Конспект урока метод крамера

Обновлено: 02.07.2024

Загрузить презентацию (269 кБ)

Загрузить презентацию (364 кБ)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данная методическая разработка предназначена для проведения урока по дисциплине “Математика” на тему “Решение систем линейных уравнений методом Крамера” для студентов первого курса по программе учебной дисциплины, разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта для специальностей среднего профессионального образования.

В результате изучения темы студент должен:

- решение систем линейных уравнений методом Крамера;

- применение знаний при решении систем линейных уравнений.

- решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера

- решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

При разработке данного урока в зависимости от специфики подготовки студентов можно внести дополнения и изменения в содержание, последовательность изучения материала урока и распределение времени.

Наблюдается связь истории с математикой, при изучении материала использована задача прикладного характера для будущей практической деятельности, что прививает интерес к предмету. Данная методическая разработка содержит: учебно-методическую карту, ход, где сформулированы цели занятия и последовательность проведения урока, указан список литературы.

При проведении занятия, использованы учебные пособия, технические и наглядные средства обучения

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА

Дисциплина: Математика

Тема занятия: Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Вид занятия (тип урока): Комбинированный

Цели урока:

повторить пройденный материал;
углубить знания студентов по теме “Решение систем линейных уравнений”;
изучить решение систем линейных уравнений c помощью метода Крамера;
научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.

способствовать развитию:
логического мышления;
памяти;
умению сравнивать, обобщать, анализировать;
интереса к избранной специальности.

стремиться воспитывать:
чувства ответственности, исполнительности, аккуратности;
чувство гордости за избранную профессию;
положительное отношение к знаниям, учениям;
интерес к математике

Обеспечивающие: история, русский язык, информатика
Обеспечиваемые: специальные предметы
Обеспечение занятия:

Наглядные пособия: Презентации к уроку

Раздаточный материал: карточки.

Технические средства обучения: калькуляторы, компьютеры, интерактивная доска

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент (слайд №1)

Здравствуйте, студенты. Тема урока: “Решение систем линейных уравнений методом Крамера”. Ученый-математик Колмогоров А.Н. говорил: “Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления”, поэтому математика связана с будущей специальностью. В результате изучения темы научимся решать задачи прикладного характера для профессиональной деятельности.

2. Постановка целей занятия

Цели урока: повторить пройденный материал; углубить знания по теме “Решение систем линейных уравнений”; изучить решение систем линейных уравнений с помощью метода Крамера; научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.

3. Проверка домашнего задания

4. Проверка знаний (слайды № 2,3,4).

Какое уравнение называется линейным?
Напишите систему m линейных уравнений с n переменными.
Назовите коэффициенты при переменных.
Какие числа называются свободными членами?
Что является решением системы?
Какие методы решения систем линейных уравнений знаете?

Ответы: Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

В системе m линейных уравнений с n переменными:

Числа называются коэффициентами при переменных, а – свободными членами.

Совокупность чисел называется решением системы линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

5. Изучение нового материала

В школьном курсе рассматриваются способ подстановки и способ сложения. В курсе высшей математике решают методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы. Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера

5.1 Знакомство с биографией Крамера

При изучении новой темы “Решение систем линейных уравнений методом Крамера” важное место занимает связь истории с математикой, что прививает интерес к предмету. Познакомимся с биографией Габриэля Крамера.

Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является “Введение в анализ алгебраических кривых”, опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.

Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.

В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне и других. Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.

В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.

В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего мира.

Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции

5.2 Решение системы линейных уравнений методом Крамера(слайды № 11-15)

Теорема Крамера.

Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной свободными членами:

6. Закрепление.

6.1 Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера (слайды № 16-19)

2) Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?

Решение. Пусть x и y – прибыли первого и второго отделений в минувшем году.

Тогда условие задачи можно записать в виде системы:

Решив систему, получим x = 4, y = 8.

Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения - 4 млн усл. ед., второго - 8 усл.ед.: б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед., второго 1,4. 8 = 11,2 млн усл. ед.

При решении системы уравнений могут встретиться три случая:

1) система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

3) система линейных уравнений решений не имеет

Система называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

6.2 Решение системы трех линейных уравнений с тремя двумя неизвестными методом Крамера (слайды № 20-22)

Решение. Находим определители системы:

7. Домашнее задание (слайд № 23)

8. Подведение итогов

Подведем итоги урока. По результатам работы на уроке выставляются оценки, с последующей демонстрацией успеваемости в виде диаграммы на интерактивной доске.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема: Метод Крамера

Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ(система линейных алгебраических уравнений) с ненулевым определителем основной матрицы. Назван по имени Габриэля Крамера, автора метод.

СЛАУ называется совместной если она имеет хотя бы одно решение.

Теорема Крамера

Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю , то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

где - определитель матрицы системы,

- определитель матрицы системы, где вместо -го столбца стоит столбец правых частей.

Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.

Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.

Найти решение СЛАУ при помощи метода Крамера.

Так как , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель получим из определителя заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

Аналогично, определитель получается из определителя матрицы системы заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:

Тогда получаем, что

Ответ. ,

При помощи формул Крамера найти решение системы

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:

Объяснительно – иллюстративный метод, репродуктивный метод.

Тип занятия:

Цели занятия:

ознакомить студентов с решением систем линейных уравнений по правилу Крамера;

выработать умение решать системы линейных уравнений методом Крамера;

изучить основные этапы решения задач с помощью программы MS Excel;

отработать умение переходить от математической записи выражений к записи в среде электронных таблиц.

способствовать развитию интереса к данным дисциплинам;

способствовать воспитанию усидчивости студентов;

воспитывать точность и аккуратность в расчетах.

способствовать обучению студентов умению обобщать и конкретизировать, осуществлять самоконтроль;

способствовать развитию логического мышления, внимания.

Формируемые компетенции

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ПК 1.1. Проверять и настраивать элементы релейной защиты, автоматики, средств измерений и систем сигнализации.

ПК 4.1. Планировать работу производственного подразделения.

Межпредметные связи:

Электротехника и электроника.

Учебно-наглядные пособия и ТСО:

ПК с программой MS Excel;

Организационная часть:

Визуально определить готовность к уроку, сформулировать тему, цель.

Основные вопросы темы и последовательность их изложения:

Изложение нового материала.

Решение линейных уравнений методом Крамера.

Выполнение расчета в программе MS Excel.

Выводы урока:

Сегодня на уроке вы научились решать системы уравнений третьего порядка с помощью формул Крамера. Сумели автоматизировать свою работу с помощью программы MS Excel . Оценки.

Домашнее задание:

Выучить формулы. Решить систему уравнений:

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. I: Учебное пособие для втузов. – 5-е изд., испр.- М.: Высш. шк., 2006.

«Математику нельзя изучать,

математик Айвен Нивен.

Тема урока: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.

Одна из задач, возникающих на практике, связана с расчетом электрических цепей. При этом часто необходимо определить токи, напряжения и мощности на всех участках цепи по заданным Э.Д.С. источников и сопротивлениям участков цепи.

Какие способы решения систем линейных уравнений вы знаете?

Сегодня на уроке мы рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений: по правилу Крамера.

Знакомство с биографией Крамера (выступление студента).

Габриэль Крамер

Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача.

Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции.

2. Изложение нового материала (преподаватель объясняет новый материал, студенты делают конспект, по теме всего 1 пара – 1 час 30 мин).

Рассмотрим систему уравнений:

(1)

Главным определителем системы уравнений (1) называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных x, y, z. Этот определитель мы будем обозначать греческой буквой .

Первым вспомогательным определителем системы уравнений (1) называется определитель .

Он получен из главного определителя этой системы уравнений путем замены первого столбца на столбец свободных членов.

Вторым вспомогательным определителем системы уравнений (1) называется определитель .

Он получен из главного определителя этой системы уравнений путем замены второго столбца на столбец свободных членов.

Третьим вспомогательным определителем системы уравнений (1) называется определитель .

Он получен из главного определителя этой системы уравнений путем замены третьего столбца на столбец свободных членов.

Предлагаемый метод решения систем линейных уравнений это так называемое правило Крамера.

Правило Крамера:

Если главный определитель системы уравнений (1) не равен 0, то система уравнений имеет единственное решение:

Составим алгоритм решения систем линейных уравнений по правилу Крамера.

Студенты предлагают последовательность действий по решению системы линейных уравнений по правилу Крамера.

Найдите главный определитель системы.

Найдите вспомогательные определители системы.

Найдите неизвестные, пользуясь формулами Крамера.

Закрепление формул (преподаватель у доски объясняет решение систем линейных уравнений методом Крамера, студенты выполняют промежуточные вычисления с комментариями вслух).

а) Решение линейных уравнений методом Крамера.

а)

Ответ:

б) ,

б) Выполнение расчета в программе MS Excel.

Назначение функции МОПРЕД ()

На практике мы убедились, что расчет определителя матриц занимает много времени и может быть трудоёмким при большой размерности системы или при дробных коэффициентах при неизвестных.

Рассмотрим, как можно автоматизировать решение системы уравнений.

Для решения систем уравнений методом Крамера, необходимо уметь применять функцию МОПРЕД(). Данная функция вычисляет определитель матрицы. Запишем синтаксис функции:

МОПРЕД (Массив)

где массив – это диапазон ячеек в которых расположены значения матрицы (массива).

Процесс вычисления определителя матрицы трудоёмкий, особенно если матрица большой размерности и мы убедимся насколько этот процесс упрощен в программе MS Excel.

Рассмотрим пример, который вы решили на уроке математики.

Запишем значения коэффициентов x, y, z в виде таблицы и обозначим буквой A, свободные члены запишем в виде таблицы B:

Теперь необходимо найти определители. Для этого записываем в виде таблиц все значения и обозначаем их как принято в математике: , x, y, z. Для ввода значений обязательно используем перенос данных с помощью формул. Т.е. используем сочетание клавиш SHIFT+CTRL+ENTER, предназначенный для заполнения выделенного фрагмента текущей формулой, при этом получается массив. Ячейка должна быть в режиме редактирования.

Для ввода символа  воспользуемся командой Меню Вставка  Символы (Шрифт Symbol). Рассчитываем определитель матрицы с помощью функции МОПРЕД(). Для этого устанавливаем курсор в ячейку F6 и в меню Формулы открываем список функций категории Математические. Выбираем функцию МОПРЕД(), в качестве аргументов выделяем диапазон ячеек B5:D7 и нажимаем на кнопку ОК. Таким же образом определяем все оставшиеся определители.

Конспект урока предназначен для студентов 2 курса по программе подготовки специалистов среднего звена по дисциплине "Математика вариативная часть". Урок-закрепление с использованием приемов технологии "Модереации". В течении всего занятия варьируются различные виды групповой работы студентов: работа в парах, работа в мини группах. Особый акцент сделан на формирования общих компетенций.

Тип урока: урок-зачет.

Форма урока: соревнование интеллектуалов.

Выявить качество усвоения студентов знаний и способов действий по теме “Матрицы и определители”, определить недостатки в знаниях и способах действий студентов и установить их причины.

Создать условия для развития способности студентов к оценочным действиям.

Содействовать развитию вычислительных навыков студентов, логического мышления, способности к самоконтролю, самооценке, рефлексии.

Организационный момент.

Наша задача – помочь вам овладеть
алгебраическими методами;
ваша задача – не противиться обучению,
с готовностью следовать за нами,
преодолевая трудности.
А. Мордкович

Эпиграфом к уроку я хочу взять слова высказывания доктора педагогических наук, профессора, заслуженного деятеля науки РФ Мордковича Александра Григорьевича.

Скажите, как вы понимаете его слова. (высказывания студентов)

Сегодня мы проведем необычный урок – интеллектуальное соревнование по теме: “Определители 2 и 3 порядка”. У каждого студента на столе находится лист самоконтроля и оценки. По мере выполнения заданий вы будете оценивать себя и вносить результаты в личную карточку.

Личная карточка студента______________________________

1этап(7-8 мин) Работа в парах: Вам необходимо решить кроссворд, для того вам можно будет выполнить эту работу в парах.

По горизонтали
2. Матрица, у которой число строк m равно числу столбцов n называется (квадратная)
3. Зависимость переменной y от x (функция)
5. Многочлен матрицы от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок называется (определитель)
7. Квадратная матрица у которой детерминант равен 0 называется(Вырожденная)
10. Как называется переменная xi, если она входит только в одно уравнение системы с коэффециентом 1(Разрешенная)
11. Квадратная матрица у которой диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0, называется (единичная)

По вертикали
1. Прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и n столбцов элементов (матрица)
2. Из чего при неизвестных и свободных членов системы составляют матрицу (коэффициентов)
4. Как называется система не имеющая ни одного решения (несовместимой)
5. Матрица отвечающая условию A = A (ортогональная)
6. Как называются две системы линейных уравнений с одинаковыми неизвестными (равносильными)
8. Как называется система имеющая хотя бы одно решение (совместной)
9. Как называется линейное уравнение (однородным)

В кроссворде было 11 заданий, кто разгадал все слова верно, поставьте себе заслуженно 1 балл в листы самооценки,

10-8 слов по 0,8 балла

7-5 слов по 0,6 балла

4-2 слов по 0,4 балла

менее по 0 баллов.

2 этап: Индивидуальная работа(7-8 мин)

Теперь проверим ваши практические знания и умения по вычислению определителей, вам необходимо выполнить самостоятельную работу, работать каждый из вас будет индивидуально, а затем проверим результаты:

Самостоятельная работа

Вычислить определитель

5 вариант

Оцените свою работу и поставьте в лист по 1 баллу за каждый правильный ответ

3.Этап. Групповая работа

А теперь решим систему линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, для этого разобьемся на группы по 4 человека. Каждый из группы вычисляет по одному определителю и затем мы сверим полученные ответы к задаче:

Автомобильный завод производит продукцию трех видов: легковые автомобили, грузовые автомобили, автобусы. Для их производства используются материалы трех типов: оцинкованная сталь 1250*2500*0,65 мм, листовой алюминий 1,5*1500*3000 мм, чугун. Нормы расхода каждого из них на одну продукцию и объем расхода сырья на один день заданы таблицей:

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
Решение:

Пусть ежедневно завод выпускает x₁ легковых автомобилей,

x₂ грузовых автомобилей

Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

235x₁ + 280x₂ + 285x₃ = 5780

135x₁ + 240x₂ + 255x₃ = 3990

105x₁ + 175x₂ + 185x₃ = 3005

x₁ = 33750/2250 = 15

x₂ = 11250/2250 = 5

Ответ: фабрика выпускает 15 легковых автомобилей, 5 грузовых автомобилей и 3 автобуса.

Если ваша группа верно решила задачу, поставьте каждый себе по 1 баллу.

Этап рефлексии.

Подсчитайте общее количество заработанных балов

Студентам предлагается выбрать пословицы, которые наиболее точно отражают настроение.

Читайте также: