугольники называются равными?

Ученик: два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

то называется теоремой?

Учитель: какую теорему мы сегодня доказали?

Ученик: первый признак равенства треугольников.

Учитель: сформулируйте ее.

Ученик: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Учитель: почему данная теорема называется признаком?

Ученик: потому что это теорема дает возможность устанавливать равенство двух треугольников, не проводя фактического наложения одного из них на другой, а сравнивая только некоторые элементы треугольников.

Физкультминутки обеспечивают кратковременный отдых детей на уроке, а также способствуют переключению внимания с одного вида деятельности на другой.

Диплом и справка о публикации каждому участнику!

© 2007 - 2022 Сообщество учителей-предметников "Учительский портал"
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Читайте также: