Что такое площадь кратко

Обновлено: 06.07.2024

Понятие площади фигур рассматривается одним из разделов математики — конкретно, геометрией. Результат решения задач с нахождением площади геометрических фигур может использоваться для решения математических задач, в быту, в производстве.

Площадь фигуры — численная характеристика, которая передает информацию о размере геометрической фигуры.

Фигура, в математическом мире определяемая как множество точек на плоскости, должна быть ограничена со всех сторон, чтобы иметь понятие площади. Если фигура располагается на одной плоскости, она не имеет объема, а только площадь.

В самом простом случае, площадь фигуры можно посчитать по количеству клеток, которые она занимает. Подобным способом можно легко посчитать площадь квадрата, прямоугольника или прямоугольного равнобедренного треугольника.

Площадь в геометрии обозначается знаком S, от английского square — площадь.

Как математическая характеристика, площадь имеет четыре характеристики:

Положительность — величина площади не может быть отрицательной.
Нормировка — если сторона квадрата равна единице, то он имеет площадь 1.
Равнозначность — фигуры с равными сторонами и одинаковые по свойствам имеют одинаковую площадь.
Сложение площадей — фигуры, располагающиеся рядом, но не имеющие общих точек соприкосновения, будут иметь площадь равную сумме их отдельных площадей.

Единицы измерения площади

Площадь фигуры может измеряться в разных единицах в зависимости от поверхности, на которой располагается. Основной системой измерения считается Международная система единиц СИ.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате:

барн — 10 - 28 м 2 ;
квадратный миллиметр — 1 м м 2 ;
квадратный сантиметр — 1 с м 2 ;
квадратный метр — 1 м 2 ;
квадратный километр — 1 к м 2 ;
ар — 1 а = 100 м 2 ;
гектар — 1 г а = 10000 м 2 и другие.

В Древней Руси употребляли такие величины, как квадратная верста, десятина, квадратный сажень.

В античных источниках единицей измерения площади были актус, арура, центурия, югер.

В некоторых странах есть свои единицы измерения площади, например, рай в Таиланде. Также другими единицами измерения могут пользоваться разные виды научного знания, например, понятием планковской площади пользуется ядерная физика.

Формула нахождения площади в математике

Существует множество формул нахождения площади простых геометрических фигур, которые зависят, в основном, от количества углов, сторон и их соотношений.

Площадь прямоугольника

Прямоугольником является геометрическая фигура, все углы которой равны 90°. При этом таких углов должно быть, как минимум три, а четвертый будет равен 90° в силу закона о сумме углов четырехугольника в евклидовой геометрии.

Вычисление площади прямоугольника будет происходить через умножение сторон:

где a и b являются сторонами прямоугольника.

Площадь квадрата

Квадратом является прямоугольник с равными сторонами. Все его углы равны 90°. Площадь квадрата можно найти сразу двумя способами:

по длине стороны;
через его диагонали.

По длине стороны:

Так как квадрат является частным случаем прямоугольника, его площадь также можно найти по формуле S = a × b , однако в таком случае a и b будут равны, а формула по смыслу будет повторять выше написанную.

Через диагонали:

где a — длина сторон квадрата;

d — длина диагоналей квадрата.

Площадь круга

Кругом является часть плоскости, которая лежит внутри окружности. Круг не имеет ни одного угла, а точки его окружности находятся на равном удалении от центра.

Площадь круга можно найти двумя способами:

Через радиус:

где π — постоянная Пи, равна 3,14.

Радиус, упоминаемый в формуле, является линией или отрезком, соединяющим центр и любую из точек окружности.

Через диаметр:

где π — постоянная Пи, равна 3,14.

Диаметр является отрезком, соединяющим две точки окружности и проходящим через центр. Он включает в себя два противоположно направленных радиуса.

Площадь эллипса

Эллипс является частным случаем окружности. Он, так же, как и круг, не имеет ни одного угла, но при этом точки окружности находятся на разном удалении от центра.

Найти площадь эллипса можно только одним способом: через произведение длин большой и малой полуосей эллипса и числа пи.

Площадь эллипса находится через произведение длин большой и малой полуосей эллипса и числа пи:

Площадь параллелограмма

Параллелограмм является геометрической фигурой с 4 углами и 4 сторонами, однако он отличается от прямоугольника по строению. Его противолежащие стороны попарно параллельны, а углы равны зеркально противолежащим.

Частными случаями параллелограмма являются квадрат, прямоугольник и ромб.

Найти площадь параллелограмма можно тремя способами:

через сторону и высоту;
через две его стороны и величину угла между ними;
через диагонали и угол между ними.

Через сторону и высоту:

где a — сторона, к которой проведена высота,

h — высота непосредственно.

Через две стороны и величину угла между ними:

Через диагонали и угол между ними:

S = 1 2 × d 1 × d 2 × sin y

где d 1 и d 2 — это диагонали параллелограмма,

y — угол между ними.

Площадь ромба

Ромб, как частный случай параллелограмма, имеет те же свойства, кроме того, что все его стороны равны.

Площадь ромба также можно найти тремя способами:

по длине стороны и высоте;
по длине стороны и углу;
по длине его диагоналей.

По длине стороны и высоте:

Формула площади ромба по стороне и высоте выглядит так же, как и площадь параллелограмма по таким же характеристикам, с условием, что все высоты ромба будут равны:

По длине стороны и углу:

Формула площади ромба через длину сторон и углу между ними похожа на соответствующую формулу площади параллелограмма с условием того, что стороны равны, а значит, их перемножение можно заменить квадратом величины стороны:

По длине его диагоналей:

S = 1 2 × d 1 × d 2

Площадь трапеции

Трапеция отличается от всех предыдущих фигур тем, что только две ее стороны, боковые, могут быть равны между собой. При этом они не параллельны. Две другие стороны параллельны, но не равны. Сумма углов трапеции равна 360°.

Площадь трапеции можно найти двумя способами:

по формуле Герона;
по длине основ и высоте.

По формуле Герона:

S = a + b a - b p - a p - b p - a - c p - a - d

где a , b — длины оснований трапеции,

c , d — длины боковых сторон,

p = a + b + c + d 2

По длине основ и высоте:

Площадь треугольника

Треугольник является геометрической фигурой с тремя сторонами и суммой углов, равной 180°. По величине углов треугольники делятся на острые, тупые и прямоугольные. По числу равных сторон треугольники делятся на разносторонние, равносторонние и равнобедренные.

Площадь треугольника можно найти множеством способов:

по гипотенузе и острому углу;
через сторону и высоту;
через три стороны;
через две стороны и угол между ними;
через три стороны и радиус описанной окружности;
через три стороны и радиус вписанной окружности.

По гипотенузе и острому углу:

S = 0 , 25 × c 2 × sin 2 a

где c — гипотенуза,

a — любой из прилежащих острых углов.

Через сторону и высоту:

Через три стороны:

S = p ( p - a ) p - b p - c

где р — полупериметр.

p = a + b + c + d 2

Через две стороны и угол между ними:

S = 1 2 × a × b × sin y

Через три стороны и радиус описанной окружности:

Через три стороны и радиус вписанной окружности:

где р — полупериметр.

p = a + b + c + d 2

Стены класса равны 7 и 5 метрам. Чему будет равна площадь пола в данной комнате?

Решение: S = 7 × 5 = 35

Елена делает торты на заказ. Ей поступила просьба сделать небольшой торт, чтобы он поместился в форму с диаметром 16 сантиметров. Какую форму должна взять Елена для торта, если площадь формы А равна 113 с м 2 , площадь формы В равна 176 с м 2 , а площадь формы С — 283 с м 2 ?

Решение: S = π × 15 2 = 201 , 06 с м 2 . Торт из формы А будет слишком маленьким, а из формы С — слишком большим. Подходит форма В.

Ткань летучего змея порвалась. Вася решил сделать новую форму. Он посчитал, что длина жердей летучего змея равна 15 и 23 см. Форму какой площади нужно взять Васе с учетом того, что для припусков для пришивания нужно взять еще 2 см?

Решение: S = 1 2 × ( 15 + 2 ) × ( 23 + 2 ) = 195 , 5 с м 2 или 1 , 955 м 2 .

Равнобедренный треугольник имеет основание 4 дм и высоту 7 дм. Сколько будет его площадь?

1. Большое незастроенное место в пределах города или села. Красная площадь в Москве. Привокзальная площадь. □ И он по площади пустой Бежит и слышит за собой — Как будто грома грохотанье. Пушкин, Медный всадник. Из дальних кварталов, с дальних площадей и улиц несется возрастающий вой прибывающей толпы. Блок, Король на площади.

2. Мат. Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной или кривой линией. Площадь круга. Площадь ромба.

3. Пространство земли, предназначенное для чего-л. или занимаемое чем-л. Посевные площади. □ Эти заводы — числом десять — занимают собой площадь в шестьсот тысяч десятин. Мамин-Сибиряк, Сестры. [Астров (показывая на картограмме):] Темно- и светло-зеленая краска означает леса; половина всей площади занята лесом. Чехов, Дядя Ваня.

4. Помещение, предназначенное для какой-л. цели и обычно измеряемое в квадратных метрах поверхности пола. Жилая площадь.□ В течение своей двадцатилетней жизни Литературно-художественный кружок несколько раз менял свое помещение, чтобы расширить площадь. Телешов, Записки писателя. || Разг. Помещение для жилья. Он был намерен переселиться на юг и охотно поменялся бы площадью. Павленко, Осенняя заря.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

Пло́щадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.

ПЛО'ЩАДЬ, и, предл. о пло́щади и (устар.) на пло́щади́, мн. и е́й, ж. (книжн.). 1. Часть плоскости, ограниченная ломаной или кривой линией (геом.). П. прямоугольника. П. криволинейной фигуры. 2. только ед. Пространство, поверхность, естественно ограниченная или специально выделенная, отделенная для какой-н. цели. Количество эксплоатируемой, полезной площади. || Помещение, обычно измеряемое в квадратных метрах поверхности пола. Жилая п. П. дома. || Пространство земли, занимаемое чем-н. П. посева. Культурная п. (см. культурный). Расширение посевной площади. Лесная п. 3. Большое, ровное и незастроенное место в пределах города или села. Базарная п. Красная п. в Москве. Внизу народ на площади кипел. Пушкин. Там Минин и Пожарский торжественно стоят на площади. Некрасов.

пло́щадь

1. пространство, предназначенное для какой-либо цели ◆ В городе ощущалась острая нехватка офисных и жилых площадей.

2. незастроенное ровное место в городе или другом населённом пункте, обычно — окружённое зданиями и специально оформленное ◆ Главный фасад Московского вокзала в Петербурге выходит на площадь Восстания.

3. геометр. мера величины геометрической фигуры на плоскости ◆ Чтобы получить площадь трапеции, надо умножить полусумму её оснований на высоту.

Фразеологизмы и устойчивые сочетания

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: мещанский — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Вся фигура состоит из 8 квадратов со стороной 1 см каждый.

Площадь одного такого квадрата называют квадратным сантиметром и записывают: 1 см 2 .

Площадь всей фигуры 8 см 2 .

Запомните!

Площадь измеряется только в квадратных единицах длины. Всегда проверяйте свои ответы.

Напоминаем, что площадь квадрата можно найти, умножив длину его стороны на саму себя.

Единицей площади служит площадь единичного квадрата. Например, если длина стороны квадрата, равна 1 м, то его площадь равна 1 квадратному метру ( 1 м 2 ); если длина его стороны равна 1 см, то его площадь равна 1 квадратному сантиметру ( 1 см 2 ).

Для нахождения площади какой-либо фигуры её сравнивают с единичным квадратом.

Как перевести квадратные единицы

Рассмотрим квадрат со стороной 1 см.

Его площадь равна:

S = 1 см · 1 см = 1см 2

Рассмотрим квадрат со стороной 1 м.

Его площадь равна:

S = 1 м · 1 м = 1 м 2

Известно, что: 1 м = 100 см

1 м 2 = 1 м · 1 м = 100 см · 100 см = 10 000 см 2

Увеличим сторону квадрата равную 1 м в 10 раз. Получим квадрат со
стороной 10 м.

Площадь такого квадрата называют ар или сотка.

S = 10 м · 10 м = 100 м 2

В одном аре — сто квадратных метров.

1 ар (сотка) = 100 м 2

Чтобы выразить ар в cм 2 , вспомним, что 1 м 2 = 10 000 см 2 .

Значит: 1 ар (сотка) = 100 м 2 = 100 · 10 000 см 2 = 1 000 000 см 2

Увеличим сторону квадрата равную 10 м в 10 раз. Получим квадрат со
стороной 100 м.

Выразим гектар в квадратных метрах.

1 га = 100 м · 100 м = 10 000 м 2

Теперь определим, сколько в одном гектаре аров.

Значит: 10 000 м 2 : 100 м 2 = 100 (ар)

Для измерения больших площадей, например, территорий государств, материков используют квадратный километр. То есть квадрат со стороной 1 км и
площадью 1 км 2 .

1 км 2 = 1 км · 1 км = 1 000 м · 1 000 м = 1 000 000 м 2

Для простоты расчётов предлагаем вам в помощь таблицу переводов квадратных единиц.

Таблица переводов квадратных единиц

Данная таблица поможет перевести гектары в кв. метры, гектары в ары и наоборот.

Например, тем, что понятие площади фигуры вводится до того, как ребенок изучит умножение.

Просто прочитайте самостоятельно выдержку из плана урока, как его запланировала Людмила Георгиевна:

Вот так вводится понятие площади. То есть Никак. Я специально показываю полностью ту часть плана урока, на которой дети впервые знакомятся с этим понятием

Это второклассникам, ага.

Это никакое не утрирование, а то, что дети Массово выносят с уроков по этому учебнику - если учитель не опытный, или если учитель - преданный фанат Петерсон, готовый выполнять любой написанный ей бред, или если учитель рассказал коротенько и не заметил проблемы с пониманием.

Проверьте ребенка? Действительно ли он понимает, что площадь - это плоская территория, а не какая-то большая объемная фигня в пространстве?

Попросите его, например, показать руками, что такое площадь его пенала. Если он обводит руками весь пенал вокруг. Ну вы поняли :-)

Для объяснений нам потребуется знание таблицы умножения.

На самом деле все дети, занимающиеся по учебникам Петерсон, учат таблицу умножения летом перед 2 классом. Только почему-то не применяют при изучении площади.

Так что перед тем, как изучать площадь, вспомните с ребенком, в чем смысл умножения, повторите несколько простых примеров и обязательно умножение на 10.

Что такое площадь

Подберите практический материал. Например, 2 листа одинаковой длины и разной ширины.

Читайте также: