Классическое определение вероятности конспект урока

Обновлено: 04.07.2024

Испытанием называется осуществление определенных действий.

Событие- факт, который может произойти в результате испытания.

Любой результат испытания называется исходом.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

Пространство элементарных событий Ω — множество всех различных исходов произвольного испытания.

Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.

Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.

Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.

Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.

Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Её ещё называют статистической вероятностью события.

Равновозможные события - такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.

Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.

Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

Основная литература:

Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 288 с.: ил. - ISBN 5-09-0066565-9. сс.242-261.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти?

1) вынутый предмет окажется клубком

2) вынутый предмет окажется красным клубком

3) вынутый предмет окажется зеленым клубком

4) вынутый предмет не окажется клубком

Ответ: первое и третье.

1. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей.

Определение.

Испытанием называется осуществление определенных действий.

Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.

Любой результат испытания называется исходом.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…).

Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения.

2. Определим еще несколько важных понятий теории вероятностей

Определение

Пространство элементарных событий Ω— множество всех различных исходов произвольного испытания.

Например, при броске одной игральной кости пространство элементарных событий Ω= 1, w ₂, w ₃, w ₄, w ₅, w₆>, где w_i- выпадение i очков.

Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.

Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий.

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.

Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху.

A – сдал экзамен по математике;
Ᾱ – не сдал экзамен по математике.

Определение.

Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий.

Элементарными событиями являются:

3. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит.

Определение.

Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.

Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события.

Статистическая вероятность события рассчитывается опытным путем.

Еще со времен Древнего Китая за 2238 лет до нашей эры на основании метрик демографы обнаружили, что на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков.

Это означает, что Вероятность рождения мальчика составляет 0,514.

1. Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий.

К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.

Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны.

Рассмотрим произвольный эксперимент.

Согласно определению вероятности наименьшее значение вероятности принимает невозможное событие, так как оно не может наступить и для него m=0, значит и вероятность равна 0.

Наибольшее значение принимает достоверное событие. В силу того, что оно гарантированно произойдет, для него m=n, Р=m/n=n/n=1.

2 .Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.

Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Известна история о том, как однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении насущного вопроса: какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?

Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3;

10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.

Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различными способами (по 6 способов для первого, второго, пятого вариантов суммы, по 3 способа для третьего и четвертого вариантов, 1 способ для последнего варианта 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различными способами (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся друг к другу как 25:27, что и вызвало затруднения солдата.

Таким образом, чаще выпадает сумма 10.

Одна из задач была поставлена следующим образом: Игральная кость бросается четыре раза. Шевалье бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для шевалье? Ответ округлите до десятых.

Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет 6 · 6 · 6 · 6 = 1296.

Среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не выпадет ни разу.

В 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, что чуть больше 0,5.

Цель урока познакомить учащихся с новым разделом математики: "Теория вероятности", ее основными понятиями и задачами. Формировать умения ршать задачи на определении вероятности с использованием основных формул комбинаторики. Показать практическую направленность изучаемого вопроса.

Номинация: Педагогические идеи и технологии профессионального образования

Методическая разработка

урока математики

Зинченко Татьяна Алексеевна, преподаватель математики

Сургутского нефтяного техникума (филиала)

Федерального государственного бюджетного

образовательного учреждения высшего

Воспитывать стремление добиваться наилучших результатов, умение рефликсировать.

Тип урока: формирование новых знаний

Формы организации учебной деятельности обучающихся: коллективная и индивидуальная.

Методы работы: рассказ, беседа, демонстрация (презентаций).

Оборудование

Плакат с формулами комбинаторики.

Задачи, по изучаемой теме

Выдержки из методических рекомендаций для студентов очной формы обучения, по изучаемой теме.

Орг. момент ( 1 – 2 мин)

Актуализация знаний ( 15 мин)

Формирование новых знаний ( 30 мин)

Закрепление новых знаний ( 20 мин)

Итог урока (11 мин)

Домашнее задание ( 2 мин)

Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс.

Актуализация знаний

Каждая наука, при изучении явлений материального мира, оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие.

В теории вероятности тоже есть основные понятия. И чтобы узнать его разгадаем ребус.

В теории вероятности основным является понятие события.

Данный вопрос вы изучали самостоятельно, проверим.

Что такое событие? ( СОБЫТИЕ – это явление, которое происходит в результате осуществления каких -либо условий).

А виды событий мы вспомним с помощью кроссворда. (Приложение 1)

Данные события по отношению друг к другу являются:

События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие называется противоположным к событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А, и наоборот.

С помощью данной формулы: вычисляются (РАЗМЕЩЕНИЯ) Соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Соединения, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов (ПЕРЕСТАНОВКИ)

Данные события по отношению друг к другу являются:

Два события А и В называют совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.

7) Это действие в комбинаторике обозначают восклицательным знаком. (ФАКТОРИАЛ) Произведение всех натуральных чисел начиная с единицы до n.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.

9) Соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. (СОЧЕТАНИЯ)

10) Плох тот студент, который не мечтает видеть эту цифру в своей зачетке. (ПЯТЬ)

3. Формирование новых знаний.

Вашему вниманию предлагается задача. (Приложение 2)

Что такое вероятность?

Какова моя вероятность завтра сдать экзамен, если рассмотреть следующие случаи:

а) Из 50 вопросов выучу 20 вопросов.

б) Буду знать все вопросы.

в) Не буду учить ничего и лягу спать.

Что надо знать, чтоб найти вероятность?

Какой может быть вероятность?

Сейчас вам необходимо обсудить предложенную задачу и попытаться дать ответы на поставленные вопросы. (обсуждают в четверках)

Чтобы определить вероятность надо знать: количество исходов этого события и количество исходов благоприятствующих событию.

Пусть А – некоторое событие,

m – количество исходов благоприятствующих появлению события А

n – количество исходов этого события

Тогда вероятностью наступления случайного события А называется отношение

Обозначается вероятность Р, данное обозначение происходит от французского слова.

А если студент знает все вопросы. Каким событием будет тогда сдача экзамена? Чему тогда равна вероятность сдачи экзамена? ( единицы).

А если студент пришел не готовый чему равны его шансы сдать экзамен? Какое это будет событие? Чему будет равна вероятность? (нулю).

Вывод: вероятность наступления случайного события больше или равно нулю, но меньше или равно единице: 0 ≤ Р(А) ≤ 1. Часто результат вероятности события записывается в процентном отношении, связано это с тем, что это более наглядно и часто используется в экономике и статистики.

Известно, по крайней мере, шесть основных схем определения и понимания вероятности. Но наиболее используемым и практичным является рассмотренное определение, оно называется классическим. Классическое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Пьер-Симо́н Лапласа.

Следующее важное понятие теории вероятности зашифрованно в этом ребусе:

Именно с этим понятием связана знаменитая ошибка Даламбера.

Он пытался определить: какова вероятность, что подброшенные вверх две монеты упадут на одну и ту же сторону?

Решение, предложенное Даламбером.

Опыт имеет три равновозможных исхода:

Из них благоприятными для нашего события будут 2 исхода, поэтому вероятность равна Р (А) = .

Сколько всего исходов? (4). Сколько исходов будут благоприятными? (2) исхода, поэтому искомая вероятность равна .

Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два принципиально разных исходов в один. Чтобы не повторить эту ошибку, помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.

4. Закрепление новых знаний.

А теперь я вас хочу пригласить в математическое казино, где знания добываются собственным умом.

Делайте ваши ставки господа. (Приложение 3)

Среди 125 КНС разыгрывается приз. Какова вероятность, что номер победившей КНС будет заканчиваться на тройку?

Решение. А – номер победившей станции заканчивается на тройку.

n = 125, m = 13 ( т. к номера победителей могут быть: 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93, 103, 113, 123).

Число всех исходов найдем с помощью размещения. n = .

Число благоприятных исходов m = 1.

Вероятность запуска насоса после ремонта равна 0,95 %. Произвели 55 попыток запуска. Найдите ожидаемое число неудачных запусков.

Что известно в этой задачи? (Вероятность наступления события).

Какое это событие? ( Насос после ремонта запуститься)

Что еще известно? (Число всех исходов).

А – насос после ремонта будет работать.

Р(А) = 0,95 = . n = 55, m - ?.

, .

Это количество исходов при которых насос запуститься, значит количество исходов при которих насос работать не будет равно 55 – 52 = 3.

Значением показаний манометра ( прибор для измерения давления) может быть любое двузначное число. Какова вероятность того, что наугад выбранный результат состоит из одинаковых цифр.

Решение: А – значение показаний манометра состоит из одинаковых цифр.

Всего исходов n = 90, число благоприятных исходов m = 9 ( т.к. показатели могут быть: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99).

Р(А) =

Из 60 экзаменационных вопросов студент подготовил 50. На экзамене он должен ответить на два вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на оба вопроса?

А – студент ответит на оба вопроса.

Билеты составляют из 60 вопросов по два, при этом порядок расположения вопросов не важен, значит чтобы подсчитать количество всех исходов воспользуемся сочетанием. n =

Благоприятными будут исходы если оба вопроса в билете из 50 выученных, количество благоприятных исходов можно тоже найти с помощью сочетания. m =

Р(А) =

Из полного набора домино извлекается наудачу одна кость. Какова вероятность того, что число очков в ней четное.

А – число выпавших очков четное.

Число всех исходов n = 28 (количество костей в домино). m = 15

Р(А) =

5. Итог урока.

Ставок больше нет.

ПРАВИЛА НАПИСАНИЯ СИНКВЕЙНА

1 строчка – одно слово – название стихотворения, тема, обычно существительное.

2 строчка – два слова (прилагательные или причастия). Описание темы, т.е какая это тема для нас, слова можно соединять союзами и предлогами.

3 строчка – три слова (глаголы). Действия, относящиеся к теме (которые мы произведем)

4 строчка – четыре слова – предложение. Фраза, которая показывает значимость темы.

5 строчка – одно слово – ассоциация, синоним, который повторяет суть темы (для чего может использоваться, чем быть)

Теория вероятностей.
Новая, интересная.
Изучим, поймем, заинтересуемся.
Присутствует во всех областях.
Инструмент познания.

Истинная логика нашего мира – правильный подсчет вероятностей. (Джеймс Максвелл)

Теория вероятностей – это раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений. Предметом изучения теории вероятностей является исследование вероятностных закономерностей случайных (однородных) массовых явлений. Методы, выявленные в теории вероятностей, нашли широкое применение в большинстве современных наук и различных отраслях деятельности человека.

Особенно широко теория вероятностей применяется для исследования природных явлений. Все протекающие в природе процессы, все физические явления в той или иной степени не обходятся без присутствия элемента случайности. Как бы точно не был поставлен опыт, как бы точно ни были бы зафиксированы результаты эмпирических исследований при повторном проведении эксперимента, результаты будут отличаться от вторичных данных.
Теория вероятностей применима в робототехнике. Например, некое автоматизированное устройство (первичная заготовка робота) выполняет определенные вычисления. В то время как она ведет расчеты, снаружи на нее систематически воздействуют различными помехами, незначительными для системы, но сказывающимися на результатах работы. Задача инженера состоит в том, чтобы определить, с какой частотой будет возникать ошибка, навязанная внешними помехами. Так же методами теории вероятности возможно разработать алгоритм для сведения погрешности вычисления к минимуму.
Задачи подобного рода очень часто встречаются в физике и при разработке новых видов техники. Они требуют тщательного изучения не только главных закономерностей объясняющих основные черты данных явлений в общих их понятиях, но и анализа случайных искажений и возмущений, связанных с действием второстепенных факторов, которые придают исходу опыта в заданных условиях тот самый элемент случайности (неопределенности).

Краткая историческая справка

Как наука теория вероятности зародилась в 17 в. Появление понятия вероятности было связано как с ᴨᴏᴛребностями страхования, получившего значительное распростᴘẚʜᴇние в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр.

Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных – алгебраиста Джероламо Кардано (1501 – 1576) и Галилео Галилея (1564 – 1642). Но при этом честь открытия этой теории, которая не только предоставляет возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым – Блезу Паскалю (1623 – 1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность.

Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а кроме того разработана теория цепей Маркова. Современный̆ вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым.

Первичные понятия теории вероятностей:
В теории вероятностей рассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: проводится опыт ( испытание ), в результате происходят случайные события (обычно говорят короче – события ).

Например, бросают монету и смотрят, какая ее сторона оказалась сверху. В результате этого опыта может выпасть орел – это одно событие, а может выпасть решка– это другое событие. Поскольку выпадение орла зависит от случая, то это случайное событие .

Итак, дадим определение первичных понятий теории вероятностей.

Опыт (испытание) – это производимые действия.

Событие – это результат опыта.

Какое-либо конкретное событие является, как правило, делом случая (оно может произойти, а может и не произойти) и поэтому оно называется случайным .

Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени – событие. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

В жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что некоторое событие может произойти, а может и не произойти.

В 12.00 по мосту проедет красная машина. Перед машиной пробежит черная кошка. При бросании кубика выпадет тройка.

Такие непредсказуемые события называются случайными .

Теория вероятностей изучает различные модели случайных событий, их свойства и характеристики. Разумеется, эта теория не может однозначно предсказать, какое событие в реальности произойдет, но может оценить, какое событие наиболее вероятно. При этом будем считать, что случайные события равновероятные (или равновозможные), - идеализированная модель.

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными , а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными.

Равновозможными называются события, когда в их наступлении нет преимуществ.

Неравновозможные события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое- то преимущество.

1. Появление орла или решки при бросании монеты представляют собой равновероятные события.

2. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).

Событие, которое происходит всегда, называют достоверным событием.

Вероятность достоверного события равна 1.

Событие, которое не может произойти, называется невозможным.

Вероятность невозможного события равна 0.

1. Машина заведется без аккумулятора. При бросании кубика выпадет семерка. Это невозможные события.

2. Машина заведется с аккумулятором. При бросании кубика выпадет число, меньше семи. Это достоверные события.

3. Пусть, например, в автосалоне продаются только белые автомобили, продают один. Тогда продажа белого автомобиля – достоверное событие; продажа черного автомобиля – невозможное событие.

4. Приведите примеры достоверных и невозможных событий.

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. (Советский энциклопедический словарь, 1982 год)

Вероятность – это численная характеристика реальности появления того или иного события.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

Для решения задач используют алгоритм нахождения вероятности случайного события.

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти:

1) число N всех возможных исходов данного испытания;

2) количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие А;

3) частное N(A)/ N, оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать так: Р(А).

На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.

Решение. Число стандартных подшипников равно 1000 – 30 = 970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N = 1000 равновероятных исходов, из которых событию А благоприятствуют N(A) = 970 исходов.

Поэтому Р(А) =

Для вычисления вероятности часто используют правило умножения .

Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным 5.

Решение. Возможно следующее сочетание очков на первой и второй костях:

1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 – четыре благоприятных случая (N(A) = 4). Всего возможных исходов N = 6·6 = 36 (по шесть для каждой кости). Тогда вероятность рассматриваемого события

Ответ: .

Вероятность Р(А) некоторого события .

При решении некоторых задач удобно использовать свойство вероятностей противоположных событий.

События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает не наступление события В, а не наступление события А – наступление события В.

Событие, противоположное событию А, обозначают символом . Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. .

В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому

Событию А = благоприятствуют 1000 – 6 = 994 исхода.

Поэтому N(A) = 994.

Тогда

Эту задачу можно решить с помощью формулы вероятности противоположного события = . Тогда N(Ā)=6.

Имеем = Значит, P(A) = 1- =1 – 0,006 = 0,994.

2. Решите самостоятельно:

1. У Маши сломался автомобиль, она набирает номер автосервиса, но понимает, что забыла последнюю цифру номера телефона, найдите вероятность того, что девушка дозвонится до мастера с первого раза.

2. В фирме такси 6 красных и 6 желтых автомобилей. На вызов уехало 8 машин. Определите вероятность события А - все выбранные машины красные.

ОБОРУДОВАНИЕ: компьютерный класс, интерактивная доска, ЭОР “Математика 5-11. Новые возможности для усвоения курса математики” Раздел 3.Классическое определение вероятности, презентация к уроку Приложение 1

I. МОТИВАЦИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ.

Человека окружает мир событий. Он часто замечает такой факт: одни события непременно происходят, другие же могут произойти, а могут и не произойти.

Учащимся предлагается назвать примеры событий достоверных, случайных и невозможных.

Никакая наука, в том числе и математика, не претендует на то, чтобы делать какие-либо предсказания относительно исхода какого-либо одного подобного эксперимента.

Изучать случайное событие можно только тогда, когда есть хотя бы принципиальная возможность повторить опыт многократно, и каждый раз фиксировать осуществление (или неосуществление) рассматриваемого события. События, обладающие свойством статистической устойчивости частоты, являются предметом изучения специальной математической дисциплины – теории вероятностей.

Познакомимся с историей возникновения и вехами развития нового для нас раздела математики. Так как в школьный курс математики этот раздел введён недавно, и мы не располагаем большим количеством литературы по этой теме, обратимся за исторической справкой к Интернету. (Информация на сайте “Теория вероятностей” подобрана заранее одним из учащихся и воспроизводится им же на экране компьютера).

В предисловии к книге “Аналитическая теория вероятностей” французский математик П.Лаплас писал: “Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей”. Сегодня же теория вероятностей завоевала всеобщее признание и занимает ведущие позиции в мировой науке. Поэтому в последние годы она была включена в школьный курс математики.

II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ.

Как и каждая наука, теория вероятностей пользуется некоторым математическим аппаратом, определёнными формулами. Такими аппаратом для теории вероятностей является комбинаторика. Основные формулы комбинаторики перед вами на стенде. Повторим их. Учащиеся рассказывают об основных понятиях комбинаторики. (Материалы для стенда “Основные формулы комбинаторики” подготовили и распечатали учащиеся с помощью ЭВМ).

Итак, обладая необходимым математическим аппаратом, мы можем приступать к изучению новой для нас науки.

III. ВОСПРИЯТИЕ И УСВОЕНИЕ УЧАЩИМИСЯ НОВОГО МАТЕРИАЛА.

Создавая “Теорию вероятностей” великие математики прошлого начинали с эксперимента. Как исследователи нового, мы тоже начнём с проведения опыта. Можно провести его непосредственно, а можно с помощью виртуальной лаборатории.

Подбросим монету. Какова вероятность того, что выпадет герб? Учащиеся утверждают, что это событие является случайным, и интуитивно предполагают, что вероятность его наступления будет 1/2. Но предположения недостаточно. Необходимо провести серию опытов с бросанием. Французский естествоиспытатель Бюффон, изучая случайные события, провёл опыт с подбрасыванием монеты 4040 раз. Герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота события “выпадение герба” в данном эксперименте равна 2048/4040 0,507 0,5.

Располагая возможностями современного компьютера, нам нет необходимости повторять многочисленные подбрасывания. Воспользуемся виртуальной лабораторией в учебном электронном издании “МАТЕМАТИКА. 5-11 классы. Практикум” Раздел “Эксперименты”.

Проведённый эксперимент подтвердил наши предположения.

Далее изучение нового материала идёт в виде эвристической беседы. Результаты обсуждения основных положений темы демонстрируются в презентации “Теория вероятности”, созданной учащимися на занятиях курсов “Профессиональный пользователь” под руководством учителя.

1. Что такое случайное событие?

Случайным событием называется один из возможных результатов эксперимента

2. Как вычислить вероятность события?

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа исходов k, благоприятствующих событию А к числу всех исходов n.

Вычислить вероятность выпадения любой фиксированной цифры от 1 до 6 при подбрасывании игральной кости.

Из урны, в которой находится 3 белых и 4 красных шара наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым ?

Решение.Число всех элементарных событий равно 7. Событию А (вынут белый шар) благоприятствуют 3 элементарных события.

Из урны, в которой находится 3 белых и 4 красных шара наудачу вынимается два. Какова вероятность того, что вынутые шары окажутся белыми ?

Из урны, в которой находится 3 белых и 4 красных шара наудачу вынимается три. Какова вероятность того, что будут вынуты два белых и один красный шар ?

Решение. Число всех элементарных событий равно . Событию А(вынуто 2 белых, 1 красный шар) благоприятствуют элементарных события

При игре в “Спортлото” на специальной карточке отмечаются 6 номеров из 49. Во время тиража определяются 6 выиграв-ших номера. Какова при этом вероятность угадать ровно 3 счастливых номера?

Решение. Число всех способов выбора 6 номеров из 49 равно . Три номера из 6 “счастливых” можно выбрать способами. Каждый из этих способов может осуществляться вместе с каждым из способов выбора 3 номеров из 43 “несчастливых” номеров. Поэтому число всех благоприятных исходов равно . А вероятность Р угадать 3 “счастливых” номера равна

В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

Решение. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию, к числу всех элементарных исходов:

Задача-шутка. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Решение. Так как синих шаров в урне нет, т. е. m=0, а n=15. Следовательно, P(A)=0/15=0. В данном случае событие A – невозможное.

IV. ОСМЫСЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

С целью закрепления изученного материала и алгоритма решения вероятностных задач учащимся предлагается

1. Задачи из типовых экзаменационных вариантов для ГИА и ЕГЭ: Учащиеся делятся на 3 группы. Каждая группа получила по 2 задачи. Задания выполняются на компьютерах. Представитель каждой группы показывает презентацию анализа и хода решения задач.

2. Самостоятельное задание:

Учащиеся индивидуально отвечают на задания теста Учебного электронного издания “Математика 5-11. Новые возможности для усвоения курса математики” Раздел 3.Классическое определение вероятности. 3.1 Равновозможные исходы.

Читайте также: