В каком случае разность натуральных чисел есть натуральное число кратко

Обновлено: 02.07.2024

Натуральными числами называются числа, которые используются при счете или для указания порядкового номера предмета среди однородных предметов.

Например. Натуральными будут такие числа: $2,37,145,1059,24411$

Натуральные числа, записанные в порядке возрастания, образуют числовой ряд. Он начинается с наименьшего натурально числа 1. Множество всех натуральных чисел обозначают $N=\$. Оно бесконечно, так как не существует наибольшего натурального числа. Если к любому натуральному числу прибавить единицу, то получаем натуральное число, следующее за данным числом.

Задание. Какие из следующих чисел являются натуральными?

$$-89 ; 7 ; \frac ; 34 ; 2 ; 11 ; 3,2 ; \sqrt[3] ; \sqrt$$

Ответ. $7 ; 34 ; 2 ; 11$

На множестве натуральных чисел вводится две основные арифметические операции - сложение и умножение. Для обозначения этих операций используются соответственно символы " + " и " • " (или " × ").

Сложение натуральных чисел

Каждой паре натуральных чисел $n$ и $m$ ставится в соответствие натуральное число $s$, называемое суммой. Сумма $s$ состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах $n$ и $m$. О числе $s$ говорят, что оно получено в результате сложения чисел $n$ и $m$, и пишут

Числа $n$ и $m$ называются при этом слагаемыми. Операция сложения натуральных чисел обладает следующими свойствами:

Коммутативность: $n+m=m+n$
Ассоциативность: $(n+m)+k=n+(m+k)$

Подробнее о сложении чисел читайте по ссылке.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти сумму чисел:

Решение. $13+9=22$

Для вычисления второй суммы, для упрощения вычислений, применим к ней вначале свойство ассоциативности сложения:

Умножение натуральных чисел

Каждой упорядоченной паре натуральных чисел $n$ и $m$ ставится в соответствие натуральное число $r$, называемое их произведением. Произведение $r$ содержит стольких единиц, сколько их содержится в числе $n$, взятых столько раз, сколько единиц содержится в числе $m$. О числе $r$ говорят, что оно получено в результате умножения чисел $n$ и $m$, и пишут

$n \cdot m=r \quad $ или $ \quad n \times m=r$

Числа $n$ и $m$ называются множителями или сомножителями.

Операция умножения натуральных чисел обладает следующими свойствами:

Коммутативность: $n \cdot m=m \cdot n$
Ассоциативность: $(n \cdot m) \cdot k=n \cdot(m \cdot k)$

Подробнее о умножении чисел читайте по ссылке.

Задание. Найти произведение чисел:

12$\cdot 3 \quad $ и $ \quad 7 \cdot 25 \cdot 4$

Решение. По определению операции умножения:

$$12 \cdot 3=12+12+12=36$$

Ко второму произведению применим свойство ассоциативности умножения:

$$7 \cdot 25 \cdot 4=7 \cdot(25 \cdot 4)=7 \cdot 100=700$$

Ответ. $12 \cdot 3=36 \quad;\quad 7 \cdot 25 \cdot 4=700$

Операция сложения и умножения натуральных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$

Сумма и произведение любых двух натуральных чисел всегда есть число натуральное, поэтому множество всех натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.

Так же на множестве натуральных чисел можно ввести операции вычитания и деления, как операции обратные к операциям сложения и умножения соответственно. Но эти операции не будут однозначно определенны для любой пары натуральных чисел.

Свойство ассоциативности умножения натуральных чисел позволяет ввести понятие натуральной степени натурального числа: $n$-й степенью натурального числа $m$ называется натуральное число $k$, полученное в результате умножения числа $m$ самого на себя $n$ раз:

Для обозначения $n$-й степени числа $m$ обычно используется запись: $m^$, в котором число $m$ называется \lt strong>основанием степени \lt /strong>, а число $n$ - показателем степени.

Задание. Найти значение выражения $2^$

Решение. По определению натуральной степени натурального числа это выражение можно записать следующим образом

Какую цифру можно поставить вместо звёздочки 347*, что бы полученное число делилось нацело и на 2 и на 3?

Двигаясь вверх по реке, рыбак проплыл на лодке S=6 km за t1=6 ч Потом он заснул и и проснувшись через 3 ч, обнаружил что находиться в том же самом месте, с которого он начал движение.

3. Винни Пух должен прийти к Кролику в 12 ч 35 мин. Путь от его дома до дома Кролика занимает 25 минут. По дороге Винни Пух зашёл в гости к Сове.

3 бригады производили прополку кукурузы. 1 бригада прополола 30 процентов всей прощади, 2 60 процентов того, что прополола 1, а 3 остальную прощадь. Сколько гиктаров прополола все бригады вместе если 3 бригада прополола на 198 га больше, чем 1

Действительные числа
Натуральные числа
Натуральные числа и действия с ними

Ответы к стр. 6

1. Какие числа называют натуральными? Является ли 0 натуральным числом?

Числа 1, 2, 3, 4, 5, … называют натуральными или целыми положительными числами. Нуль не считают натуральным числом.

2. Каким числом является сумма натуральных чисел?

Сумма натуральных чисел является натуральными числом.

3. В каком случае разность натуральных чисел есть натуральное число?

Разность натуральных чисел является натуральным число только в том случае, если уменьшаемое больше вычитаемого, например: 8 − 5 = 3.

Если уменьшаемое меньше вычитаемого или равно ему, то разность натуральных чисел не является натуральным числом.

4. Каким числом является произведение натуральных чисел?

Произведение натуральных чисел является натуральным числом.

5. Всегда ли выполнимо деление натуральных чисел нацело?

Деление натуральных чисел нацело не всегда выполнимо, например: 7 не делится на 3 нацело.

6. На какие натуральные числа делится нацело любое натуральное число?

Любое натуральное число делится нацело на 1 и само на себя.

7. Делятся ли нацело на 7 числа: 12, 27, 42, 126?

12 − не делится нацело на 7;
27 − не делится нацело на 7;
42 − делится нацело на 7 (42 : 7 = 6);
126 − делится нацело на 7 (126 : 7 = 18).

8. Сформулируйте признак делимости на:
а) 10; б) 5; в) 2; г) 3; д) 9.

а) число делится на 10, если оно оканчивается цифрой 0;
б) число делится на 5, если оно оканчивается цифрой 0 или 5;
в) число делится на 2, если оно оканчивается четной цифрой;
г) число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3;
д) число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

9. Делятся ли нацело на 15 числа: 30, 105, 215, 360?

Число 30 делится нацело на 15, так как 15 = 3 • 5, а по признакам делимости:
— число 30 делится на 3, так сумма его цифр делится на 3 (3 + 0 = 3),
— число 30 делится на 5, так как оно оканчивается на 0;

Число 105 делится нацело на 15, так как 15 = 3 • 5, а по признакам делимости:
— число 105 делится на 3, так сумма его цифр делится на 3 (1 + 0 + 5 = 6),
— число 105 делится на 5, так как оно оканчивается на 5;

Число 215 не делится нацело на 15, так как 15 = 3 • 5, а по признакам делимости:
— число 215 не делится на 3, так сумма его цифр не делится на 3 (2 + 1 + 5 = 8);

Число 360 делится нацело на 15, так как 15 = 3 • 5, а по признакам делимости:
— число 360 делится на 3, так сумма его цифр делится на 3 (3 + 6 + 0 = 9),
— число 360 делится на 5, так как оно оканчивается на 0.

10. Делятся ли нацело на 18 числа: 189, 252, 456, 1998, 1999?

Число 189 не делится нацело на 18, так как 18 = 2 • 9, а по признакам делимости:
— число 189 не делится на 2, так как оно не оканчивается четной цифрой;

Число 252 делится нацело на 18, так как 18 = 2 • 9, а по признакам делимости:
— число 252 делится на 2, так оно оканчивается на четное число,
— число 252 делится на 9, так как сумма его цифр делится на 9 (2 + 5 + 2 = 9);

Число 456 не делится нацело на 18, так как 18 = 2 • 9, а по признакам делимости:
— число 456 не делится на 9, так как сумма его цифр не делится на 9 (4 + 5 + 6 = 15);

Число 1998 делится нацело на 18, так как 18 = 2 • 9, а по признакам делимости:
— число 1998 делится на 2, так оно оканчивается на четное число,
— число 1998 делится на 9, так как сумма его цифр делится на 9 (1 + 9 + 9 + 8 = 27);

Число 1999 не делится нацело на 18, так как 18 = 2 • 9, а по признакам делимости:
— число 1999 не делится на 9, так как сумма его цифр не делится на 9 (1 + 9 + 9 + 9 = 28).

11. Какие из чисел 3124, 3582, 3528, 31 212 делятся на 4?

Число делится на 4, если его две последние цифры образуют число, которое делится на 4:
3124 − делится на 4, так как 24 : 4 = 6;
3582 − не делится на 4, так как 82 не делится на 4;
3528 − делится на 4, так как 28 : 4 = 7;
31 212 − делится на 4, так как 12 : 4 = 3.

12. Делятся ли нацело на 45 числа: 234, 900, 954, 5553, 3555?

Число 234 не делится нацело на 45, так как 45 = 5 • 9, а по признакам делимости:
— число 234 не делится на 5, так оно не оканчивается ни на 0, ни на 5;

Число 900 делится нацело на 45, так как 45 = 5 • 9, а по признакам делимости:
— число 900 делится на 5, так оно оканчивается на 0,
— число 900 делится на 9, так как сумма его цифр делится на 9 (9 + 0 + 0 = 9);

Число 954 не делится нацело на 45, так как 45 = 5 • 9, а по признакам делимости:
— число 954 не делится на 5, так оно не оканчивается ни на 0, ни на 5;

Число 5553 не делится нацело на 45, так как 45 = 5 • 9, а по признакам делимости:
— число 5553 не делится на 5, так оно не оканчивается ни на 0, ни на 5;

Число 3555 делится нацело на 45, так как 45 = 5 • 9, а по признакам делимости:
— число 3555 делится на 5, так оно оканчивается на 5,
— число 3555 делится на 9, так как сумма его цифр делится на 9 (3 + 5 + 5 + 5 = 18).

13. Какие из чисел 5425, 3530, 3550, 31 275 делятся на 25?

Число делится на 25, если его две последние цифры образуют число, которое делится на 25:
число 5425 делится на 25, так как 25 : 25 = 1;
число 3530 не делится на 25, так как 30 не делится на 25;
число 3550 делится на 25, так как 50 : 25 = 2;
число 31 275 делится на 25, так как 75 : 25 = 3.

Вычислите (14-15):

14. а) 7326 + 359; б) 5321 − 985; в) 424 • 27;
г) 15 795 : 39; д) 732 • 254 − 8145 : 45 + 314 253.

д) 732 • 254 − 8145 : 45 + 314 253 = 185 928 − 181 + 314 253 = 185 747 + 314 253 = 500 000

15. а) 329 • 759 + 329 • 41; б) 724 • 928 − 724 • 128;
в) 398 • 801 − 398; г) 854 • 399 + 854.

а) 329 • 759 + 329 • 41 = 329 • (759 + 41) = 329 • 800 = 263 200;

б) 724 • 928 − 724 • 128 = 724 • (928 − 128) = 724 • 800 = 579 200;

в) 398 • 801 − 398 = 398 • (801 − 1) = 398 • 800 = 318 400;

г) 854 • 399 + 854 = 854 • (399 + 1) = 854 • 400 = 341 600.

16. Объясните, не выполняя всех вычислений, почему:
а) 357 • 828 + 357 • 936 делится на 357;
б) 425 • 723 − 315 • 723 делится на 3; на 5; на 15.

а) 357 • 828 + 357 • 936 = 357 • (828 + 936) − делится на 357, так как один из множителей (357) делится на 357;

б) 425 • 723 − 315 • 723 = 723 • (425 − 315) = 723 • 110 — делится:
на 3, так как один из множителей (723) делится на 3;
на 5, так как один из множителей (110) делится на 5;
на 15, так как 15 = 3 • 5, и один из множителей (723) делится на 3, а второй множитель (110) делится на 5.

Изучение математики начинается с натуральных чисел и действий с ними. Но интуитивно мы уже многое знаем с малых лет. В этой статье познакомимся с теорией и научимся правильно записывать и произносить сложные числа.

О чем эта статья:

Определение натурального числа

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.

Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т. д.

Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.

Наименьшее натуральное число: единица (1).
Наибольшее натуральное число: не существует. Натуральный ряд бесконечен.
У натурального ряда каждое следующее число больше предыдущего на единицу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой N.

Какие операции возможны над натуральными числами

сложение:
слагаемое + слагаемое = сумма;
умножение:
множитель × множитель = произведение;
вычитание:
уменьшаемое − вычитаемое = разность.

Записывайтесь на курсы обучения математике для учеников с 1 по 11 классы!

Десятичная запись натурального числа

В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.

Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.

Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность цифр может быть разной и некоторые даже могут повторяться.

077, 0, 004, 0931 — это примеры неправильной записи натуральных чисел, потому что ноль расположен слева. Число не может начинаться с нуля. Это и есть десятичная запись натурального числа.

Количественный смысл натуральных чисел

Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.

Основная функция натурального числа — указать количество предметов.

Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа

Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.

По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.

Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.

Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.

Вот как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.

Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц.

Точно так же определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.

Многозначные натуральные числа

Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.

1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число как набор однозначных натуральных чисел.

Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.

Сколько всего натуральных чисел?

Однозначных 9, двузначных 90, трехзначных 900 и т.д.

Свойства натуральных чисел

Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:

множество натуральных чисел	бесконечно и начинается с единицы (1)
за каждым натуральным числом следует другое	оно больше предыдущего на 1
результат деления натурального числа на единицу (1)	само натуральное число: 5 : 1 = 5
результат деления натурального числа самого на себя	единица (1): 6 : 6 = 1
переместительный закон сложения	от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 4 + 3 = 3 + 4
сочетательный закон сложения	результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
переместительный закон умножения	от перестановки мест множителей произведение не изменится: 4 × 5 = 5 × 4
сочетательный закон умножения	результат произведения множителей не зависит от порядка действий; можно хоть так, хоть эдак: (6 × 7) × 8 = 6 × (7 × 8)
распределительный закон умножения относительно сложения	чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить: 4 × (5 + 6) = 4 × 5 + 4 × 6
распределительный закон умножения относительно вычитания	чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: 3 × (4 − 5) = 3 × 4 − 3 × 5
распределительный закон деления относительно сложения	чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (9 + 8) : 3 = 9 : 3 + 8 : 3
распределительный закон деления относительно вычитания	чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе: (5 − 3) : 2 = 5 : 2 − 3 : 2

Разряды натурального числа и значение разряда

Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.

Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще — чтобы визуально разделить разные классы чисел.

Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.

Десятичная система счисления

Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.

Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трех одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.

Вопрос для самопроверки

Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:

Читайте также: