Какое свойство умножения используют при вынесении общего множителя за скобки кратко

Обновлено: 02.07.2024

Умножение — операция над аргументами в математике: множимым и множителем.

Множимое — повторяемое слагаемое — компонент, который умножается.

Множитель — показывает, сколько раз множимое слагаемое повторяется в выражении.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Результатом умножения является произведение.

При упрощении алгебраических выражений необходимо раскрывать скобки.

Раскрыть скобки можно с помощью:

Если выражение в скобках содержит сумму или разность переменных, то такое выражение называют многочленом. Каждый компонент многочлена является одночленом. Число перед одночленом — коэффициент. Если перед одночленом не указано число, то подразумевают один или минус один — зависит от знака.

Как вынести общий множитель за скобки

Общий множитель — наибольший общий делитель.

Операцию вынесения общего множителя за скобки используют при разложении многочлена на множители. Разложение многочлена на множители подразумевает его преобразование в равное этому многочлену произведение.

Правило вынесения общего множителя за скобки:

Чтобы вынести общий множитель, записывают исходное выражение в виде произведения общего множителя и суммы, заключенной в скобки, без общего множителя.

Для вынесения общего множителя за скобки используют распределительный закон или распределительное свойство умножения справа налево:

\(ab\pm ac=a(b\pm c)\) — сумма преобразуется в произведение.

Алгоритм нахождения общего множителя для членов многочлена:

Найти для каждого коэффициента делители.
Выбрать делитель, на который делится каждый коэффициент одночленов в многочлене.
Вынести этот делитель за скобки.
Найти переменные, которые встречаются в каждом члене многочлена.
Вынести за скобки эти переменные в наименьшей степени из встречающихся.
Разделить каждый член многочлена на полученный за скобками одночлен.

В многочлене в скобках должно остаться столько членов, сколько было в исходном.

Метод вынесения общего множителя за скобки на примере числового выражения:

В этом выражении выносят за скобки общий множитель 3. Исходное выражение записывается как произведение общего множителя и суммы всех исходных слагаемых, кроме

Дано числовое выражение \(5\ast2-4\ast2+2\ast3\) . Это сумма трех слагаемых.

Есть общий множитель 2. По правилу получают: \(2\ast(5-4+3)\) .

Полная запись решения: \(5\ast2-4\ast2+2\ast3=2\ast(5-4+3)\) .

Примеры вынесения общего множителя за скобки

Вынести общий множитель: \(abc-ab\) .

\(abc=a\times b\times c; ab=a\times b\) .

Находим одинаковые множители: \( abc+ab=a\times b\times c+a\times b=\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b\) .
Одинаковые множители выносим за скобку и перемножаем, а каждый компонент в скобках делим на это произведение: \( \boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol a\boldsymbol b(\frac+\frac).\)
Упрощаем полученное выражение: \(\boldsymbol a\boldsymbol b(\frac+\frac)=ab(c+1)\) .

Вынесите общий множитель многочлена за скобки: \(25kp-15k^2p\) .

Чтобы вынести общий множитель за скобку:

\(25kp=5\times5\times k\times p\)

\(15k^2p=3\times5\times k\times k\times p\)

Общими делителями будут 5, k, p.

Перемножаем общие делители и выносим их за скобку. В скобках каждый компонент делим на получившийся общий делитель:

\(25kp-15k^2p=\mathbf5\times5\times\boldsymbol k\times\boldsymbol p-3\times\mathbf5\times\boldsymbol k\times k\times\boldsymbol p=5kp(\frac-\frac)=5kp(5-3k).\)

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Раскрытие скобок — умножение переменной или числа на выражение в скобках.

Чтобы умножить число или переменную на скобку, нужно число или переменную умножить на каждый компонент в скобках и упростить выражение.

Упростите выражение: \(4(3ab+2c^2)\) .

Умножаем 4 на каждое слагаемое в скобках: \(4(3ab+2c^2)=4\times3ab+4\times2c^2\) .
Перемножаем: \(4\times3ab+4\times2c^2=12ab+8c^2\) .
Ищем подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью. Подобные слагаемых нет, значит, мы упростили выражение.

При умножении выражения на скобку действует то же правило.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена.

Раскройте скобки: \(3ab(5ac+2b-4a^2)\) .

\(3ab(5ac+2b-4a^2)=3ab\ast5ac+3ab\ast2b-3ab\ast4a^2=3ab\ast5ac+3ab\ast2b-3ab\ast4a^2=3\ast5a\ast abc+3\ast2ab\ast b-3\ast4a\ast a^2b=15a^2bc+6ab^2-12a^3b\)

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.

Раскройте скобки: \( (a-6b)(3ab+a^2)\) .

Сначала рассмотрим первую скобку: \(a-6b\) . Выражение представляем как сумму: \(a-6b=a+(-6b)\) . Мы получили два множителя: a и \((-6b)\) .
Умножаем каждый множитель на каждый компонент в скобках: \(\mathit(a\mathit-\mathit6b\mathit)\mathit(\mathit3ab\mathit+a^<\mathit2>\mathit)\mathit=a>\mathit\ast\mathit3ab\mathit+a^<\mathit2>\mathit\ast>a>\mathit-\mathit6>b>\mathit\ast\mathit3ab\mathit-\mathit6>b>\mathit\ast a^<\mathit2>.\)

При умножении на отрицательный компонент знак меняется.

\(\mathit(a\mathit-\mathit6b\mathit)\mathit(\mathit3ab\mathit+a^<\mathit2>\mathit)\mathit=a\mathit\ast\mathit3ab\mathit+a^<\mathit2>\mathit\ast a\mathit-\mathit6b\mathit\ast\mathit3ab\mathit-\mathit6b\mathit\ast a^<\mathit2>\mathit=\mathit3a^<\mathit2>b\mathit+a^<\mathit3>\mathit-\mathitab^<\mathit2>\mathit-\mathit6a^<\mathit2>b\mathit=\mathit3a^<\mathit2>b\mathit-\mathit6a^<\mathit2>b\mathit+a^<\mathit3>\mathit-\mathitab^<\mathit2>\mathit=\mathit-\mathit3a^<\mathit2>b\mathit+a^<\mathit3>\mathit-\mathitab^<\mathit2>.\)

Решите уравнение: \(3(x-4x)=0\) .

Чтобы решить уравнение, нужно найти все его корни или доказать, что корней нет.

Корень уравнения — значение переменной, при которой получается верное равенство.

Раскрываем скобки: умножаем 3 на каждый компонент в скобках.

Перемножаем: \( \begin3\ast x-3\ast4x=0\\3x-12x=0\\\end.\)
В выражении есть подобные слагаемые \( ‒ 3x и (-12x)\) .
Упрощаем: \( \begin3x-12x=0\\-9x=0\\\end.\)
Осталось найти икс:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:

На алгебре в 5, 6 и 7 классе мы регулярно сталкиваемся к тождественным преобразованиям. В этой статье снова обратимся к распределительному закону умножения, который лежит в основе правила вынесения общего множителя за скобки.

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие вынесения множителя за скобки

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Один из них — вынесение общего множителя за скобки.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, которые представляют из себя суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один одинаковый для всех множитель. Он так и называется — общий множитель.

Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения. Только в случае вынесения множителя за скобки это свойство применяется справа налево.

Формула вынесения общего множителя за скобки:

Покажем метод вынесения общего множителя за скобки на примере с цифрами:

Определение общего множителя для всех членов многочлена производится пошагово:

Если у каждого члена есть коэффициент — находим число, на которое делится коэффициент каждого члена, и выносим его за скобки.
Находим переменные, которые встречаются в каждом члене. Переменные выносятся за скобки в наименьшей встречающейся степени.
Определяем многочлен, который должен остаться в скобках. При этом многочлен должен иметь столько же членов, сколько было в исходном многочлене.

Если нам дано произведение 6 * 2 и 6 * 5, то мы можем вынести за скобки общий множитель 5. В чем состоит данное преобразование? Мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое содержит сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Итак, вынесем общий множитель 5 в 6 * 2 и 6 * 5 и получим 6 * (2 + 5).

Итоговое выражение — это произведение общего множителя 6 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 6.

Так и получается: 6 * 2 + 6 * 5 = 6 * (2 + 5).

Правило вынесения общего множителя за скобки

Основное правило вынесения общего множителя за скобки

Чтобы вынести за скобки общий множитель, нужно записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки:

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, которые входят в многочлен. Он и будет общим числовым множителем.
Найти общую буквенную часть для всех членов многочлена. При этом выбрать наименьший показатель степени.
Произведение коэффициента и общей буквенной части, которые мы нашли на первом и втором шагах, является общим множителем, который выносим за скобки.
Делим каждый член многочлена на вынесенный множитель и полученный результат записываем в скобках.

Важно! В скобках должно быть столько одночленов, сколько их было в многочлене.

Рассмотрим простой пример вынесения. Дано числовое выражение 4 * 7 + 4 * 3 - 4 * 5, которое является суммой трех слагаемых и общего множителя 4. Возьмем за основу выведенное правило и запишем произведение иначе: 4 * (7 + 3 - 5).

Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так:

4 * 7 + 4 * 3 - 4 * 5 = 4 * (7 + 3 - 5).

Определить сразу, какой множитель является общим, получается не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Рассмотрим разложение многочлена на множители методом вынесения за скобки общего множителя на примере многочлена: 12m - 6m - 3m. Ход решения:

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Вынесение минуса за скобки

Еще один случай, на котором следует обратить внимание — это вынесение за скобки минуса. Только мы выносим не сам знак, а минус единицу. Часто это помогает упростить выражение и сделать его проще.

Пример 1. Вынести минус за скобки в выражении: -10 + (-1) + (-3)

Чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые с противоположными знаками:

Найдем решение для каждого выражения:

-(10 + 1 + 3) = -(14) = -14

Поэтому между выражениями можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

-10 + (-1) + (-3) = -(10 + 1 + 3)

Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении: -3 + 5 + 11

Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение с противоположным знаком у каждого слагаемого:

-3 + 5 + 11 = -(3 - 5 - 11)

Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица.

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 ( 3 + 4 ) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .

Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · ( b + c ) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · ( 7 + 2 − 5 ) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · ( 7 + 2 − 5 ) .

Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · ( 3 − 7 ) + 2 , в выражении ( x 2 + y ) · x · y − ( x 2 + y ) · x 3 – общий множитель ( x 2 + y ) и получить в итоге ( x 2 + y ) · ( x · y − x 3 ) .

Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · ( 3 · x + 2 · y ) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · ( x 2 + x + 3 ) .

Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как ( − 1 ) · 5 + ( − 1 ) · 12 · x − ( − 1 ) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − ( 5 + 12 · x − 4 · x · y ) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.

В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.

Разложить многочлен на множители можно несколькими способами. Один из них называется вынесение общего множителя за скобки.

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения двух и более многочленов.

Как вынести общий множитель за скобки

Запомните!

Чтобы вынести общий множитель за скобки нужно выполнить следующие действия.

Работаем с числовыми коэффициентами.
Находим число, на которое делятся без остатка числовые коэффициенты каждого одночлена.
Работаем с буквенными множителями.
Находим буквенные множители, которые повторяются в каждом одночлене. Выносим их за скобку в наименьшей степени.
Вычисляем многочлен, который остается в скобках.

Рассмотрим пример вынесения общего множителя за скобки.

Сначала определим число, на которое без остатка делятся все числовые коэффициенты одночленов. Для этого выпишем все числовые коэффициенты в таблицу ниже.

Определим буквенные множители, которые повторяются во всех одночленах.

Запишем полученный ответ.

Важно!

Всегда проверяйте полученный результат вынесения общего множителя.

Для этого раскройте скобки в полученном результате по правилу умножения многочлена на одночлен.

Если вы вынесли общий множитель правильно, то вы должны получить исходный многочлен.

Проверим, правильно ли мы вынесли общий множитель за скобки.

При раскрытии скобок мы получили исходный многочлен, значит мы правильно вынесли общий множитель за скобки.

Важно!

Действие обратное вынесению общего множителя за скобки называется раскрытием скобок.

Примеры вынесения общего множителя за скобки

a 4 + 2a 2 = a 2 (a 2 + 2)
Проверка: a 2 (a 2 + 2) = a 2 · a 2 + 2a 2 = a 2 + 2 + 2a 2 = a 4 + 2a 2

Вынесение общего многочлена за скобки

Иногда есть возможность вынести многочлен за скобки целиком.

В таком случае оставшиеся одночлены просто записываются в скобки друг за другом вместе со знаком, который стоял слева от них.

Читайте также: