Какие прямые называются перпендикулярными кратко

Обновлено: 02.07.2024

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Перпендикулярные прямые – основные сведения

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые O x , O z , O y перпендикулярны попарно: O x и O z , O x и O y , O y и O z .

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b .

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Пусть введена прямоугольная декартова система координат О х у с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b . Направляющие векторы прямых a и b обозначим a → и b → . Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a → и b → . Это возможно только при скалярном произведении векторов a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) равном нулю, а запись имеет вид a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b , находящихся в прямоугольной системе координат О х у на плоскости, является a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 , где a → = ( a x , a y ) и b → = b x , b y - это направляющие векторы прямых a и b .

Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b .

Заданы три точки A ( 8 , 6 ) , B ( 6 , 3 ) , C ( 2 , 10 ) в прямоугольной системе координат О х у . Определить, прямые А В и А С перпендикулярны или нет.

Прямые А В и А С имеют направляющие векторы A B → и A C → соответственно. Для начала вычислим A B → = ( - 2 , - 3 ) , A C → = ( - 6 , 4 ) . Получим, что векторы A B → и A C → перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

A B → , A C → = ( - 2 ) · ( - 6 ) + ( - 3 ) · 4 = 0

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Определить, заданные прямые x - 1 2 = y - 7 3 и x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ перпендикулярны или нет.

Решение

a → = ( 2 , 3 ) является направляющим вектором заданной прямой x - 1 2 = y - 7 3 ,

b → = ( 1 , - 2 ) является направляющим вектором прямой x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ .

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и b → . Выражение будет записано:

a → , b → = 2 · 1 + 3 · - 2 = 2 - 6 ≠ 0

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , где a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b .

Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x 2 = y - 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 · λ z = 4 · λ

Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a → = ( 2 , - 1 , 0 ) и b → = ( 1 , 2 , 4 ) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

Выражение примет вид a → , b → = 2 · 1 + ( - 1 ) · 2 + 0 · 4 = 0 .

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b , это и есть необходимое и достаточное условие.

Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида A x + B y + C = 0 , уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 , уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y = k x + b координаты векторов возможно найти.

Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3 x - y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 .

Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что n α → = ( 3 , - 1 ) - это нормальный вектор для прямой 3 x - y + 2 = 0 .

Упростим уравнение x 3 2 + y 1 2 = 1 до вида 2 3 x + 2 y - 1 = 0 . Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме n b → = 2 3 , 2 .

Векторы n a → = ( 3 , - 1 ) и n b → = 2 3 , 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0 . Получим n a → , n b → = 3 · 2 3 + ( - 1 ) · 2 = 0 .

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y = k 1 x + b 1 , а прямая b - y = k 2 x + b 2 , отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты ( k 1 , - 1 ) и ( k 2 , - 1 ) . Само условие перпендикулярности сводится к k 1 · k 2 + ( - 1 ) · ( - 1 ) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1 .

Выяснить, перпендикулярны ли прямые y = - 3 7 x и y = 7 3 x - 1 2 .

Прямая y = - 3 7 x имеет угловой коэффициент, равный - 3 7 , а прямая y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 .

Произведение угловых коэффициентов дает значение - 1 , - 3 7 · 7 3 = - 1 , то есть прямые являются перпендикулярными.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Определить, являются ли заданные прямые x - y - 1 = 0 и x 0 = y - 4 2 перпендикулярными.

Получаем, что нормальный вектор прямой x - y - 1 = 0 имеет координаты n a → = ( 1 , - 1 ) , а b → = ( 0 , 2 ) - направляющий вектор прямой x 0 = y - 4 2 .

Отсюда видно, что векторы n a → = ( 1 , - 1 ) и b → = ( 0 , 2 ) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t , чтобы выполнялось равенство n a → = t · b → . Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.

Если пара пересекающихся прямых составляют угол в 90 градусов, то такие линии имеют название перпендикулярные.

Схематично перпендикулярные линии АС и ВD будут выглядеть таким образом:

Обозначение перпендикулярных прямых в геометрии имеет такой вид:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Признак перпендикулярности, какие условия необходимы, чему равен угол

Угол между парой пересекающихся линий в пространстве может быть прямым. В таком случае рассматриваемые прямые будут перпендикулярными.

При определении перпендикулярности линий необходимо учитывать их характеристики, которые имеют большое значение в решении задач. Основные признаки:

Через какую-то точку А возможно начертить единственную перпендикулярную линию основному отрезку, остальные линии будут являться наклонными и могут скрещиваться.
Несколько перпендикуляров ни при каких условиях не будут между собой пересекаться.

К примеру, можно изобразить на рисунке прямую PQ и пару линий, которые перпендикулярны ей: АА и ВВ. Необходимо доказать, что заданные прямые не имеют точек пересечения.

Можно сделать вывод о том, что пара прямых, перпендикулярных третьей, не обладают общими точками пересечения.

Теорема о перпендикулярных прямых, как доказать

Задачи на перпендикулярные прямые, как правило, решают с учетом свойств этих линий. Доказательством перпендикулярности прямых является прямой угол, который они составляют. В том случае, когда требуется определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, следует применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности линий.

Теорема 1

Для того чтобы прямые a и b являлись перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b.

Подтверждением данной теоремы является определение направляющего вектора прямой и перпендикулярности линий.

Допустим, что имеется прямоугольная декартовая система координат Оху, на которой заданы уравнения для прямой на плоскости, определяющие линии а и b. Направляющие векторы, характерные для данных прямых а и b, можно обозначить, как:

Согласно формуле прямых а и b, необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов \(\vec\) и \(\vec.\)

Данное утверждение справедливо в том случае, когда скалярное произведение векторов:

Таким образом, необходимое и достаточное условие перпендикулярности линий а и b, которые расположены в прямоугольной системе координат Оху на плоскости, представляет собой следующее выражение:

Данную теорему целесообразно использовать в том случае, когда требуется определить координаты направляющих векторов, либо, когда известны канонические или параметрические уравнения прямых на плоскости заданных линий а и b.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых а и b можно применять в случае трехмерного пространства.

В данном отношении запись будет иметь такой вид:

являются направляющими векторами прямых а и b.

Теорема 2

Линии а и b на плоскости будут перпендикулярны, если нормальный вектор прямой а и вектор прямой b взаимно перпендикулярны. Данное условие считается необходимым и достаточным.

Доказательство этой теоремы заключается в применении рассматриваемого условия в том случае, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. Таким образом, имея общее уравнение прямой вида: \( A_+B_+C=0\)

а также уравнение прямой в отрезках вида:

и уравнение прямой с угловым коэффициентом вида y = kx + b, координаты векторов можно определить.

В том случае, когда линия а на плоскости определена с помощью уравнения с угловым коэффициентом:

и прямая b имеет вид:

тогда координаты нормальных векторов будут следующие:

Условие перпендикулярности соответствует выражению:

Теорема 3

Прямые а и b перпендикулярны на плоскости при необходимом и достаточном условии, при котором один из направляющих векторов этих линий будет коллинеарным нормальному вектору второй прямой.

Данное условие действует при наличии возможности определения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Одна прямая должна быть задана каноническим или параметрическим уравнением, а другая представлена в виде общего уравнения прямой, уравнением в отрезках или уравнением с угловым коэффициентом.

Углы бывают острые, прямые и тупые.

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.

Два угла с одной общей стороной называются смежными.

На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

Записали!
Скоро с вами свяжется консультант, расскажет об обучении в нашей онлайн-школе.
Проверьте вашу электронную почту — там письмо о том, что стоит сделать перед консультацией.

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

Какие прямые называются перпендикулярными? Какие прямые называются параллельными? Сколько параллельных прямых можно провести через точку, не лежащую на данной прямой? Могут ли пересечься две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой?

1.Какие прямые называются перпендикулярными?
Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

2.Какие прямые называются параллельными?
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

3.Сколько параллельных прямых можно провести через точку, не лежащую на данной прямой?
Одну

4.Могут ли пересечься две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой?
Нет

перпендикулярные - пересекаются по углом в 90 градусов, параллельные - не пересекаются, через точку можно провести единственную прямую, параллельную данной, две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой пересечься не могут, так как они параллельны друг другу

В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим об угле , который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.

Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые \(a\) и \(b\) обозначают a ⊥ b .

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна этой прямой.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

пусть \(a\) — прямая, перпендикулярная прямым \(b\) и \(c\) в плоскости. Проведём прямую \(a\) через точку \(A\) пересечения прямых \(b\) и \(c\). Докажем, что прямая \(a\) перпендикулярна плоскости, то есть каждой прямой в этой плоскости.

1. Проведём произвольную прямую \(x\) через точку \(A\) в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой \(a\). Проведём в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку \(A\) и пересекающую прямые \(b\), \(c\) и \(x\). Пусть точками пересечения будут \(B\), \(C\) и \(X\).

3. Треугольник \(MCN\) равнобедренный, так как отрезок \(AC\) является высотой по условию теоремы и медианой по построению (\(AM=AN\)). По той же причине треугольник \(MBN\) тоже равнобедренный.

5. Из равенства треугольников \(MBC\) и \(NBC\) следует равенство углов \(MBX\) и \(NBX\) и, следовательно, равенство треугольников \(MBX\) и \(NBX\) по двум сторонам и углу между ними.

6. Из равенства сторон \(MX\) и \(NX\) этих треугольников заключаем, что треугольник \(MXN\) равнобедренный. Поэтому его медиана \(XA\) является также высотой. А это и значит, что прямая \(x\) перпендикулярна \(a\). По определению прямая \(a\) перпендикулярна плоскости.

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Читайте также: