Что такое логарифм кратко

Обновлено: 04.07.2024

Почти не найдется таких людей, кто никогда в своей жизни не слышал этот на первый взгляд мудреный математический термин. Однако под кажущейся сложностью слова "Логарифм" (не путать с "Алгоритм") скрываются простейшие математические действия - а именно возведение в степень.
Советуем прочесть статью по порядку и не переходить к концу сразу где дано определение логарифма, так как прочитав несколько строк ниже вы поймете и прочувствуйте, что такое логарифм без особого напряга ваших умственных способностей.

1) Итак, вы знаете что значит возвести в степень число? Правильно! Умножить его столько раз на себя, сколько составляет показатель степени! Например, 3 во 2 степени будет 9 (умножили 3 на само себя 2 раза). Ну а 4 в 3 степени сколько будет? 4 умножаем на 4 и еще раз на 4 Получаем, что 4 в 3 степени будет 64.
2) Возведение в степень можно писать как мы привыкли: 4^3 = 64 а можно в виде логарифма.
3) Показатель степени (то есть в какую степень возводим, например в 3 степень) - это число чему будет равен наш логарифм
4) У любого логарифма есть основание. Оно пишется чуть ниже числа логарифма. Основание логарифма - это какое число мы возводим в степень. Мы возводим в 3 степень число 4, а значит основание у логарифма будет 4. Основание логарифма должно быть больше 0 и не равно 1
5) Ну а что число логарифма? Правильно - это то, что получилось в результате. В нашем примере 4^3 = 64 это число 64. Число у любого логарифма строго положительно!

Подытожим: у логарифма есть основание (4), число (64) и каждый логарифм чему то равен (3). Начинаем с основания - того что возводим в степень. Продолжаем - чему равен логарифм - это в какую степень возводим. Число логарифма - то, что мы возвели в степень! Читаем: логарифм числа 64 по основанию 4 равен 3.

Ну и напоследок определение логарифма: Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить b

Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.

Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .

Обозначение: log _a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒ log₂ 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log₂ 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют . Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log₂ 2 = 1	log₂ 4 = 2	log₂ 8 = 3	log₂ 16 = 4	log₂ 32 = 5	log₂ 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log₂ 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 2 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log₂ 5 = 2,32192809.
log₃ 8 = 1,89278926.
log₅ 100 = 2,86135311.

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log₂ 5, log₃ 8, log₅ 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

Как считать логарифмы

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log _a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log₂ 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
Составим и решим уравнение:
log₅ 25 = b ⇒ (5 1 ) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4 ) −1 = 3 −4 ;
Составим и решим уравнение:
Получили ответ: −4.

Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Составим и решим уравнение:
log₄ 64 = b ⇒ (2 2 ) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2 b = 6 ⇒ b = 3;
Получили ответ: 3.

Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Составим и решим уравнение:
log₁₆ 1 = b ⇒ (2 4 ) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4 b = 0 ⇒ b = 0;
Получили ответ: 0.

Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 2 ;
Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
Ответ — без изменений: log₇ 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .

Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459.

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log _e x

Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Логарифм числа - это показатель степени, то есть, в какую степень надо возвести число, которое стоит в основании, чтобы получить число в выражении логарифма. Например, \(log_28 \) в какую степень надо возвести \(2\) , чтобы получить \(8\) это \(log_28 =3\) .

\(log_ax=b\) \(x=a^b\)

Если \(x=1\) , то \(b\) равен \(o\) , так как ненулевое число в нулевой степени всегда равно единице \(x^0=1\) , \(x\) не равно \(0\) .

Некоторые логарифмы в результате получают иррациональное число, пример \(log_310\) результат будет лежать на промежутке: \(3^2

Аргумент и основание не могут быть равны нулю и отрицательными числами.
Основание не может быть равно единице, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.
Число b может быть любым.
ОДЗ логарифма \(log_a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1\) .

Натуральный логарифм – логарифм, в основании которого стоит \(e\) . Что означает \(e\) ? Это иррациональное число, бесконечное непериодическое десятичное число, математическая константа, которую надо запомнить:

Логарифмом имеет много применений в науке и инженерии. Естественный логарифм имеет константу \(e\) в своем основании, его использование широко распространено в дискретной математике, особенно в исчислении. Двоичный логарифм использует базу \(b = 2\) и занимает видное место в информатике. Логарифмы были введены Джоном Нейпиром в начале \(XVII\) века, как средство упрощения расчетов. Они были легко приняты учеными, инженерами и другими, чтобы облегчать вычисления . Современное понятие логарифмов исходит от Леонарда Эйлера, который связал их с экспоненциальной функцией в \(XVII\) веке.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Репетитор 1-9 классов. Доступно и позитивно познакомимся с удивительным миром цифр и формул. Индивидуальный подход к каждому ученику. Помогу Вашему ребенку стать настоящим волшебником, которому будет под силу не только элементарная магия цифр, но и умопомрачительные превращения математических формул.

Репетитор 5-8 классов. На своих уроках я применяю элементы современных образовательных технологий: здоровьесберегающие технологии, личностно-ориентированный подход, игровые технологии, технологии уровневых дифференциаций, проектное обучение, технологии проблемного обучения, также комбинирую несколько образовательных технологий в одном уроке. С радостью жду Вас на своих занятиях!

\(log_ax=b\) \(x=a^b\)

Аргумент и основание не могут быть равны нулю и отрицательными числами.
Основание не может быть равно единице, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.
Число b может быть любым.
ОДЗ логарифма \(log_a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1\) .

Читайте также: