Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю кратко

Обновлено: 04.07.2024

Приведение дробей к общему знаменателю – это замена дробей с разными знаменателями на равные им по величине дроби, но имеющие одинаковые знаменатели.

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом выполняется данная операция. Также разберем практические примеры для лучшего понимания изложенного материала.

Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю

Для того, чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, выполняем следующие шаги:

Находим наименьшее общее кратное (НОК) обоих знаменателей.
Находим дополнительный множитель для каждой дроби, равный результату деления НОК на знаменатель этой дроби.

Примеры

Пример 1

к наименьшему общему знаменателю.

Решение
Сократить данные дроби не получится, поэтому сразу переходим к шагу 2 описанного выше алгоритма.
Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей – это число 48.
Дополнительный множитель: для первой дроби со знаменателем 12 равняется 4 (48:12), для второй дроби со знаменателем 16 равен 3 (48:16).
Теперь числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на найденный для них дополнительный множитель.

В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.

Что такое приведение дроби к общему знаменателю?

Обыкновенные дроби состоят из числителя - верхней части, и знаменателя - нижней части. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, говорят, что они приведены к общему знаменателю. Например, дроби 11 14 , 17 14 , 9 14 имеют одинаковый знаменатель 14 . Другими словами, они приведены к общему знаменателю.

Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.

Очевидно, что дроби 4 5 и 3 4 не приведены к общему знаменателю. Чтобы это сделать, нужно с использованием дополнительных множителей 5 и 4 привести их к знаменателю 20. Как именно сделать это? Умножим числитель и знаменатель дроби 4 5 на 4 , а числитель и знаменатель дроби 3 4 умножим на 5 . Вместо дробей 4 5 и 3 4 получим соответственно 16 20 и 15 20 .

Приведение дробей к общему знаменателю

Приведение дробей к общему знаменателю - это умножение числителей и знаменателей дробей на такие множители, что в результате получаются идентичные дроби с одинаковым знаменателем.

Общий знаменатель: определение, примеры

Что такое общий знаменатель?

Общий знаменатель дробей - это любое положительное число, которое является общим кратным всех данных дробей.

Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.

Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.

Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, пользуясь определением. Пусть есть дроби 1 6 и 3 5 . Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное для чисел 6 и 5 . Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.

Пример 1. Общий знаменатель

Можно ди дроби 1 3 , 21 6 , 5 12 привести к общему знаменателю, который равен 150 ?

Чтобы выяснить, так ли это, нужно проверить, является ли 150 общим кратным для знаменателей дробей, то есть для чисел 3 , 6 , 12 . Другими словами, число 150 должно без остатка делиться на 3 , 6 , 12 . Проверим:

150 ÷ 3 = 50 , 150 ÷ 6 = 25 , 150 ÷ 12 = 12 , 5

Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.

Наименьший общий знаменатель

Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель дробей - это наименьшее число среди всех общих знаменателей этих дробей.

Наименьший общий делитель данного набора чисел - это наименьшее общее кратное (НОК). НОК всех знаменателей дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.

Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:

Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель

Нужно найти наименьший общий знаменатель для дробей 1 10 и 127 28 .

Ищем НОК чисел 10 и 28 . Разложим их на простые множители и получим:

10 = 2 · 5 28 = 2 · 2 · 7 Н О К ( 15 , 28 ) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.

Правило приведения дробей к общему знаменателю

Найти наименьший общий знаменатель дробей.
Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Чтобы найти множитель нужно наименьший общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби.
Умножить числитель и знаменатель на найденный дополнительный множитель.

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.

Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю

Есть дроби 3 14 и 5 18 . Приведем их к наименьшему общему знаменателю.

По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.

14 = 2 · 7 18 = 2 · 3 · 3 Н О К ( 14 , 18 ) = 2 · 3 · 3 · 7 = 126

Вычисляем дополнительные множители для каждой дроби. Для 3 14 дополнительный множитель находится как 126 ÷ 14 = 9 , а для дроби 5 18 дополнительный множитель будет равен 126 ÷ 18 = 7 .

Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:

3 · 9 14 · 9 = 27 126 , 5 · 7 18 · 7 = 35 126 .

Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю

По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.

Приведем еще один пример.

Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю

Привести дроби 3 2 , 5 6 , 3 8 и 17 18 к наименьшему общему знаменателю.

Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:

Н О К ( 2 , 6 ) = 6 Н О К ( 6 , 8 ) = 24 Н О К ( 24 , 18 ) = 72 Н О К ( 2 , 6 , 8 , 18 ) = 72

Далее вычислим дополнительные множители для каждой дроби.

Для 3 2 дополнительный множитель равен 72 ÷ 2 = 36 , для 5 6 дополнительный множитель равен 72 ÷ 6 = 12 , для 3 8 дополнительный множитель равен 72 ÷ 8 = 9 , наконец, для 17 18 дополнительный множитель равен 72 ÷ 18 = 4 .

Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:

Любые дроби с разными знаменателями в математике можно привести к одному и тому же общему знаменателю — заменить на равные им дроби с одинаковым знаменателем.

Есть два вида знаменателей:

Общий — их существует бесконечное множество для любых двух и более дробей.
Наименьший общий — для любых двух и более дробей такой знаменатель есть лишь один.

Общий знаменатель — это число или выражение, которое является знаменателем для двух и более обыкновенных дробей.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Наименьший общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей.

Производить данную операцию необходимо в ряде случаев.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями. При умножении, делении и возведении в степень это необязательно.
Для сравнения дробей, поскольку это значительно упрощает операцию.
При решении задач с дробными выражениями: например, задач на доли или проценты.

Как привести дроби к общему знаменателю, алгоритм

Чтобы осуществить операцию приведения, необходимо применить основное свойство дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля, дробь не изменится. То есть если подобрать правильные множители, то можно привести знаменатели к одному и тому же числу. Искомые множители называют дополнительными.

Это объяснение лежит в основе общего правила приведения дробей.

Найти общий знаменатель.
Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для этого необходимо разделить общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.
Умножить обе части дроби на дополнительный множитель.

Существует несколько способов привести дроби к общему или наименьшему общему знаменателю.

Умножить первую дробь на знаменатель второй дроби.
Умножить вторую дробь на знаменатель первой дроби.
При возможности — сократить получившиеся выражения.

Недостаток этого метода — в размерах вычислений. При умножении могут получиться большие числа, которыми тяжело оперировать.

Метод общих делителей

Иногда один из знаменателей дроби уже делится на другой без остатка. В таком случае нет нужды перемножать их, количество действий сокращается.

Поделить больший знаменатель на меньший. Результат деления — это искомый дополнительный множитель.
Умножить дробь с меньшим знаменателем на дополнительный множитель. Другую дробь умножать ни на что не нужно.

Метод наименьшего общего кратного

Суть приведения заключается в том, чтобы найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. К этому числу и необходимо привести знаменатели обеих дробей.

Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее число, на которое делится каждый из знаменателей. Обозначается он как НОК (a; b).

НОК (3; 4) = 12; НОК (8; 12) = 24.

Таким образом, основное преимущество это метода заключается в краткости вычислений. При этом его недостатком является сложность нахождения НОК в некоторых случаях.

Примеры задач с подробным решением

Задача

Вычислить значение выражения \(\frac45-\frac8\) .

Решение

Получившуюся дробь можно сократить на 5:

Однако решение можно сократить, применив метод общих делителей. 15 делится на 5 без остатка. При таком делении дополнительным множителем для первой дроби будет число 3:

Задача

Вычислить значение выражения \(\frac3+\frac6\) .

Решение

Решить эту задачу методом общих делителей невозможно, ведь 20 не делится без остатка на 15. При этом оба числа являются большими:

Оптимальным вариантом решения является метод наименьшего общего кратного.

Число 15 можно представить как \(15=5\cdot3\) . Число 20 можно представить как \(20=5\cdot4\) .

Множитель 5 является общим для обоих выражений, а числа 3 и 4 взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме \(\pm1\) . Тогда:

\(НОК (15; 20) = 5\cdot3\cdot4=60\)

При делении 60 на знаменатели обеих дробей получаются дополнительные множители 4 и 3. Используем их для вычислений:

На уроке продолжается тема предыдущего урока и более подробно рассматриваются методы приведения дробей к общему знаменателю с использованием основного свойства дроби. Умение приводить дроби к общему знаменателю является важнейшим для сложения и вычитания дробей, что будет рассмотрено на дальнейших уроках. Основной упор сделан на сложные случаи, в которых для приведения дробей к общему знаменателю требуется умение разложения многочленов на множители и нахождения наименьшего общего знаменателя для двух многочленов. В ходе изложения материала приводится большое количество примеров, что позволяет развить и наработать навыки обращения со сложными дробными выражениями. В конце урока делается анонс дальнейших тем и демонстрируется пример вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Читайте также: