Какая функция называется сложной кратко

Производная С. ф. равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на С. ф. с двумя, тремя и т. д. промежуточными аргументами: если у = f (u₁), u₁ = φ(u₂). u_k-1 = φ_k-1(u_k), u_k = φ_k (x), то

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Смотреть что такое "Сложная функция" в других словарях:

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ — функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть y = f(u), а u, в свою очередь, функцией от x, то есть u = ?(x), то y = F(x) является сложной функцией от x, то есть y = F(x) = fСЛОЖНОЕ вещество вещество, молекула которого… … Большой Энциклопедический словарь

сложная функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN composite function … Справочник технического переводчика

сложная функция — функция от функции. Если величина у является функцией от u, то есть у = f(u), а u, в свою очередь, функцией от х, то есть и = φ(х), то у=F(х) является сложной функцией от х, то есть y=F(x)=f[φ(x)]. * * * СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ, функция… … Энциклопедический словарь

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, представленная как композиция нескольких функций. Если множество значений Yi функции fi содержится во множестве определения Х i+1 функции fi+1, т. е. то функция определяемая равенством наз. сложной функцией или (п 1) кратной композицией… … Математическая энциклопедия

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ — функция от функции. Если величина у является функцией от и, то есть у = f(u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = ф(х), то y = F(x) является С. ф. от х, то есть y = F(x) = f[ф(x)] … Естествознание. Энциклопедический словарь

Сложная функция — … Википедия

Сложная трёхчастная форма — Сложная трёхчастная форма музыкальная репризная трёхчастная форма, первая часть которой сложнее периода. Чаще всего первая часть представляет собой простую двух или трёхчастную форму, но иногда бывает и сложнее (кроме того, средний раздел… … Википедия

МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ — эллиптическая модулярная функция, одного комплексного переменного автоморфная функция комплексного переменного ассоциированная с группой Г всех дробно линейных преобразований вида где целые действительные числа (эта группа наз. модулярной).… … Математическая энциклопедия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… … Математическая энциклопедия

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ — 1) А. н. интеграла свойство неопределенного интеграла (Лебега). Пусть функция f интегрируема на множестве Е. Интеграл от f на измеримых подмножествах является абсолютно непрерывной функцией (см. ниже п. 3) множества относительно меры m, т. е. для … Математическая энциклопедия

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот "сложнейший" процесс представлен на схеме ниже:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x )\)

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше - у них может быть и посложнее☺).

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: \(y=tg⁡(\log_2⁡x )\). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x )\)

\(x^7+ ctg x\) - простая,
\(x^7· ctg x\) – простая,
\(\frac\) – простая и т.д.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

Вот в этом примере: \(y=tg⁡(log_2⁡x )\), функция \(\log_2⁡x\) – внутренняя, а - внешняя.

А в этом: \(y=\cos⁡\), \(x^3+2x+1\) - внутренняя, а - внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось - будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Формула эта читается так:

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.

И сразу смотри схему разбора "по словам" чтобы понимать, что к чему относится:

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция \(y=\sin⁡(x^3 )\). Понятно, что внутренняя функция здесь \(x^3\), а внешняя . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!): \((>)'=\cos⁡\).

Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет \(\cos⁡(x^3)\). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.

Таким образом, на данный момент имеем:

Все, теперь можем писать ответ:

Вот так. Давай еще один пример разберем.

Пусть надо найти производную функции \(y=(\sin⁡x )^3\).

Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.

Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln(x^2-x)\).

Разбираем вложенность функций: \(x → x^2-x → \ln⁡(x^2-x)\).
Внутренняя: \(x^2-x\). Внешняя: .
Из таблицы производных знаем: .
То есть производная внешней по внутренней будет: \(\ln⁡(x^2-x)'=\) \(\frac\) .
Производная внутренней: \((x^2-x)'= (x^2)'-(x)'=2x-1\).
В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:

Что, еще примеров желаешь? Легко.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sin⁡\).
Вложенность функций: \(x → \cos⁡x → \sin⁡\)
Внутренняя: \(\cos⁡x\) Внешняя:
Производная внешней по внутренней: \(\sin<⁡(\cos⁡x )>'=\cos⁡\)
Производная внутренней: \((\cos⁡x )'= -\sin⁡x\)
Имеем: \(y'=(\sin⁡)'=\cos⁡·(-\sin⁡x )=-\cos⁡ ·\sin⁡x\)

Замечание: Обрати внимание, что заменить запись \(\cos⁡\) на \(\cos^2⁡x\) НЕЛЬЗЯ, так как \(\cos^2⁡x\) - это комбинация простых функций \(\cos^ 2⁡x=\cos⁡x·\cos⁡x\), а \(\cos⁡\) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.

Еще пример с важным замечанием в нем.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sqrt \)
Вложенность функций: \(x → x^6 → \sqrt\)
Внутренняя: \(x^6\) Внешняя:
Производная внешней по внутренней: \(\sqrt'=\) \(\frac<2\sqrt>\)
Производная внутренней: \((x^6)'= 6x^5\)
Имеем: \((\sqrt)'=\) \(\frac<2\sqrt>\) \(·6x^5\)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: \(\sqrt[b] =x^>\). Тогда \(\sqrt=x^>=x^3\). С учетом этого получаем:

Всё. А теперь, собственно, важное замечание:

Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln⁡(x^3)\).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: \(x → x^3 → \ln⁡(x^3 )\), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: \(\log_a⁡=c·\log_a\). И тогда функция получается \(y=\ln⁡(x^3 )=3\ln⁡x\). Отлично! Берем производную:

Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!

Пример. Найти производную сложной функции \(y=3^\).
Вложенность функций: \(x → x^4+1 → \sin⁡(x^4+1) → 3^\)
Внутренняя: \(x^4+1\) Средняя: Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет \(3^·\ln⁡3\).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, \(\sin⁡(x^4+1)'=\cos⁡(x^4+1)\).
И наконец, производная внутренней: \((x^4+1)'=(x^4 )'+(1)'=4x^3\).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:

Готово. Да, это ответ. ☺

Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺

Пример: Найти производную сложной функции \(y=tg⁡(7^x)\).

Разбираем вложенность функций: \(x \: → \:7^x \: → \:tg⁡(7^x)\).
Внутренняя: \(7^x\) Внешняя: \(tg⁡(7^x)\).
Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем.
Из таблицы производных знаем: .
То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет: \(\frac\) .
Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: \((7^x)'=7^x·\ln⁡7\).
И перемножаем результаты:

Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺

Пример: Найти производную сложной функции \(y=\sqrt[3]\).

Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:

Но давай снова воспользуемся свойством корня \(\sqrt[b] =x^>\) и преобразуем нашу функцию к виду:

Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: \(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^>\)
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: \(x^5+2x-5\). Внешняя: .
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции: . Получаем: . Тогда в нашем случае будет: \(\frac(x^5+2x-5)^>\).
Производная внутренней: \((x^5+2x-5)'=5x^4+2\).
Общий результат: \(y '=(\sqrt[3])'=((x^5+2x-5)^> )'=\frac(x^5+2x-5)^>·(5x^4+2)\).

Ну, и перемножаем дроби.

ВСЁ. А теперь сам.

Найти производные функций:

Ответы ко всем заданиям (вперемежку).

\(x → 1+x → \log_2⁡ \)
\(x → 11^x → arctg⁡(11^x) \)
\(x → x^7 → 5^\)
\(x → \sin⁡x → \cos⁡(\sin⁡x)\)

Определение функции, области задания и множества значений. Определения, связанные с обозначением функции. Определения сложной, числовой, действительной, монотонной и многозначной функции. Определения максимума, минимума, верхней и нижней граней для ограниченных функций. Сужение и продолжение функций.

Определение функции

Функцией y = f ( x ) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y . Область определения функции Множество X называется областью определения функции. Область определения иногда называют
множеством определения или множеством задания функции. Множество значений функции Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы во множестве X , называется множеством значений функции, или областью значений. Аргумент функции Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной. Значение функции Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной. Характеристика функции Само отображение f называется характеристикой функции.

Характеристика f обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y – это элемент из множества значений функции, а – это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.
Графиком функции f называется множество пар .

Сложные функции

Сложная функция Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g . Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x , а этому x соответствует y . Такое соответствие называют сложной функцией: . Сложную функцию также называют
композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так: .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и – это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и – это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности – это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений – вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения – это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов – “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция – это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.
Действительная или вещественная функция – это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Ограниченная сверху (снизу) функция Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
. Ограниченная функция Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M , что для всех :
.
Максимумом M (минимумом m ) функции f , на некотором множестве X , называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхняя и нижняя грани

Верхняя грань (точная верхняя граница) функции Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого:
1) для всех ;
2) для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Верхней гранью неограниченной сверху функции является бесконечно удаленная точка . Нижняя грань (точная нижняя граница) функции Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого:
1) для всех ;
2) для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу – значением 0 :
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Возрастающая (убывающая) функция Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
. Монотонная функция Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус: . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1) .
При заданном значении независимой переменной x , принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2) .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n) ,
где n – целое. В результате, для каждого значения n , мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функции.

Многозначная функция – это совокупность функций, определенных на некотором множестве.
Ветвь многозначной функции – это одна из функций, входящих в многозначную функцию.
Однозначная функция – это функция.

Сужение и продолжение функции

Выше мы указали, что если область определения функции синус, , сузить до отрезка , то полученная в результате новая функция будет строго монотонной на этом отрезке и иметь обратную функцию. Такая операция называется сужением функции. В результате ее применения получается новая функция, которая в данном примере обозначается так: .

Сужение функции Пусть функция определена на множестве X . И пусть множество M является его подмножеством: . Определим функцию так, чтобы ее областью определения было множество M . И пусть на этом множестве она принимает те же значения, что и функция :
.
Тогда функция называется сужением функции f на множество M . Сужение функции обозначают так:
, или . Продолжение функции Пусть функция определена на множестве X , а функция – на множестве M , которое является подмножеством X : . И пусть функция является сужением функции на множество M . Тогда функция называется продолжением функции g на множество X .

Выполнить операцию сужения функции на заданное множество можно только одним способом. А вот выполнить продолжение можно бесконечным числом способов. Особую роль продолжение играет в теории функций комплексного переменного. Там показывается, что если функция является аналитической (то есть имеет производную) на некотором множестве M , то существует только единственное ее аналитическое продолжение на множество X .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.

Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, "с чем ее едят", и "как правильно ее готовить".

Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:

Заметим, что аргумент , стоящий в правой и левой части уравнения функции - это одно и то же число, или выражение.

Вместо переменной мы можем поставить, например, такое выражение: . И тогда мы получим функцию

.

Назовем выражение промежуточным аргументом, а функцию - внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.

Строгое определение понятия сложной функции звучит так:

Пусть функция определена на множестве и - множество значений этой функции. Пусть, множество (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим в соответствие каждому из число . Тем самым на множестве будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией, - внешняя функция, - промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:

Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:

В этом выражении с помощью обозначена промежуточная функция.

Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно

1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.

2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите уравнение функции.

б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Например, в функции

последнее действие - возведение в степень.

Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент

^2" />
как

Ищем в таблице производных производную показательной функции:

(1)

.

таблице производных производную синуса:

Подставим полученное значение производной в выражение (1):

И, наконец, упростим выражение, вспомнив формулу синуса двойного аргумента:

Заметим, что функции иногда похожи на матрешку: промежуточный аргумент сам является сложной функции. Но тогда при нахождении производной промежуточного аргумента, нужно вновь применить правило нахождения производной сложной функции.

Читайте также:

  
• Специфика научно педагогического исследования в доу эссе
  
• Анализ прочих финансовых доходов и расходов кратко
  
• Положение о внебюджетной деятельности школы рб
  
• Какие чувства и размышления вызвала у вас повесть а с пушкина станционный смотритель кратко
  
• Почему период правления семибоярщины историки называют междуцарствием кратко