Что такое объем тела кратко

Обновлено: 02.07.2024

Объем тела — количественная характеристика (число), отражающая количество пространства, занимаемого телом.

Свойства объема

Каждое тело имеет определенный положительный объем.
Одинаковые тела имеют равные объемы.
Объем всего тела равен сумме объемов его частей.

Пояснение на примерах

На рисунке приведены две объемные геометрические фигуры: одна в форме куба, другая — произвольной формы. Предположим, что оба тела доверху наполнены жидкостью. Допустим, для заполнения первого тела потребовалось m кг жидкости, а для второго — n к г жидкости.

Тогда второй сосуд в n / m раз больше первого. Если объем первого тела — это единица измерения объема, то величина, указывающая, во сколько раз второй сосуд больше первого, называется объемом второго тела. Из такого определения и вытекают свойства объема. Переформулируем их иначе:

Каждое тело имеет определенный положительный объем — для заполнения каждого сосуда требуется определенное количество жидкости (у всех тел существует объем).
Одинаковые тела имеют равные объемы — одинаковые сосуды требует одинаковое количество жидкости для заполнения.
Объем всего тела равен сумме объемов его частей — если сосуд разделить на части, то весь сосуд будет содержать количество воды, равное содержанию его составных частей.

Далее приведен общий подход к решению задач по геометрии для учеников 10 класса.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, b и c : V = a b c .

Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 с м 3 / Чему равно ребро куба?

Решение.

Обозначим ребро куба через x, тогда x + 2 3 - x 3 = 98 , т.е. x 2 + 2 x - 15 = 0 .

Уравнение имеет два корня: x = 3 , x = - 5 .

Геометрический смысл имеет только положительный корень.

Итак, ребро куба равно 3 см.

Объем наклонного параллелепипеда

Объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Объем наклонного параллелепипеда V=Sh, где S — площадь основания, h — высота.

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания a и b образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найти его объем.

Решение.

Обозначим высоту через x.

Тогда ( 2 a + 2 b ) x = S .

Отсюда x = S / 2 ( a + b ) .

Площадь основания параллелепипеда равна a b · sin 30 ° = a b 2 .

Объем равен a b S 4 ( a + b ) .

Объем призмы

Объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту: V=SH, где S — площадь основания призмы, H — высота призмы.

В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найти объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны l.

Решение.

Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части. Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а высота равна l. Эта призма имеет тот же объем.

Таким образом, объем исходной призмы равен Ql.

Объем пирамиды

Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = 1 3 S H .

Найти объем усеченной пирамиды с площадями оснований Q 1 и Q 2 ( Q 1 > Q 2 ) и высотой h.

Решение.

Дополним данную усеченную пирамиду до полной.

Пусть x — ее высота.

Объем усеченной пирамиды равен разности объемов двух полных пирамид: одной — с площадью основания Q 1 и высотой x, другой — с площадью основания Q 2 и высотой x - h .

Из подобия этих пирамид находим:

Q 1 Q 2 = x x - h 2 , x = h Q 1 Q 1 - Q 2 .

Объем усеченной пирамиды равен:

V = 1 3 Q 1 h Q 1 Q 1 - Q 2 - Q 2 h Q 1 Q 1 - Q 2 - h = = 1 3 h Q 1 Q 1 - Q 2 Q 2 Q 1 - Q 2 = 1 3 h Q 1 + Q 1 Q 2 + Q 2 .

Объем цилиндра

Объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H равен: V = π R 2 H .

Объем конуса

Объем конуса с радиусом основания R и высотой H равен: V = 1 3 π R 2 H .

Найти объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований R 1 и R 2 ( R 2 R 1 ) , а высота h .

Решение.

Дополним данный усеченный конус до полного.

Пусть x — его высота.

Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов: одного — с радиусом основания R 1 и высотой x, другого — с радиусом основания R 2 и высотой x - h .

Из подобия находим x :

x x - h = R 1 R 2 , x = h R 1 R 1 - R 2 .

Объем усеченного конуса равен:

V = 1 3 π R 1 2 h R 1 R 1 - R 2 - π R 2 2 h R 1 R 1 - R 2 - h = = 1 3 π h R 1 3 - R 2 3 R 1 - R 2 = 1 3 π h R 1 2 + R 1 R 2 + R 2 2 .

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами. С понятием объёма тесно связано понятие вместимость, то есть объём внутреннего пространства сосуда, упаковочного ящика и т. п. Синонимом вместимости частично является ёмкость, но словом ёмкость обозначают также сосуды и качественную характеристику конденсаторов.

Принятые единицы измерения — в СИ и производных от неё — кубический метр, кубический сантиметр, литр (кубический дециметр) и т. д. Внесистемные — галлон, баррель.

Содержание

Вычисление объёма

Математически

В общем случае математически объём тела вычисляется по следующей интегральной формуле:

$V = \iiint\limits_<\R^3></p> <p>\chi(x,y,z)dxdydz$
,

$\chi(x, y, z)$

где — характеристическая функция геометрического образа тела.

Для ряда тел с простой формой более удобным является использование специальных формул. Например, объём куба с длиной стороны, равной a, равен .

Через плотность

$V=\frac<m></p> <p>Объём находится по формуле:$

Единицы объёма жидкости

Английские внесистемные

1 пинта = 0,57 л
1 Кварта = 2 пинты = 1,23 л
1 галлон = 8 пинтам = 4,55 л (Имперский галлон)

Американские внесистемные

1 американский галлон = 3,785 л (Распространён в США)

Античные внесистемные

Древнееврейские

Омер = 1 /₁₀ эйфы
Гин = 4147 см³ [1]
Кав = 1382 см³

Русские внесистемные

Бутылка (винная) = 1/16 Ведра = 0,77 л
Бутылка (пивная) = 1/20 Ведра = 0,61 л = 4,7 ведра = 2 шкалика = 0,123 л = 4 бутылки = 3,075 л (косушка) = пол чарки = 0,0615 л = 1,54 л

Единицы сыпучих веществ

Английские внесистемные

1 бушель = 36,36872 литров = 8 галлонов = 3,63687·10 −2 м³
1 баррель = 0,16365 м³. (для сыпучих веществ)

Русские внесистемные

Молярный объём

Vm — величина, равная отношению объёма V системы (тела) к её количеству вещества n:

Молярный объем для газов при нормальных условиях: Vm = 22,4 л/моль

Прочие единицы измерения

1 дюйм кубический = 1,63871·10 −5 м³
1 литр = 1·10 −3 м³
Лямбда 1 λ = 1·10 −9 м³
1 унция = 2,841·10 −5 м³ (анг.)
1 унция = 2,957·10 −5 м³ (амер.)
1 фут кубический = 2,83168·10 −2 м³
1 ярд кубический = 0,76455 м³
1 стер = 1 м³
1 ае кубическая =3,348071936e+40 км³
1 км кубический = 1 000 000 000 м³
1 световой год кубический = 8,46590536e+38 км³
1 пк кубический = 2,9379989989648103256576e+40 км³
1 мпк кубический =1 000 000 000 пк³=2,9379989989648103256576e+49 км³

Примечания

Литература

Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Добавить иллюстрации.

Физические величины по алфавиту
Единицы измерения объёма

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Объём" в других словарях:

объём — объём, а … Русский орфографический словарь

объём — объём … Словарь употребления буквы Ё

объём — объём/ … Морфемно-орфографический словарь

объём — сущ., м., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? объёма, чему? объёму, (вижу) что? объём, чем? объёмом, о чём? об объёме; мн. что? объёмы, (нет) чего? объёмов, чему? объёмам, (вижу) что? объёмы, чем? объёмами, о чём? об объёмах 1. В… … Толковый словарь Дмитриева

объём — а; м. 1. Величина чего л. в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах. О. геометрического тела. О. куба, цилиндра. О. здания. О. полтора кубометра. В объёме (в трёх измерениях; объёмно). 2. Содержание чего л. с точки зрения… … Энциклопедический словарь

ОБЪЁМ — ОБЪЁМ, а, муж. 1. Величина чего н. в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах. О. пирамиды. О. здания. 2. Вообще величина, количество. Большой о. работ. О. информации. О. знаний. | прил. объёмный, ая, ое (к 1 знач.). Объёмное… … Толковый словарь Ожегова

объём — ОБЪЁМ1, а, м Величина или вместимость предмета, определяемая произведением длины, высоты и ширины и измеряемая в кубических единицах. Объем бассейна в новой школе составляет 300 кубических метров. ОБЪЁМ2, а, м Количество или величина чего л.… … Толковый словарь русских существительных

ОБЪЁМ — ОБЪЁМ, мера части пространства, занимаемого телом. Единицей измерения служит объём единичного куба … Современная энциклопедия

объ — объ. Пишется вм. (об) перед е, ю, я, напр. объехать, объявить.Примечание. Вм. этой приставки и следующей за ней буквы и пишется обы, напр. обыграть. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

объ… — Пишется вместо об… перед е, ю, я, напр. объехать, объявить. Примечание. вместо этой приставки и следующей за ней буквы и пишется обы, напр. обыграть. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Все формулы объема геометрических тел

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба:

V = a 3

V - объем куба,
a - длина грани куба.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

V- объем призмы,
S_o - площадь основания призмы,
h - высота призмы.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

V- объем параллелепипеда,
S_o - площадь основания,
h - длина высоты.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Формула объема пирамиды:

V - объем пирамиды,
S_o - площадь основания пирамиды,
h - длина высоты пирамиды.

Объем усеченной пирамиды

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S₁(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S₂ (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Формула объема усеченной пирамиды:

S1 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды,
S2 - площадь нижнего основания усеченной пирамиды,
h - высота усеченной пирамиды.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формула объема цилиндра:

V= π R 2 h

V= S_оh

V - объем цилиндра,
S_o - площадь основания цилиндра,
R - радиус цилиндра,
h - высота цилиндра,
π = 3.141592

Объем правильной треугольной пирамиды

Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS).

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

V - объем пирамиды;
h - высота пирамиды;
a - сторона основания пирамиды.

Объем конуса

Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H.

Формула объема конуса:

V - объем конуса;
R - радиус основания;
H - высота конуса;
I - длина образующей;
S - площадь боковой поверхности конуса.

Объем усеченного конуса

Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов.

Формула объема усеченного конуса:

V - объем усеченного конуса;
H - высота усеченного конуса;
R и R 2 - радиусы нижнего и верхнего оснований.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Формула тетраэдра:

V - объем тетраэдра;
a - ребро тетраэдра.