Доклад на тему предел числовой последовательности число е

Обновлено: 06.07.2024

То же самое соотношение можно записать следующим образом:

ЗАМЕЧАНИЕ . Если для последовательности

найдется такое число a , что a_n → a при , то эта последовательность ограничена.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Говорят, что последовательность

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа C найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство

Условие того, что числовая последовательность

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

или с помощью обозначения

ПРИМЕР 1 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство

ПРИМЕР 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство

ПРИМЕР 3 . Для любого числа a такого, что | a | справедливо равенство

ПРИМЕР 4 . Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство

ПРИМЕР 5 . Последовательность

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

Рассмотрим две последовательности

Если при существуют такие числа a и b , что

то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

Если, кроме того, выполнено условие

то при существует предел дроби

Для любой непрерывной функции f (x) справедливо равенство

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

знаменатель которой равен q .

Для суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

то будет справедлива формула

В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель q удовлетворяет неравенству

| q | ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

ПРИМЕР 6 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности

В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.

ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

ПРИМЕР 9 . Найти предел последовательности

Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

ПРИМЕР 10 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ . Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство

Число e. Второй замечательный предел

Таким образом, справедливо равенство

причем расчеты показывают, что число

Число e играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

что позволяет вычислять число e с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

Число а является пределом последовательности, если для любого положительного $\varepsilon $ можно подобрать такой номер N члена последовательности, что для всех членов последовательности с номерами n $>$ N будет верно неравенство:

Рисунок 1. Окрестность точки а

Если последовательность $х_n$ имеет предел, то он единственный.

Действительно, если бы числовая последовательность имела два предела a и b, то окрестность точки а (а -- $\varepsilon $$;$ а + $\varepsilon $) и точки b (b -- $\varepsilon $$;$ b + $\varepsilon $) должны были бы содержать все члены последовательности равновозможно. Но интервалы не пересекаются, поэтому это невозможно.

Если последовательность $х_n$ монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел.

Рассмотрим случай неубывающей последовательности. Пусть числовая последовательность \ ограничена сверху числом b. Тогда для последовательности существует четко определенная верхняя грань M ≤ b. В этом случае для каждого члена последовательности найдется такое $n = n_0$, что M -- $\varepsilon n_0$.

\[M-\varepsilon А значит, предел последовательности существует.

Готовые работы на аналогичную тему

Вывод: Чем больше номер члена последовательности, тем дальше от предельного значения он лежит.

Найти предел числовой последовательности

То для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое натуральное число Nб, при котором будет справедливо неравенство:

\[\frac Поэтому мы вправе взять любое N удовлетворяющее неравенству. Например - 1. \[\mathop<\lim >\limits_ \frac =1\]

Вывод: Последовательность сходится, и чем больше номер члена последовательности, тем дальше от предельного числа он лежит.

Определить сходимость последовательности и найти ее предел

$2, 0, 3, 0, 3, 2, 0 \dots$

Очевидно, что последовательность не сходится, а значит, и не имеет предела.

Число называется пределом последовательности , если каково бы ни было наперед заданное положительное число , всегда можно найти такое натуральное число , что для всех членов последовательности с номерами будет выполняться неравенство или . Предел обозначается или .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если предела нет, то последовательность расходится.

Бесконечно малые и бесконечно большие переменные

Если переменная величина имеет своим пределом 0, то она называется бесконечно малой, т. е. .

Алгебраическая сумма, разность бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. Произведение бесконечно малой величины на постоянную есть бесконечно малая величина.

Переменная величина называется бесконечно большой, если начиная с некоторого номера она становится и остается при всех последующих номерах по абсолютной величине больше любого наперед заданного положительного числа , , для .

Обозначается: или .

Необходимо знать, что .

Основные теоремы пределов

Отметим следующие свойства пределов. Если и имеют конечные пределы и , то:

Задача №33.

Найти .

Решение:

Задача №34.

Найти .

Решение:

Задача №35.

Найти .

Решение:

Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Замечание. Для обозначения этого предела используется символ e:

Число e является иррациональным, приближенное значение которого равно

Доказательство. Покажем сначала, что представляет собой монотонно возрастающую последовательность. Согласно биному Ньютона,

Полагая , получим

Сравним выражения для и .
Во-первых, оба эти выражения содержат только положительные слагаемые.
Во-вторых, начиная со второго слагаемого, каждый член в выражении для превышает соответствующий член выражения для , поскольку

В-третьих, выражение для состоит из большего числа слагаемых. Следовательно,

Далее докажем, что последовательность является ограниченной. Действительно, первый член любой монотонно возрастающей последовательности является ее наибольшей нижней границей и, таким образом, для всех натуральных значений n.

Перейдем к доказательству существования верхней границы. Очевидно, что

Кроме того, для всех k > 3. Тогда

Правая часть этого неравенства представляет собой сумму членов убывающей геометрической прогрессии. В качестве верхней границы этой суммы выступает любое число . Таким образом, последовательность с общим членом

Читайте также: