Как определить цену деления прибора кратко

Обновлено: 30.06.2024

Для измерения физических величин используют измерительные приборы. Например, для измерения высоты мы будем использовать такой измерительный прибор как линейка, для измерения массы тела - весы, для измерения температуры - термометр, а для измерения времени - часы и т.д..

Многие измерительные приборы имеют шкалу.

Шкала измерительного прибора представляет собой совокупность отметок (точек, штрихов) вместе со связанной с ними нумерацией (числами).

Для того, чтобы определить с какой точностью может измерить тот или иной прибор, необходимо знать его цену деления.

Ценой деления шкалы прибора называет расстояние между двумя ближайшими штрихами на шкале прибора.

Для того чтобы определить цену деления (С) надо

найти два ближайших штриха шкалы, возле которых написаны значения величины;

вычесть из большего значения меньшее и полученное число разделить на число делений, находящихся между ними.

Например, рассмотрим такой измерительный прибор как шприц. Шприц нужен для измерения такой физической величины как объем (V). Рассмотрим шкалу шприца и определить ее цену деления (см.рис.).

Перед тем, как находить цену деления, внимательно рассмотрите сам прибор: что он измеряет, в каких единицах, его исправность. Это позволит нарисовать полную картину проводимого опыта по определению той или иной величины. Найдите на шкале два ближайших штриха, возле которых написаны числовые значения величины. Посчитайте сколько между ними делений (но не штрихов).
2
Пример. Пусть нужно определить цену деления бытового термометра. Соседние подписанные штрихи 10 и 20 градусов Цельсия. Между ними помещается десять делений. Найдите положительную разность между выбранными числовыми значениями величины, для этого отнимите от большего числа меньшее число. Полученную разницу разделите на количество делений, находящихся между ними. Полученное частное является ценой деления, без знания которой не определить показания измерительного прибора.
3
Пример. 20-10=10 градусов Цельсия. Разность, равная десяти градусам Цельсия, делится на десять делений между штрихами: 10/10=1 градус Цельсия. Значит, цена деления выбранного термометра равна один градус Цельсия

Измерительные приборы, как правило, имеют шкалу. Это значит, что на нем нанесены штриховые деления, а рядом написаны числовые значения величин, соответствующие делениям. Расстояния между двумя штрихами, возле которых написаны значения физической величины, могут быть дополнительно разделены еще на несколько делений, не подписанных числами. Расстояние между двумя ближайшими штрихами называется ценой деления шкалы прибора, которую необходимо определить перед использованием самого оборудования.

Как определять цену деления приборов
Как измерить объем с помощью мензурки
Как определить цену деления шкалы

Пример. Пусть нужно определить цену деления бытового термометра. Соседние подписанные штрихи 10 и 20 градусов Цельсия. Между ними помещается десять делений.Найдите положительную разность между выбранными числовыми значениями величины, для этого отнимите от большего числа меньшее число. Полученную разницу разделите на количество делений, находящихся между ними. Полученное частное является ценой деления, без знания которой не определить показания измерительного прибора.

Пример. 20-10=10 градусов Цельсия. Разность, равная десяти градусам Цельсия, делится на десять делений между штрихами: 10/10=1 градус Цельсия. Значит, цена деления выбранного термометра равна один градус Цельсия.

Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.

Примеры шкал различных приборов:

Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала

Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала

Индикатор громкости звука, линейная шкала

п.2. Цена деления

Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.

Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ \triangle=\frac $$ Найденное значение $\triangle$ и есть цена деления данного прибора.

Пример определения цены деления:

п.3. Виды измерений

Прямое измерение

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Косвенное измерение

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=\frac $$

Если величина $a_0$ - это истинное значение, а $\triangle a$ - погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде $a=a_0\pm\triangle a$.

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ \triangle a=|a-a_0| $$

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ \delta=\frac\cdot 100\text $$

Относительная погрешность является мерой точности измерения : чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком , т.е. всегда в сторону увеличения.

Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac>=0,5\ \text \end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac=\frac=0,25\ \text \end Истинное значение: $L_0=4\ \text$
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,00\pm 0,25)\ \text $$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac\cdot 100\text=6,25\text\approx 6,3\text $$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac>=0,1\ \text \end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac=\frac=0,05\ \text \end Истинное значение: $L_0=4,15\ \text$
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,15\pm 0,05)\ \text $$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac\cdot 100\text\approx 1,2\text $$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из $N$ измерений, в каждом из которых получаем значение величины $x_1,x_2,…,x_N$
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_=\frac $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ \triangle_1=|x_0-x_1|,\ \ \triangle_2=|x_0-x_2|,\ \ . \ \ \triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ \triangle_=\frac $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину $\triangle_$ c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ \triangle x=max\left\<\triangle_; d\right\> $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: $x=x_0\pm\triangle x$.

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin m_0=\frac=\frac\approx 100,4\ \text \end Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности $m_0$ и измерения. \begin \triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\\ \triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\\ \triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 \end Находим среднее абсолютное отклонение: \begin \triangle_=\frac=\frac=0,5\ \text \end Мы видим, что полученное значение $\triangle_$ больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin \triangle m=max\left\<\triangle_; d\right\>=max\left\\ \text \end Записываем результат: \begin m=m_0\pm\triangle m\\ m=(100,4\pm 0,5)\ \text \end Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): \begin \delta_m=\frac\cdot 100\text\approx 0,050\text \end

п.6. Представление результатов эксперимента

Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0\pm\triangle a $$ где $a_0$ – истинное значение, $\triangle a$ – абсолютная погрешность измерения.

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей

абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей

относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей

относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей

относительная погрешность квадрата $a^2$ равна удвоенной относительной погрешности

относительная погрешность куба $a^3$ равна утроенной относительной погрешности

относительная погрешность произвольной натуральной степени $a^n$ равна

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки	a, мл	b, мл	n	$\triangle=\frac$, мл
1	20	40	4	$\frac=4$
2	100	200	4	$\frac=20$
3	15	30	4	$\frac=3$
4	200	400	4	$\frac=40$

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки	Объем $V_0$, мл	Абсолютная погрешность $\triangle V=\frac$, мл	Относительная погрешность $\delta_V=\frac\cdot 100\text$
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0\pm 0,1)\ \text,\ \ x_2=(4,0\pm 0,03)\ \text $$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin \delta_1=\frac\cdot 100\text=2,5\text\\ \delta_2=\frac\cdot 100\text=0,75\text \end Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: $\delta_2\lt \delta_1$, второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки $d=\frac=0,05\ \text$
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20\pm 0,05)\ \text,\ \ b=(60,10\pm 0,05)\ \text $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): \begin \delta_1=\frac\cdot 100\text\approx 0,0554\text\approx \uparrow 0,056\text\\ \delta_2=\frac\cdot 100\text\approx 0,0832\text\approx \uparrow 0,084\text \end Площадь столешницы: $$ S=ab,\ \ S=90,2\cdot 60,1 = 5421,01\ \text^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ \delta_S=\delta_a+\delta_b=0,056\text+0,084\text=0,140\text=0,14\text $$ Абсолютная погрешность: \begin \triangle S=S\cdot \delta_S=5421,01\cdot 0,0014=7,59\approx 7,6\ \text^2\\ S=(5421,0\pm 7,6)\ \text^2 \end Ответ: $S=(5421,0\pm 7,6)\ \text^2,\ \ \delta_S\approx 0,14\text$

Читайте также:

№ мензурки	Объем \(V_0\), мл	Абсолютная погрешность \(\triangle V=\frac\), мл	Относительная погрешность \(\delta_V=\frac\cdot 100\text\)
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%