Делимость целых чисел 10 класс никольский конспект урока
Обновлено: 07.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
Институт математики и информатики
Кафедра алгебры и геометрии
Направление подготовки 44.04.01 Педагогическое образование
Магистерская программа «Учитель-исследователь в области математического образования
Выполнил: студент 3 курса
группы М-УИ-16 СВФУ
Никитина Алина Васильевна
Неустроева Татьяна Кимовна
к,ф.-м.н., доцент кафедры
алгебры и геометрии ИМИ СВФУ
___ ____________ 2018 г.
Современному обществу требуются всесторонне развитые, талантливые и образованные люди, обладающие сформированным чувством ответственности за судьбу страны. Основная цель современного образования – увеличение высокого качества доступности образования, соответствующего требованиям новой государственной образовательной политики и направленного на достижение нового качества образовательных результатов.
Математика, как часть общего образования, занимает особое место. Хорошая школьная математическая подготовка влияет на успешное освоение программ профессионального образования, получение профессии и личностное развитие любого человека. Математике отводится системообразующая роль в образовании. В Концепции математического образования в Российской федерации, утвержденной Правительством РФ в 2013 г. [3], социально-экономическое развитие страны связывают с развитием математики и математического образования. Поставленные здесь задачи направлены на:
повышение учебной мотивации при изучении математики,
повышение математической культуры и грамотности,
обеспечение потребностей обучающихся в их математической подготовке.
В соответствии с ФГОС ОО для обеспечения индивидуальных потребностей обучающихся в состав основной образовательной программы обязательно должна быть включена внеурочная деятельность, которая может быть реализована в различных формах на усмотрение образовательного учреждения. Внеурочная деятельность должна способствовать повышению уровня компетентности обучающихся, углубить их знания и развивать навыки.
Объект исследования: процесс обучения математике во внеурочной деятельности старшеклассников.
его структуру и содержание формировать на основе выделения базовых понятий;
в него включить широкий спектр типовых задач и задания исследовательского и творческого характера.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
рассмотреть вопрос роли внеурочной деятельности по математике в учебном процессе в школе;
изучить учебную и учебно-методическую литературу по делимости целых чисел;
апробировать разработанный факультатив в 10-11 классах.
Методы исследования: анализ учебной и учебно-методической литературы; беседы с преподавателями вузов и учителями с целью изучения и обобщения педагогического опыта, опытно-экспериментальная работа; систематизация и сравнение информации.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что определены критерии отбора учебного материала для внеурочной деятельности в условиях применения компетентностного подхода.
В ходе исследования опубликованы следующие работы:
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы и приложений.
Современная российская система образования реализуется на основе федеральных государственных образовательных стандартов.
Во ФГОС ОО указано, что реализация основных образовательных программ должна осуществляться через урочную и внеурочную деятельность. Внеурочная деятельность проводится в различных формах и на добровольной основе, в соответствии с интересами и выбором всех участников образовательного процесса. Таким образом, учителя предлагают программы в соответствии со своими интересами, запросами руководства школы и родителей и другими причинами, в том числе, возможно, для устранения каких-то пробелов в освоении образовательной программы, а обучающиеся выбирают участвовать или нет во внеурочном мероприятии, исходя из своих потребностей.
Математика встречается и применяется в повседневной жизни, а значит, конкретные математические навыки необходимы любому человеку. Например, нам приходится в жизни считать (например, денежные средства), мы регулярно применяем знания о величинах, характеризующих протяженности, площади, размеры, интервалы периода, скорости и многое другое. Все это пришло к нам на уроках математики и внеурочных занятиях по математике и пригодилось с целью для ориентации в окружающем мире.
В число проблем, выделенных Концепцией математического образования в РФ, входит вовлечение детей в исследовательские проекты, творческие занятия, в процессе которых они учатся логически рассуждать, создавать, осознавать и изучать новейшее, быть открытыми и способными высказывать свои личные идеи, обладать способностью осуществлять решения и оказать помощь друг другу, выражать круг интересов и понимать способности. Это обуславливает возрастающую роль внеурочной деятельности по математике, в рамках которой происходит формирование заинтересованности учащихся к изучаемому объекту, формирование их математических возможностей, привитие школьникам интереса и привкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества [2].
Главное назначение внеурочной деятельности заключается в обеспечении дополнительных условий для развития интересов, склонностей, способностей, обучающихся. Анализ позитивного исторического и современного опыта реализации внеурочной деятельности в образовательной организации (социально-педагогические традиции) позволяют обосновать ценностно-целевое содержательное назначение внеурочной деятельности как инновационной подсистемы в общей системе основного общего образования и социального воспитания; охарактеризовать ее основные субъекты (индивидуальные и коллективные), придающие динамичный, качественно результативный характер образованию [4].
В сегодняшний день существует различные формы внеурочной деятельности с учащимися по математике: математические курсы, проектная работа, научно-исследовательская работа, олимпиада, конкурсы.
Математические курсы, элективные или факультативные, призваны для углубленного изучения математики и рассмотрения вопроса применения ее в различных сферах деятельности человека, они являются выборной частью образовательной программы. Если элективные курсы являются обязательными, то факультативные не являются таковыми. При этом часто программы факультативов синхронизируются с учебным планом.
Как правило, факультативные курсы проводятся по отдельным темам или вопросам математики в соответствии с желаниями и интересами учащихся и возможностями учителя. Факультативные занятия включают в себя теоретические, практические и исследовательские работы. В рамках факультатива учитель может давать и проектные работы для учащихся. Все зависит от учителя, его кругозора, его интересов в математике и степени заинтересованности в своем профессиональном развитии.
Считается, что факультативные занятия не предусматривают контролирование за уровнем усвоенного материала, однако мы полагаем, что это необходимо, так как любой ребенок ждет поощрения за проделанную работу, в оценке его успешности освоения учебного материала – новых знаний (научных).
Кроме того, на факультативных занятиях можно индивидуально работать с каждым учеником, подбирать ему задачи, соответствующие уровню его компетентности на данный момент и способствующие повышению этого уровня.
Часто в рамках факультативного курса происходит подготовка к таким видам внеурочной деятельности, как олимпиады, конкурсы и конференции. Единицы могут успешно участвовать в перечисленных мероприятиях, имея знания и навыки, полученные только в урочное время. Необходима тренировка, беседы с учителем, опыт публичных выступлений, которые обучающийся может приобрести, посещая элективные и факультативные занятия.
представление о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;
понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
представление о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;
владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
владение понятийным аппаратом по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач.
Таким образом, значимость внеурочной работы учащихся заключается в том, что она способствует практическому приложению навыков и знаний, которые были получены в школе, стимулирует познавательную мотивацию учеников. А главное – в условиях внеурочной работы школьники могут создавать, совершенствовать собственный творческий потенциал. В этом оказывают поддержку различные педагогические технологии, которые используются в школьном образовании на сегодняшний день. В силу того, что на занятиях по математике нужно осваивать материал, строго придерживаясь тематического планирования рабочей программы, времени на качественное формирование математического мышления почти недостаточно. Потому на поддержку к нам приходит внеурочная деятельность по математике, в пределах которого с поддержкой различных технологий можно и создать качественно новое математическое мышления, выработав свой образовательный образ. [5]
Другими словами, внеурочная деятельность в развитии математического образования играет важную роль, в рамках которой дает возможность для самореализации и творческого развития каждого ребенка.
Определение понятия компетенция и компетентность на современном этапе развития образования
Во-первых, необходимо выделить базисные компетенции, представляющие собой укрупненные дидактические единицы, основанные на базисном понятии (или базисных понятиях, но не более двух).
Каждую базисную компетенцию нужно разбить на следующие микрокомпетенции (дескрипторы): [12]
знать определения и свойства базисных понятий, на основе которых создана данная базисная компетенция;
уметь применять данные знания для решения учебно-познавательных и практикоориентированных задач;
владеть в целом знаниями и умениями для решения стандартных и нестандартных задач, для постановки проблем и их решения;
приобретать навыки инновационной, творческой и исследовательской деятельности;
непрерывно совершенствовать свои знания и умения, владение изученным материалом и исследовательской деятельностью в процессе изучения последующих тем данной и смежных дисциплин.
Обучающийся может себя считать компетентным по конкретной базисной компетенции, если он владеет перечисленными микрокомпетенциями.
Такой подход применим при изучении любого учебного материала (конкретной темы), если:
тема представима в виде набора таких базисных понятий;
из базисных понятий легко сформулировать структуру и содержание базисных компетенций;
адекватных как соответствующим государственным стандартам, так и их изложению в школьных учебниках и задачах ЕГЭ.
Формированием базисных компентенций и соответствующих им дескрипторов завершается первый этап.
Фрагмент урока.
Занятие 1-2. Определение и основные свойства делимости целых чисел.
Цель: Повторить определения и основные свойства делимости целых чисел. Уметь применять свойства для решения задач.
Определение 1. Говорят, что целое число a делится нацело на целое число b ( b ≠0), если существует целое число q , такое что: a = bq , при этом будем говорить, что a кратно b или b делит a . Обозначим это a b или b | a . В противном случае говорят, что число a не делится на число b . Если число a b , и не делится на число b , то число a можно разделить на число b с остатком .
Пример 1. Число делится на 5, так как существует такое целое число k , что , а именно . Число 11 не делится на 3, т.к. не существует такого целого числа k , при котором верно равенство .
Основные свойств a делимости :
1° a a ( a ≠0 );
2° a b и b c a c ;
4° a b ±a ±b ;
5° a b k ≠ 0: ak bk ;
6° a b и c b a ± c b ;
7° b a и b c b a ± c ;
8° a b a n b n
Пример 2 . Покажем справедливость свойства 5°.
Решение. Пусть a b . Из определения делимости следует существует целое число q , такое что: a = bq . Тогда для любого ненулевого числа k имеем: ak = bqk , т.е. ak bk .
Пример 3 . Пусть а делится на b и с делится на d . Выясним, делится ли произведение ас на bd .
Решение. Из определения делимости следует где – некоторые целые числа. Отсюда . Так как , то km является целым числом. Значит при умножении km на bd , в произведении получается ас , то есть по определению .
Пример 4. Докажем, что при любом натуральном n большем 1, число имеет делители, отличные от единицы и самого числа, т.е. оно является составным.
Решение. Разложим на множители:
При и каждый из множителей является натуральным числом, большим 1. Это действительно так, поскольку первый множитель есть сумма натуральных чисел не меньших 2, а второй множитель можно преобразовать следующим образом: Следовательно, при число имеет два натуральных делителя, больших 1, т.е. является составным числом.
Демонстрационные примеры
Пример 2 . Пусть а делится на b и с делится на d . Выясним, делится ли произведение ас на bd .
Решение. Из определения делимости следует где - некоторые целые числа. Отсюда . Так как , то km является целым числом. Значит при умножении km на bd , в произведении получается ас , то есть по определению .
Пример 3. Докажем, что при любом натуральном n большем 1 , число имеет делители, отличные от единицы и самого числа, т.е. оно является составным.
Решение. Разложим на множители
При и каждый из множителей является натуральным числом, большим 1.
при число имеет два натуральных делителя, больших 1, т.е. является составным числом.
Практика по решению учебно-познавательных и практико-ориентированных задач. Совместно с учащимися решаем набор типовых задач по данной тематике. Развиваем критическое отношение как к содержанию задач, так и методам их решения. В качестве образца приведем пример:
Задачи для самостоятельного решения
Докажите, что при любых целых n .
Найдите целые числа x и y такие, что
а) Пусть a + 1 делится на 3. Докажите, что 4 + 7 a делится на 3.
б) Пусть 2 + a и 35 – b делятся на 11. Докажите, что a + b делится на 11.
Докажите, что при любом натуральном n число n ² + 8 n + 15 не делится на n +4.
Доказать свойства 1°–4° и 6°–8°.
Найти дополнительные свойства делимости к перечисленным восьми свойствам. Показать их справедливость.
Таблица 1 Базисные понятия и соответствующие им базисные компетенции
Таким образом, мы имеем 7 базисных компетенций, полностью охватывающих учебный материал по теории делимости целых чисел.
Сформулируем микрокомпетенции по каждой базисной компетенции:[12]
БКЦДЧ-1. а) знать определение и свойства делимости целых чисел;
б) уметь доказывать истинность этих свойств и применять для решения учебно-познавательных задач;
в) уметь решать задачи, предложенные для самостоятельного решения;
г) уметь решать задачи, предложенные в виде творческих заданий;
д) уметь решать задачи ЕГЭ базового и профильного уровней;
е) уметь решать и составлять олимпиадные задачи по данной тематике.
БКЦДЧ-2. а) знать основные признаки делимости;
б) уметь доказывать истинность этих признаков и применять для решения учебно-познавательных задач;
в) уметь решать задачи, предложенные для самостоятельного решения;
г) уметь решать задачи, предложенные в виде творческих заданий;
д) уметь решать задачи ЕГЭ базового и профильного уровней;
е) уметь решать и составлять олимпиадные задачи по данной тематике.
БКЦДЧ-3. а) знать определение делимости натуральных чисел с остатком и уметь применять его для решения учебно-познавательных задач;
б) желательно уметь доказывать теорему о возможности и единственности деления натуральных чисел с остатком, знать Аксиому Архимеда;
в) уметь решать задачи, предложенные для самостоятельного решения;
г) уметь решать задачи, предложенные в виде творческих заданий;
д) уметь решать задачи ЕГЭ базового и профильного уровней;
е) уметь решать и составлять олимпиадные задачи по данной тематике.
БКЦДЧ-4. а) знать определения простого, составного натурального числа и свойства простых чисел;
б) уметь применять эти знания для решения учебно-познавательных задач;
в) уметь решать задачи, предложенные для самостоятельного решения;
г) уметь решать задачи, предложенные в виде творческих заданий;
д) уметь решать задачи ЕГЭ базового и профильного уровней;
е) уметь решать и составлять олимпиадные задачи по данной тематике.
БКЦДЧ-5. а) знать определение взаимной простоты чисел и свойства;
б) уметь доказывать истинность этих свойств и применять для решения учебно-познавательных задач;
в) уметь решать задачи, предложенные для самостоятельного решения;
г) уметь решать задачи, предложенные в виде творческих заданий;
д) уметь решать задачи ЕГЭ базового и профильного уровней;
е) уметь решать и составлять олимпиадные задачи по данной тематике.
БКЦДЧ-6. а) знать определение НОД и его свойства;
б) уметь доказывать истинность свойств и применять для решения учебно-познавательных задач;
в) уметь решать задачи, предложенные для самостоятельного решения;
г) уметь решать задачи, предложенные в виде творческих заданий;
д) уметь решать задачи ЕГЭ базового и профильного уровней;
е) уметь решать и составлять олимпиадные задачи по данной тематике.
БКЦДЧ-7. а) знать определение и свойства делимости целых чисел;
б) уметь доказывать истинность этих свойств и применять для решения учебно-познавательных задач;
в) уметь решать задачи, предложенные для самостоятельного решения;
г) уметь решать задачи, предложенные в виде творческих заданий;
д) уметь решать задачи ЕГЭ базового и профильного уровней;
е) уметь решать и составлять олимпиадные задачи по данной тематике.
Рассмотрим сравнительный анализ учебников по базисной компетенции при изучении темы.
способностей учащихся, логического мышления, потребности в расширении и приобретении знаний.
2. Формирование приемов умственной и исследовательской деятельности.
3. Воспитание интереса к математике, навыков учебного труда.
- обучающие: с истематизировать знания и умения учащихся, связанные с делимостью целых чисел. Формирование математических знаний, умений и навыков решения задач повышенной сложности;
- развивающие: развитие умения анализировать и делать выводы, развитие логического мышления, “гибкости ума”, умения к обобщению и систематизации, развитие навыков исследовательской работы;
- воспитательные: воспитание познавательного интереса к предмету посредством решения олимпиадных задач, способствовать повышению интереса к математике, стимулировать ответственное отношение к учебной работе, развивать такие черты характера как аккуратность, усидчивость.
8.Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная
9.Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, доска, карточки с заданиями повышенной сложности
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.
Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.
Дополнительная литература:
Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Целое число
Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.
Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.
Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).
Рисунок 1 – числовой луч
Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)
Рисунок 2 – числовой луч
Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).
Рисунок 3 – числовой луч
Делимость. Делитель и частное.
Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.
Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.
Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.
Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.
Свойства делимости.
Перечислим некоторые свойства делимости:
1. Все целые числа делятся на единицу.
2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.
3. Все натуральные числа являются делителями нуля.
4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.
5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.
6. Единственный делитель единицы – сама единица.
7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.
8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).
9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.
Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.
Взаимно простые числа.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется факторизацией натурального числа.
Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.
НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.
Делимость суммы и произведения.
Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.
1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.
2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.
3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.
4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.
5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.
6) Пусть число a делится на m, тогда a k делится на m k .
Деление с остатком.
Натуральное число n можно представить в виде:
n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)
где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).
Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).
Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.
Алгоритм Евклида.
Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.
Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток rk)
ИЛИ(остаток rn)
ИЛИ (остаток 0)
То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.
НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.
Признаки делимости.
Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.
Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.
Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.
Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:
0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.
Таблица 1 – Признаки делимости
Число a делится на число n тогда и только тогда, когда
последняя цифра числа a делится на 2
сумма всех цифр числа a делится на 3
число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4
число a оканчивается цифрой 0 или 5
знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7
число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8
сумма всех цифр числа a делится на 9
число a оканчивается цифрой 0
знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11
знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13
число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25
Метод математической индукции для доказательства делимости.
1. Базис индукции.
Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.
2. Индукционное предположение.
Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.
3. Шаг индукции (индукционный переход).
Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.
Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Найдите среди чисел пары взаимно простых.
65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26
Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.
По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.
По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.
По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.
По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.
Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе. Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.
Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.
Получим возможные пары:
(30; 273) или (30; 1001)
(110; 1001) или (110; 273)
Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.
Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.
Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.
Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.
Ответ: (65; 14), (30; 1001), (110; 273), (35; 26).
Найдите НОД(2457, 1473).
Решим задачу с помощью алгоритма Евклида.
Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:
2457 = 1 · 1473 + 984
1473 = 1 · 984 + 489
Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.
Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.
Определите, делится ли число 17943646 на 7.
Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646. Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.
Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.
Докажите делимость + 6n – 10 на 18 при любом натуральном n.
Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.
1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:
+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0
Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.
2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.
3. Рассмотрим выражение при n = k +1.
+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4
Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:
+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.
Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:
4. Утверждение оказалось справедливым при наименьшем натуральном числе n = 1 и при n = k + 1 с условием его верности при n = k. По методу математической индукции следует, утверждение справедливо при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.
2. Повторение теоретического материала
(На интерактивной доске страница заметок №2 с вопросами)
- Сформулируйте признаки делимости на 2,3,5, 10;
- Простые числа;
- Взаимно-простые числа;
- Как найти НОД;
- Как наитии НОК.
3. Выполнение заданий в тетради и на интерактивной доске
Задание 1
На интерактивной доске записаны числа: 336; 985; 873; 378; 560; 324; 981; 2298; 1130; 459; 675.
Из этих чисел, выберете числа, которые:
Делятся на 2: 336;378; 560;324; 2298; 1130.
Делятся на 5: 985; 560;1130; 675.
Делятся на 10: 560; 1130.
Делятся на 3: 336; 873; 378; 324; 981; 2298; 459; 675.
Делятся на 9: 873; 378; 324; 981; 459; 675.
Первый учащийся у доски выбирает и переносит при помощи выделения и карандаша числа, которые делятся на 2.
Второй учащийся у доски выбирает и переносит при помощи выделения, карандаша и клонирования, числа которые делятся на 5.
Третий учащийся у доски выбирает и переносит при помощи выделения, карандаша и клонирования, числа которые делятся на 10.
Четвертый учащийся у доски выбирает и переносит при помощи выделения, карандаша и клонирования, числа которые делятся на 3.
Пятый учащийся у доски выбирает и переносит при помощи выделения, карандаша и клонирования, числа которые делятся на 9.
Все учащиеся выполняют это задание в тетради.
Задание 2
На интерактивной доске записаны числа: 43; 393; 363; 21; 1; 125; 7; 673; 941; 459; 13.
Задание 3
На доске записано число 920.
Разложите это число на простые множители.
Учащийся на интерактивной доске записывает разложение при помощи карандаша, выбирая цвет.
| 920 460 230 115 23 | 2 2 2 5 23 |
920 = 2 * 2 * 2 * 5 * 23
Все учащиеся выполняют задание в тетради
Задание 4
Разложите на простые множители число 2484 (на доске записано разложение этого числа на простые множители и закрыто шторкой).
2484 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 23
Учащиеся выполняют в тетради самостоятельно. Затем учитель открывает шторку и учащиеся проверяют свое решение по доске.
Задание 5
Найдите: НОД (48; 22) и НОД (11; 121)
Учащийся выполняет нахождение НОД у доски. Записывая решение на доске при помощи карандаша.
Все остальные учащиеся выполняют в тетради.
НОД (48;22) = 2 НОД (11; 121) = 11
Задание 6
Найдите: НОК(88;66) и НОК(13;11)
Учащийся выполняет нахождение НОК у доски. Записывая решение на доске при помощи карандаша.
Все остальные в тетради.
НОК(88;66) = 264 НОК(13;11) = 143
4. Историческая справка
Делимость натуральных чисел интересовала математиков уже в глубокой древности. Над этой темой работали многие ученые. Мы сейчас с вами посмотрим презентацию о двух великих математиках.
Эту презентацию подготовила ученица 5 Б класса Гамова Виктория.
Ученица показывает презентацию вставленную учителем в интерактивный урок о ученом Л. Эйлере и П. Л. Чебышеве.
5. Итог урока
– Какие темы мы с вами повторили на этом уроке?
– Что именно привлекло ваше внимание на данном уроке?
6. Домашнее задание
№ 664
Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число человек может быть в каждой команде? Сколько команд получится?
№ 678
Ученица нашла НОК (33. 198) и получила 99. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как это он сделал?
№ 681
Убедитесь, что НОД (36,24) . НОК (36, 24) = 36 . 24
презентация на тему "Натуральные и целые числа. Делимость целых чисел. НОД и НОК натуральных чисел".
УМК для 10-11 классов "Алгебра и начала математического анализа". Профильный уровень. Авторский коллектив под руководством А. Г. Мордковича
Оценить 9388 1
У вас недостаточно прав для добавления комментариев
Чтобы оставлять комментарии, вам необходимо авторизоваться.
Если у вас еще нет учетной записи на нашем сайте, предлагаем зарегистрироваться.
Это займет не более 5 минут.
Для скачивания материалов с сайта необходимо авторизоваться на сайте (войти под своим логином и паролем)
Если Вы не регистрировались ранее, Вы можете зарегистрироваться.
После авторизации/регистрации на сайте Вы сможете скачивать необходимый в работе материал.
Заказать рецензию на методическую разработку
можно здесь
Оказание первой помощи в образовательных учреждениях Пройти обучение
Диплом за отличное владение и эффективное применение современных педагогических методик в условиях реализации ФГОС
Благодарность руководству образовательного учреждения за поддержку и развитие профессионального потенциала педагогического работника
- Свидетельство о регистрации средства массовой информации ЭЛ № ФС 77 — 58841 от 28 июля 2014 года выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационный технологий и массовых коммуникации (Роскомнадзор).
- Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 4276 от 19.11.2020 года. Серия 78 ЛО № 0000171 Выдана Комитетом по образованию Правительства Санкт-Петербурга
- В соответствии с Федеральной целевой программой развития системы образования на 2011–2015 гг. и проектом концепции федеральной целевой программы развития образования на 2016–2020 гг.
Читайте также: