Математическое образование в китае доклад
Обновлено: 04.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
МАОУ гимназия восточных языков №4
Математика в Древнем Китае
(техника счета и вычисления)
Нуйкин Михаил Иванович
МАОУ гимназия № 4
учитель китайского языка
Введение – цель, задачи, методы.
Система счисления
О месте китайского счета в общей истории современной системы счисления
Вычислительные устройства
Узелки и зарубки
Градуированные счетные палочки
Арифметические операции
Использование простых дробей
Список литературы
От того, насколько хорошо освоены и разработаны действия с числами, зависит развитие математических методов, особенно в древние эпохи. В истории математики достаточно хорошо известны техника вычислений древнего Египта и древней Месопотамии ‒ два ярких, сравнимых между собой по времени примера того, как на различных вычислительных основах строилась математика той или другой древневосточной цивилизации. И мало известна техника вычислений древнего Китая, которую иногда совсем не упоминают, хотя она существенным образом дополняет общую картину развития математики в древности.
В истории математики древнего Китая имеются сведения о десятичной системе счета (использовавшейся еще в XIV веке до н.э.‒ за 2300 лет до начала ее применения европейскими математиками ) и специальной иероглифической символике для чисел, об оперировании большими числами, о наличии вспомогательных счетных устройств (узелки; счетная доска, с осуществленной на ней позиционной системой счисления), об оперировании циркулем, линейкой и угольником.
Развившись сравнительно рано до уровня почти современной европейской, древнекитайская арифметика в силу обстоятельств осталась как бы в стороне от общего хода истории. В начале прогрессивные вычислительные средства древнего Китая оказались в дальнейшем консервативными по сравнению с ушедшими вперед в своем развитии европейскими. Математическая наука Китая ‒ удивительное историческое явление того, как при наличии, казалось бы, всех предпосылок для создания современной системы счисления в древнем Китае (в эпоху, более раннюю, чем это произошло в Индии), при раннем открытии позиционного принципа, все же не было сделано последнего, решающего шага ‒ изобретения нуля. По чему-то развитие вдруг остановилось и китайцы так и остались у порога величайшего открытия. Аналогично обстояло дело с десятичными дробями. Поняв их принцип, введя их фактически в математику, китайцы не смогли преодолеть традиции именованной нумерации, так и оставив десятичные разряды с индивидуальными наименованиями.
Китайская нумерация просуществовала тысячелетия и сохранилась до наших дней. Хотя в настоящее время в математической литературе употребляется общепринятая система счисления, в обиходе, на страницах газет мы встречаемся с традиционной нумерацией.
Согласно данным, собранным при изучении надписей на ин ьских гадательных костях, уже в XIV–XIII вв. до н.э. китайцы обладали достаточно развитой десятичной системой счисления с зачатками применения позиционного принципа. В такой же системе записаны числа на чжоуских монетах и бронзовых сосудах. Однако при этом частично использовались другие по форме цифровые знаки (рис. 1) .
После реформ письменности, осуществлявшихся во время царствования династий Цинь и Ранняя Хань, в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор при записи чисел и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной.
Она десятичная, непозиционная, с мультипликативным принципом записи чисел. Это значит, что в ней существуют девять цифр и обозначения десятичных разрядов (рис. 2,1-я колонка таблицы).
Такого рода нумерацию, один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии Древнего мира Б. Л. ван дер Варден называет именованной позиционной. Стоит в ней только опустить названия разрядов и ввести нуль, как она превратится в позиционную.
До сих пор неизвестна точная дата и место появления знака нуля как элемента десятичной системы. Согласно распространенному мнению, он возник в Индии. Одно время полагали, что самое древнее сохранившееся упоминание о нем в математических текстах связано с рукописью, которую обнаружили в 1881 г. в деревне Бакшали (современный Пешавар) и первоначально относили ко II в. н. э. Однако позже ее стали датировать IV, VII в. или даже IX–XII вв. Нуль в этой рукописи обозначался как точкой, так и кружком. Самое раннее индийское изображение нуля (точка) среди надписей на камнях обнаружено в Шапуре и датируется 672 г.
Нуль мог возникнуть в Юго-восточной Азии, являющейся зоной встречи индийской и китайской культур, где он обнаружен приблизительно в то же время, что и в Индии. Первые надписи, содержащие нуль, появляются почти одновременно в Камбодже и на Суматре (683 г.) и на острове Банка рядом с Суматрой (686 г.). В первых двух случаях символом нуля является точка, в третьем – кружок.
Но границы человеческой деятельности постепенно раздвигались, и наступило время, когда потребовались еще большие числа. Начиная со II‒III вв. до н.э., а в отдельных случаях гораздо раньше в Китае стали применять числа, бóльшие ваня.
Сначала, по-видимому, название давали каждому новому разряду ваня: 10 5 , 10 6 , 10 7 , . . . , 10 12 (см. столбец I табл. 1).
Подобный разнобой в наименованиях разрядов больших чисел наблюдался у других народов.
Из всего разнообразия систем в Китае утвердилась система, в которой показатели степеней основания составляют арифметическую прогрессию с разностью, равной четырем (см. столбец III табл. 1).
Индийские цифры не привились в Китае, как не привились алфавиты, предлагаемые учеными того времени. После первой волны чужеземного влияния пятью столетиями позже пришла от арабов вторая и оставила свои несколько более заметные следы. Под влиянием арабских методов в Китае был введен счет на абаке — пудидин.
В XIII‒XIV вв. в Китае появилась арабская литература. Сравнительно недавно в Сиани была обнаружена железная плита тех времен, на которой выгравирован магический квадрат с восточно-арабскими цифрами, где нуль обозначен не точкой, а кружком. Тем не менее, индийская система счета с арабскими цифрами снова не привилась в Китае. Еще долгое время даже в заимствованных у арабов методах вычислений они заменялись китайскими. Современные цифры и символика (буквенные формулы) начали употребляться в переводной литературе только в XIX столетии, когда китайцы стали знакомиться с западной высшей математикой.
Таким образом, система счисления в Китае оставалась без изменений, так как еще в древности именованная позиционная система счисления была приспособлена к счетному прибору, которым пользовались при выполнении вычислений. Техника вычислений на счетной доске принципиально мало отличалась от современных действий с числами. Китайцам не было особой нужды заимствовать индийскую арифметику, у них была своя, вполне их удовлетворявшая. Там, где непосредственно производились вычисления, китайцы пользовались десятичной позиционной нумерацией, а при письме для фиксирования результатов или записи начальных данных применяли десятичную именованную позиционную систему. Поэтому современная система счисления не была изобретена в Китае, где для нее были те же предпосылки, что и в Индии. Счет десятками велся с незапамятных времен, и никакого другого, по существу, в математике древнего Китая не было. От группового счета вместе с образованием письменности возник мультипликативный принцип записи, индивидуальные знаки для чисел от 1 до 9. Во время вычислений производилось опускание разрядов и для отсутствующих разрядов оставлялось пустое место.
Предыстория китайской системы счисления начинается в глуби веков, во время формирования первоначальных математических представлений человека на самых первых этапах его развития. Еще до возникновения письменности существовал, по-видимому, устный счет и элементарные способы фиксирования чисел при помощи узлов на веревках и зарубок на дереве. Это было первым примитивным моделированием: замена при счете пальцев рук и ног моделью.
Имеются сведения, что в сокровищнице императора Ань-ди (время правления от 397 до 418 г.) из династии Цзинь хранились счетные палочки одного из министров Цинь Ши-хуана , Чжао То, который впоследствии управлял Югом как независимый князь. Эти палочки имели длину около 30 см, и некоторые из них были сделаны из кости, а другие – из рога, имея, соответственно, белый и черный цвета.
Счетные палочки и доска выполняли функции простейшей счетной машины, оперирование которой требовало четких алгоритмических предписаний. Целью китайских математиков было найти наиболее общие алгоритмы. Этот процесс был параллелен развитию греческой аксиоматизации.
По правилам размещения палочек осуществлялась и запись чисел. Так, например, число 14 285 записывалось следующим образом (рис. 6).
Использовавшиеся в Китае счетные палочки с числами, отмеченными на них, были китайским вариантом костей Джона Непера (шотландского математика, 1550–1617), которые появились на Западе в 1617 г. и активно использовались в XVII в. В это же время они попали в Китай и Японию, где вызвали значительный интерес.
Кроме счетной доски китайские математики имели в своем распоряжении еще два типа механических устройств для облегчения вычислений: абак и счетные палочки, помеченные числами аналогично костям Непера.
Китайский абак представляет собой деревянную раму с рядами стержней (проволок или веревок), на которые нанизывались костяшки в виде приплюснутых шаров. Обычно устанавливалось 12 стержней, но их могло быть и больше (до 30). На каждом стержне размещалось 6–7 костяшек, разделенных планкой на две группы: ниже планки 5 костяшек, а выше – 1–2. Каждая верхняя костяшка эквивалентна пяти нижним. Каждая нижняя костяшка эквивалентна 10 нижним костяшкам на соседнем стержне справа (или, по договоренности, слева). Однако, в принципе, каждые колонки костяшек могут принимать любое значение по желанию вычислителя. С помощью абака достаточно удобно выполнять действия сложения, вычитания и умножения, используя только одну из верхних костяшек, но для деления иногда удобнее иметь возможность указать на любом из столбцов число от 10 до 15, используя для этого обе верхних костяшки и соответствующее число нижних.
Действия по китайскому методу вычислений на счетной доске начинаются с высших разрядов, а затем поэтапно переходят на более низшие. Такой порядок предполагал корректирование промежуточных результатов, что было легко, поскольку достигалось перекладыванием счетных палочек. После каждого этапа предыдущий промежуточный результат заменялся на новый вплоть до получения окончательного результата. Это делало невозможным непосредственную проверку всей последовательности действий.
Согласно статистике и результатам различных социологических исследований, лучше всего в мире математику знают китайцы. К примеру, в рейтинге PISA (программа международной оценки успеваемости учащихся) за 2018 год Китай находился на первом месте. Россия, для примера, в PISA в том же году находилась только на 30-м.
О том же, о чем и рейтинг успеваемости, говорят и результаты международных соревнований. К примеру, на Международной математической олимпиаде 2019 года, как и следовало ожидать, первое место заняла команда из Китая.
Таким образом, Китай в математике на данный момент является лидирующей страной. Но если обычного человека спросить, знает ли он какого-либо великого математика из Китая, он, скорее всего, ответить затруднится. Причины такого несоответствия, по мнению многих социологов, кроются в самих многовековых традициях и культуре Китая.
Китайские числа
Изучая китайский математический феномен, некоторые исследователи-социологи предположили, что школьникам Поднебесной просто проще запоминать числа, чем учащимся в других государствах. Китайская математическая система, а также сами числа на самом деле более удобны для изучения и запоминания, чем западные.
Это подтверждают многие европейцы, получившие среднее образование в Китае. По утверждениям таких людей, даже уехав из Поднебесной, по прошествии многих лет делая какие-то расчеты в уме, они используют исключительно китайские числа и методики. Считать так, по их мнению, намного удобнее и легче.
Но другие исследователи указывают на недостатки подобного объяснения успехов китайских школьников. Было замечено, что, к примеру, в Сингапуре, где обучение во многих школах идет на английском языке по западным методикам, школьники знают математику практически так же хорошо, как и в Китае. В любом случае успехи по этому предмету они делают более заметные, чем дети европейских стран. А это значит, что объяснять успехи китайских учеников только особенностями китайской числовой культуры нельзя.
Может быть, дело в трудолюбии?
Основой экономики китайской цивилизации, как известно, тысячелетиями было сельское хозяйство. На протяжении веков жители Поднебесной занимались очень тяжелым делом, требующим огромных трудозатрат, — выращиванием риса. Благодаря этому в Китае сложилась культура трудовой этики, совершенно не похожая на европейскую. Унаследовав определенные трудовые традиции от предков, китайцы и в наши дни следуют им в повседневной жизни.
Касается это, конечно, и учебы. Некоторые социологи считают, что успехи китайских школьников в математике объясняются именно их природным и традиционным трудолюбием.
Однако и это объяснение китайского математического феномена имеет свои недостатки. Ведь в современном мире в Китае многие общества не являются аграрными. Как известно из истории, при смене условий труда в обществе практически моментально меняется и трудовая этика.
К тому же Китай — далеко не единственное государство, экономика которого долгое время базировалась на сельском хозяйстве. То же самое можно сказать, к примеру, и о Египте. И тем не менее египетские школьники не делают таких выдающихся успехов в математике, как китайские.
Конфуцианство, традиции и математика
Объяснение китайского математического феномена особенностями национальной числовой системы и трудолюбием жителей Поднебесной звучит, конечно интересно. Но большинство исследователей этого феномена все же придерживаются другой точки зрения и другого объяснения.
По мнению большинства социологов, основой успехов китайцев в математике стала сама древняя идеология этой страны — конфуцианство. Как известно, в этой философской системе основной упор сделан на обучение и образование. Вот какой должна быть высшая идеальная личность, по мнению Конфуция:
Высший человек не ищет удовлетворения своего аппетита или комфорта в своем жилище. Он усердно выполняет свои обязанности и осторожен в своей речи. Он общается с людьми, придерживающимися моральных принципов, и тем самым реализует себя. Можно сказать, что такой человек любит учиться.
Реакция родителей на лень ребенка
Почему нет известных китайских математиков
Человеку, которого попросили бы назвать фамилии известных математиков, в первую очередь в голову пришли бы Ньютон, Эйнштейн, Евклид, Пифагор и пр. Однако вспомнить какого-нибудь знаменитого китайского математика человеку будет очень проблематично.
То есть при общем отличном знании математики у населения в Китае практически нет людей, которые добились бы в этой области чего-то из ряда вон выходящего. Объясняется это несоответствие, по мнению многих исследователей, именно традициями, берущими свое начало в конфуцианстве.
Постулат о том, что обучение необходимо для гармоничного развития личности, в данном случае играет с китайцами злую шутку. Стремясь выглядеть в глазах родителей и общества трудолюбивыми, умными и послушными, китайские школьники придают большее значение не самому процессу изучения математики, а полученным на уроках и экзаменах оценкам.
Для западного подростка математика может быть не только обязательным предметом в школе, который нужно хорошо знать, но и увлекательным хобби, которым он занимается в свое свободное личное время. Конечно, такое возможно и в Китае. Но происходит это в Поднебесной гораздо реже, чем а западных странах.
Инструментальная ценность математики
Математика для китайских школьников, воспитанных в среде, сформированной конфуцианством, как и многие другие школьные предметы, зачастую попросту не имеет особо внутренней ценности. Ценность науки для китайских школьников является чисто инструментальной. То есть математика является для них не любимым делом, к которому они имеют склонность, а лишь средством достижения каких-то целей, веса в обществе и продвижения по социальной лестнице.
Почему китайцы придают значение экзаменам больше, чем самой математике: немного истории
Из истории известно, что в Древнем Китае во времена династии Тан очень долгое время экзамены были средством беспристрастного отбора чиновников. В отличие от западных стран, советники китайских императоров выбирались не из приближенных лиц. Даже такую должность мог получить абсолютно любой человек, лучше всех сдавший экзамены.
Точно так же в Китае выбирались и чиновники помельче. Их отбирали среди учащихся школ по результатам экзаменов. Хотя королевский и другие экзамены, конечно, не были совсем беспристрастными, благодаря такой практике в Китае управление и власть веками оставались в руках интеллектуальной элиты.
В наше время подобная традиция в китайском обществе сохраняется. Только хорошо окончившие школу ученики, отлично сдавшие экзамены, могут в дальнейшем претендовать на какие-то значимые и важные должности.
Что думают сами китайцы
С выводом социологов о том, что в китайском обществе сегодня главным является не само обучение, а полученные оценки, согласны и сами китайцы. По мнению многих жителей Поднебесной, основным недостатком их страны сегодня является процветающая бюрократия и любовь к бумаготворчеству. Вместо обучения и саморазвития, как учил Конфуций, во главу угла в Китае сегодня, к сожалению, зачастую ставится мнение общества и его оценка.
Китайские методы обучения в последние годы стали предметом всеобщего интереса: согласно результатам теста PISA, китайские школьники серьёзно превосходят своих ровесников из других стран в умении читать и считать. Учёные из британского Саутгемптонского университета провели исследование, чтобы узнать, как им это удаётся. О своих выводах они рассказали в колонке для журнала Conversation.
Интерактивное обучение, в котором участвует сразу весь класс, более эффективно, чем самостоятельная индивидуальная или групповая работа. Чтобы прийти к таким выводам, мы протестировали 563 школьников из английского Саутгемптона и китайского Нанкина — эти два города мы выбрали, поскольку они имеют примерно одинаковый социально-экономический статус. Мы использовали задачи из теста TIMSS, который позволяет сравнить уровень и качество математического школьного образования в разных странах мира. В первом из двух тестов китайские ученики в среднем набрали 83%, в то время как среди английских детей результат был всего 56%. Во втором тесте, который ученики проходили 10 неделями позже, английские ученики улучшили свой результат до 66%, по-прежнему оставаясь далеко позади китайцев, набравших 87%.
Затем с помощью видео мы проанализировали, как проходят уроки в школах обеих стран. Мы обнаружили, что в китайских классах 72% времени занимают интерактивные упражнения для всего класса. В Англии на них отводилось только 24% учебных часов. При этом 47%, то есть почти половину всего времени, английские школьники проводят за индивидуальной или групповой самостоятельной работой. В Китае на выполнение упражнений уходит 28% урока.
Большой процент интерактивного обучения связан с более высокими результатами тестов, в то время как за обилием самостоятельной работы на уроках следуют низкие баллы
Наши результаты подтверждаются десятилетиями проведенных исследований, которые говорят о пользе интерактивных занятий. Когда весь класс активно работает на уроках, а учитель задаёт вопросы и приводит наглядные демонстрации, — это гораздо более эффективно с точки зрения результатов, чем когда ученики заняты самостоятельной работой.
Важность интерактивных методов обучения особенно заметна в математике из-за иерархичной природы предмета. Когда дети работают сами, они могут застревать на каких-то моментах, им приходится подолгу ждать, прежде чем учитель объяснит эту тему. Это затрудняет процесс обучения и делает его малоэффективным.
В Китае учителя работают со всем классом сразу. К примеру, они просят всех учеников поднять карточки с ответом на вопрос или задачу. Так они могут сразу определить, когда ученики нуждаются в помощи. Непонятные моменты разбирают сразу всем классом, и работа идёт быстро, без задержек и простаивания.
Мы далеко не первые, кто говорит о пользе интерактивных занятий, но во многих школах выполнение индивидуальных заданий остаётся основной формой работы. В Англии половину уроков математики школьники делают упражнения.
Мы можем только предполагать, какие причины побуждают учителей выбирать проигрышные стратегии. Возможно, учителям начальных школ не хватает опыта преподаваня и уверенности в себе. Если так, совсем неудивительно, что они предпочитают передать бремя обучения в руки учеников, чем нести его самим. А может быть, дело в том, что в европейской традиции принято превозносить индивидуальный подход, поэтому учителя привыкли концентрироваться на каждом ученике в отдельности, а не на классе в целом.
В математике китайский появился в XI - м веке до нашей эры. А.Д. Китайцы разработали независимо от обозначений для больших чисел и отрицательных чисел , десятичную и позиционную систему обозначений для представления двоичной системы , алгебры , геометрии и тригонометрии ; их результаты часто на несколько столетий опережают аналогичные результаты западных математиков.
Китайские математики использовали это не подход аксиоматикой , а скорее метод алгоритмических и алгебраические методы, кульминацией которых в XIII - го века с созданием по Чжу Шицзе из четырех неизвестных метода .
Резюме
Зарождение математики в Китае
Бессловесное доказательство того, что треугольник (3, 4, 5) - это прямоугольник, фигурирующее в Чжоу Би Суань Цзин .
Знания китайской математики, которые у нас есть раньше 254 г. до н.э. Ж.-К. является фрагментарным, и даже после этой даты рукописные традиции часто остаются неясными: даты до классического периода обычно предполагаются. Некоторые археологические открытия позволяют нам вернуться еще дальше, но у нас нет ничего сопоставимого с тем, что мы знаем о вавилонской или египетской математике ( таблички , папирусы и т. Д.).
Простые вычисления с использованием скрипта Bonescale относятся ко времени династии Шан (1600–1600 гг.). 1050 г. до н.э. Ж.-К. ). Цзин является Старейшей работой с математическим содержанием (это также большое влиянием литературы во время династии Чжоу , между 1050 и 256 г. до н.э. Ж.-К. ): он изощренно использует гексаграммы, которые, как указал Лейбниц , составляют нумерацию в двоичной системе ; кроме того, начиная с периода Шан, китайцы разработали полную десятичную систему и арифметические методы, позволяющие им производить сложные астрономические вычисления [ см. желаемый] .
Тем не менее, в истории математического развития этого периода нет точных свидетельств, а датировка некоторых текстов все еще обсуждается. Таким образом, Чжоу Би Суан Цзин обычно датируется периодом между 1200 и 12 гг. 1000 г. до н.э. Ж.-К. , но многие исследователи считают, что это было исправлено и доработано примерно до 250 г. до н.э. Ж.-К. Чжоу Би Суан Цзин содержит подробную демонстрацию теоремы Gougu в (вариант теоремы Пифагора ), но прежде всего коллекция астрономических расчетов.
Математика при династии Цинь
Читайте также: