Аксиомы планиметрии конспект урока
Обновлено: 02.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Донецкая общеобразовательная школа I-III ступеней № 91
Министерство образования и науки
Донецкой Народной Республики
Тема: «Аксиомы планиметрии.
Дидактический модуль Тема: Повторение Цели:
Проверить степень сформированности учебных достижений, умение применять полученные знания в практической деятельности, в нестандартных ситуациях, во влекать учащихся в активную учебную деятельность,
Воспитывать чувство собственной значимости, формировать самостоятельную, самообразовательную учебную деятельность.
Проектировать социально-адаптированную Личность.
Оборудование: таблицы, учебники геометрии, доска, иллюстративный материал,
Тема: Аксиомы планиметрии (Свойства простейших геометрических фигур).
Тип урока. Урок-эссе. Эссе набросок, опыт от французского.
I. Духовно-эстетический блок.
Пожелание успеха после оценки эмоционального состояния по 10-ти бальной
системе.
II . Установочно-мотивационный блок.
Первоначальные сведения пришли к нам из глубокой древности, добыты опытным путем, в результате практической деятельности Человека. Знания сформулированы в аксиомах.
Что называется аксиомой?
II . Содержательно-поисковый блок.
Итак, моя цель проверить уровень учебных достижений. Я надеюсь, вы готовы к ответам.
1 шаг Работа с таблицами, формулировка аксиом, теоретическая база темы.
Метод. Коллективная работа .
2 шаг Рефлексия (осознание) изученное, применение на практике.
Метод. Работа в группах. 1 группа. Обоснуйте ответ
Верно, что через одну точку можно провести 2003 прямых?
Назовите углы, изображенные на рисунке.
Можно ли их назвать внутренними? внешними?
3) Точки X , Y , Z лежат на прямой а. Какая из них лежит между двумя другими, если XY ≥ XZ.
2 группа.
1) Сколько прямых можно провести через 3 указанные точки А, В, С, не лежа щие на одной прямой, соединив их попарно? Назовите эти прямые.
2) На рисунке найдите фигуру а) не являющуюся треугольником;
б) два любые треугольника, которые образуют
D С треугольник ABC ;
в) треугольники, не равные треугольнику АВК.
Какие прямые изображены на чертеже?
3 группа.
1) Сколько различных отрезков задают указанные точки М, N , R ? Назовите их.
2) Сколько углов изображено на рисунке? Какие углы ты узнаешь? Назови их.
В данном материале предлагается блок теории по теме "Аксиомы планиметрии" и задания для самостоятельного решения.
ТЕМА 1. АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ
I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и только одну.
II. Из трёх точек, лежащих на прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.
III. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
IV. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
V. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между сторонами этого угла. Градусная мера развёрнутого угла равна 180°.
VI. На любой полупрямой, от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
VII. От любой полупрямой от её начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
VIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
IX. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
§ 1. Прямая и отрезок.
Пересекаются ли отрезки AB и CD?
Пересекаются ли прямые AB и CD?
Отметьте точку М так, чтобы она лежала на прямой CD, но не лежала ни на отрезке AB, ни на отрезке CD.
Отметьте точку N, которая лежит на прямой CD между точками A и B. Как вы назовёте такую точку?
Пересекает ли прямая KL отрезок EF?
Пересекает ли прямая KL прямую EF?
Отметьте точку А, которая лежит на прямой EF, но не лежит на прямой KL.
Существуют ли точки, которые одновременно лежат на отрезке EF и прямой LK?
Сколько существует различных отрезков с концами в точках A, B, C и D?
Пересекаются ли прямые AB и CD?
Какая из точек, A или D, лежит между точками B и C?
Отметьте точку М, которая лежит на прямой AD, но не лежит на отрезке BC.
Проведите прямую, проходящую через точку Е, которая пересекает прямые AB и BC, но не пересекает отрезок AD.
Сколько существует различных отрезков с концами в точках E, F, M и N?
Пересекаются ли прямые EN и FM?
Какая из точек, A или N, лежит между точками E и F?
Отметьте точку B, которая лежит на отрезке MN, но не лежит на прямой EF.
Проведите прямую, проходящую через точку A, которая пересекает прямые EF и MN, но не пересекает отрезок FM.
Начертите две пересекающиеся прямые и расположите на них два отрезка, не имеющие общих точек.
Сколько точек надо взять между точками A и B, чтобы вместе с отрезком AB получилось шесть различных отрезков?
Даны отрезок AB, точка E, не лежащая на прямой AB, и точка C, лежащая на прямой AB. Каково взаимное расположение прямой EC и отрезка AB?
Можно ли провести прямую, не проходящую через точку A, так, чтобы она пересекала одновременно прямые AB, AC и AD.
Начертите две пересекающиеся прямые и расположите на них два непересекающиеся отрезка так, чтобы точка пересечения прямых принадлежала одному из них.
Проведите прямую, которая пересекает некоторые из указанных на рис. 1 отрезков, так, чтобы вместе с данными отрезками образовалось шесть отрезков.
Дана прямая EF, A∉EF, B∉EF. Может ли прямая AB не пересекать отрезок EF?
Может ли прямая, не проходящая через точку O, одновременно пересекать прямые OA, OB, OC и OD (рис. 2)?
Сколько различных прямых можно провести через 4 точки? Сделайте чертежи.
По рисунку определите число отрезков с концами в обозначенных точках.
Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно пересекающиеся прямые? Для каждого случая сделайте рисунок.
По рисунку определите число отрезков с концами в обозначенных точках.
§ 2. Луч и угол.
а) Сколько лучей с началом в точке О изображено на рисунке?
б) Сколько углов изображено на этом рисунке?
в) Постройте луч ОМ так, чтобы угол АОМ был развёрнутым.
Начертите угол. Отметьте точку М, которая лежит на стороне угла, точку N, лежащую во внутренней области угла, и точку Е, принадлежащую его внешней области.
а) Сколько лучей с началом в точке О изображено на рисунке?
б) Сколько углов изображено на этом рисунке?
в) Постройте луч ОА так, чтобы угол АОN был развёрнутым.
Начертите угол. Изобразите отрезок: а) все точки которого лежат во внутренней области угла; б) все точки которого лежат во внешней области угла; в) часть точек которого лежит во внутренней области угла.
а) Сколько неразвёрнутых и сколько развёрнутых углов изображено на рис. 1?
б) Проведите лучи с началом в точке В, один из которых пересекал бы луч АС, а другой не пересекал бы его.
Даны угол MEF и точка А, лежащая в его внутренней области (рис. 2). Проведите луч с началом в точке Е так, чтобы образовались два угла, такие, что точка А не принадлежала бы их внутренним областям.
а) Сколько неразвёрнутых и сколько развёрнутых углов изображено на рис. 1?
б) Начертите луч CD, проведите два луча с началом в точке A, один из которых пересекал бы луч CD, а другой не пересекал бы его.
Даны угол EKL и точка M, не лежащая в его внутренней области (рис. 2). Проведите из точки К луч так, чтобы образовалось ещё два угла, такие, что точка М не лежала бы в их внутренней области.
Сколько неразвёрнутых и сколько развёрнутых углов изображено на рис. 1?
С началом в точке Е (рис. 2) проведите лучи, один из которых пересекает луч СА, а другой не пересекает луч ВС. Рассмотрите возможные варианты.
Дан неразвёрнутый угол АВС. Проведите лучи с началом в точке В, чтобы образовались при этом шесть углов, из которых один был бы развёрнутым.
Сколько неразвёрнутых и сколько развёрнутых углов изображено на рис. 1?
С началом в точке Е (рис. 2) проведите лучи, один из которых пересекает луч ВС, а другой не пересекает луч АС. Рассмотрите возможные варианты.
Через заданную точку проведите столько прямых, чтобы при их пересечении образовалось шесть углов.
Углы AOB, BOC, COD, DOE и EOA имеют общую вершину О. Прямая а, не проходящая через точку О, пересекает не менее двух лучей, которые являются сторонами этих углов. Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте чертежи.
Углы MAF, FAK, KAP, PAQ и QAM имеют общую вершину О. Прямая а, не проходящая через точку О, пересекает не менее трёх лучей, которые являются сторонами этих углов. Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте чертежи.
§ 3. Сравнение отрезков и углов.
На рис. 1 CB = BE, DE AC. Сравните отрезки AB и DB.
На рис. 2 ∠AOB = ∠DOC. Есть ли ещё на рисунке равные углы?
На рис. 1 EO = NO, OK OL. Сравните отрезки EK и NL.
На рис. 2 ∠MOL = ∠KON. Есть ли ещё на рисунке равные углы?
На прямой а от точки А в одном направлении отложены два отрезка АВ и АС (АС АВ). От точки С на этой прямой отложите такой отрезок СЕ, чтобы АС = ВЕ. Что вы можете сказать о длине отрезка СЕ?
∠AOC = ∠BOD, OM – биссектриса ∠АОВ. Докажите, что OM – биссектриса ∠COD.
На прямой m от точки А отложены два отрезка так, что АС АВ и точка А лежит между точками В и С. От точки С отложен отрезок СМ так, что ВМ = АС. Сравните отрезки МС и АВ.
На рисунке ∠AOC = ∠BOС и ∠AOЕ = ∠BOF. Является ли луч ОС биссектрисой угла EOF?
Если на прямой даны точки A, B, C, D (точка С лежит между А и В) так, что AB = CD, то является ли середина отрезка AD также серединой отрезка ВС? Обоснуйте ответ.
На рисунке ОВ – луч, принадлежащий внутренней области угла АОС. Как нужно провести луч ОЕ, чтобы ∠AOC = ∠BOЕ? Покажите на рисунках возможные варианты.
АВ и АС – отрезки одной прямой (А лежит между точками В и С), точка М – середина отрезка АВ, N – середина АС. Верно ли, что BC = 2MN? Ответ обоснуйте.
На рисунке ОС – луч, принадлежащий внутренней области угла АОВ. Как нужно провести луч OD, чтобы ∠AOD = ∠COB? Покажите на рисунке возможные варианты.
На прямой а от точки А отложены два отрезка АВ и АС, причём ABAC1,99AB. Сравните отрезки ВС и АВ. Ответ обоснуйте.
На рисунке ∠AOC = ∠BOD, OM и ON – биссектрисы углов АОВ и COD. Сравните углы MON и AOC.
На прямой m от точки А отложены два отрезка АВ и АС, причём 0,51ABACAB. Сравните отрезки ВС и АС. Ответ обоснуйте.
На рисунке OM и ON – биссектрисы углов AOB и COD, ∠MON = ∠AOC. Сравните углы АОС и BOD.
§ 4. Измерение отрезков и углов.
На прямой m лежат точки M, N и K, причём MN = 85 мм, NK =1,15 дм. Какой может быть длина отрезка MK в сантиметрах?
∠AOВ = 90°. Проведите луч ОС так, чтобы угол АОС равнялся 45° (рассмотрите два случая).
Чему равен угол СОВ?
Каким углом: острым, тупым или развёрнутым является угол СОВ?
Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?
Точки А, В и С лежат на прямой а, причём АВ = 5,7 м, ВС = 730 см. Какой может быть длина отрезка АС в дециметрах?
∠AOВ = 120°. Проведите луч ОС так, чтобы угол АОС равнялся 60° (рассмотрите два случая).
Чему равен угол СОВ?
Каким углом: острым, тупым или развёрнутым является угол СОВ?
Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?
На отрезке MN, равном 8 дм, лежат точки А и В по разные стороны от середины С отрезка MN, СА = 7 см, СВ = 0,24 м. Найдите длины отрезков AN и BN в дециметрах.
∠AOВ = 80°. Луч ОС делит этот угол на два угла так, что ∠AOС = 4∠СОВ.
Найдите эти углы.
Найдите угол DOB, если луч OD проведён так, что ОА – биссектриса угла DOB. Каким углом: острым или тупым является этот угол?
Точка M – середина отрезка EF, длина которого равна 1,2 м. От точки М, по разные стороны от неё, отложены два отрезка MP = 1,6 дм и MQ = 40 см. Найдите длины отрезков EP и QF в сантиметрах.
∠AOВ = 100°. Луч ОЕ делит этот угол на два угла так, что ∠ВОЕ = 3∠АОЕ.
Найдите эти углы.
Найдите угол AOF, если луч OF проведён так, что ОE – биссектриса угла FOB. Каким углом: острым или тупым является этот угол?
На отрезке АВ, равном 192 дм, дана точка С, такая, что АС:СВ = 1:3. На отрезке АС отложен отрезок CD, равный ВС. Найдите расстояние между серединами отрезков AD и CB.
Угол АОВ расположен во внутренней области угла COD. ОЕ и OF – биссектрисы углов СОА и BOD соответственно. Объясните, почему угол EOF прямой, если ∠COD + ∠AOВ = 180°.
На прямой отложены два равных отрезка АС и СВ. На отрезке СВ дана точка D, такая, что 5СD = 4DB. Найдите длину отрезка, концами которого являются середины отрезков АС и DB, если CD = 12 м.
Угол АОВ принадлежит внутренней области угла COD; ∠COD = 140°, а ∠АОВ = 100°. Найдите угол, образованный биссектрисами углов AOC и BOD, если луч ОВ принадлежит внутренней области угла AOD.
Длина отрезка АВ равна 14 см. Найдите на прямой АВ все такие точки D, для которых DA = 3DB.
Прямой угол разделён лучом, исходящим из его вершины, на два угла, такие, что половина одного угла трети другого. Найдите эти углы.
Длина отрезка АВ равна 12 см. Найдите на прямой АВ все такие точки М, для которых МА = 2МВ.
Прямой угол двумя лучами, исходящими из его вершины, разделён на три угла, один из которых равен разности двух других углов. Найдите величину большего из этих углов.
Её изучение в школьном курсе геометрии начинается в 7-м классе.
ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
Учитель Математики Высшей категории
Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.
Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача – приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится? Конечно же, правила, инструкции – что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций – никуда!
Так что, внимание!
Основные объекты и аксиомы планиметрии.
I. Аксиомы принадлежности.
Аксиома 1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Обрати внимание, эта аксиома позволяет рисовать так:
Аксиома 1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Вот так: было две точки:
И тут же нашлась прямая:
Луч, отрезок, угол.
Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем приготовить первые простейшие "блюда" - луч, отрезок, угол.
Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые. Каждая из этих полупрямых называется еще лучом.
Вот он, луч:
Любые две точки на прямой ограничивают отрезок прямой.
Углом называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, имеющими общее начало.
Лучи, образующие угол, называются сторонами угла а их общее начало – вершиной угла.
Угол, образованный дополнительными лучами, называется развернутым.
Теперь наведем порядок. Следующая серия аксиом так и называется:
II. Аксиомы порядка.
Аксиома 2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Аксиома 2.2. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
Теперь - следующий уровень. Нам нужны инструкции по измерению отрезков и углов. Эти аксиомы называются
III. Аксиомы мер для отрезков и углов.
Аксиома 3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
d=d1+d2\displaystyle d=_>+_>d=d1+d2
Аксиома 3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180∘\displaystyle 180<>^\circ180∘. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
x=x∘1+x∘2\displaystyle x=x_^^\circ >+x_^^\circ >x=x1∘+x2∘
Аксиома 3.3. Каково бы ни было число , существует отрезок длины =\displaystyle==.
А теперь уже совсем странно.
IV. Аксиомы существования треугольника, равного данному.
Аксиома 4.1. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
Более понятными являются два следствия из этой аксиомы:
Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом.
Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом.
Ну, и последняя легендарная аксиома параллельных!
Но сперва определение:
Прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.
V. Аксиома параллельных.
Аксиома 5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Ну вот, и закончились аксиомы планиметрии! Слишком много их? Но представь себе, все они нужны. Для каждой из них есть хитрое-хитрое рассуждение, которое показывает, что если удалить эту аксиому, то развалится всё здание геометрии! Ну, или останется нечто, совершенно непохожее на то, к чему мы привыкли.
А теперь два основных факта об углах!
Смежные и вертикальные углы.
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами.
Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной
Теорема. Сумма смежных углов равна 180∘\displaystyle 180<>^\circ180∘
180∘=x∘1+x∘2\displaystyle 180<>^\circ=x_^^\circ >+x_^^\circ >180∘=x1∘+x2∘
Это совсем простая теорема, правда?
Ведь общая сторона смежных углов просто-напросто разбивает развернутый угол на два угла и поэтому (ВНИМАНИЕ: работает Аксиома 3.2!) сумма смежных углов равна величине развернутого, то есть 180∘\displaystyle 180<>^\circ180∘.
Вертикальные углы проще нарисовать, чем описывать – смотри картинку.
Теорема. Вертикальные углы равны.
Эта тоже легкая теорема. Убедись:
∠1+∠3=180∘\displaystyle \angle 1+\angle 3=180<>^\circ∠1+∠3=180∘ (они смежные).∠2+∠3=180∘\displaystyle \angle 2+\angle 3=180<>^\circ∠2+∠3=180∘ (тоже смежные)∠1=∠2\displaystyle \angle 1=\angle 2∠1=∠2 - и ВСЁ!
Если угол равен смежному с ним, то он называется ПРЯМЫМ УГЛОМ.
Его величина равна 90∘\displaystyle 90<>^\circ90∘ (ну конечно, ведь 90∘+90∘=180∘\displaystyle 90<>^\circ +90<>^\circ =180<>^\circ90∘+90∘=180∘)
Острый и тупой угол.
Углы, меньшие 90∘\displaystyle 90<>^\circ90∘, называютсяострыми углами.
Углы от 90∘\displaystyle 90<>^\circ90∘ до 180∘\displaystyle 180<>^\circ180∘ называютсятупыми углами.
Вот и всё… Дальше нужно говорить о параллельности и о треугольниках. Так что, вперед, в следующие темы.
Геометрия на плоскости и в пространстве. Планиметрия и стереометрия.
Планиметрия – это раздел геометрии, который изучает геометрические фигуры на плоскости.
Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур. Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка , прямая .
Таблица. Аксиомы принадлежности. Аксиомы измерения отрезка. Аксиома взаимного расположения точек на прямой и плоскости. Аксиома откладывания угла. Свойства градусной меры углов.
Альтернативная разбивка аксиом планиметрии по группам:
1. Аксиомы принадлежности
1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Аксиомы расположения
2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
3. Аксиомы измерения
3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
4. Аксиомы откладывания
4.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.
4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.
4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
5. Аксиома параллельности
5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Читайте также: