Каким свойством обладают углы четырехугольника вписанного в окружность кратко
Обновлено: 02.07.2024
суммы противолежащих углов равна 180.
чтобы это были прямые углы необязательно.
кроме квадратов и прямоугольников мб равнобокая трапеция. дельтоид.
и про стороны - сумма произведений противолежащих сторон равна произведению диагоналей -т. Птоломея.
в автобусе перевозить не удобно -колются и колгогки кондуктору рвут
Любой школьник знает, что всегда сохранятся все углы в 90 градусов
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Чтобы понять какими свойствами обладают углы четырехугольника вписанного в окружность нужно понять такие вещи как:
1. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 .
2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180,
то около него можно описать окружность.
1. 1 угол + 2 угол + 3 угол + 4 угол = 180 .
Ответ: Сумма углов четырехугольника вписанного в окружность равна 180.
- Написать правильный и достоверный ответ;
- Отвечать подробно и ясно, чтобы ответ принес наибольшую пользу;
- Писать грамотно, поскольку ответы без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок лучше воспринимаются.
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.
Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .
Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .
Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .
Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Окружность, описанная около параллелограмма |
![]() |
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Вписанные четырехугольники и их свойства |
Теорема Птолемея |
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .
Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .
Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .
Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Окружность, описанная около параллелограмма |
![]() |
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
![](https://www.resolventa.ru/sprris/planimetry/ofcircle/ofc6.jpg)
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
![](https://www.resolventa.ru/sprris/planimetry/ofcircle/ofc7.jpg)
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
![](https://www.resolventa.ru/sprris/planimetry/ofcircle/ofc8.jpg)
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
![](https://www.resolventa.ru/sprris/planimetry/ofcircle/ofc9.jpg)
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.
Если все вершины какого-нибудь многоугольника (ABCDE) лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность, или что окружность описана около него.
Теорема.
В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d).
Обратная теорема:
Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d), то около него можно описать окружность.
Пусть ABCD — вписанный выпуклый четырехугольник. Необходимо обосновать, что:
Углы B и D, как вписанные будут равны: первый — половиной дуги ADС, второй — половиной дуги ABС. Следовательно, B + D равняется полусумме дуг ADС и ABС, т.е. половиной окружности. Значит, B + D = 2d. Подобно этому убедимся, что A + С= 2d .
Необходимо обосновать, что около такого четырехугольника можно описать окружность. Через какие-нибудь три его вершины, например, A, B, С прочертим окружность (что всегда можно сделать).
Четвертая вершина D должна располагаться на этой окружности, потому что в противном случае угол D лежал бы своей вершиной или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги ABС, поэтому сумма B + D не измерялась бы полусуммой дуг ADС и ABС, т.е. сумма B + D не равнялась бы 2d, что противоречит условию.
Следствия.
1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.
2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.
Вписанный четырехугольник в окружность. Четырехугольник ABCD вписан в окружность
С разделением математики на алгебру и геометрию учебный материал становится сложнее. Появляются новые фигуры и их частные случаи. Для того чтобы хорошо разобраться в материале, необходимо изучить понятия, свойства объектов и сопутствующие теоремы.
Общие понятия
Под четырехугольником подразумевается геометрическая фигура. Состоит она из 4-х точек. Причем 3 из них не располагаются на одной прямой. Имеются отрезки, последовательно соединяющие указанные точки.
Все четырехугольники, изучаемые в школьном курсе геометрии, показаны в следующей схеме. Вывод: любой объект из представленного рисунка обладает свойствами предыдущей фигуры.
Вам будет интересно: Железнодорожный техникум в Челябинске после 9 класса: специальности, отзывы
Четырехугольник может быть следующих видов:
- Параллелограмм. Параллельность его противоположных сторон доказывается соответствующими теоремами.
- Трапеция. Четырехугольник, у которого основания параллельны. Другие две стороны – нет.
- Прямоугольник. Фигура, у которой все 4 угла = 90º.
- Ромб. Фигура, у которой все стороны равны.
- Квадрат. Совмещает в себя свойства последних двух фигур. У него все стороны равны и все углы прямые.
Основное определение данной темы – вписанный четырехугольник в окружность. Оно заключается в следующем. Это фигура, вокруг которой описана окружность. Она должна проходить через все вершины. Внутренние углы четырехугольника, вписанного в окружность, в сумме дают 360º.
Не каждый четырехугольник может быть вписан. Связано это с тем, что серединные перпендикуляры 4-х сторон могут не пересечься в одной точке. Это сделает невозможным нахождение центра окружности, описанной около 4-угольника.
Частные случаи
Из всякого правила есть исключения. Так, в данной теме также имеются частные случаи:
- Параллелограмм, как таковой, не может быть вписан в окружность. Только его частный случай. Это прямоугольник.
- Если все вершины ромба находятся на описывающей линии, то он является квадратом.
- Все вершины трапеции находятся на границе окружности. В таком случае говорят о равнобедренной фигуре.
Свойства вписанного четырехугольника в окружность
Перед решением простых и сложных задач по заданной теме необходимо удостовериться в своих знаниях. Без изучения учебного материала невозможно решить ни один пример.
Теорема 1
Сумма противоположных углов, четырехугольника вписанного в окружность, равна 180º.
Дано: четырехугольник АВСД вписан в окружность. Ее центр – точка О. Нужно доказать, что
Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. Вот так:
Вопрос: а можно ли получить вписанный четырехугольник?
Сейчас мы это выясним!
Вписанный четырехугольник — коротко о главном
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)
Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.
Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
\( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).
Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
- Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.
Вписанный четырехугольник — определения и теоремы
Вот оказывается, что это неправда!
НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность.
Есть очень важное условие:
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
На нашем рисунке: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \)
Посмотри, углы \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Они вроде бы тоже противоположные?
Можно ли вместо углов \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) взять углы \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)?
Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет \( \displaystyle 180<>^\circ \).
Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме \( \displaystyle 180<>^\circ \). Не веришь? Давай убедимся.
Пусть \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, \( \displaystyle 360<>^\circ \).
То есть \( \displaystyle \alpha +\beta +\varphi +\psi =360<>^\circ \) — всегда! \( \displaystyle 180<>^\circ \)
Но \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \), →\( \displaystyle \varphi +\psi =360<>^\circ -180<>^\circ =180<>^\circ\).
Так что запомни крепко-накрепко:
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)
Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.
Доказательство смотри чуть дальше.
А пока давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?
Вписанный параллелограмм
Вот как-то не получается. Теперь применим знание:
Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) окружность. Тогда непременно должно быть: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).
А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.
То есть \( \displaystyle \angle B = \angle D\).
У нас получилось, что
\( \displaystyle \left\< \begin\angle B=\angle D\\\angle B+\angle D=180<>^\circ \end \right.\) → \( \displaystyle \left\< \begin\angle B=90<>^\circ \\\angle D=90<>^\circ \end \right.\)
А что же углы \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\)?
Ну, то же самое конечно.
\( \displaystyle ABCD\) – вписанный → \( \displaystyle \angle A+\angle C=180<>^\circ \) → \( \displaystyle \angle A=90<>^\circ \)
\( \displaystyle ABCD\) — параллелограмм→ \( \displaystyle \angle A=\angle C\) → \( \displaystyle \angle C=90<>^\circ \)
Читайте также:
- Почему каждому из нас необходимы знания об устройстве и функционировании организма человека кратко
- Что должно быть в школьной газете
- Какое значение имеет изучение звездного неба для развития человеческой цивилизации кратко ответ
- Как взломать систему школы
- Использование педагогических технологий в начальной школе