Как обрабатывают результаты прямых измерений кратко
Обновлено: 30.06.2024
В общем случае порядок обработки результатов прямых измерений следующий (предполагается, что систематических ошибок нет).
Случай 1. Число измерений меньше пяти.
1) По формуле (6) находится средний результат x, определяемый как среднее арифметическое от результатов всех измерений, т.е.
2) По формуле (12) вычисляются абсолютные погрешности отдельных измерений
3) По формуле (14) определяется средняя абсолютная погрешность
4) По формуле (15) вычисляют среднюю относительную погрешность результата измерений
5) Записывают окончательный результат по следующей форме:
Случай 2. Число измерений свыше пяти.
1) По формуле (6) находится средний результат
2) По формуле (12) определяются абсолютные погрешности отдельных измерений
3) По формуле (7) вычисляется средняя квадратическая погрешность единичного измерения
4) Вычисляется среднее квадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле (9).
5) Записывается окончательный результат по следующей форме
Иногда случайные погрешности измерений могут оказаться меньше той величины, которую в состоянии зарегистрировать измерительный прибор (инструмент). В этом случае при любом числе измерений получается один и тот же результат. В подобных случаях в качестве средней абсолютной погрешности принимают половину цены деления шкалы прибора (инструмента). Эту величину иногда называют предельной или приборной погрешностью и обозначают (для нониусных приборов и секундомера равна точности прибора).
Оценка достоверности результатов измерений
В любом эксперименте число измерений физической величины всегда по тем или иным причинам ограничено. В связи с этим может быть поставлена задача оценить достоверность полученного результата. Иными словами, определить, с какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом ошибка не превосходит наперед заданную величину ε. Упомянутую вероятность принято называть доверительной вероятностью. Обозначим её буквой .
Может быть поставлена и обратная задача: определить границы интервала , чтобы с заданной вероятностью можно было утверждать, что истинное значение измерений величины не выйдет за пределы указанного, так называемого доверительного интервала.
Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность — его надёжность. Методы решения этих двух групп задач имеются и особенно подробно разработаны для случая, когда погрешности измерений распределены по нормальному закону. Теория вероятностей даёт также методы для определения числа опытов (повторных измерений), при которых обеспечивается заданная точность и надёжность ожидаемого результата. В данной работе эти методы не рассматриваются (ограничимся только их упоминанием), так как при выполнении лабораторных работ подобные задачи обычно не ставятся.
Особый интерес, однако, представляет случай оценки достоверности результата измерений физических величин при весьма малом числе повторных измерений. Например, . Это именно тот случай, с которым мы часто встречаемся при выполнении лабораторных работ по физике. При решении указанного рода задач рекомендуется использовать метод, в основе которого лежит распределение (закон) Стьюдента.
Для удобства практического применения рассматриваемого метода имеются таблицы, с помощью которых можно определить доверительный интервал , соответствующий заданной доверительной вероятности или решить обратную задачу.
Ниже приведены те части упомянутых таблиц, которые могут потребоваться при оценке результатов измерений на лабораторных занятиях.
Пусть, например, произведено равноточных (в одинаковых условиях) измерений некоторой физической величины и вычислено её среднее значение . Требуется найти доверительный интервал , соответствующий заданной доверительной вероятности . Задача в общем виде решается так.
По формуле с учётом (7) вычисляют
Затем для заданных значений n и находят по таблице (табл. 2) величину . Искомое значение вычисляется на основе формулы
При решении обратной задачи вначале вычисляют по формуле (16) параметр . Искомое значение доверительной вероятности берётся из таблицы (табл. 3) для заданного числа и вычисленного параметра .
Таблица 2.Значение параметра при заданных числе опытов
и доверительной вероятности
| n | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 0,95 | 0.98 | 0,99 | 0.995 | 0,999 |
| 1,000 | 1,376 | 1,963 | 3,08 | 6,31 | 12,71 | 31,8 | 63,7 | 127,3 | 637,2 | |
| 0,816 | 1,061 | 1,336 | 1,886 | 2,91 | 4,30 | 6,96 | 9,92 | 14,1 | 31,6 | |
| 0,765 | 0,978 | 1,250 | 1,638 | 2,35 | 3,18 | 4,54 | 5,84 | 7,5 | 12,94 | |
| 0,741 | 0,941 | 1,190 | 1,533 | 2,13 | 2,77 | 3,75 | 4,60 | 5,6 | 8,61 | |
| 0,727 | 0,920 | 1,156 | 1,476 | 2,02 | 2,57 | 3,36 | 4,03 | 4,77 | 6,86 | |
| 0.718 | 0,906 | 1,134 | 1,440 | 1,943 | 2,45 | 3,14 | 3,71 | 4,32 | 5,96 | |
| 0,711 | 0,896 | 1,119 | 1,415 | 1,895 | 2,36 | 3,00 | 3,50 | 4,03 | 5,40 | |
| 0,706 | 0,889 | 1,108 | 1,397 | 1,860 | 2,31 | 2,90 | 3,36 | 3,83 | 5,04 | |
| 0,703 | 0,883 | 1,110 | 1,383 | 1,833 | 2,26 | 2,82 | 3,25 | 3,69 | 4,78 |
Таблица 3Значение доверительной вероятности при заданном числе опытов n и параметре ε
| n | 2,5 | 3,5 | ||
| 0,705 | 0,758 | 0,795 | 0,823 | |
| 0,816 | 0,870 | 0,905 | 0,928 | |
| 0,861 | 0,912 | 0,942 | 0,961 | |
| 0,884 | 0,933 | 0,960 | 0,975 | |
| б | 0,898 | 0,946 | 0,970 | 0,983 |
| 0,908 | 0,953 | 0,976 | 0,987 | |
| 0,914 | 0,959 | 0,980 | 0,990 | |
| 0,919 | 0.963 | 0,983 | 0,992 | |
| 0,923 | 0,969 | 0,985 | 0,993 |
Обработка результатов косвенных измерений
Очень редко содержание лабораторной работы или научного эксперимента сводится к получению результата прямого измерения. Большей частью искомая величина является функцией нескольких других величин.
Задача обработки опытов при косвенных измерениях заключается в том, чтобы на основании результатов прямых измерений некоторых величин (аргументов), связанных с искомой величиной определённой функциональной зависимостью, вычислить наиболее вероятное значение искомой величины и оценить погрешность косвенных измерений.
Существует несколько способов обработки косвенных измерений. Рассмотрим следующие два способа.
Пусть по методу косвенных измерений определяется некоторая физическая величина.
Результаты прямых измерений ее аргументов х, у, z приведены в табл. 4.
| Номер опыта | x | y | z | … |
| … | ||||
| … | ||||
| … | … | … | … | … |
| … | … | … | … | … |
| … | … | … | … | … |
| n | … |
Первый способ обработки результатов заключается в следующем. С помощью расчетной (17) формулы вычисляют искомую величину по результатам каждого опыта
Далее обычным методом можно вычислить её наивероятнейшее — значение , а также среднюю погрешность, используя формулы (9) или (14).
Описанный способ обработки результатов применим, в принципе, во всех без исключения случаях косвенных измерений. Однако наиболее целесообразно применять его тогда, когда число повторных измерений аргументов небольшое, а расчётная формула косвенно измеряемой величины сравнительно проста.
При втором способе обработки результатов опытов вначале вычисляют, используя результаты прямых измерений (табл. 4), средние арифметические значения каждого из аргументов, а также погрешности их измерения. Подставив , , . в расчетную формулу (17), определяют наиболее вероятное значение измеряемой величины
и выполняют оценку результатов косвенных измерений величины.
Второй способ обработки результатов применим лишь к таким косвенным измерениям, при которых истинные значения аргументов от измерения к измерению остаются постоянными.
Погрешности косвенных измерений величины зависят от погрешностей прямых измерений её аргументов.
Если систематические погрешности измерений аргументов исключены, а случайные погрешности измерения этих аргументов не зависят друг от друга (некореллированы), то ошибка косвенного измерения величины определяется в общем случае по формуле:
где , , — частные производные; , , – средние квадратические погрешности измерения аргументов , , , …
Относительная погрешность вычисляется по формуле
В ряде случаев значительно проще (с точки зрения обработки результатов измерений) вычислить вначале относительную погрешность , а затем, используя формулу (19), абсолютную погрешность результата косвенного измерения:
При этом формулы для вычисления относительной погрешности результата составляются в каждом отдельном случае в зависимости от того, каким образом искомая величина связана своими аргументами. Имеются таблицы формул относительных погрешностей для наиболее часто встречающихся видов (структуры) расчётных формул (табл. 5).
Таблица 5Определение относительной погрешности , допускаемой при вычислении приближенной величины , зависящей от приближённой .
| Характер связи главной величины с приближенными величинами | Формула для определения относительной погрешности |
| Сумма: | |
| Разность: | |
| Произведение: | |
| Частное: | |
| Степень: |
Изучение нониусов
Измерение длины производится с помощью масштабных линеек. Для увеличения точности измерения пользуются вспомогательными подвижными шкалами — нониусами. Например, если масштабная линейка разделена на миллиметры, т. е. цена одного деления линейки 1 мм, то с помощью нониуса можно повысить точность измерении по ней до одной десятой или более мм.
Нониусы бывают линейными и круговыми. Разберем устройство линейного нониуса. На нониусе делений, которые в сумме равны 1 делению основной шкалы. Если — цена деления нониуса, — цена деления масштабной линейки, то можно написать
Отношение называется точностью нониуса. Если, например, b=1 мм, a m=10, то точность нониуса 0,1 мм.
Из рис. 3 видно, что искомая длина тела равна:
где k— целое число делений масштабной линейки; — число делений миллиметра, которое необходимо определить с помощью нониуса.
Обозначим через п — число делений нониуса, совпадающее с любым делением масштабной линейки. Следовательно:
Таким образом, длина измеряемого тела равна целому числу k мм масштабной линейки плюс десятые доли числа миллиметров. Аналогично устроены и круговые нониусы.
Нижняя шкала наиболее распространенного микрометра представляет собой обычную миллиметровую шкалу (рис. 4).
Риски верхней шкалы сдвинуты по отношению к рискам нижней шкалы на 0,5 мм. При повороте микрометрического винта на 1 оборот барабан вместе со всем винтом передвигается на 0,5 мм, открывая или закрывая поочередно риски то верхней, то нижней шкалы. Шкала на барабане содержит 50 делений, таким образом, точность микрометра .
При отсчёте по микрометру необходимо учитывать целое число рисок верхней и нижней шкалы (умножая это число на 0,5 мм) и номер деления барабана n, который в момент отсчёта совпадает с осью шкалы стебля D, умножая его на точность микрометра. Иными словами, числовое значение L длины измеряемого микрометром предмета находят по формуле:
Для того чтобы измерить длину предмета или диаметр отверстия штангенциркулем (рис. 3), следует поместить предмет между неподвижной и "подвижной ножками и или развести выступы по диаметру внутри измеряемого отверстия. Движение перемещающегося устройства штангенциркуля проводится без сильного нажима. Вычисление длины производят по формуле (23), снимая отсчёт по основной шкале и нониусу.
В микрометре для измерения длины предмет зажимают между упором и микрометрическим винтом (рис. 5), вращая последний только с помощью головки , до срабатывания трещотки.
Длину измеряемого предмета находят с помощью формулы (23), используя показания линейной шкалы и шкалы барабана .
Порядок выполнения работы
Задание 1. Измерение диаметра проволоки с помощью микрометра.
1. Измерьте не менее 7 раз диаметр проволоки в разных местах. Результаты занести в табл. 6.
| Номер измерения |
| … |
| … |
| … |
2. Определите границу допускаемой абсолютной ошибки микрометра (приборная ошибка).
3. Вычислите среднее значение диаметра , среднеквадратическое отклонение по формулам методики обработки результатов прямых измерений (случай 2).
4. Определите границу доверительного интервала для заданной доверительной вероятности (задается преподавателем) и числа опытов n.
Сравните приборную погрешность с доверительным интервалом. В окончательный результат запишите большее значение .
Задание 2. Определение объема цилиндра с помощью микрометра и штангенциркуля.
1. Измерьте не менее 7 раз диаметр цилиндра микрометром, а высоту штангенциркулем. Результаты измерений запишите в таблицу (табл. 7).
| Номер измерения |
| … |
| … |
| … |
2. Определите объем цилиндра для каждого отдельного измерения
3. Определите и по формулам методики обработки результатов прямых измерений (случай 2).
4. Определите доверительный интервал для косвенно измеряемой величины по заданной доверительной вероятности и числу опытов n.
5. Оцените границу абсолютной допускаемой ошибки микрометра и штангенциркуля и .
6. Вычислите относительную приборную ошибку для объёма цилиндра по формуле
где и берутся из таблицы результатов опытов (табл. 7) и соответствуют случаю, когда .
7. Вычислите абсолютную приборную погрешность объема
8. Сравните абсолютную приборную погрешность и доверительный интервал. Если они одного порядка, то ошибка измерения объема вычисляется по формуле:
Если они отличаются хотя бы на порядок, то берется наибольшая ошибка.
9. Окончательный результат запишите в виде:
Примечание. При расчёте приборной ошибки по формуле (25) одновременно учитывается и ошибка, обусловленная округлением чисел, так как они подчиняются одному и тому же закону распределения.
Контрольные вопросы
1. Опишите известные Вам виды измерений.
2. Дайте определение систематической и случайной ошибкам. В чём состоит их основное различие?
3. Какие виды ошибок подчиняются равномерному распределению?
4. Опишите порядок обработки результатов прямых (косвенных) измерений.
5. Почему при измерении объема цилиндра Вам рекомендовалось диаметр измерять микрометром, а высоту — штангенциркулем?
6. Относительная ошибка измерения массы тела составляет 1%, а его скорости—2%. С какой относительной ошибкой можно по таким данным вычислить кинетическую энергию тела?
1. Перед обработкой результатов измерений необходимо задать значение доверительной вероятности α (обычно 0,9 или 0,95).
2. Проанализировать таблицу записи результатов и выявить возможные промахи. Результаты, содержащие промахи, следует отбросить.
3. Вычислить среднее арифметическое значение серии измерений:
где n – число измерений, Ai – результат i-го измерения.
4. Найти погрешности отдельных измерений:
5. Вычислить среднеквадратичную погрешность среднего арифметического результата серии измерений:
6. Оценить вклад случайных погрешностей в полуширину доверительного интервала:
ΔАс = t(n,α)S(A), (4)
где t(n,α) – коэффициент Стьюдента (таблица 1).
Таблица 1 -Коэффициент Стьюдента при различных значениях доверительной вероятности α и различном количестве опытов n
| α | Количество опытов, n | ||||||||||||||
| 0,9 | 6,3 | 2,9 | 2,4 | 2,1 | 2,0 | 1,9 | 1,9 | 1,9 | 1,8 | 1,8 | 1,8 | 1,7 | 1,7 | 1,7 | 1,7 |
| 0,95 | 12,7 | 4,3 | 3,2 | 2,8 | 2,6 | 2,4 | 2,4 | 2,3 | 2,3 | 2,2 | 2,2 | 2,1 | 2,1 | 2,0 | 2,0 |
| 0,99 | 63,7 | 9,9 | 5,8 | 4,6 | 4,0 | 3,7 | 3,5 | 3,4 | 3,3 | 3,2 | 3,1 | 2,9 | 2,8 | 2,8 | 2,7 |
7. Определить погрешность прибора ΔАпр (абсолютная погрешность прибора указана в паспорте прибора или рассчитывается на основании класса точности прибора).
8. Найти полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность) измеряемой величины по приближенной формуле:
(Более точные формулы для обработки результатов прямых измерений приведена, например, в [2]).
9. Записать результат измерений в виде доверительного интервала:
А=(‹A› ± ΔА) ед.изм., α = … (6)
10. Определить относительную погрешность:
1. Перед обработкой результатов измерений необходимо задать значение доверительной вероятности α (обычно 0,9 или 0,95).
2. Проанализировать таблицу записи результатов и выявить возможные промахи. Результаты, содержащие промахи, следует отбросить.
3. Вычислить среднее арифметическое значение серии измерений:
где n – число измерений, Ai – результат i-го измерения.
4. Найти погрешности отдельных измерений:
5. Вычислить среднеквадратичную погрешность среднего арифметического результата серии измерений:
6. Оценить вклад случайных погрешностей в полуширину доверительного интервала:
ΔАс = t(n,α)S(A), (4)
где t(n,α) – коэффициент Стьюдента (таблица 1).
Таблица 1 -Коэффициент Стьюдента при различных значениях доверительной вероятности α и различном количестве опытов n
| α | Количество опытов, n | ||||||||||||||
| 0,9 | 6,3 | 2,9 | 2,4 | 2,1 | 2,0 | 1,9 | 1,9 | 1,9 | 1,8 | 1,8 | 1,8 | 1,7 | 1,7 | 1,7 | 1,7 |
| 0,95 | 12,7 | 4,3 | 3,2 | 2,8 | 2,6 | 2,4 | 2,4 | 2,3 | 2,3 | 2,2 | 2,2 | 2,1 | 2,1 | 2,0 | 2,0 |
| 0,99 | 63,7 | 9,9 | 5,8 | 4,6 | 4,0 | 3,7 | 3,5 | 3,4 | 3,3 | 3,2 | 3,1 | 2,9 | 2,8 | 2,8 | 2,7 |
7. Определить погрешность прибора ΔАпр (абсолютная погрешность прибора указана в паспорте прибора или рассчитывается на основании класса точности прибора).
8. Найти полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность) измеряемой величины по приближенной формуле:
(Более точные формулы для обработки результатов прямых измерений приведена, например, в [2]).
Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины :
Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде
Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.
Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде
Это означает, что из 100 шансов 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм .
Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.
Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.
В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой
где Δx отклонение от величины истинного значения;
σ истинная среднеквадратичная ошибка;
σ 2 дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.
Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.
На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2) .
Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)
где n число измерений.
Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.
Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина
Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ
С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.
Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.
Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:
Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 50 раз.
В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.
Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом
Стьюдента t.
Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что
где Δx абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.
-
Из сказанного следует:
- Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.
- При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.
Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.
Таблица 2
Таблица 3
При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:
- Результат каждого измерения запишите в таблицу.
- Вычислите среднее значение из n измерений
Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.
Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую их квадраты (таблица 4).
Таблица 4
Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).
Измерением величины называется операция, в результате которой находится значение физической величины с помощью специальных технических средств измерения. Измерить физическую величину - это значит сравнить ее с величиной, принятой за единицу.
Различают прямые и косвенные измерения. Прямыми называют измерения, полученные непосредственно сравнением измеряемой величины с эталоном или отсчитанные по шкале прибора.
Косвенные измерения получают в результате расчета по формулам, в которые входят величины, определенные в результате прямых измерений.
При измерении величины всегда присутствует ошибка (погрешность), которую необходимо оценить. Ошибки, возникающие при измерении, делятся на: случайные, систематические и промахи.
Систематические ошибки сохраняют величину и знак при повторении опыта. Например, при измерении длины при помощи линейки с неправильной шкалой.
Промахи - это грубые ошибки, сделанные вследствие неверной записи показаний прибора, неправильно сделанного вычисления и т.д. Как правило, они существенно отличаются от средних значений измеряемой величины, поэтому они удаляются из таблицы измерений.
Случайные ошибки не повторяются от опыта к опыту, они могут быть вызваны дефектами аппаратуры, неточностью, допущенной экспериментатором. Для уменьшения случайных ошибок необходимо соблюдать такие правила:
а) при снятии показаний луч зрения должен быть перпендикулярен шкале измерительного прибора;
б) показания приборов необходимо округлять до значения, соответствующего ближайшему делению шкалы;
в) производить многократное повторение опыта.
Случайные погрешности непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак от опыта к опыту. Учет этих погрешностей требует специальной методики, которая рассмотрена ниже.
1.2. Приборная погрешность
Приборная погрешность определяется классом точности измерительного прибора и существенно зависит от его назначения. Для простых измерительных приборов (линейка, секундомер, микрометр, весы и т.д.) приборная погрешность принимается равной половине цены деления измерительного прибора.
Цена деления измерительного прибора (С) – это значение измеряемой величины, которое приходится на одно деление шкалы прибора. Например, для миллиметровой линейки цена деления С = 1 мм, а приборная погрешность
= 0,5 мм. Если цена деления штангенциркуля С = 0,1 мм, то приборная погрешность = 0,05 мм.
Для сложных измерительных приборов (например, амперметров и вольтметров) приборная погрешность определяется классом точности γ измерительного прибора, который указывается на его шкале и задается в паспорте. Класс точности γ измерительного прибора определяет в процентах относительную погрешность измерений прибора при предельном значении Апр измеряемой величины. Приборная погрешность в этом случае определяется по формуле:
Например, амперметр имеет класс точности γ = 2,5 %, а измерения проводятся на пределе = 0,1 А. Тогда приборная погрешность измерений будет:
1.3. Погрешности прямых измерений
Пусть некоторая величина А непосредственно измерена n раз. Средним значением величины А называется среднее арифметическое всех измерений
где - значение А в i -ом измерении (i = 1, 2. n). Среднее значение наиболее близко соответствует истинному значению измеряемой величины.
Абсолютной погрешностью i - го измерения называется величина, которая определяется выражением
Абсолютной погрешностью измерения называется величина
равная среднему арифметическому абсолютных погрешностей всех измерений.
Отношение абсолютной погрешности к среднему значению
называется относительной погрешностью измерения величины А.
Относительная погрешность характеризует точность измерения. Чем меньше относительная погрешность, тем точнее измерение.
Для оценки погрешности прямых измерений абсолютная погрешность измерений сравнивается с приборной погрешностью и выбирается большая погрешность , которая и является погрешностью прямых измерений. По формуле (6) определяется относительная погрешность измерений. Окончательный результат измерений записывается в виде
Например, длина сторон a, b и с прямоугольного параллелепипеда, измеренная миллиметровой линейкой, равна: a = 80 мм, b = 50 мм и c = 20 мм. Абсолютная погрешность этих измерений = = = 0,5 мм. Относительная погрешность измерений будет
= 0,006, = 0,01, = 0,025.
Отсюда видно, что наибольшую ошибку дает измерение стороны с параллелепипеда – около 2,5 %. Окончательный результат измерений записывается в виде
а = (80 ± 0,5) мм, = (50 ± 0,5) мм, с = (20 ± 0,5) мм.
1.4. Погрешности косвенных измерений
На практике, как правило, искомую величину непосредственно измерить не удается или очень затруднительно. Очень часто искомая величина является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин. Такие измерения называют косвенными и погрешности этих измерений рассчитываются специальным образом.
Рассмотрим вначале на конкретных примерах погрешности измерений для функции одной переменной. Пусть некоторая величина является функцией измеряемой величины х, которая измерена с погрешностью . Тогда абсолютная погрешность этой величины определяется выражением
Это выражение получено при разложении функции в ряд Тейлора до линейного члена ряда и последующего упрощения. Знак модуля поставлен потому, что нас интересует только абсолютное значение погрешности.
Относительная погрешность величины определяется выражением
Абсолютные и относительные погрешности косвенных измерений для некоторых элементарных функций приведены в табл. 1
Таблица 1. Абсолютные погрешности для функций одной переменной
| № | функция | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| 5 | |||
| 6 | |||
| 7 |
Пусть некоторая величина f определяется через независимые величины x, y и z, измеряемые непосредственно, т.е. . Так как величины x, y и z измеряются с погрешностью, то и значение f будет найдено приближенно. Абсолютной предельной погрешностью величины f называется выражение
где , и погрешности измерений величины f, обусловленные каждой из измеряемых величин в отдельности, которые определяются по формулам (8)
В табл. 2 приведены абсолютные и относительные погрешности для некоторых простых функций двух переменных.
Таблица 2. Абсолютные погрешности для функций двух переменных
| № | функция | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 |
1.5. Статистический метод учета погрешностей
В этом методе ошибки рассматриваются как случайные величины, которые обрабатываются методами теории вероятностей и подчиняются нормальному закону распределения Гаусса, который для случайной величины х имеет вид
где - среднее значение величины х, s - средняя квадратическая погрешность, которая используется для оценки точности измерений.
Типичный вид кривой распределения Гаусса для примера, который рассмотрен ниже, приведен на рис. 1.
В статистической теории ошибок точность измерений принято характеризовать одной из следующих величин: средней ошибкой (или абсолютная погрешностью)измерений D и средней квадратической ошибкой измерений s. Средняя квадратическая ошибка на рис. 1 соответствует абсциссам, которые проходят через точки перегиба функции распределения. Она указывает на то, что истинное значение измеренной величины с вероятностью Р = 0,683 лежит в интервале . Такой интервал и вероятность называют доверительным интервалом и доверительной вероятностью.
Средняя ошибка (или абсолютная погрешность) для n измерений определяется по формуле
Средняя квадратическая ошибка для n измерений рассчитывается по формуле
Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического для n измерений рассчитывается по формуле
Если искомая величина f является функцией нескольких независимо измеряемых величин и т.д. , каждая из которых измерена со средней квадратической погрешностью , , и т.д., то средняя квадратическая погрешность величины f определяется по формуле:
В табл. 3. приведены средние квадратические и относительные погрешности для некоторых простых функций одной и двух переменных.
Таблица 3. Средние квадратические и относительные погрешности
для некоторых простых функций
| № | функция | средняя квадратическая погрешность | относительная погрешность |
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| 5 |
1.6. Метод границ
Для оценки погрешностей измерений можно воспользоваться методом границ, который достаточно прост в реализации. Метод основан на неравенствах и может применяться тогда, когда трудно получить простую формулу для расчета абсолютной или среднеквадратической погрешности. При методе границ определяют два значения физической величины: одно заведомо меньше истинного, называемое нижней границей величины (НГ), другое заведомо большее, называемое верхней границей (ВГ). Истинное значение искомой величины находится между верхней и нижней границами.
а величину погрешности определяют полуразностью этих границ
Результат измерений записывают в виде
В этом разделе мы рассмотрели три метода оценки погрешностей измерений: метод максимальной абсолютной погрешности, метод средней квадратической погрешности и метод границ. Все они могут быть использованы при обработке результатов измерений. Наиболее строгим, но и трудоемким является метод средней квадратической погрешности, который широко используется в научно-исследовательской работе. Очень неплохие результаты дает метод максимальной абсолютной погрешности. Для предварительной оценки результатов можно использовать метод границ.
В теории погрешностей доказывается, что оценка погрешностей разными методами дает результат, который различается в пределах погрешностей. Поэтому не имеет особого значения метод, которым рассчитываются погрешности. Однако, среднеквадратическая погрешность дает больше информации о погрешности измерений, т.к. кроме погрешности дает и вероятность этой погрешности, которая указывается в доверительном интервале. Эта дополнительная информация требует более сложных и трудоемких расчетов.
1.7. Обработка и запись результатов измерений
Порядок обработки результатов прямых измерений
1. Определяем среднее значение измеряемой величины по формуле (3).
2. По формулам (4) и (5) находим абсолютную погрешность каждого измерения и среднюю абсолютную погрешность измерений величины А. Сравниваем эту погрешность с приборной и выбираем максимальную погрешность .
3. По формуле (6) вычисляем относительную погрешность измерений.
4. Записываем окончательный результат измерений с учетом погрешности:
Например, запишем измерение длины нити математического маятника. Измерения проводили линейкой с ценой деления 1 мм. Получили результаты: см, см, см; вычисляем среднее значение см, абсолютную и относительную погрешности измерения см, . Сравниваем абсолютную погрешность измерения и приборную погрешность линейки см, т. к. приборная погрешность меньше абсолютной, то окончательный результат записываем в виде см.
© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.011)
Когда физическая величина а определяется непосредственно с помощью того или иного измерительного прибора (прямые измерения), оценка истинного значения измеряемой величины и погрешности может быть осуществлена в следующем порядке:
1. Составляется таблица результатов измерений.
2.
Вычисляется среднеарифметическое значение из n измерений:
3. Определяются погрешности отдельных измерений:
4.
Вычисляются квадраты погрешностей отдельных измерений:
5. Вычисляется средняя квадратичная погрешность результата серии измерений:
6. Если имеются резко отличающиеся от остальных значения, выясняют, не являются ли они промахами.
7. Задаются значением доверительной вероятности a (в лабораторных работах физического практикума обычно принимают a в пределах от 0,8 до 0,9).
8. Определяют по таблице 2 коэффициент Стьюдента t(a, n) для заданной надежности a и числа проведенных
измерений n.
9. Определяют границы доверительного интервала:
10. Рассчитывают относительную погрешность результата серии измерений:
11. Окончательный результат записывается в виде:
Расчет погрешностей косвенных измерений
Как уже указывалось, косвенные измерения физической величины определяются прямыми измерениями других физических величин, которые находятся в определенной функциональной зависимости от искомой величины. Для определения надежности результата косвенных измерений необходимо применять распределение вероятностей рассматриваемой функции. Однако, такой строгий подход во многих случаях можно заменить упрощенным.
Пусть искомая величина Х является функцией только одной переменной, т.е. , причем, х определяется из прямых измерений . При изменении х на dх произойдет изменение функции Х на dX. Применяя разложение функции в ряд Тейлора:
Заменяя значок дифференциала d значком ошибки D, получаем формулу для абсолютной погрешности результата косвенных измерений:
Окончательный результат можно представить в виде:
Относительная погрешность равна:
Пусть Х является функцией нескольких переменных, т.е. X = f(x, y, z). Для каждой величины x, y, z,…мы имеем в результате прямых измерений следующие данные: Доверительные интервалы Dx, Dy, Dz для прямых измерений находятся методом, указанном в порядке обработки результатов прямых измерений, придерживаясь строгого правила: все доверительные интервалы Dx, Dy, Dz определяются в соответствии с табл. 2 для одного и того же значения доверительной вероятности a. Оценка доверительного интервала DC в этом случае, как это следует из теории [1, 2, 4], производится по формуле:
где - частные производные f(x, y, z, …) по переменным x, y, z соответственно, вычисленные для их средних значений.
Частная производная функции многих переменных по одной переменной, скажем х, является обычной производной функции по х, причем все остальные переменные y, z,… считаются постоянными параметрами. Относительную ошибку величины Х легко вычислить, написав
то для относительной погрешности получаем:
Порядок обработки результатов при косвенных измерениях
1. Вычислить среднее значение искомой величины по результатам прямых измерений .
2. Вычислить относительную погрешность косвенных измерений, учитывая абсолютные погрешности прямых измерений
3. Вычислить абсолютную погрешность косвенных измерений по формуле:
4. Окончательный результат записывается в виде:
ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
2.1. Подготовка таблиц в лабораторном журнале
и проведение лабораторных измерений
Необходимость получения достаточно точного значения измеряемой физической величины требует повторения измерения в одних и тех же условиях. Обычно необходимое число измерений указано в описании к данной лабораторной работе или указывается преподавателем. Однако, во всех случаях необходимо помнить, что с ростом числа измерений возрастает и точность полученного результата. Поэтому в большинстве лабораторных работ физического практикума необходимо проводить 5 – 10 измерений в равных условиях. Исключения допускаются только в том случае, если есть полная уверенность в том, что измеряемая величина имеет, в принципе, точное значение и для ее измерения используют очень точные приборы. Так, в первой лабораторной работе по определению плотности твердого тела масса тела является такой величиной, если для ее определения используют достаточно точный прибор – аналитические весы с погрешностью 0,05 мг. В случае хорошо налаженных аналитических весов массу тела можно было бы определять один раз, но неаккуратное обращение с весами студентов, ранее выполнявшими взвешивание, приводит к тому, что чувствительность весов резко ухудшается, и они уже не являются достаточно точным прибором. Поэтому массу тела необходимо измерять многократно. В первой же лабораторной работе линейные размеры (длину, высоту и ширину) или диаметр и высоту измеряемого тела необходимо измерять многократно, что вызвано как неточностью измерительных приборов, неточностью линейных размеров в разных местах измеряемого тела.
Студент допускается к выполнению лабораторной работы только при наличии у него домашней подготовки, содержащей краткий теоретический анализ экспериментальной задачи, описание лабораторной установки и подготовленные таблицы для записи результатов измерений. Для подготовки такой таблицы студент должен определить количество измеряемых величин и необходимое число измерений. Так, в первой лабораторной работе в случае цилиндрического измеряемого тела количество измеряемых величин равно трем: масса, высота и диаметр цилиндра, а в случае параллелепипеда количество измеряемых величин равно четырем: масса, длина, ширина и высота параллелепипеда. Для каждой величины проводится 5 измерений. Для оформления результатов требуется для каждой величины 3 вертикальных колонки.
Таким образом, для цилиндрического тела таблица должна иметь десять колонок в соответствии с примером таблицы
Записи результатов измерений цилиндрического тела
| № п/п, i | mi, г | Dmi . 10 4 , г | D 2 mi . 10 8 , г 2 | Hi, мм | DHi . 10 2 , мм | D 2 Hi . 10 4 , мм 2 | Di, мм | DDi . 10 2 , мм | D 2 Di . 10 4 , мм 2 |
| å | |||||||||
| dm =…………, г | dH =………, мм | dD =………, мм |
В случае, если тело имеет форму параллелепипеда, нужно добавить еще три колонки для третьего линейного размера.
При непосредственном выполнении лабораторной работы студент заполняет последовательно колонки для m, H и D. Внизу таблицы студент указывает приборные погрешности dm, dH и dD, определенные, как указано далее.
Читайте также: