Бесконечно малые и бесконечно большие функции кратко

Обновлено: 02.07.2024

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Функция f(x)=(x-1) 2 является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).
Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

f(x)=b+α(x)

|f(x) – b|=| α|

a(x)

|α(x)| 0

|f(x) – b|

δ>

|x – a|

α(x)

₁

|x – a|

|α(x)| 0

δ>0

|x – a| 0

|x – a|

Ясно, что при x→+∞ функция y=x 2 +1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .
.

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

.
, так как функции и - бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Так как b + cесть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ≠0.

.
Рассмотрим . При x→1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x→1, то .

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М.: Наука, 1985.

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b 3 – 6x 2 + 11x– 6, то при делении получим

II. Неопределенность .

При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени.

Определения и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций в точке. Связь между ними. Доказательства свойств и теорем. Арифметические свойства пределов с бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции

Пусть x ₀ есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞ , –∞ или +∞ .

Определение бесконечно малой функции
Функция α ( x ) называется бесконечно малой при x стремящемся к x ₀ , если функция имеет предел при x → x ₀ , и он равен нулю:
.

Определение бесконечно большой функции
Функция f ( x ) называется бесконечно большой при x стремящемся к x ₀ , если функция имеет предел при x → x ₀ , и он равен бесконечности:
.

Свойства бесконечно малых функций

Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x ₀ является бесконечно малой функцией при x → x ₀ .

Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x ₀ , на бесконечно малую, при x → x ₀ , является бесконечно малой функцией при x → x ₀ .
Доказательство ⇓

Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Для того, чтобы функция f ( x ) имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при x → x ₀ .
Доказательство ⇓

Свойства бесконечно больших функций

Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x ₀ , и бесконечно большой функции, при x → x ₀ , является бесконечно большой функцией при x → x ₀ .
Доказательство ⇓

Теорема о произведении ограниченной снизу функции на бесконечно большую

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно большой при x → x ₀ :
,
то их произведение является бесконечно большой функцией при :
.
Доказательство ⇓

Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Если функция f ( x ) является бесконечно большой при x → x ₀ , а функция g ( x ) – ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x ₀ , то
.
Доказательство ⇓

Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x ₀ :
,
и существует проколотая окрестность точки , на которой , то
.
Доказательство ⇓

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и , на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.
Доказательство ⇓

Это свойство имеет два частных случая.

Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки , функции и удовлетворяют неравенству:
.
Тогда если , то и .
Если , то и .

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то можно записать так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
, или .

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций

Приведенные выше свойства выполняются, если функция ограничена, а функция ограничена снизу по абсолютной величине положительным числом. При этом эти функции не обязательно должны иметь конечный предел, а могут расходиться. Однако, эти функции будут обладать указанными свойствами, если они имеют соответствующие пределы. Это позволяет сформулировать арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Пусть существуют пределы функций
и .
И пусть, при , функция является бесконечно малой:
, а функция – бесконечно большой:
.
Тогда существует пределы суммы и разности:
(A.1) ;
существуют пределы произведений:
(A.2) ;
существуют пределы частного:
(A.3) .

Доказательство свойств и теорем

Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Все свойства ⇑ Произведение функции , ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x ₀ :
при ,
на бесконечно малую , при x → x ₀ :
,
является бесконечно малой функцией при x → x ₀ :
.

Для доказательства этой теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. А также используем свойство бесконечно малых последовательностей, согласно которому произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно малой при :
.
И пусть функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой определена функция . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно малой:
.

Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность:
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Все свойства ⇑ Для того, чтобы функция f ( x ) имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при x → x ₀ .

Необходимость. Пусть функция имеет в точке конечный предел
.
Рассмотрим функцию:
.
Используя свойство предела разности функций, имеем:
.
То есть есть бесконечно малая функция при .

Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Все свойства ⇑ Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x ₀ , и бесконечно большой функции, при x → x ₀ , является бесконечно большой функцией при x → x ₀ .

Для доказательства теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при :
.
И пусть функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Поскольку сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема о произведении ограниченной снизу функции на бесконечно большую

Все свойства ⇑ Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно большой при x → x ₀ :
,
то их произведение является бесконечно большой функцией при :
.

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при :
.
И пусть функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел функции при , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена.
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и . Причем .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно большой:
.

Поскольку произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью, то
.
Согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Все свойства ⇑ Если функция f ( x ) является бесконечно большой при x → x ₀ , а функция g ( x ) – ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x ₀ , то
.

Для доказательства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при , а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку функция бесконечно большая, то существует проколотая окрестность точки , на которой она определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Поскольку частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Все свойства ⇑ Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x ₀ :
,
и существует проколотая окрестность точки , на которой , то
.

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно малой при , а функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .

По условию существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и . Причем и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно малой с отличными от нуля членами:
, .

Поскольку частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то
.
Согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Все свойства ⇑ Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и , на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.

Пусть функция является бесконечно большой при :
.
И пусть имеется проколотая окрестность точки , на которой
при .

Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к . Тогда, начиная с некоторого номера N , элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности:
при .
Тогда
при .

Согласно определению предела функции по Гейне,
.
Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
.
Поскольку последовательность произвольная, сходящаяся к , то по определению предела функции по Гейне,
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Определение 1. Функция называется бесконечно малой (б.м.) функцией при , если ее предел при равен нулю.

" $ , для всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .

Определение 2. Функция называется бесконечно большой (б.б.) функцией при , если ее предел при равен + ¥ (- ¥ ).

Пример. Функция при - б.м., при - б.б., при не является ни б.б. ни б.м.

Теорема 1 (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция имеет предел , то разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при .

Доказательство . Необходимо показать, что

f ( x )- A б.м. функция при .

" $ , для будет выполняться неравенство .

Сравним это с определением б. м. функции:

" $ , для будет выполняться неравенство .

Сравнивая определения предела функции и б. м. функции, видим, что f ( x )- A - б.м. при .

Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при функций есть функция бесконечно малая при .

Доказательство. Пусть - б.м. функции при .

Надо доказать, что есть б.м. функция при .

Возьмем e >0, тогда и .

Так как - б.м. при , $ , , ;

так как - б.м. при , $ , , .

Возьмем , тогда при будут выполняться все три неравенства (2.1) одновременно.

Итак, для " e >0 мы нашли такое, что при всех выполняется неравенство , => есть б.м. функция при .

Теорема 3. Произведение бесконечно малой при функции на ограниченную в некоторой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая функция при .

Доказательство. - б. м. при функция;

f ( x ) - ограниченная в некоторой окрестности точки а функция.

Докажем, что · f ( x ) – б. м. функция при .

Поскольку f ( x ) - ограниченная в некоторой окрестности точки а функция, то $ и $ К такие, что при " х

так как - б. м. при функция, $ , что " х :

Возьмем , тогда при будут выполняться оба неравенства (2.2) и (2.3) одновременно.

Итак, для " e >0 мы нашли такое, что при всех х, удовлетворяющих , выполняется неравенство | · f ( x ) | e , => · f ( x ) – б. м. функция при .

Теорема 4. Произведение конечного числа бесконечно малых при функций есть функция, бесконечно малая при .

Теорема 5 (о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций). Если - б. м. при функция и ¹ 0 в некоторой окрестности точки а, то функция есть б. б. функция при .

Определение бесконечно малой функции. Функция a(x) называется бесконечно малой функцией при , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такое положительное число d, зависящее от e, что для любого x, принадлежащего d-окрестности a(x) находится в e-окрестности начала координат a(x)Î , т.е. .

Ни какое малое число (например, и т. д.) не является бесконечно малой величиной, кроме числа .

Определение бесконечно большой функции. Функция называется бесконечно большой при , если для любого сколь угодно большого положительного числа N существует такое положительное число , зависящее от N, что если x принадлежит d-окрестности числа ( ), то абсолютная величина значения функции больше числа N ( ), т.е. .

Иначе, можно кратко записать

Теорема 1.2. Функция, обратная по величине к бесконечно малой функции является бесконечно большой и, наоборот, функция, обратная по величине к бесконечно большой, является бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Пусть a(x) бесконечно малая функция, т. е. . Докажем, что является бесконечно большой, т. е. . Пусть N произвольно выбранное сколь угодно большое положительное число. Так как , то для любого e, в том числе и для >0, существует такая d-окрестность , что " , т. е. . Однако, равносильно . Следовательно, для значений х, принадлежащих таким образом выбранной окрестности , функция по абсолютной величине больше произвольно выбранного сколь угодно большого числа N, а это означает, что .

2. Пусть . Докажем, что является бесконечно малой функцией, т.е. . Так как , то для любого N, в том числе и для >0, где e произвольно выбранное сколь угодно малое положительное число, существует такая d-окрестность , что " . Однако, . Следовательно, для значений х, принадлежащих таким образом выбранной окрестности , функция по абсолютной величине меньше произвольно выбранного числа e, а это означает, что .

Например, если , то , и наоборот, если , то .

Данная теорема часто используется при нахождении пределов дробно-рациональных функций.

Ни какое малое число (например, и т. д.) не является бесконечно малой величиной, кроме числа .

Иначе, можно кратко записать

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Например, если , то , и наоборот, если , то .

Данная теорема часто используется при нахождении пределов дробно-рациональных функций.

Читайте также: