Элементы теории вероятностей конспект
Обновлено: 05.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Конспект занятия элективного курса по математике
Образовательная цель: обеспечить развитие у школьников умения ставить цель, планировать, контролировать и корректировать свою деятельность.
Развивающая цель: обобщить и систематизировать основные понятия темы, продолжить работу по формированию аналитического и логического мышления, навыков самостоятельной деятельности и развитие навыков самоконтроля при подготовке к экзамену, создать условия для развития у школьников умения работать во времени.
Воспитательная: продолжить формирование общей и математической культуры учащихся, понимание значимости ведущей роли математики в развитии современного научно – технического общества.
І. Организационный момент
Здравствуйте! Рада вас видеть. Прочитайте высказывание на слайде, сформируйте тему цель нашего занятия.
ІІ. Актуализация знаний и умений учащихся (Слайд 2)
Фронтальная работа с классом – теоретический опрос (Слайд 3)
Основное понятие теории вероятностей.
– Что изучает теория вероятностей?
Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются закономерности случайных событий
– Назовите основные объекты изучения теории вероятностей.
– Назовите виды случайных событий.
Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.
Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно происходит.
Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.
– Что называется вероятностью события?
Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу
– Дать определение: несовместных событий,
Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других.
Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны .
Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие .
– Дать классическое определение вероятности.
Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу. P(A) = m/n
Задача №1, 2 (Слайд – 4, задача перебор комбинаций):
Задача №3 (Слайд 5 - задача на применение комбинаторного правила умножения)
Задача №4, 5 – (Слайд 6, 7 - задачи из открытого банка задач ГИА)
Какие трудности у вас были при выполнении заданий?
Что вам удалось без затруднений?
В чем вы почувствовали проблемы?
Что нужно предпринять для решения проблемы?
Что вы хотите себе пожелать?
IV . Работа в группах (2 – 3 человека).
- При выполнении работы вы можете общаться, пользоваться записями в тетрадях, учебниками, обращаться за помощью ко мне. Ответы вы запишите в ответные листы. На работу вам отводится 10 минут. Раздаются карточки с задачами из демонстрационных вариантов ЕГЭ по 10 задач . У всех групп одинаковые задания на карточках. Если какая либо из групп заканчивает работу раньше, то ей выдаются дополнительные задания.
1. На экзамене 40 вопросов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.
2. В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
3. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
5. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 75 докладов — в первый день 27 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
6. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России.
7. В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе?
8. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?
9. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2?
Решение: 1. Вероятность события определятся формулой: где – число благоприятных событий (исходов), – число всех возможных событий. Из 40 вопросов (число всевозможных исходов) Коля выучил вопросов (число благоприятных исходов). Тогда вероятность того, что Коле попадется выученный вопрос – это 0,9.
3. Решение: В сумме выпадет 7 очков в следующих вариантах:
5+1+1 (3 комбинации), 1+2+4 (6 комбинаций), 1+3+3 (3 комбинации),
2+2+3 (3 комбинации). Всего 15 вариантов. Каждый из трех кубиков может выпасть шестью гранями. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков, равна. Ответ: 0,07.
5. Решение: Всего запланировано 75 докладов, и так как в первый день запланировано 27, то на оставшиеся два дня остается 75-27=48 докладов, при этом во второй и третий дни будет прочитано по 48:2=24 доклада. Значит вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на третий день есть 0,32.
Значит, вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе равна - 0,2.
9. Решение: От 41 до 56 ровно 16 чисел. Среди них четных 8 штук (42; 44; 46; 48; 50; 52; 54; 56). Значит, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2 равна 0,5.
10. Решение: Сумма очков равна 10 в следующих трех случаях: 4+6; 6+4; 5+5.
- После решения задач в парах ученики по очереди читают задачи и дают краткое пояснение решения для всего класса. Если задача решена с ошибкой или не правильно другие ребята исправляют, предлагают свои пути решения.
Что вам удалось без затруднений?
Какие трудности у вас были при выполнении заданий?
Какие трудности у вас возникли?
С чем это связано?
Какие темы вам необходимо повторить?
В оценочном листе поставьте себе оценку.
Каждая правильно решёная задача 0,5 бала. В оценочном листе поставьте себе оценку. За дополнительно правильно решённую задачу 1 балл.
V . Самостоятельная работа.
- Предлагаю вам попробовать свои силы в самостоятельном решении подобных задач. На эту работу отводится 10 минут. По окончании работы вы сверите своё решение и оцените себя. Если кто - либо из вас заканчивает работу раньше, то после самопроверки вы можете взять дополнительные задания. Правильно решеное задание 1 балл.
Пример самостоятельной работы вариант 1 вариант.
Задачи по теории вероятностей из заданий ГИА .
№ 2. Оля, Денис, Витя, Артур и Рита бросали жребий – кому начать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет Рита?
№ 3. Катя, Настя, Игорь, Даша и Андрей бросали жребий – кому начать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет мальчик?
№ 4. Игральную кость бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпало число очков не меньше, чем 3?
№ 5. Бабушка решила дать внуку Илье на дорогу какой-нибудь случайно выбранный фрукт. У неё было 3 зелёных яблока, 3 зеленых груши и 2 желтых банана. Найдите вероятность того, что Илья получит фрукт зеленого цвета?
№ 6. Игральную кость бросают два раза. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число большее 3?
№ 7. Игральную кость бросают два раза. Найдите вероятность того, что один раз выпало число большее 3, а другой раз - меньшее 3?
№ 8 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз?
№ 9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно два раза?
№ 10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков?
№ 11. В соревнованиях по керлингу выступают 20 команд из 5 стран: Швеция, Норвегия, Финляндия, Канада, Дания. Причем каждая страна выставила по 4 команды. Порядок выступления команд определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что 17-ой по счету будет выступать одна из команд Канады?
№ 12. В соревнованиях по керлингу выступают 20 команд из 5 стран: Швеция, Норвегия, Финляндия, Канада, Дания. Причем каждая страна выставила по 4 команды. Порядок выступления команд определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что 17-ойп по счету будет выступать одна из команд Швеции, Норвегии или Дании?
№ 13. В коробке находятся 7 красных шаров, 13 белых шаров и 6 голубых шаров. Определите вероятность того, что наудачу взятый из коробки шар окажется белым.
№ 14 . В копилке находятся монеты достоинством 2 рубля – 14 штук, 5 рублей – 10 штук и 10 рублей – 6 штук. Какова вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей?
№ 15. В корзине лежат 7 помидоров, 6 огурцов, 12 перцев. Найдите вероятность того, что первый наугад взятый овощ из корзины будет перцем.
VI . Проверка самостоятельной работы.
поставьте себе 1 балл за верно решенную задачу, 0,5 бала за решение с ошибкой.
VII . Подведение итогов урока (Слайд 9)
- До конца занятия остались считанные минуты.
Какое вы знаете применение теории вероятности? ( теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, статистика, молекулярная и атомная физика, химия, метеорология, вопросы планирования, статистический контроль в производстве и т. д.)
Что вы узнали полезного, чему научились?
Какой была цель урока?
Какие вопросы вы хотите мне задать?
Что еще хотели бы вы узнать о теории вероятностей, чему научиться?
Поставьте себе оценку с учетом всех этапов занятия. Соберите, пожалуйста, раздаточный материал и листы самооценки.
VIII . Домашнее задание (Слайд 10)
Запишите домашнее задание в тетрадь, а я пока выставлю оценки за урок, с учётом ваших листов самооценки.
- Из открытого банка заданий выбрать задачи по теории вероятности и решить как можно больше количество.
Придумать профессиональные ситуации, в которых необходимо было бы определить вероятность события.
Узнать интересные исторические факты из теории вероятностей.
Сообщаю оценки, кратко обсуждаем соответствуют ли они оценкам выставленным самими учениками.
Сегодня вы очень хорошо поработали, решили много задач. Я горжусь вами. Спасибо за урок, ребята. Урок закончен.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| elementy_teorii_veroyatnostey_na_29_noyabrya_zapivahina.doc | 66 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема занятия: Элементы теории вероятностей.
познакомить учащихся с основным понятиям теории вероятностей - событием, сформировать умение определять вид произошедшего события. Получить формулу подсчета вероятности.
Оборудование: проектор, презентация Microsoft PowerPoint.
- знакомство с предметом теории вероятностей, местом теории вероятностей в системе научного познания мира.
- формирование у учащихся единой научной картины мира и элементов научного мировоззрения путем исследования метапредметных связей теории вероятностей и различных наук;
- владение интеллектуальными умениями и мыслительными операциями;
I этап. Разминка.
Подготовимся к уроку. Я вам читаю вопросы, а вы быстро на них отвечаете.
- Сколько дырок окажется в клеёнке, если во время обеда 12 раз проткнуть её вилкой с 4 зубчиками? (12∙4=48 дырок)
- Под каким деревом сидит заяц, когда идет дождь? (под мокрым)
- Сколько концов у двух палок? А у двух с половиной? (4, 6)
- На столе лежало 4 яблока. Одно из них разрезали пополам и положили на стол. Сколько яблок на столе? (4)
- Какое число становится больше, если его перевернуть вверх ногами (6 было 9 станет)
II этап. Новый материал.
Вы забыли вечером собрать портфель в школу. Утром, проснувшись, совершенно сонные, хватаете три первых попавшихся учебника с полки, на которой стоят 10 учебников. В этот день у вас три урока: математика, русский язык, биология. Как думаете, вы взяли все нужные учебники?
Что более вероятно:
-вы взяли все три нужных учебника;
-нужные и ненужные учебники;
-все три ненужных учебника?
(более вероятно, что будут нужные и ненужные учебники, а менее вероятно, что все три нужных).
Точные ответы на такие вопросы дает специальный раздел математики - теория вероятностей.
Выясним, что из себя представляет теория вероятностей.
положим в непрозрачную коробку 12 одинаковых на ощупь картонных карточек: 5 красных и 7 зеленых.
Затем, вынем из коробки одну карточку наугад.
Будем доставать из коробки карточки. Это действие называется экспериментом (или опытом). Вытащенная карточка любого цвета – результат эксперимента, он называется событием. События обозначаются заглавными буквами К, З.
Карточку какого цвета вы вынули?
Кратко обсуждаются полученные результаты.
Часто нам приходится сталкиваться с явлениями, наступление или не наступление которых заранее предвидеть нельзя.
Нельзя заранее точно указать: выпадет герб или цифра при подбрасывании монеты, окажется выигрышным или невыигрышным приобретённый билет лотереи, попадёт или не попадёт пуля в цель при одном выстреле. Такие явления называются случайными .
Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти. Очень важным здесь являются УСЛОВИЯ.
Теория вероятностей подобно другим наукам развилась из потребностей практики. Её возникновение относят к середине XVII , а годом становления теории вероятностей как науки считается 1654 год.
Все события бывают: случайными, достоверными и невозможными. Как вы думаете, если из нашей коробки достать синий шар, какое это будет событие? (случайное) . Случайное событие – событие, которое в данном опыте может произойти или не произойти.
Достали из коробки черный шар (невозможное) . Таких шаров просто нет. Событие, которое не может произойти в данном опыте – невозможное .
Оставим в коробке только желтые шары. Достали из коробки желтый шар (достоверное). В коробке нет шаров другого цвета. Событие, которое обязательно произойдет в данном опыте – достоверное.
Оставим в коробке 1 зеленый и 1 желтый шар. События: достали зеленый шар и достали желтый шар считаются равновозможными , так как нет причины полагать, что одно событие является более возможным, чем другое. Шаров одинаковое количество в коробке.
Проведем эксперимент, который поможем нам определить формулу для подсчета вероятности.
Сложим в коробку 5 шаров: 3 красных и 2 желтых. Будем доставать по одному шару. Появление каждого шара из коробки – исход эксперимента. Все исходы будут равновозможными , потому что все шары одинаковые на ощупь, тщательно перемешаны. Значит, имеем 5 равновозможных исходов испытания.
Какова же вероятность того, что из коробки достанем шар красного цвета? Сколько раз в нашем эксперименте мог появиться красный шар? Три раза, так как в коробке 3 шара красного цвета. Значит, красный шар может появиться в трех случаях из всех пяти. Итак, всех возможных исходов эксперимента – 5, благоприятных из них (появление красного шара) – 3. Вероятность появления красного шара в данном эксперименте 3 из 5 или .
Этот пример позволил нам получить формулу подсчета вероятности, которая называется классической формулой
Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность любого события больше 0 и меньше 1. Подумайте, почему.
- В коробке 14 шаров, из которых 2 красных, 3 зеленых, 4 синих, 5 желтых. Из коробки достают 1 шар. Определите, какова вероятность того, что этот шар окажется желтым? Красным? Синим? Зеленым?
IV этап. Подведение итогов
С чем познакомились сегодня на уроке: Проводили эксперимент – в результате событие.
Какие бывают события? (Достоверные, невозможные, случайные)
Как посчитать вероятность события? (Посчитать все равновозможные исходы, все благоприятствующие исходы и разделить вторые на первые).
Мы вспомним, что изучает теория вероятностей. Поговорим об относительной частоте случайного события. Вспомним, как ее вычислять. Затем поговорим о равновозможных событиях. Вспомним правило нахождения вероятности равновозможных событий. А затем мы повторим, какие события называют достоверными, а какие невозможными.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Элементы теории вероятностей"
· вспомнить, что изучает теория вероятностей;
· поговорить об относительной частоте случайного события;
· вспомнить, как её вычислять;
· поговорить о равновозможных событиях;
· вспомнить правило нахождения вероятности равновозможных событий;
· вспомнить, какие события называют достоверными, а какие невозможными.
В повседневной жизни, в практической и научной деятельности часто наблюдают те или иные явления, проводят определённые эксперименты. В процессе наблюдения или эксперимента приходится встречаться с некоторыми случайными событиями.
Понятно, что случайные события – это те события, которые могут произойти, а могут и не произойти.
Примерами таких событий являются: выпадение орла или решки при подбрасывании монеты; поражение мишени или промах при стрельбе; выпадение того или иного количества очков при бросании игрального кубика.
Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.
Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то или иное событие в большой серии происходящих в одинаковых условиях испытаний со случайными исходами?
Основными понятиями в теории вероятностей являются испытание, событие и вероятность.
Определение.
Испытание – это эксперимент, проводимый над объектом в комплексе определённых условий.
Событие – это случай или факт, который произошёл или не произошёл в результате испытания.
Вероятность – это численная мера степени объективной возможности наступления события.
Рассмотрим пример. Провели такие испытания: 100 раз бросали игральный кубик. И наблюдали, сколько раз на верхней грани кубика выпадет 6 очков.
Понятно, что при бросании игрального кубика на его верхней грани может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждое из этих шести событий, или шести исходов испытания, является случайным.
Вообще пусть некоторое испытание проводилось многократно в одних и тех же условиях. При этом фиксировалось, произошло или нет некоторое интересующее нас событие А. Если общее число испытаний равно , а число испытаний, при которых произошло событие А, равно . То называют частотой события А, частное и — относительной частотой.
Определение.
Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний.
В ходе исследований выяснилось, что относительная частота появления ожидаемого события при повторении опытов в одних и тех же условиях, может оставаться примерно одинаковой, незначительно отличаясь от некоторого числа .
Рассмотрим такой пример. При подбрасывании монеты отмечают те случаи, когда выпадает орёл. Если монета однородна и имеет правильную геометрическую форму, то шансы выпадения орла или решки будут примерно одинаковы.
Но при небольшом количестве бросков такой результат может не получиться.
А вот если испытание проводится большое количество раз, то относительная частота выпадения орла близка к относительной частоте выпадения решки.
Многие учёные проводили такой эксперимент. Так, например, английский математик Карл Пирсон бросал монету 24 000 раз, и относительная частота выпадения орла оказалось равной . А наш соотечественник, Всеволод Иванович Романовский, подбрасывая монету 80 640 раз, нашёл, что относительная частота выпадения орла в его испытании была равна .
Не трудно заметить, что в обоих случаях относительная частота выпадения орла очень близка к . Говорят, что вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты правильной геометрической формы равна .
Вообще если в длинной серии одинаковых экспериментов со случайными исходами значения относительных частот появления одного и того же события близки к некоторому определённому числу, то это число принимают за вероятность данного случайного события. Такой подход к вычислению вероятностей называют статистическим подходом.
Решим несколько задач на вычисление вероятности того или иного события.
В непрозрачном мешке лежат 7 красных и 12 жёлтых шаров. За раз можно достать только один из них. Какова вероятность того, что из мешка достанут жёлтый шар?
Итак, напомним, что относительной частотой события называют отношение испытаний, в которых произошло данное событие, к общему числу испытаний.
Всего в мешке шаров. Значит, общее число испытаний равно . Жёлтый шар мы можем достать 12 раз. Получаем, что вероятность или частота этого события равна . Относительная частота равна частному этих значений.
Вероятность того, что из мешка достанут жёлтый шар, равна .
Отмечая число попаданий в корзину в каждой серии из 40 бросков, которые совершал баскетболист, получили такие данные:
Какова относительная частота попадания мяча в корзину для данного баскетболиста?
Для начала определим общее число бросков. Было 5 серий по 40 бросков. Всего их было сделано бросков.
Теперь сосчитаем число попаданий в корзину. Оно равно .
Относительная частота попадания в корзину будет равна частному
Стрелок совершил 50 выстрелов. Относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,88. Сколько раз он промахнулся?
Итак, нам известно общее число выстрелов и относительная вероятность попадания. Зная эти величины, можем найти число попаданий в цель. Оно равно . Стрелок попал в цель 44 раза.
Найдём число промахов: . Стрелок промахнулся 6 раз.
Вернёмся к эксперименту с подбрасыванием монеты. Мы уже отмечали, что многие учёные проводили данный эксперимент и получали различные, но очень близкие значения. Если монета однородна и имеет правильную геометрическую форму, то можно сделать вывод, что случаи выпадения орла или решки имеют одинаковые шансы. Такие события называют равновозможными.
Вообще исходы в определённом опыте или наблюдении считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы. Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.
Если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов. Такой способ отыскания относительной вероятности называется классическим. Но полученное значение вероятности совсем не означает, что если подбросить монету 2 раза, то 1 раз выпадет орёл.
Можем сделать вывод, что статистический подход предполагает проведение испытаний, а классический — нет.
Чтобы вычислить вероятность события классическим способом необходимо только правильно определить количество всех равновозможных исходов, а также число благоприятных для этого события исходов.
Студент не выучил 3 билета из 30. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен?
Значит, вероятность того, что он сдаст экзамен, равна
На полке 14 книг, из них 6 — это учебники. С полки наугад снимают 8 книг. Какова вероятность того, что среди них будут 4 учебника?
Итак, рассмотрим событие В: среди 8 снятых книг 4 учебника. Определим число равновозможных исходов. Оно равно числу сочетаний . Теперь поговорим о благоприятных исходах. Такими будут те наборы из 8 книг, в которых 4 учебника.
Найдём число таких исходов.
А теперь давайте вспомним понятия достоверного и невозможного событий.
Определение.
Событие, которое при проведении опыта или наблюдения происходит всегда, называют достоверным событием.
А событие, которое при проведении опыта или наблюдения не происходит никогда, называют невозможным.
Например, рассмотрим такое событие С: при бросании игрального кубика выпадает менее семи очков. Найдём вероятность этого события.
Всего возможно 6 исходов: выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. И наше событие С всегда в каждом из этих случаев будет происходить. Значит, оно достоверное.
Следовательно, все эти исходы являются благоприятными (менее семи очков). Тогда вероятность события С равна . И вероятность достоверного события равна .
А теперь рассмотрим событие D: при бросании игрального кубика выпадает 7 очков.
Число всех равновозможных исходов равно 6. Но ни один из них не является благоприятным. Можем сказать, что наше событие невозможное. Оно не может произойти ни при каком из исходов.
Вероятность невозможного события равна .
Есть три группы событий: достоверные, невозможные и случайные. Часть из них можно объяснить при помощи математики и других точных наук. В этом материале расскажем про теорию вероятностей, рассмотрим формулы и примеры решения задач.
О чем эта статья:
Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!
Основные понятия
Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.
Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.
Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Событие и виды событий
Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.
Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.
Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.
Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.
Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.
Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:
A0 — в результате броска монеты выпадет орел;
Ā0 — в результате броска монеты выпадет решка.
Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.
Алгебра событий
Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.
Сложение событий
Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.
Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A1 + A2 + A3 + A4 + A5 состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A1, A2, A3, A4, A5, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A1, или событие A2, или событие A3, или событие A4, или событие A5.
Событие (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.
Событие B1,2 = B1 + B2 (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.
Событие BЧ = B2 + B4 + B6 (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.
Умножение событий
Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A1A2A3 … A10 подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A1, и событие A2, и событие A3. и событие A10.
Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:
A1 — на 1-й монете выпадет орел;
Ā1 — на 1-й монете выпадет решка;
A2 — на 2-й монете выпадет орел;
Ā2 — на 2-й монете выпадет решка.
событие A1A1 состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;
событие Ā2Ā2 состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;
событие A1Ā2 состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;
событие Ā1A2 состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.
Классическое определение и формула вероятности
Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:
P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.
Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Как решать задачи по теории вероятности
Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?
Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:
Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?
Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).
Читайте также: