Как определяются знаки изгибающих моментов и поперечных сил кратко
Обновлено: 04.07.2024
Изгибающий момент в поперечном сечении считается положительным, когда он на левом торце правой части балки направлен по часовой стрелке, а на правом торце левой части балки направлен против часовой стрелки (рис. 5.5).
Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз, и наоборот:
Пример
Для балки (рис. 5.7) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов Мизг, если
внешний момент М=10 кН×м;
сосредоточенная сила P=2 кН;
распределенная нагрузка q=1 кН/м.
Линейные размеры приведены на схеме.
1. Расчет балки начинаем с определения реакций опор, для чего составляем уравнения равновесия для моментов относительно точек А и В.
- если внешние нагрузки перпендикулярны оси балки, то продольная составляющая опорной реакции равна нулю. Поэтому для шарнирно-неподвижной опоры рассматриваем только вертикальную составляющую реакции;
- распределенную нагрузку q (на участке балки длиной l) заменяем эквивалентной сосредоточенной силой Q=q×l, приложенной к середине поверхности распределения.
Решаем уравнения равновесия:
Подставляем численные значения:
Знак минус означает, что реакция RB направлена в сторону, противоположную выбранной на схеме нагружения балки.
После вычисления реакций опор обязательна проверка: сумма проекций всех сил на ось Oy должна быть равна нулю.
0 = 0 Þ RА и RB вычислены верно.
2. Рассчитаем поперечные силы и изгибающие моменты с помощью метода сечений.
Границы участков проводим через сечения, в которых приложены внешние нагрузки.
I участок. 0 £ z1 £ 1.
Проводим произвольное сечение. Отбрасываем правую часть балки. Рассматриваем равновесие левой части, заменив действие отброшенной (правой) части внутренними усилиями Q I и .
Условимся считать поперечную силу и изгибающий момент положительными, а значит, рассматривая оставленную левую часть балки, направляем Q I и . следующим образом (в соответствии с правилами знаков):
Рассматривая оставленную правую часть балки (левая отброшена), с учётом правила знаков, направляем Q I и . следующим образом:
Составляем уравнения равновесия (точка K – центр тяжести сечения):
- Q I на I-м участке – величина постоянная, не зависящая от z, следовательно, эпюра поперечной силы на этом участке – прямая, параллельная оси z;
- изгибающий момент на I-м участке является функцией от переменной z, причем зависимость линейная, следовательно, ее график – эпюра – прямая наклонная линия. Чтобы ее построить, вычислим значения в двух граничных точках участка:
(кН×м).II участок. 0 £ z2 £ 1.
Проводим произвольное сечение. Отбрасываем правую часть балки. Рассматриваем равновесие левой (оставленной) части, заменив действие отброшенной части внутренними усилиями Q II и .
Составляем уравнения равновесия:
- Q II на II-м участке – величина постоянная, не зависящая от z, следовательно, эпюра поперечной силы на этом участке – прямая, параллельная оси z;
- изгибающий момент на II-м участке является линейной функцией от z, следовательно, его эпюра – прямая наклонная линия. Рассчитаем граничные значения для II-го участка (при z2=0 и при z2=1):
III участок. 0 £ z3 £ 2.
Последний, третий участок рассмотрим справа налево. То есть после рассечения балки произвольным сечением мысленно отбросим ее левую часть и изучим равновесие правой ее части.
Этот прием служит своеобразной проверкой правильности вычислений: найденные численные значения Q III и справа и слева от границы II и III участков должны совпасть.
Составляем уравнения равновесия правой части балки, заменив действие отброшенной части внутренними усилиями Q III и :
Получили: эпюра Q III на III-м участке – наклонная прямая. Построим ее по двум точкам, граничным для III-го участка (для z3=0 и для z3=2):
Для изгибающих моментов:
Получили: изгибающий момент на III-м участке является квадратичной функцией относительно z, следовательно, его эпюра – парабола. Рассчитаем граничные значения в граничных точках III-го участка и в его середине (чтобы узнать, как изогнута парабола).
Проанализируем характер эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:
1) у эпюры поперечной силы Q в сечениях, в которых приложены внешние силы, - скачки на величину силы;
2) распределенной нагрузке на эпюре поперечной силы Q соответствует наклонная прямая линия;
3) распределенной нагрузке на эпюре изгибающих моментов соответствует участок параболы.
Литература
1. В.И.Феодосьев. Сопротивление материалов, М., Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.
2. Степин П.А. Сопротивление материалов. Учебник для немашиностроит. спец. вузов. – 9-е изд. – М.: Интеграл-Пресс, 1997.
3. А.С.Таланов. Сборник задач по сопротивлению материалов, С-Пб, 1996.
4. Мовнин М.С., Израелит А.Б., Рубашкин А.Г. Основы технической механики. СПб Машиностроение, 1992 - 287 с.
Изгибающий момент в поперечном сечении считается положительным, когда он на левом торце правой части балки направлен по часовой стрелке, а на правом торце левой части балки направлен против часовой стрелки (рис. 5.5).
Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз, и наоборот:
Пример
Для балки (рис. 5.7) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов Мизг, если
внешний момент М=10 кН×м;
сосредоточенная сила P=2 кН;
распределенная нагрузка q=1 кН/м.
Линейные размеры приведены на схеме.
1. Расчет балки начинаем с определения реакций опор, для чего составляем уравнения равновесия для моментов относительно точек А и В.
- если внешние нагрузки перпендикулярны оси балки, то продольная составляющая опорной реакции равна нулю. Поэтому для шарнирно-неподвижной опоры рассматриваем только вертикальную составляющую реакции;
- распределенную нагрузку q (на участке балки длиной l) заменяем эквивалентной сосредоточенной силой Q=q×l, приложенной к середине поверхности распределения.
Решаем уравнения равновесия:
Подставляем численные значения:
Знак минус означает, что реакция RB направлена в сторону, противоположную выбранной на схеме нагружения балки.
После вычисления реакций опор обязательна проверка: сумма проекций всех сил на ось Oy должна быть равна нулю.
0 = 0 Þ RА и RB вычислены верно.
2. Рассчитаем поперечные силы и изгибающие моменты с помощью метода сечений.
Границы участков проводим через сечения, в которых приложены внешние нагрузки.
I участок. 0 £ z1 £ 1.
Проводим произвольное сечение. Отбрасываем правую часть балки. Рассматриваем равновесие левой части, заменив действие отброшенной (правой) части внутренними усилиями Q I и .
Условимся считать поперечную силу и изгибающий момент положительными, а значит, рассматривая оставленную левую часть балки, направляем Q I и . следующим образом (в соответствии с правилами знаков):
Рассматривая оставленную правую часть балки (левая отброшена), с учётом правила знаков, направляем Q I и . следующим образом:
Составляем уравнения равновесия (точка K – центр тяжести сечения):
- Q I на I-м участке – величина постоянная, не зависящая от z, следовательно, эпюра поперечной силы на этом участке – прямая, параллельная оси z;
- изгибающий момент на I-м участке является функцией от переменной z, причем зависимость линейная, следовательно, ее график – эпюра – прямая наклонная линия. Чтобы ее построить, вычислим значения в двух граничных точках участка:
(кН×м).II участок. 0 £ z2 £ 1.
Проводим произвольное сечение. Отбрасываем правую часть балки. Рассматриваем равновесие левой (оставленной) части, заменив действие отброшенной части внутренними усилиями Q II и .
Составляем уравнения равновесия:
- Q II на II-м участке – величина постоянная, не зависящая от z, следовательно, эпюра поперечной силы на этом участке – прямая, параллельная оси z;
- изгибающий момент на II-м участке является линейной функцией от z, следовательно, его эпюра – прямая наклонная линия. Рассчитаем граничные значения для II-го участка (при z2=0 и при z2=1):
III участок. 0 £ z3 £ 2.
Последний, третий участок рассмотрим справа налево. То есть после рассечения балки произвольным сечением мысленно отбросим ее левую часть и изучим равновесие правой ее части.
Этот прием служит своеобразной проверкой правильности вычислений: найденные численные значения Q III и справа и слева от границы II и III участков должны совпасть.
Составляем уравнения равновесия правой части балки, заменив действие отброшенной части внутренними усилиями Q III и :
Получили: эпюра Q III на III-м участке – наклонная прямая. Построим ее по двум точкам, граничным для III-го участка (для z3=0 и для z3=2):
Для изгибающих моментов:
Получили: изгибающий момент на III-м участке является квадратичной функцией относительно z, следовательно, его эпюра – парабола. Рассчитаем граничные значения в граничных точках III-го участка и в его середине (чтобы узнать, как изогнута парабола).
Проанализируем характер эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:
1) у эпюры поперечной силы Q в сечениях, в которых приложены внешние силы, - скачки на величину силы;
2) распределенной нагрузке на эпюре поперечной силы Q соответствует наклонная прямая линия;
3) распределенной нагрузке на эпюре изгибающих моментов соответствует участок параболы.
Литература
1. В.И.Феодосьев. Сопротивление материалов, М., Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.
2. Степин П.А. Сопротивление материалов. Учебник для немашиностроит. спец. вузов. – 9-е изд. – М.: Интеграл-Пресс, 1997.
3. А.С.Таланов. Сборник задач по сопротивлению материалов, С-Пб, 1996.
4. Мовнин М.С., Израелит А.Б., Рубашкин А.Г. Основы технической механики. СПб Машиностроение, 1992 - 287 с.
Говоря простым языком: в сечении балки возникает поперечная сила, которую нужно определить и изобразить на эпюре поперечных сил. Чтобы правило знаков для поперечных сил выполнялось, нужно запомнить:
Если поперечная сила возникает справа от сечения, она направлена вниз, а если поперечная сила возникает слева от сечения – вверх (рис. 7.5, а).
Поперечная сила является внутренней силой, поэтому поперечная сила противоположна равнодействующей внешних сил, действующих на рассматриваемую часть балки. Поэтому если внешняя сила P (рис. 7.5, а) направлена вниз, то интересующая поперечная сила, возникающая от действия силы P, направлена вверх (и наоборот). Значит, внутренняя сила положительна, если внешняя сила, породившая ее, направлена противоположно направлению поперечной силы по правилу знаков.
Допустим, рассматривается правая часть балки (рис.7.5, а). Действует сила P, направленная вверх. По правилу, поперечная сила положительна, если направлена вниз (или внешняя сила P, породившая ее, направлена вверх).
Правила знаков для изгибающих моментов
Для удобства определения знака изгибающего момента рекомендуется поперечное сечение балки мысленно представлять в виде неподвижной жесткой заделки.
Растягивающие продольные усилия принято считать положительными, а сжимающие — отрицательными.
При построении эпюры продольных сил положительные значения N обычно откладывают вверх от горизонтальной линии или вправо от вертикальной линии; отрицательные значения N соответственно откладывают в противоположном направлении (либо вниз, либо влево).
Правило знаков поперечной силы
Поперечная сила считается положительной , если она стремится повернуть элемент балки по ходу часовой стрелки .
При построении эпюры поперечной силы положительные значения поперечной силы откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные – вниз.
Правило знаков изгибающего момента
Изгибающий момент принимается положительным, если он изгибает элемент балки так, что нижние волокна оказываются растянутыми, т.е. ось балки искривляется выпуклостью вниз.
При построении эпюры изгибающего момента в строительных и транспортных ВУЗах принято откладывать положительный момент вниз (эпюра строится со стороны растянутого волокна), а в машиностроительных ВУЗах - вверх (эпюра строится со стороны сжатого волокна).
Правило знаков крутящего момента
Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он поворачивает сечение по ходу часовой стрелки. Это правило довольно условное, в теоретической механике правило знаков пары сил представлено наоборот. Тем более, изменение знаков никакой разницы в дальнейших расчетах не несет.
При построении эпюры крутящих моментов, положительные значения откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные –- вниз.
Например, условно, пусть АС - балка и она нагружена (это не показано):
A______B_____C
и пусть считается момент относительно точки B.
Все нагрузки на интервале от А до В:
по часовой: силы с (+), моменты с (-)
против часовой: силы с (-), а моменты с (+)
Все нагрузки на интервале от В до С:
по часовой: силы с (+), моменты тоже с (+)
против часовой: силы с (-), моменты тоже с (-)
=>
все силы по обе стороны (от А до В и от В до С) от точки В, относительно которой считают момент, со знаком (+).
Читайте также: