Как вычисляется площадь криволинейной трапеции с помощью понятия первообразной кратко
Обновлено: 08.07.2024
Из геометрии мы знаем способы вычисления площадей различных многоугольников – треугольника, трапеции, параллелепипеда. Их всех объединяет то, что их стороны являются прямыми отрезками. Однако иногда приходится рассматривать фигуры, чьи стороны являются кривыми. В таких случаях не обойтись без использования определенного интеграла.
План урока:
Криволинейная трапеция и понятие определенного интеграла
Построим на плоскости график произвольной функции у(х), который полностью располагается выше горизонтальной оси Ох. Далее проведем две вертикальные линии, пересекающие ось Ох в некоторых точках a и b. В результате мы получим интересную фигуру, которая на рисунке показана штриховкой:
Особенностью этой фигуры является то, что одна из ее сторон (верхняя) – это не прямая линия, а какая-то произвольная кривая. Условно будем считать эту фигуру четырехугольником, ведь у нее действительно четыре угла и четыре стороны. Две из них (вертикальные красные линии), очевидно, параллельны друг другу. Две другие стороны (кривую линию и участок оси Ох) параллельными назвать никак нельзя.
У каждой плоской фигуры есть площадь, и криволинейная трапеция – не исключение. Но как ее подсчитать? Есть приближенный способ подсчета. Разобьем отрезок [a; b] на несколько более мелких отрезков, и построим на каждом из них прямоугольник:
Обозначим площадь первого прямоугольника как S1, площадь второго прямоугольника – как S2 и т. д. Мы строим прямоугольники таким образом, что их левая сторона в точности равна значению функции в соответствующей точке. Обозначим те точки, на которых стоят стороны прямоугольника, как х1, х2, х3 и т. д. Тогда значения функции в этих точках будут соответственно равны у(х1), у(х2) и т. д.:
Площадь каждого полученного прямоугольника подсчитать несложно – она равна произведению его высоты на ширину. Мы организовали разбиение на прямоугольники таким образом, что ширина у них одинакова. Обозначим ее как ∆х. Тогда площадь каждого отдельного прямоугольника равна
Тогда общая площадь криволинейной трапеции приближенно будет равна сумме площадей всех треугольников:
где n – это количество прямоугольников (на рисунках мы выбрали n = 10).
Ясно, что чем больше число n, тем более точное приближение мы получим. Например, если разбить трапецию уже не на 10, а на 20 прямоугольников, то получим такую картинку:
Обратите внимание, что ширина каждого прямоугольника, то есть величина ∆х, уменьшилась.
В правой части стоит сумма бесконечного числа слагаемых. У нее есть специальное название – определенный интеграл. Ясно, что величина этой суммы, то есть площадь трапеции, зависят от чисел а и b (боковых границ трапеции). Поэтому обозначение интеграла выглядит так:
Обозначение очень похоже на неопределенный интеграл. Единственное отличие – это появление чисел а и b, которые определяют боковые границы трапеции. Число b называют верхним пределом интегрирования, а число a– нижним пределом интегрирования. Дадим более строгое определение понятию определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у(х) и вертикальными прямыми, проходящими через точки а и b.
Формула Ньютона-Лейбница
Изначально мы хотели научиться вычислять площадь криволинейной трапеции, однако пока что мы лишь придумали, как ее обозначать – через определенный интеграл. Но как вычислить значение его значение? Оказывается, определенный интеграл очень тесно связан с неопределенным интегралом, и эта связь описывается формулой Ньютона-Лейбница.
Ещё раз построим криволинейную трапецию, а ее площадь обозначим как S. Пусть ее левая граница совпадает с осью Оу, а правая будет равна некоторому значению х0. Дело в том, что нас будет интересовать зависимость площади трапеции от значения ее правой границы, то есть некоторая функция S(x). Обозначим площадь получившейся трапеции как S(x0):
Теперь сдвинем правую границу вправо на величину ∆х. В итоге получим новую трапецию, площадь которой можно записать как S(x0 + ∆x). При этом ее площадь увеличилась на некоторую величину ∆S:
Получается, что мы дали некоторое приращение аргумента ∆х, и получили приращение функции ∆S. Мы уже выполняли похожие действия в рамках предыдущих уроков, изучая понятие производной.
Итак, мы можем записать, что
Оценим величину ∆S. Если заменить соответствующую площадь прямоугольником, то его площадь окажется равной произведению ширины прямоугольника (она равна ∆x) на высоту, которая равна у(х0):
Поделим обе части равенства (2) на величину ∆х и получим:
А теперь устремим величину ∆х к нулю. В результате в равенство (2), а значит, и (3) будет становиться все более точным. В итоге мы можем написать, что
Хорошо подумайте, что мы получили. Вспомните определение производной. Оказывается, в левой части равенства (4) стоит не что иное, как производная функции S! То есть мы можем написать, что
Получается, что производная функции S на равна значению функции у(х). А это значит, что она является ее первообразной:
Здесь F(x) – первообразная функции у(х), а F(x0) – конкретное значение этой первообразной в точке х0.
Теперь рассмотрим более привычную криволинейную трапецию, у которой правой и левой границей являются числа а и b:
Как найти ее площадь? С помощью формулы (5) мы можем найти две площади:
Из рисунков очевидно, что площадь интересующей нас трапеции равна разности величин S(b) и S(a):
Эту площадь мы и обозначаем определенным интегралом. То есть можно записать, что
Таким образом, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, необходимо проинтегрировать функцию у(х), а потом в полученную первообразную подставить числа а и b вычесть один результат из другого.
Для примера вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией у = х 2 и вертикальными прямыми х = 1 и х = 3.
Сначала находим первообразную функции у = х 2 , взяв от нее интеграл (неопределенный):
Отметим, что в обоих случаях речь идет об одной и той же первообразной, поэтому значения констант С у них одинаковы. Теперь вычитаем из F(3) величину F(1):
Константы интегрирования сократились. Для простоты решение записывают в несколько более короткой форме. Сначала сразу после определенного интеграла пишут первообразную (то есть находят неопределенный интеграл), причем без константы интегрирования
Далее ставят вертикальную черту и пишут пределы интегрирования, которые надо подставить в первообразную:
Потом ставят знак равно и подставляют в первообразную верхнее и нижнее число, после чего выполняют оставшиеся арифметические действия:
Задание. Вычислите
Задание. Найдите площадь фигуры, ограниченной полуволной синусоиды и осью Ох.
Решение. Сначала построим схематичный график у = sinx, чтобы понять, что именно нам надо вычислить:
Теперь ясно, что надо произвести вычисление определенного интеграла синуса на отрезке [0; π]:
Итак, мы теперь знаем и про определенный, и про неопределенный интеграл. Хотя они и очень похожи, между ними есть большая разница, и ее важно понимать. Определенный интеграл – это число, а именно величина площади криволинейной трапеции. Неопределенный интеграл – это функция (точнее, семейство функций), которая является первообразной для интегрируемой функции. Формула Ньютона-Лейбница как раз и показывает ту связь, которая есть между двумя этими различными понятиями.
Может ли определенный интеграл быть отрицательным числом? Кажется, что нет, ведь площадь фигур не бывает отрицательной. Но не всё так просто. Рассмотрим случай, когда график функции является не верхней, а нижней границей трапеции. Например, пусть трапеция образована функцией
Просто надо найти определенный интеграл:
Получили отрицательное значение. Дело в том, что фигура располагается под осью Ох. Из-за этого ее площадь получается со знаком минус.
Рассмотрим ещё один пример. Найдем интеграл косинуса на промежутке от 0 до 2π:
Получился ноль. Посмотрим на графике, какую же площадь мы посчитали:
Отметим важное свойство определенного интеграла:
Проиллюстрируем это правило графически. Каждый из этих интегралов равен площади соответствующих криволинейных трапеций:
Задачи, связанные с определенным интегралом
Определенный интеграл помогает находить и площади более сложных фигур, которые получаются при пересечении нескольких различных графиков.
Рассмотрим задачу на интеграл. Пусть требуется найти площадь фигуры, полученной при пересечении параболы
Сначала найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем функции:
Корнями этого квадратного уравнения являются числа 1 и 4. Именно в этих точках и пересекаются графики (это и так видно из графика). Площадь интересующей нас фигуры можно получить вычитанием из одной криволинейной трапеции другой:
Величины S1и S2 можно вычислить через определенный интеграл. Обратите внимание, что найденные нами корни являются пределами интегрирования:
Тогда искомая нами площадь составит
Ошибочно думать, что определенные интегралы нужны только для расчета площадей. С их помощью можно и решать ряд физических задач. Пусть известен закон изменения скорости тела v(t). Можно доказать, что путь, пройденный этим телом за период времени с t1по t2, будет равен интегралу
Задание. Самолет разгоняется, однако из-за сопротивления воздуха он набирает скорость не равномерно. Скорость самолета в момент времени t может быть вычислена по формуле
Определите, какое расстояние пролетит самолет в период времени между 16-ой и 25-ой секундой разгона.
Решение. Задача сводится к простому вычислению интеграла:
Ответ: 610 метров.
Этот пример показывает важную зависимость между скоростью тела и путем, который она преодолевает. Если есть график изменения скорости тела, то площадь под этим графиком равна тому пути, которое проходит тело:
Действительно, если тело двигается равномерно (то есть с постоянной скоростью), то путь, пройденный им, может быть вычислен по известной формуле
Но если построить для такого случая график v(t), то он будет выглядеть как горизонтальная прямая линия. Тогдафигура под графиком окажется прямоугольником, чья площадь равна произведению длины и ширины:
Заметим, что зависимость между путем, скоростью временем носит линейный характер, и именно поэтому здесь может быть использован неопределенный интеграл. Но ведь в физике очень много линейных зависимостей! И во всех этих случаях интегралы играют огромную роль!
Рассмотрим задачу. Есть пружина, которая изначально находится в нерастянутом состоянии. Потом человек начинает медленно и с постоянной скоростью, растягивать пружину, увеличивая ее длину на 0,5 метра. Жесткость пружины (ее коэффициент упругости) равна 100 Н/м. Какую работу совершил человек при растягивании пружины?
Из средней школы известна следующая формула для вычисления работы:
где F– сама сила, а S– путь, пройденный телом под действием этой силы. Легко заметить, что эта формула похожа на ранее рассмотренную зависимость пути от скорости и времени (они обе являются линейными). Сначала рассмотрим простой случай, когда сила остается неизменной. Тогда можно построить график F(S). Окажется, что площадь под графиком как раз равна работе, совершенной силой:
Случай с пружиной сложнее, ведь сила при растяжении пружины не остается неизменной. Чем сильнее растянута пружина, с тем большей силой ее приходится тянуть. Известен закон Гука, связывающий удлинение пружины с силой ее натяжения:
где k – коэффициент жесткости пружины, а x– ее удлинение. По смыслу задачи максимальное удлинение известно и равно 0,5 м. Можно нарисовать такой график зависимости силы натяжения пружины от ее удлинения (он будет выглядеть как прямая линия, так как эта зависимость является прямой пропорциональностью):
И в данном случае работа также будет равна площади под графиком функции, то есть ее можно посчитать с помощью определенного интеграла! В качестве пределов интегрирования надо взять крайние значения удлинения пружины (это 0 и 0,5 м), а качестве интегрируемой функции – F(t), которая равна
Существует и много других примеров приложений определенного интеграла. С его помощью можно находить объемы сложных фигур (конуса, пирамиды, тел вращения), определять центр масс тел сложной формы. Следует отметить и использование интегралов в механике при решении задач, в которых сила действует не на конкретную точку, а на площадь (задачи на распределенную нагрузку). В качестве примера можно привести расчет прочности крыши, на которой лежит слой снега.Но для их рассмотрения необходим более высокий уровень математических и физических знаний, который можно получить уже в рамках не среднего, а высшего образования.
Как всегда, начнем с теории. Как вы помните, неопределенный интеграл от функции - это множество всех первообразных :
В неопределенном интеграле не заданы границы интегрирования, и в результате нахождения неопределенного интеграла от функции мы получаем множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину С.
Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:
Здесь число - нижний предел интегрирования, число - верхний предел интегрирования. Определенный интеграл - это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница :
.
- это значение первообразной функции в точке , и, соответственно, - это значение первообразной функции в точке .
Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.
Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:
Зеленая фигура, ограниченая сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.
Геометрический смысл определенного интеграла:
Определенный интеграл " />
- это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.
Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
Прототип Задания 7 (№ 323080)
На рисунке изображён график некоторой функции . Функция — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.
Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.
Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле :
= F(-8)-F(-10)" />
, где - первообразная функции .
По условию задачи , поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.
Замечу, что в этих задачах очень часто возникают ошибки именно в вычислениях, поэтому советую аккуратно и подробно их записывать, и ничего не считать "в уме".
=
=
Ответ: 4
Посмотрите небольшую видеолекцию, в которой решены все типы задач на первообразную:
Фигуру, ограниченную прямыми \(x=a,\ x=b\), осью абсцисс \(y=0\) и графиком функции \(y=f(x)\) называют криволинейной трапецией .
| Теорема Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции \(y=f(x)\) на интервале [a;b], равна \(F(b)-F(a)\), где \(F(x)\) - первообразная функции \(f(x)\) на [a;b]. |
Доказательство:
Выберем на интервале \(x\in [a;b]\). Площадь соответствующей криволинейной трапеции \(S(x)\) является функцией от \(x\). Дадим переменной \(x\) приращение \(\triangle x\).
Площадь криволинейной трапеции на интервале \(\left[a;x+\triangle x\right]\) равна сумме
\(S(x+\triangle x)=S(x)+S(\triangle x)\). Откуда приращение площади: $$ \triangle S=S(\triangle x)=S(x+\triangle x)-S(x) $$ По теореме о среднем (см. ниже в этом параграфе) между \(x\) и \(x+\triangle x\) всегда найдется такое \(t\), что приращение площади равно произведению: $$ \triangle S=f(t)\cdot (x+\triangle x-x)=f(t)\cdot \triangle x $$ Если \(\triangle x\rightarrow 0\), то \(t\rightarrow x\), и в пределе получаем: \begin S'(x)=\lim_\frac=\lim_ \frac=\lim_f(t)=f(x) \end Т.е. \(S(x)\) является первообразной для \(f(x)\) на [a;b]. В общем виде: $$ S(x)=F(x)+C $$ Найдем C. В точке a: $$ S(a)=0=F(a)+C\Rightarrow C=-F(a) $$ Тогда вся площадь: $$ S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a) $$ Что и требовалось доказать.
п.2. Формула Ньютона-Лейбница
Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции \(y=f(x)\) на интервале [a;b] записывают в виде определенного интеграла : $$ S=\int_^f(x)dx $$ По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл равен: $$ \int_^f(x)dx=F(x)|_a^b=F(a)-F(b) $$
Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $$ y=3-2x-x^2 $$
 | Построим график (см. §28 справочника для 8 класса). Это парабола. \(a\lt 0\) – ветки вниз. Координаты вершины: \begin x_0=-\frac=-\frac=-1,\\ y_0=3+2-1=4 \end Точки пересечения с осью OX: \begin 3-2x-x^2=0\Rightarrow x^2+2x-3=0\\ (x+3)(x-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-3,\\ x=1 \end \right. \end Точка пересечения с осью OY: $$ x=0,\ \ y=3 $$ |
Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция: \(f(x)=3-2x-x^2\)
Пределы интегрирования: \(a=-3,\ b=1\) \begin S=\int_^(3-2x-x^2)dx=\left(3x-2\cdot\frac-\frac\right)|_^=\left(3x-x^2-\frac\right)|_^=\\ =\left(3-cdot 1-1^2-\frac\right)-\left(3\cdot(-3)-(-3)^2-\frac\right)=2-\frac13+9=10\frac23 \end Ответ: \(10\frac23\)
п.3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем
Теорема Лагранжа о среднем
Если функция \(F(x)\) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует такая точка \(\mu\in(a;b)\), что $$ F(b)-F(a)=F'(\mu)(a-b) $$ Пусть \(F'(x)=f(x)\), т.е. функция \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\). Тогда: $$ F(b)-F(a)=\int_^f(x)dx=f(\mu)(b-a) $$
Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем в интегральной форме заключается в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием \(d=b-a\) и высотой \(h=f(\mu)\), где \(a\leq\mu\leq b\).
Теорема о среднем используется при доказательстве многих формул, связанных с использованием определенных интегралов (центра тяжести тела, площади поверхности и т.д.).
п.4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми
Площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми \(x=a,\ x=b,\ a\lt b\) и кривыми \(y=f(x),\ y=g(x)\), причем \(f(x)\geq g(x)\) для любого \(x\in [a;b]\), равна: $$ S=\int_^(f(x)-g(x))dx $$
Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами \(y=x^2\) и \(y=4x-x^2\).
п.5. Примеры
Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) \(f(x)=x^3+3,\ x\in\left[-1;1\right]\)
$$ S=\int_^(x^3+3)dx=\left(\frac+3x\right)|_^=\frac14+3-\left(\frac14-3\right)=6 $$
б) \(f(x)=sin2x,\ x\in\left[0;\frac\pi 2\right]\)
$$ S=\int_^<\frac\pi 2>sin2xdx=-\frac12cos2x|_^<\frac\pi 2>=-\frac12\left(cos\left(2\cdot\frac\pi 2\right)-cos0\right)=-\frac12(-1-1)=1 $$
в) \(f(x)=\frac4x+3,\ x\in\left[2;6\right]\)
\(f(x)=\frac4x+3\) - гипербола с асимптотами \(x=0,\ y=3\)
Площадь под кривой: \begin S=\int_^\left(\frac4x+3\right)dx=(4\cdot \ln|x|+3x)|_^=(4\ln 6+18)-(4\ln 2+6)=\\ =4(\ln 6-\ln 2)+12=4\ln\frac62+12=4\ln 3+12=4(\ln 3+3) \end
г) \(f(x)=\frac>,\ x\in\left[1;4\right]\)
$$ S=\int_^\frac>=\frac>|_^=2\sqrt|_^=2(\sqrt-\sqrt)=2 $$
Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) \(y=x-2,\ y=x^2-4x+2\)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x+2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow (x-1)(x-4)=0\Rightarrow \left[ \begin x=1,\\ x=4 \end \right. $$
Функция сверху: \(f(x)=x-2\)
Функция снизу: \(g(x)=x^2-4x+2\)
Пределы интегрирования: \(a=1,\ b=4\) \begin S=\int_^\left((x-2)-(x^2-4x+2)\right)dx=\int_^(-x^2+5x-4)dx=\\ =\left(-\frac+\frac-4x\right)|_^=\left(-\frac+5\cdot\frac-4\cdot 4\right)-\left(-\frac13+\frac52-4\right)=\\ =-\frac+24+1,5=4,5 \end Ответ: 4,5
б) \(y=e^,\ y=\frac1x,\ x=2,\ x=3\)
Функция сверху: \(f(x)=e^\)
Функция снизу: \(g(x)=\frac1x\)
Пределы интегрирования: \(a=2,\ b=3\) \begin S=\int_^\left(e^-\frac1x\right)dx=(2e^-\ln|x|)|_^=\left(2e^-\ln 3\right)-(2e-\ln 2)=\\ =2e^-2e-\ln 3+\ln 2=2e(\sqrt-1)+\ln\frac23 \end Ответ: \(2e(\sqrt-1)+\ln\frac23\)
в*) \(y=3-x^2,\ y=1+|x|\)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: \begin 3-x^2=1+|x|\Rightarrow x^2+|x|-2=0\Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 0\\ x^2+x-2=0 \end \\ \begin x\lt 0\\ x^2-x-2=0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 0\\ (x+2)(x-1)=0 \end \\ \begin x\lt 0\\ (x-2)(x+1)=0 \end \end \right. \Rightarrow \\ \left[ \begin \begin x\geq 0\\ \left[ \begin x=-2\\ x=1 \end \right. \end \\ \begin x\lt 0\\ \left[ \begin x=2\\ x=-1 \end \right. \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=1\\ x=-1 \end \right. \end
Функция сверху: \(f(x)=3-x^2\)
Функция снизу: \(g(x)=1+|x|\)
Пределы интегрирования: \(a=-1,\ b=1\)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные \(x\in\left[0;1\right]\), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: \begin S=2\int_^\left((3-x^2)-(1+x)\right)dx=2\int_^(-x^2-x+2)dx=2\left(-\frac-\frac+2x\right)|_^=\\ =2\left(-\frac13-\frac12+2\right)-0=\frac73=2\frac13 \end Ответ: \(2\frac13\)
г*) \(y=3sinx,\ y=cosx,\ x=-\frac<5\pi>,\ x=\frac\pi 4\)
На отрезке \(\left[-\frac<5\pi>;-\frac<3\pi>\right]\) синус над косинусом, далее на \(\left[-\frac<3\pi>;\frac<\pi>\right]\) - косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: \begin S=3\int_<-\frac<5\pi>>^<-\frac<3\pi>>(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_<-\frac<5\pi>>^<-\frac<3\pi>>=-3(cosx+sinx)|_<-\frac<5\pi>>^<-\frac<3\pi>> \end Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
\(-\frac<3\pi>+2\pi=\frac<5\pi>;\ -\frac<5\pi>+2\pi=\frac<3\pi>\) \begin -3(cosx+sinx)|_<-\frac<5\pi>>^<-\frac<3\pi>>=-3\left(cos\left(\frac<5\pi>\right)+sin\left(\frac<5\pi>\right)-cos\left(\frac<3\pi>\right)-sin\left(\frac<3\pi>\right)\right)=\\ =-3\left(-\frac<\sqrt>-\frac<\sqrt>+\frac<\sqrt>-\frac<\sqrt>\right)=3\sqrt \end Ответ: \(3\sqrt\)
Пример 4*. Пусть \(S(k)\) - это площадь фигуры, образованной параболой \(y=x^2+2x-3\) и прямой \(y=kx+1\). Найдите \(S(-1)\) и вычислите наименьшее значение \(S(k)\).
 | Точки пересечения прямой и параболы: \begin -x+1=x^2+2x-3\\ x^2+3x-4=0\\ (x+4)(x-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-4,\\ x=1 \end \right. \end Функция сверху: \(y=-x+1\) Функция снизу: \(y=x^2+2x-3\) Пределы интегрирования: \(a=-4,\ b=1\) |
\begin S(-1)=\int_^\left((-x+1)-(x^2+2x-3)\right)dx=\int_^(-x-3x+4)dx=\\ =\left(-\frac-\frac+4x\right)|_^=\left(-\frac13-\frac32+4\right)-\left(\frac-24-16\right)=-21\frac23+42\frac12=20\frac56 \end
2) Решаем в общем виде.
Все прямые \(y=kx+1\) проходят через точку (0;1) и при образовании фигуры находятся над параболой.
Точки пересечения прямой и параболы: \begin kx+1=x^2+2x-3\Rightarrow x^2+(2-k)x-4=0\\ D=(2-k)^2-4\cdot (-4)=(k-2)^2+16\gt 0 \end Дискриминант \(D\gt 0\) при всех \(k\). Точки пересечения (пределы интегрирования): $$ x_=\frac<-(2-k)\pm\sqrt>=\frac
Площадь: \begin S(k)=\int_^\left((kx+1)-(x^2+2x-3)\right)dx=\int_^(-x^2+(k-2)x+4)dx=\\ =\left(-\frac+\frac+4x\right)|_^=-\frac13(x_2^3-x_1^3)+\frac(x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1) \end
 | \begin S(k)_=S(2)\\ x_=\pm 2\\ S(2)=-\frac13\cdot(2^3+2^3)+0+4\sqrt=\\ =-\frac+16=\frac=10\frac23 \end |
Ответ: 1) \(S(-1)=20\frac56\); 2) \(S(k)_=S(2)=10\frac23\)
Пример 5*. Фигура ограничена линиями \(y=(x+3)^2,\ y=0,\ x=0\). Под каким углом к оси OX надо провести прямые через точку (0;9), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части?
| Площадь криволинейной трапеции AOB: \begin S_0=\int_^(x+3)^2dx=\frac|_^=\\ =9-0=9 \end Площадь каждой части: \(S_i=\frac13 S_0=3\) Точки \(C(x_1; 0)\) и \(D(x_2; 0)\) c \(-3\lt x_1\lt x_2\lt 0\) такие, что прямые AC и AD отсекают по 1/3 от фигуры. Площадь прямоугольного треугольника \(\triangle AOD\): \begin S_3=\frac12|x_2|\cdot 9=3\Rightarrow |x_2|=\frac69=\frac23\Rightarrow\\ x_2=-\frac23 \end Площадь прямоугольного треугольника \(\triangle AOC\): \begin S_2+S_3=\frac12|x_1|\cdot 9=6\Rightarrow |x_1|=\frac=\frac43\Rightarrow\\ x_1=-\frac43 \end |
Находим углы соответствующих прямых.
Для \(x_1:\ tg\alpha=\frac<|x_1|>=\frac=\frac,\ \alpha=arctg\frac\)
Для \(x_x:\ tg\beta=\frac<|x_2|>=\frac=\frac,\ \beta=arctg\frac\)
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
ОрловаЕ. А., СеврюковП. Ф., СидельниковВ. И., СмоляковА.Н.Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].
Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции
формула Ньютона – Лейбница
Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым(зависит от расположения криволинейной трапеции).
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1.Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке
Для вычисления площади криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.
№2. Вычислить определенный интеграл:
Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала находим первообразную функцию F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .
Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).
Рассчитываем разность F(b) - F(а), это и будет ответ.
№3. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1) 2 , ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала находим первообразную функцию F(x). Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .
Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).
Определение производной функции? Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента , стремиться к нулю.
Устная работа 1 сosх -sinх+12
Устная работа -cosx
Используя определение производной функции, решают ряд задач в алгебре, физике, химии. Рассмотрим физический смысл производной. материальная точка s(t) закон движения
Задача: Точка движется прямолинейно по закону s(t) = t3+ 2t ( где s(t) – измеряется в м). Найдите скорость точки в момент времени t=2с. Решение: v(t) = v(2) = 3t2 + 2 Ответ: 14 м/с.
Что мы сделали за урок? Повторили определение производной функции и формулы дифференцирования. Решили задачу на применение производной: зная закон движения, нашли скорость при заданном времени. В математике часто приходиться решать обратную задачу: зная скорость найти закон движения.
Задача: По прямой движется материальная точка, скорость которой в момент времени t задается формулой v(t) = 3t2. Найдите закон движения. Решение: Пусть s(t) – закон движения надо найти функцию, производная которой равна 3t2 . Эта задача решена верно, но не полно. Эта задача имеет бесконечное множество решений. 3t2 3t2 3t2 3t2 можно сделать вывод, что любая функция вида s(t)=t3+C является решением данной задачи, где C любое число.
При решении задачи, мы, зная производную функции, восстановили ее первичный образ. Эта операция восстановления - операция интегрирования. Востановленная функция – первообразная ( первичный образ функции) Операция дифферен-цирования функция y = F(х) (первообразная) Операция интегри- рования y = f(х) производная
y = F(x) называют первообразной для y = f(x) на промежутке X, если при x ∈ X F'(x) = f(x) Определение первообразной
Операция дифферен-цирования функция y = F(х) (первообразная) y = f(х) производная Операция интегри- рования В математике много операций которые являются обратными 32 = 9 ? ? Сегодня мы познакомились с новой операцией интегрирование дифференцирование ?
Доказать, что функция является первообразной для функции Решение:
Доказать, что функция является первообразной для функции Решение:
Запомните: Первообразная – это родитель производной:
Три правила нахождения первообразных Если функции у=f(x) и у=g(x) имеют на промежутке первообразные соответственно у=F(x) и у=G(x), то Функция Первообразная у=f(x)+g(x) у=F(x)+G(x) у=kf(x) у=kF(x)
Задача. Для функции y=f(x) найдите первообразные:
Самостоятельно Для функции y=f(x) найдите первообразные:
Основное свойство первообразных Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x). Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y. Геометрическая интерпретация y x
Неопределенный интеграл Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается : , где C – произвольная постоянная.
Интегрирование прослеживается еще в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н.э, Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усеченной пирамиды.
Первым известным методом для расчета интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н.э.), который пытался найти площади и объемы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объем уже известны.
Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчета площадей, парабол и приближенного расчета площади круга. Аналогичные методы были разработаны не зависимо в Китае в 3-м веке н.э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения круга.
Определенный интеграл (Формула Ньютона - Лейбница) Для непрерывной функции на отрезке [a;b] где F(x) – первообразная функции f(x).
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Определенный интеграл В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a, x=b (a 30
Примеры y x 0 a b Y=f(x) b 0 x a y Y=f(x) a b y x 0 Y=f(x)
Определенный интеграл Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков. по определению , его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
Геометрический смысл определенного интеграла Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то
Алгоритм нахождения площади фигуры Задача: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=f(x) и y=g(x). 1. Строим (точно) график данных функций. 2.Найдём абсциссы точек их пересечения (границы интегрирования) из уравнения: f(x)=g(x). Решаем его, находим x1=a,x2=b. 3.Выделяем свою фигуру. Выясняем, является ли данная фигура криволинейной трапецией. 4.Ищем площадь данной фигуры: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле Ньютона-Лейбница: где F(x) – первообразная для f(x). x y a b A C B n Y=f(x) Y=g(x)
Формулы для нахождения площади различных фигур 1. Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (f(x) 37
1. Найдём пределы интегрирования: 2. Данная фигура не является криволинейной трапецией, следовательно, искомую площадь можно получить как разность площадей прямоугольника АBCO и криволинейной трапеции АОCBD.
Физический смысл определенного интеграла При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:
Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла
Площадь фигуры, Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций:
Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b]:
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.
Читайте также: