Как умножить одночлен на многочлен кратко

Обновлено: 05.07.2024

Чтобы умножить многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена умножить на данный одночлен и сложить полученные результаты.

По этому правилу также можно умножить одночлен на многочлен, так как множители можно менять местами.

Примеры

Пример 1. Выполните умножение:

$(y^3-5y^2+4 ) \cdot 2y = y^3 \cdot 2y-5y^2 \cdot 2y+4 \cdot 2y = 2y^4-10y^3+8y $

б) $ a^2+ab+b^2 и 2ab $

$ (a^2+ab+b^2 ) \cdot 2ab = a^2 \cdot 2ab+ab \cdot 2ab+b^2 \cdot 2ab = 2a^3 b+2a^2 b^2+2ab^3 $

в) $\frac x^4+5x^3-4 и \frac x^2 y$

$ (\frac x^4+5x^3-4 )\cdot \frac x^2 y = \frac x^4 \cdot \frac x^2 y+5x^3 \cdot \frac x^2 y-4\cdot \frac x^2 y = \frac x^6 y+1 \frac x^5 y-x^2 y $

г) $ 0,8t^4+1,5t-0,2 и 10t^3$

$ (0,8t^4+1,5t-0,2 )\cdot 10t^3 = 0,8t^4 \cdot 10t^3+1,5t \cdot 10t^3-0,2 \cdot 10t^3 = 8t^7+15t^4-2t^3 $

Пример 2. Упростите выражение:

б) $ x^3-x(x^2-1)-0,5 = x^3-x^3+x-0,5 = x-0,5 $

в) $ 3ax^2+ax-ax(3x-5) = 3ax^2+ax-3ax^2+5ax = 6ax $

г) $ \frac x^2 y+x^3-x^2 (y+x) = \frac x^2 y+x^3-x^2 y-x^3 = -\frac x^2 y $

Пример 3. Решите уравнение:

Пример 4. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) $3(x^3+4)-5x(x^2+x)+2x^2 (x+2,5) = 3x^3+12-5x^3-5x^2+2x^3+5x^2 = 12$

б) $5ab-4(a^2-1)+a(4a-5b) = 5ab-4a^2+4+4a^2-5ab = 4$

Пример 5. Сумма двух чисел равна 50. Если первое число умножить на 7, а второе на 2, сумма этих произведений равна 195. Найдите эти числа.

Пусть x - первое число. Тогда второе 50-x. Получаем:

x = 19 - первое число

50-x = 50-19 = 31 - второе число

Ответ: 19 и 31

Пример 6. Сколько лет человеку, если известно, что через 20 лет он будет в 3 раза старше, чем был 20 лет тому назад?

Пусть x лет – возраст человека сегодня. По условию:

Ответ: 40 лет

Пример 7. Докажите, что при любом значении переменной выражение всегда положительно:

$$ = 15x^3-5x-6x^3-6x-9x^3-21x+32x+32 = 32 \gt 0 $$

Значение выражения не зависит от значения переменной и всегда положительно.

Пример 8*. При каком значении параметра a многочлен $2y^3+5ay^2-ay-1$ принимает одинаковые значения при y = 1 и y = -1?

Введем обозначение P(y;a) = $2y^3+5ay^2-ay-1$

Подставим данные значения y.

$ P(1;a) = 2\cdot1^3+5a\cdot1^2-a\cdot1-1 = 4a+1 $

$P(-1;a) = 2 \cdot (-1)^3+5a \cdot (-1)^2-a \cdot (-1)-1 = 6a-3$

По условию: $ P(1;a) = P(1;a) \Rightarrow 4a+1 = 6a-3 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2 $

Частный случай умножения многочлена на многочлен – умножение многочлена на одночлен. В этой статье сформулируем правило совершения этого действия и разберем теорию на практических примерах.

Правило умножения многочлена на одночлен

Разберемся с тем, что является основой умножения многочлена на одночлен. Данное действие опирается на распределительное свойство умножения относительно сложения. Буквенно это свойство записывается так: ( a + b ) · c = a · c + b · c ( a , b и c – некоторые числа). В этой записи выражение ( a + b ) · c является как раз произведением многочлена ( a + b ) на одночлен c . Правая же часть равенства a · c + b · c - это сумма произведений одночленов a и b на одночлен c .

Приведенные рассуждения позволяют нам сформулировать правило умножения многочлена на одночлен:

Для осуществления действия умножения многочлена на одночлен необходимо:

записать произведение многочлена и одночлена, которые необходимо перемножить;
умножить каждый член многочлена на заданный одночлен;
найти сумму полученных произведений.

Дополнительно поясним приведенный алгоритм.

Чтобы составить произведение многочлена на одночлен, исходный многочлен заключают в скобки; далее между ним и заданным одночленом ставится знак умножения. В случае, когда запись одночлена начинается со знака минус, его также необходимо заключить в скобки. К примеру, произведение многочлена − 4 · x 2 + x − 2 и одночлена 7 · y запишем как ( − 4 · x 2 + x − 2 ) · 7 · y , а произведение многочлена a 5 · b − 6 · a · b и одночлена − 3 · a 2 составим в виде: ( a 5 · b − 6 · a · b ) · ( − 3 · a 2 ) .

Следующий шаг алгоритма – перемножение каждого члена многочлена на заданный одночлен. Составляющими многочлена служат одночлены, т.е. по сути нам необходимо выполнить умножение одночлена на одночлен. Допустим, что после первого шага алгоритма мы получили выражение ( 2 · x 2 + x + 3 ) · 5 · x , тогда вторым шагом перемножаем каждый член многочлена 2 · x 2 + x + 3 с одночленом 5 · x , получая таким образом: 2 · x 2 · 5 · x = 10 · x 3 , x · 5 · x = 5 · x 2 и 3 · 5 · x = 15 · x . Результатом станут одночлены 10 · x 3 , 5 · x 2 и 15 · x .

Последнее действие согласно правилу - сложение полученных произведений. Из предложенного примера, проделав данный шаг алгоритма, получим: 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x .

Стандартно все шаги записывают как цепочку равенств. Например, нахождение произведения многочлена 2 · x 2 + x + 3 и одночлена 5 · x запишем так: ( 2 · x 2 + x + 3 ) · 5 · x = 2 · x 2 · 5 · x + x · 5 · x + 3 · 5 · x = 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x . Исключив промежуточное вычисление второго шага, краткое решение возможно оформить следующим образом: ( 2 · x 2 + x + 3 ) · 5 · x = 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x .

Рассмотренные примеры дают возможность заметить важный нюанс: в результате перемножения многочлена и одночлена получается многочлен. Данное утверждение верно для любых перемножаемых многочлена и одночлена.

По аналогии осуществляется умножение одночлена на многочлен: заданный одночлен перемножают с каждым членом многочлена и полученные произведения суммируются.

Примеры умножения многочлена на одночлен

Необходимо найти произведение: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x .

Решение

Первый шаг правила уже выполнен – произведение записано. Теперь выполняем следующий шаг, умножая каждый член многочлена на заданный одночлен. В данном случае удобно сначала перевести десятичные дробив обыкновенные. Тогда получим:

1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x = 1 , 4 · x 2 · - 2 7 · x - 3 , 5 · y · - 2 7 · x = = - 1 , 4 · 2 7 · x 2 · x + 3 , 5 · 2 7 · x · y = - 7 5 · 2 7 · x 3 + 7 5 · 2 7 · x · y = - 2 5 · x 3 + x · y

Ответ: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x = - 2 5 · x 3 + x · y .

Уточним, что, когда исходные многочлен и/или одночлен заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду.

Заданы многочлен 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 и одночлен − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a . Необходимо найти их произведение.

Решение

Мы видим, что исходные данные представлены в нестандартном виде, поэтому для удобства дальнейших вычислений приведем их в стандартный вид:

− 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a = ( − 0 , 5 ) · ( − 2 ) · ( a · a ) · b = 1 · a 2 · b = a 2 · b 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 = ( 3 − 2 ) + ( a + 3 · a ) − 2 · a 2 = 1 + 4 · a − 2 · a 2

Теперь осуществим перемножение одночлена a 2 · b на каждый член многочлена 1 + 4 · a − 2 · a 2

a 2 · b · ( 1 + 4 · a − 2 · a 2 ) = a 2 · b · 1 + a 2 · b · 4 · a + a 2 · b · ( − 2 · a 2 ) = = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Мы могли бы не приводить исходные данные к стандартному виду: решение при этом оказалось бы более громоздким. При этом последним шагом возникал бы необходимость приведения подобных членов. Для понимания приведем решение по этой схеме:

− 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · ( 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 ) = = − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · 3 − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · a − 0 , 5 · a · · b · ( − 2 ) · a · ( − 2 · a 2 ) − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · 3 · a − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · ( − 2 ) = = 3 · a 2 · b + a 3 · b − 2 · a 4 · b + 3 · a 3 · b − 2 · a 2 · b = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Ответ: − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · ( 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 ) = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b .

Умножим одночлен на многочлен .

Для этого составим их произведение и, используя распределительное свойство умножения, преобразуем его. Для этого умножим одночлен на каждый член многочлена и сложим результаты:

То есть произведение одночлена и многочлена мы представили в виде многочлена .

Вообще, произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена. При умножении одночлена на многочлен пользуются правилом:

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Приведённое правило позволяет умножать многочлен на одночлен, так как для произведения одночлена и многочлена справедливо переместительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.

Одночленом называют произведение чисел, переменных и степеней.

Многочленом является алгебраическое выражение в виде суммы или разности нескольких одночленов.

Стандартный вид многочлена представляет собой запись многочлена, как суммы одночленов стандартного вида, среди которых отсутствуют подобные одночлены.

Алгоритм приведения многочлена к стандартному виду:

Запись всех одночленов, которые составляют многочлен, в стандартном виде.
Приведение подобных членов.

Существует несколько полезных правил, которые можно использовать при решении задач на умножение многочленов и одночленов.

Умножение двучленов в алгебре выполняют таким образом:

( a + b ) × ( c + d ) = a c + a d + b c + b d

Когда требуется найти произведение двучлена и трехчлена, следует воспользоваться следующей формулой:

( a + b + c ) × ( x + y ) = a x + b x + c x + a y + b y + c y

При умножении трехчленов, включая дроби, можно руководствоваться правилом, записанным в виде уравнения:

( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c

Таким образом, произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена и каждого члена второго многочлена. После сложения полученных произведений при наличии такой возможности следует привести сложный многочлен к стандартному виду.

Распределительные свойства умножения

Распределительное свойство умножения относительно сложения: произведение числа и суммы двух чисел равно сумме произведений этого числа и каждого слагаемого.

a × ( b + c ) = a b + a c

( b + c ) × a = a b + a c

Распределительное свойство умножения относительно вычитания: произведение числа и разности двух чисел равно разности произведения этого числа и уменьшаемого и произведения этого числа и вычитаемого.

a × ( b - c ) = a b - a c

( b - c ) × a = a b - a c

Распределительное свойство умножения справедливо и в том случае, когда в примере записано большее количество чисел. К примеру, если требуется найти произведение числа и суммы трех слагаемых, то можно воспользоваться следующей формулой:

a × ( b + c + d ) = a b + a c + a d

Рассмотрим несколько примеров решения задач на распределительное свойство умножения, которые часто можно встретить на уроках в средних классах школы:

28 × 7 = ( 20 + 8 ) × 7 = 20 × 7 + 8 × 7 = 140 + 56 = 196

28 × 7 = ( 30 – 2 ) × 7 = 30 × 7 – 2 × 7 = 210 – 14 = 196

56 × 9 = ( 50 + 6 ) × 9 = 50 × 9 + 6 × 9 = 450 + 54 = 504

56 × 9 = ( 60 – 4 ) × 9 = 60 × 9 - 4 × 9 = 540 – 36 = 504

473 × 7 = ( 400 + 70 + 3 ) × 7 = 400 × 7 + 70 × 7 + 3 × 7 = 2800 + 490 + 21 = 3290 + 21 = 3311

Используя распределительное свойство умножения, можно достаточно легко избавляться от скобок. В качестве тренировки рассмотрим примеры:

8 ( 3 x + 5 y ) = 8 × 3 x + 8 × 5 y = 24 x + 40 y

10 ( 7 a – 5 b ) = 10 × 7 a - 10 × 5 b = 70 a – 50 b

Распределительное свойство умножения работает также в обратном порядке:

a b + a c = a ( b + c )

Здесь общий множитель, роль которого играет а, был вынесен за скобки. В скобках в итоге остается сумма двух слагаемых b и c.

Алгоритм умножения одночлена на многочлен, пояснения на примерах

При умножении одночлена на многочлен нужно применить алгоритму:

найти произведение этого одночлена и каждого члена многочлена;
полученные результаты суммировать.

В процессе решения задач на умножение одночлена и многочлена пригодятся следующие правила из теории:

распределительное свойство умножения: a ( b + c ) = a b + a c ;
правило умножения степеней, которые имеют одинаковые основания: a x × a y = a x + y ;
правило расстановки знаков при умножении.

Важно заметить, что при умножении одночлена на многочлен в результате получается многочлен. Разберем несколько типичных задач.

Предположим, что требуется найти произведение следующих выражений:

Запишем произведение и раскроем скобки, руководствуясь распределительным свойством умножения:

- 5 a ( 3 a + 4 b 2 ) = - 5 a × 3 a + ( - 5 a ) × 4 b 2

Далее следует найти произведение одночленов:

- 5 a × 3 a + ( - 5 a ) × 4 b 2 = - 15 a – 20 a b 2

При разложении заметим, что подобные члены отсутствуют. Поэтому можно записать ответ в таком виде:

- 5 a ( 3 a + 4 b 2 ) = - 15 a – 20 a b 2

Предположим, что имеются некий одночлен 2y и многочлен x - x y + 2 . Попробуем найти их произведение:

Воспользуемся переместительным свойством умножения и избавимся от скобок:

2 y ( x - x y + 2 ) = 2 y × x – 2 y × x y + 2 y ) × 2

Найдем произведение одночленов:

2 y × x - 2 y × x y + 2 y × 2 = 2 x y - 2 x y 2 + 4 y

Сокращенная запись решения:

( x - x y + 2 ) 2 y = 2 x y - 2 x y 2 + 4 y

Попробуем упростить выражение:

3 x 2 - x ( 4 x - 6 y )

Избавимся от скобок и приведем подобные члены:

3 x 2 - x ( 4 x - 6 y ) = 3 x 2 - 4 x 2 + 6 x y = - 1 x 2 + 6 x y

В результате получилась алгебраическая сумма:

Задания для самостоятельной работы

Требуется найти произведение одночлена 2a и многочлена a 2 − 7 a – 3 .

Воспользуемся распределительным свойством умножения, чтобы избавиться от скобок, и суммируем полученные результаты:

2 a ( a 2 − 7 a − 3 ) = 2 a × a 2 + 2 a × ( − 7 a ) + 2 a × ( − 3 ) = 2 a 3 + ( − 14 a 2 ) + ( − 6 a ) = 2 a 3 − 14 a 2 − 6 a

Упрощенный вариант записи:

2 a ( a 2 − 7 a − 3 ) = 2 a 3 − 14 a 2 − 6 a

Ответ: 2 a 3 − 14 a 2 − 6 a

Вычислить произведение одночлена и многочлена:

a 2 b 2 − a 2 − b 2

С помощью распределительного свойства умножения раскроем скобки и найдем сумму полученных произведений:

− a 2 b 2 ( a 2 b 2 − a 2 − b 2 ) = − a 2 b 2 × a 2 b 2 + ( − a 2 b 2 ) × ( - a 2 ) + ( − a 2 b 2 ) × ( - b 2 ) = − a 4 b 4 + a 4 b 2 + a 2 b 4

Более короткий вариант записи:

− a 2 b 2 ( a 2 b 2 − a 2 − b 2 ) = − a 4 b 4 + a 4 b 2 + a 2 b 4

Ответ: − a 4 b 4 + a 4 b 2 + a 2 b 4

− 1 , 4 x 2 y 6 ( 5 x 3 y − 1 , 5 x y 2 − 2 y 3 )

Воспользуемся распределительным свойством умножения и найдем сумму полученных произведений:

− 1 , 4 x 2 y 6 ( 5 x 3 y − 1 , 5 x y 2 − 2 y 3 ) = − 1 , 4 x 2 y 6 × 5 x 3 y + ( − 1 , 4 x 2 y 6 ) × ( − 1 , 5 x y 2 ) + ( − 1 , 4 x 2 y 6 ) × ( − 2 y 3 ) = − 7 x 5 y 7 + 2 , 1 x 3 y 8 + 2 , 8 x 2 y 9

Решение можно записать в упрощенном виде:

− 1 , 4 x 2 y 6 ( 5 x 3 y − 1 , 5 x y 2 − 2 y 3 ) = − 7 x 5 y 7 + 2 , 1 x 3 y 8 + 2 , 8 x 2 y 9

Ответ: − 7 x 5 y 7 + 2 , 1 x 3 y 8 + 2 , 8 x 2 y 9

Найти произведение одночлена и многочлена:

- 1 2 x y ( 2 3 x 2 - 3 4 x y + 4 5 y 2 )

В первую очередь найдем произведение одночлена и первого члена многочлена:

- 1 2 x y × 2 3 x 2 = - 1 3 x 3 y

Далее проделаем аналогичное действие с одночленом и вторым членом многочлена:

- 1 2 x y × ( - 3 4 x y ) = 3 8 x 2 y 2

Затем умножим одночлен на третий член многочлена:

- 1 2 x y × 4 5 y 2 = - 2 5 x y 3

- 1 2 x y ( 2 3 x 2 - 3 4 x y + 4 5 y 2 ) = - 1 2 x y × 2 3 x 2 + ( - 1 2 x y ) × ( - 3 4 x y ) + ( - 1 2 x y ) × ( - 3 4 x y ) + ( - 1 2 x y ) × 4 5 y 2 = - 1 3 x 3 y + 3 8 x 2 y 2 + ( - 2 5 x y 3 )

Сокращенный вариант записи:

- 1 2 x y ( 2 3 x 2 - 3 4 x y + 4 5 y 2 ) = - 1 3 x 3 y + 3 8 x 2 y 2 + ( - 2 5 x y 3 )

Ответ: - 1 3 x 3 y + 3 8 x 2 y 2 + ( - 2 5 x y 3 )

В первую очередь умножим 2 на многочлен (a + b), а полученное произведение запишем в скобках:

2 ( a + b ) c = ( 2 a + 2 b ) с

Скобки в данном случае потребовались, чтобы правильно выполнить дальнейшее умножение выражения на член с. Вычислим это произведение:

2 ( a + b ) c = ( 2 a + 2 b ) с = 2 a c + 2 b c

Второй вариант решения заключается в умножении (a + b) на с. Полученное выражение следует умножить на 2:

2 ( a + b ) c = 2 ( a c + b c ) = 2 a c + 2 b c

Заметим, что произведение не определяется порядком действий, когда выражение включает в себя несколько сомножителей. Таким образом, работает сочетательный закон умножения.

Читайте также: