Конспект последовательность чисел в числовом ряду

Обновлено: 01.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Урок 1. Числовые последовательности.

Формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом.

Формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность.

Развитие умений применять ранее изученный материал.

Развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать.

Привитие санитарно-гигиенических навыков, пропаганда здорового образа жизни.

Изучение нового материала.

Подведение итогов урока.

2.В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например дни недели, классы в школе, дома на улице, название месяцев, квартиры в доме, номера счетов в банке. И вообще ряд натуральных чисел есть последовательность.

Множество чисел, для каждого из которых известен его порядковый номер , называют последовательностью.

Числа, образующие последовательность называются членами последовательности.

Члены последовательности обозначаются так:

а ₁ –первый член , а ₂ – второй , а ₃ – третий , а ₄ – четвертый, и т.д. а _n - n члены последовательности.

1)конечные , например ряд двухзначных чисел – 10,11,12,13,…..99

2)бесконечные, например ряд четных чисел – 2,4, 6,8,10,12…..

3)возрастающие , например ряд натуральных чисел – 1,2,3,4,5,6….

4)убывающие, например запись в порядке убывания правильных дробей с числителем 1 -

Часто последовательности задают с помощью формулы n го члена последовательности.

Иногда задают рекуррентным способом. Формула выражающая любой член через предыдущий.

3. 1)Найти закономерность (слайд)

2) ответить на вопросы (слайд)

3)выполнить задание (слайд)

Задача: Некто поместил пару кроликов в новом месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Последовательность чисел Фибоначчи задается так

n =1;2;3;… итог : 1;1;2;3;5;8; 13;21;34;55; 89;144;233;377

2) также известен треугольник Паскаля. Бесконечная числовая таблица треугольной формы, где по боковым сторонам стоят 1, а каждое из чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа

3) Существует связь чисел Фибоначчи и треугольника Паскаля.

сумма чисел, стоящих на восходящих диагоналях треугольника Паскаля есть числа Фибоначчи.

4) Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями!

Так, вспомним строки из "Евгения Онегина".

. Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить.

Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. 1; 3; 5; 7.

Представление о результатах:

- формирование умения сотрудничать со сверстниками в разных социальных ситуациях, умение не создавать конфликтов и находить выходы из спорных ситуаций.

- регулятивные: планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации;

- познавательные: формирование умений по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов, по использованию доказательной математической речи при работе с информацией;

- коммуникативные: формирование умений совместно с другими обучающимися находить решение задачи и оценивать полученные результаты.

Вложение	Размер
plan_uroka_chislovye_posledovatelnosti_9_klass.docx	472.66 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

ФИО учителя Кочиева И.Т. Класс 9 предмет алгебра дата 16.01.2019 г.

Представление о результатах:

формирование умения сотрудничать со сверстниками в разных социальных ситуациях, умение не создавать конфликтов и находить выходы из спорных ситуаций.

регулятивные: планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации;
познавательные: формирование умений по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов, по использованию доказательной математической речи при работе с информацией;
коммуникативные: формирование умений совместно с другими обучающимися находить решение задачи и оценивать полученные результаты.

Этапы технологии деятельностного подхода:

Самоопределение к деятельности ( Орг. момент )
Актуализация знаний ( Актуализация знаний )
Постановка учебной задачи ( Мотивация. Постановка проблемы )
Решение учебной задачи ( Заполнение конспекта )
Первичное закрепление ( Решение заданий из ОГЭ )
Включение в систему знаний, повторение ( Рефлексия )
Домашнее задание

Организационная структура урока

Организация направленного внимания на начало урока

Подготовка к дальнейшей деятельности

Создать соответствующую эмоциональную атмосферу, психологически подготовить обучающихся к усвоению нового материала

Помочь учащимся сформулировать тему и цель данного урока

Формулирование темы и целей урока

Развитие познавательного интереса не только к знаниям, но и способам деятельности

Продолжить актуализацию знаний, постановка проблемного вопроса

Создать условия для дальнейшей исследовательской деятельности

Сформулировать проблему для исследования

Желание разрешить сложившуюся ситуацию путем исследования

Формирование коммуникативных, регулятивных, познавательных УУД.

Развивать умение систематизировать добытую информацию, делать выводы. Развитие предметных УУД

Систематизировать и преобразовать полученную информацию (опорный конспект), сделать выводы

Организовать деятельность обучающихся для применения новых знаний

Направлять учащихся к формулировке выводов

Планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации. Осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий. Договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности. Формулировать собственное мнение и позицию

Коллективная работа по формулированию выводов

Развивается интерес не только к знаниям, но и к способам деятельности.

Личностные УУД: развиваются волевые качества в преодолении возникших затруднений.

Регулятивные УУД: формируютсяспособы умственных и практических действий при переработке учебной информации.

Предметные УУД: умение точно и грамотно выражать свои мысли, применяя математическую терминологию, развитие способностей обосновывать рассуждения.

самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности, осознание метода построения и границ применения нового способа действия.

Организовать рефлексию и самооценку обучающихся собственной учебной деятельности на уроке и работы групп

Соотносят цель и результаты своей учебной деятельности и фиксируют степень их соответствия

Формулирование цели дальнейшей деятельности и определение задания для самоподготовки (домашнее задание с элементами выбора, творчества)

Выявление границы применимости нового знания и использование его в системе изученных ранее знаний

Организовать деятельность обучающихся для применения новых знаний

Работа по применению новых знаний

Развитие умений, сформированных на данном уроке

Сегодня мы приступим к изучению одной из самых интересных темы алгебры 9 класса. Для этого нужно определить тему урока.

Формулирование обучающимися темы и целей урока

Последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать! Какие события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры таких явлений и событий.

Например, дни недели, названия месяцев, возраст человека, номер счёта в банке,

последовательно происходит смена дня и ночи, последовательно увеличивает

скорость автомобиль, последовательно пронумерованы дома на улице и т. д.

Последовательный – 1. Непрерывно следующий за другим. 2. Логически обоснованный, закономерно вытекающий из чего-нибудь. сущ . Последовательность. (Толковый словарь русского языка. С.И. Ожегов).

Последовательность - упорядоченный набор чисел. (Справочное издание. Математика).

Определение . Числовая последовательность - числа, образующие последовательность, называют соответственно первым , вторым, третьим…. n -ым членом последовательности.

Обозначение числовой последовательности

где 1,2,3,…,n –порядковый номер члена последовательности

( ) –

Задание 1. Рассмотрите предложенные ряды чисел

Б) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Д) 10; 11; 12;…; 98; 99.

Е)100; 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; …

-Можно ли данные ряды назвать числовыми последовательностями?

-Разделите их на группы. На сколько групп разделили? Как можно назвать каждую группу?

Виды числовых последовательностей:

Бесконечные (бесконечное число членов);
Конечные (конечное число членов);
Убывающие (каждый последующий член меньше предыдущего);
Возрастающие (каждый последующий член больше предыдущего);
Стационарная (постоянная) – (каждый последующий член равен предыдущему).

Задание 2. Определите следующий член последовательности

Г)100; 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; …

Способы задания числовой последовательности:

Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

Пример 1: Записать последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны -10, а с чётными номерами равны 10 .

Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: Х n = 3n + 2. По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Пример 2: Вычислите первые четыре члена этой последовательности.

а 1 = 4+2·(1+1)=8 а 2 = 4+2·(2+1)= 10 а 3 = 4+2·(3+1)= 12 а 4 = 4+2·(4+1)=14

Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; . . Ординаты — значения членов последовательности: a1; a2; a3; a4;…

Пример 3: Рассмотрим функцию

Рекуррентный способ. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены.

Указывается правило позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным (от латинского recurrere – возвращаться).

Решите задачу : В январе вам подарили пару новорожденных кроликов. Через два месяца у них рождается новая пара кроликов, в следующем месяце – еще одна пара и т.д. ежемесячно. С каждой новой парой кроликов происходит то же самое. Сколько пар кроликов будет у вас в декабре, если ни одна пара не погибнет?

Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих.

В конспекте представлена подробная разработка введения нового учебного материала по теме "Натуральный ряд и другие числовые последовательности" Материал полностью соответствует ФГОС.

Здравствуйте ребята! Я, Наталья Николаевна, сегодня проведу у вас урок математики.

Не любит никаких нельзя

Очень строгая наука,

Очень точная наука,

Повернитесь друг к другу и улыбнитесь!

Пожелайте успехов и удачи друг другу!

Давайте пожелаем друг другу:

Успехов, удачи во всем!

Друг друга мы не подведем!

Ребята! Сегодня мы будем работать в группах.
А какая команда без капитана!
Выберите капитана.
У вас на столах лежат сигнальные карточки. Если у вас возникнут трудности в ходе занятия или нужна моя помощь, капитан поднимает карточку со знаком вопроса,? Если вы справились с заданием, поднимите карточку с восклицательным знаком!

Чтобы добиться успехов впереди!

Правила работы в группах повтори!

Зачитаем по очереди! Начинаем читать с первой группы.

0,1,2,3,4,5,6,7,8,…числовой ряд с нуля.

1,2,3,4,5,6,7,8,9,….натуральный ряд чисел, числа в натуральном ряду

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной.

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность?

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Какие бывают последовательности

постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1.
возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

Аналитически или, проще говоря, формулой.
Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Последовательность может иметь только один предел.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Читайте также: