Что такое модуль в математике кратко
Обновлено: 01.06.2024
В этой статье введем и очень подробно разберем такое важное понятие, как модуль числа. Разберемся, откуда модуль взялся, какими свойствами обладает. Научимся решать уравнения и неравенства с модулем.
Геометрический смысл
Количественный смысл
Понятие величины
Модуль числа
Модуль или абсолютная величина вещественного числа x — само число x , если оно неотрицательно, иначе − x .
Допустим, мы хотим найти модуль какого-то числа a . Согласно определению, нам надо провести элементарную проверку. Если число a положительное или равно 0 , то модулем a и является само a . Если же a меньше 0 , то результатом модуля будет − a .
∣ 5 ∣ = 5 ∣ 0 ∣ = 0 ∣ − 1 2 ∣ = − ( − 1 2 ) = 1 2
∣ − 1 0 0 ∣ = 1 0 0 ∣ − 1 0 ∣ = 1 0 ∣ 5 0 ∣ = 5 0 ∣ − 1 0 0 ∣ > ∣ 5 0 ∣ ∣ 1 0 ∣ = 1 0 ∣ − 1 0 ∣ = ∣ 1 0 ∣
Положение знака нестрогого неравенства в определении модуля не имеет значения:
Обозначим второе определение модуля числа x как ∣ x ∣ ′ . Покажем, что какой x не возьми, будет выполняться ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ .
Пусть x > 0 . По классическому определению ∣ x ∣ = x . По второму: ∣ x ∣ ′ = x . То есть ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ .
Пусть x = 0 . По классическому определению ∣ 0 ∣ = 0 . А вот во втором определении 0 попадает уже под второе условие, то есть ∣ 0 ∣ ′ = − 0 = 0 . Опять имеем ∣ 0 ∣ = ∣ 0 ∣ ′ .
Наконец, пусть x 0 . По классическому определению ∣ x ∣ = − x . У второго определения та же ситуация: ∣ x ∣ ′ = − x . Получается, что и в этом случае ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ .
Итак, мы рассмотрели все возможные значения для x и во всех случаях ∣ x ∣ = ∣ x ∣ ′ . Это и означает, что между двумя определениями нет никакой разницы ■
Такое определение иногда бывает полезно. Например, если x лежит в следующих пределах: − 1 0 ≤ x ≤ 0 , то можно сразу сказать, что ∣ x ∣ = − x , даже несмотря на то, что для x = 0 так выражаться будет некорректно, ведь ∣ 0 ∣ = 0 , а не − 0 .
Свойства модуля
У модуля есть очень много полезных свойств, которые сильно помогают при решении уравнений, неравенств, доказательстве теорем и так далее. Рассмотрим самые полезные из них. Все свойства ниже формулируем для любых вещественных чисел x и y .
Очевидные свойства
А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.
Ситуация первая
В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.
Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.
Ситуация вторая
Ситуация третья
А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.
В данном уроке мы рассмотрим понятие модуля числа более подробно.
Что такое модуль?
Модуль — это расстояние от начала координат до какого-нибудь числа на координатной прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, то и модуль всегда неотрицателен. Так, модуль числа 3 равен 3, как и модуль числа −3 равен 3
Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Теперь если отметить числа −3 и 3, то расстояние до них от начала координат будет одинаково равно трём шагам:
Модуль это не только расстояние от начала координат до какого-нибудь числа. Модуль это также расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Такое расстояние выражается в виде разности между этими числами, заключенной под знак модуля:
Где x1 и x2 — числа на координатной прямой.
Например, отметим на координатной прямой числа 2 и 5.
Расстояние между числами 2 и 5 можно записать с помощью модуля. Для этого запишем разность из чисел 2 и 5 и заключим эту разность под знак модуля:
Видим, что расстояние от числа 2 до числа 5 равно трём шагам:
Если расстояние от 2 до 5 равно 3, то и расстояние от 5 до 2 тоже равно 3
То есть, если в выражении |5 − 2| поменять числа местами, то результат не изменится:
Тогда можно записать, что |2 − 5| = |5 − 2|. Вообще, справедливо следующее равенство:
Это равенство можно прочитать так: Расстояние от x1 до x2 равно расстоянию от x2 до x1.
Раскрытие модуля
Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.
Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x
Пример 2. Пусть x = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5
В данном случае выполняется первое условие x ≥ 0, ведь 5 ≥ 0
Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.
Ноль это своего рода точка перехода, в которой модуль меняет свой порядок раскрытия и далее сохраняет свой знак. Визуально это можно представить так:
На рисунке красные знаки минуса и плюса указывают как будет раскрываться модуль |x| на промежутках x и x ≥ 0 .
К примеру, если взять числа 1, 9 и 13 , а они принадлежат промежутку x ≥ 0, то согласно рисунку модуль |x| раскроется со знаком плюс:
А если возьмём числа, меньшие нуля, например −3, −9, −15, то согласно рисунку модуль раскроется со знаком минус:
Пример 3. Пусть x = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,
Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид
x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие x |√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4
На практике обычно рассуждают так:
Примеры:
|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0
|−4| = −(−4) = 4 — модуль раскрылся со знаком минус, поскольку −4 x ≥ 0 расписано подробнее, а именно сказано что если x > 0 , то выражение |x| будет равно x , а если x =0, то выражение |x| будет равно нулю.
Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:
В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0
Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3
Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x + 3.
Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при x = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:
Найдём значение выражения |x|+ 3 при x = −6. Поскольку −6 |x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9
Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|
Если x + 3 ≥ 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком плюс и тогда исходное выражение примет вид x + x + 3 , откуда 2x + 3.
Найдём значение выражения x +|x + 3| при x = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11
Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.
Поскольку −3 ≥ −3 , то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив −3 получим −3
Пример 3. Раскрыть модуль в выражении
Как и прежде используем правило раскрытия модуля:
Но это решение не будет правильным, поскольку в первом случае написано условие x ≥ 0 , которое допускает что при x = 0 знаменатель выражения обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.
В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором x = 0
Перепишем решение так:
В первом случае написано условие x > 0 . Тогда выражение станет равно 1. Например, если x = 3 , то числитель и знаменатель станут равны 3, откуда полýчится 1
И так будет при любом x , бóльшем нуля.
Во втором случае написано условие x = 0 . Тогда решений не будет, потому что на ноль делить нельзя.
В третьем случае написано условие x . Тогда выражение станет равно −1 . Например, если x = −4 , то числитель станет равен 4 , а знаменатель −4 , откуда полýчится единица −1
Пример 4. Раскрыть модуль в выражении
Если x ≥ 0 , то модуль, содержащийся в числителе, раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид , которое при любом x , бóльшем нуля, будет равно единице:
Если x , то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид
Но надо учитывать, что при x = − 1 знаменатель выражения обращается в ноль. Поэтому второе условие x следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x
Преобразование выражений с модулями
Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки. Если модуль входит в многочлен, то его можно сложить с подобным ему модулем.
Как и у обычного буквенного множителя, у модуля есть свой коэффициент. Например, коэффициентом модуля |x| является 1, а коэффициентом модуля −|x| является −1. Коэффициентом модуля 3|x+1| является 3, а коэффициентом модуля −3|x+1| является −3.
Пример 1. Упростить выражение |x| + 2|x| − 2x + 5y и раскрыть модуль в получившемся выражении.
Решение
Выражения|x| и 2|x| являются подобными членами. Слóжим их. Остальное оставим без изменений:
Раскроем модуль в получившемся выражении. Если x ≥ 0, то получим 3x − 2x + 5y , откуда x + 5y .
Если x , то получим − 3x − 2x + 5y , откуда − 5x + 5y . Вынесем за скобки множитель − 5 , получим − 5(x − y)
В итоге имеем следующее решение:
Пример 2. Раскрыть модуль в выражении: −|x|
Решение
В данном случае перед знаком модуля стоит минус. Его можно понимать как минус единицу перед знаком модуля. Если x ≥ 0 , то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид −x
Если x , то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −(−x) откуда получим просто x
Модуль числа и уравнения с модулем — тема особенная, прямо-таки заколдованная :-) Она совсем не сложная, просто в школе её редко объясняют нормально. В результате без специальной подготовки почти никто из школьников не может дать правильное определение модуля и тем более решить уравнение с модулем. И эту картину мы наблюдаем на протяжении многих лет.
Модуль числа называют ещё абсолютной величиной этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. В записи положительного числа и так нет. никакого знака, поэтому модуль положительного числа равен ему самому. Например, Модуль нуля равен нулю. А модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному
(без знака!). Например,
Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен:
Определение модуля
От большинства известных из школы определений оно отличается лишь одним: в нём есть выбор. Есть условие. И в зависимости от этого условия мы раскрываем модуль либо так, либо иначе.
Так же, как в информатике — в разветвляющихся алгоритмах с применением условных операторов. Как, вообще-то, и в жизни: сдал ЕГЭ на минимальный балл — можешь подавать документы в ВУЗ. Не сдал на минимальный балл — можешь идти в армию :-)
Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению. Например,
В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например, так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых x и y. Или: так так как выражение под модулем неположительно при любых z.
Геометрическая интерпретация модуля
Нарисуем числовую прямую. Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Например, То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Эта геометрическая интерпретация очень полезна для решения уравнений и неравенств с модулем.
Рассмотрим простейшее уравнение . Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и −3. Значит, у уравнения есть два решения: x = 3 и x = −3.
Вообще, если имеются два числа a и b, то равно расстоянию между ними на числовой прямой.
(В связи с этим нередко встречается обозначение длины отрезка AB, то есть расстояния от точки A до точки B.)
Ясно, что (расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a).
Решим уравнение . Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки x до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Мы видим, что наше уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы решили его самым простым способом — без использования определения модуля.
Перейдём к неравенствам. Решим неравенство .
Ответ: (-11; -3).
Другой пример. Решим неравенство |10 − x| ≥ 7.
Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.
Ответ:
График функции
Этот график надо знать обязательно. Для имеем y = x. Для имеем y = −x. В результате получаем:
С помощью этого графика также можно решать уравнения и неравенства.
Корень из квадрата
Нередко в задачах ЕГЭ требуется вычислить , где – некоторое число или выражение. Не забывайте, что
Действительно, по определению арифметического квадратного корня — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен . Оно равно при и при , т. е. как раз .
Примеры заданий ЕГЭ
1. Найдите значение выражения при .
Заметим, что при . Следовательно, значение нашего выражения равно: .
2. Найдите значение выражения при .
В следующей статье мы рассмотрим более сложные уравнения и неравенства с модулем.
Читайте также: