Что такое функциональный анализ кратко

Обновлено: 04.07.2024

В различных источниках в качестве разделов функционального анализа рассматриваются теория меры и интеграла, теория функций, теория операторов, дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине XX века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.

Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале XXI века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений, математической физике, теоретической физике (в том числе, квантовой механике, теории струн), теории управления и оптимизации, теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье, используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также может рассматриваться как часть функционального анализа.

Функциональный анализ — раздел высшей математики, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства (в основном пространства функций [1] ) и их отображения.

Основные разделы классического функционального анализа — это теория меры и интеграла, теория функций, теория операторов, дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине 20 века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.

Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале 21 века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений, математической физике, теоретической физике (см. квантовая механика, теория струн), теории управления и оптимизации, теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье, используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также является частью функционального анализа.

Образно функциональный анализ естественно рассматривать как обобщение соединённых вместе линейной алгебры и математического анализа.

Содержание

Некоторые понятия функционального анализа

История

Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений. Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах.

Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).

Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов:

Именно через теорию операторов функциональный анализ столкнулся с квантовой механикой, дифференциальными уравнениями, теорией вероятности, а также рядом прикладных дисциплин.

В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет-преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши.

Ключевые результаты

  • Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха — Штейнгауза) применимый к набору операторов с точной границей.
  • Принцип oткрытости отображения. Как её следствия — теорема Банаха об ограниченности линейного оператора, обратного биективному линейному ограниченному оператору, теорема о замкнутом графике. о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых пространствах.
  • Одна из спектральных теорем (которых в действительности больше чем одна), дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве. Это теорема центральной важности для математического обоснования квантовой механики.

Направление исследований

Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие тенденции:

  • Мягкий анализ. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
  • Геометрия Банаховых пространств.
  • Некоммутативная геометрия. Разработанная Аленом Конном, частично построенная на более ранних представлениях, таких как аппроксимация Джоржа Макки (George Mackey) в эргодической теории.
  • Связь с квантовой механикой. Также более узко определённая как в математической физике, или истолкованное более обще, например Гельфандом, включается в более типичную теорию изображений.
  • Квантовый функциональный анализ Исследование пространств операторов, вместо пространств функций.
  • Нелинейный функциональный анализ. Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей, и др. в рамках функционального анализа.

Примечания

  1. ↑ На самом деле, любое линейное пространство, в том числе и конечномерное, может быть реализовано как пространство функций. Сделать это можно несколькими способами. Например, линейное пространство линейно изоморфно множеству функций на базисе Гамеля этого пространства (или любого равномощного ему множества), отличных от нуля лишь на конечном числе точек. Другой вариант: вложим линейное пространство V в его второе алгебраически сопряженное, то есть в пространство всех линейных функционалов над пространством всех линейных функционалов над V.
  2. ↑Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. — Т. 1.Общая теория. — С. 5-6.

См. также

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Функциональный анализ" в других словарях:

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — один из основных разделов современной математики. Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и методов многих разделов классического математического анализа, алгебры, геометрии. Характеризуется использованием понятий,… … Большой Энциклопедический словарь

функциональный анализ — сущ., кол во синонимов: 1 • функан (2) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

функциональный анализ — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN function analysis … Справочник технического переводчика

Функциональный анализ — I Функциональный анализ часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… … Большая советская энциклопедия

Функциональный анализ — разновидность анализа, характеризующегося как метод выявления функций рассматриваемого объекта и изучение их влияний на другие объекты. Функциональный анализ применим лишь к тем явлениям, которым приписываются функции, например, общественные… … Основы духовной культуры (энциклопедический словарь педагога)

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — 1. Вообще – анализ сложной системы, при котором основное значение уделяется функциям различных аспектов системы и способу интеграционного оперирования. Такой анализ обычно преуменьшает значение фактической формы или структуры. Анализируемой… … Толковый словарь по психологии

функциональный анализ — один из основных разделов современной математики. Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и методов многих разделов классического математического анализа, алгебры, геометрии. Характеризуется использованием понятий,… … Энциклопедический словарь

Функциональный анализ — – способ выяснения цели конкретного вида поведения, развивающийся в рамках МОДИФИКАЦИИ ПОВЕДЕНИЯ. Большинство видов так называемого аномального поведения в действительности отвечают каким то целям человека, но не всегда удается определить смысл… … Словарь-справочник по социальной работе

функциональный анализ — funkcinė analizė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Analizuojamosios medžiagos būdingų funkcinių grupių nustatymas. atitikmenys: angl. functional analysis vok. Funktionsanalysis, f rus. функциональный анализ, m pranc.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

функциональный анализ — funkcinė analizė statusas T sritis chemija apibrėžtis Organinės medžiagos funkcinių grupių radimas ir nustatymas. atitikmenys: angl. functional analysis; group analysis rus. функциональный анализ … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

ФУНКЦИОНА́ЛЬНЫЙ АНА́ЛИЗ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, глав­ной за­да­чей ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся изу­че­ние бес­ко­неч­но­мер­ных про­странств и опе­ра­ций над их эле­мен­та­ми. Воз­ник в ре­зуль­та­те вза­им­но­го влия­ния, объ­е­ди­не­ния и обоб­ще­ния идей и ме­то­дов разл. раз­де­лов клас­сич. ма­те­ма­тич. ана­ли­за, в пер­вую оче­редь ва­риа­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния , мно­жеств тео­рии , ли­ней­ной ал­геб­ры и мно­го­мер­ной гео­мет­рии. Ф. а. на­хо­дит мно­го­числ. при­ме­не­ния как в са­мой ма­те­ма­ти­ке, так и в разл. об­лас­тях совр. фи­зи­ки (напр., в кван­то­вой ме­ха­ни­ке, кван­то­вой тео­рии по­ля). В Ф. а. на­шли даль­ней­шее раз­ви­тие и обоб­ще­ние осн. по­ня­тия клас­сич. ана­ли­за, та­кие как по­ня­тия функ­цио­наль­ной за­ви­си­мо­сти (см. Функ­ция ) и не­пре­рыв­но­сти (см. Не­пре­рыв­ная функ­ция ). Ме­то­ды Ф. а. по­зво­ля­ют ус­та­нав­ли­вать глу­бо­кие свя­зи ме­ж­ду разл. раз­де­ла­ми ма­те­ма­ти­ки.

Сущностьфункционального анализа заключается в выделении элементов социального взаимодействия и определении их роли и значения, т. е. функции.

Основы функционального анализа были заложены Г. Спенсером, который, как нам известно, представлял человеческое общество как аналог живого организма, каждая часть которого выполняет свою роль в интересах всей системы (органицизм).

Эти идеи развивали Э. Дюркгейм, Б. Малиновский и А. Радклиф-Браун.

Р. Мертон сформулировал три постулата функционализма:

постулат функционального единства общества, означающий согласованность функционирования всех его частей;

постулат универсального функционализма, который означает полезность для общества происходящих в нем социальных явлений и процессов;

постулат функциональной необходимости, означающий, что в обществе имеют место только необходимые ему функциональные социальные факты.

Отсюда вытекает метод функционального анализа: исследование баланса функций и дисфункций, определение, какими явлениями могут быть заменены данные функционирующие социальные факты, какие явления выполняют одинаковые функциональные эквиваленты, а какие — разные социальные функции и т. д.

Функциональный анализ, объясняя социальное поведение личности, так же как и структурный, пытается решить противоречие между индивидом и обществом, но делает это своеобразным способом.

Р. Мертон ввел понятие явных и латентных (скрытых) функций. Явная функция — это следствие поступка, которое вызвано намеренно и признается окружающими таковым. Латентная функция — это действие, которое индивид не намеревался произвести и о результате которого он и не догадывался. Это действие может быть функциональным или дисфункциональным. Таким способом функционалистам удается избежать очевидного несоответствия, заключающегося в том, что все поступки, совершаемые в своих интересах индивидами, должны быть функциональны для общества (иначе сами индивиды окажутся дисфункциональны).

Недостатком функционального анализа является то, что считается главным преимуществом структурного подхода, – неясность, расплывчатость статической конструкции общества, неточность места, положения конкретной личности, группы в социальной структуре общества. Кроме того, аналогия общества с организмом имеет довольно значительные недостатки, заключающиеся в том, что связи в обществе не чисто материальные, а смысловые, культурно-информационные; общества состоят из автономных индивидов, которые используют его в том числе для своих целей, а не только для общественного блага; общества имеют гораздо менее четкие границы, чем органы организма, и поэтому их функции менее взаимосвязаны.

В то же время функциональный анализ помогает преодолеть главный недостаток структурного подхода: сложность описания и изучения социальной динамики, социальных процессов.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

3. Социальные системы: функциональный анализ

3. Социальные системы: функциональный анализ Анализ социальных систем, проведенный выше, носил по преимуществу структурно-компонентный характер. При всей своей важности он позволяет понять, из чего состоит система и — в гораздо меньшей степени — какова ее целевая

ГЛАВА 3 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП ПОЗНАНИЯ ОСНОВАНИЯ РЕЛИГИОЗНЫХ ЯВЛЕНИЙ

9. Эмпирическая социология и структурно-функциональный анализ

9. Эмпирическая социология и структурно-функциональный анализ В первой половине XX столетия на Западе, прежде всего в Европе и Америке, быстро развивалась эмпирическая социология. Она представляет собой современное проявление социологического позитивизма, начало

Т.Н.Панченко. Стросон и Витгенштейн. Анализ как выявление формальной структуры неформального языка и анализ как терапия

Т.Н.Панченко. Стросон и Витгенштейн. Анализ как выявление формальной структуры неформального языка и анализ как терапия *** Людвиг Витгенштейн и Питер Стросон некоторым образом определяют границы философии анализа, ее начало и конец. Один из них принадлежит к

4.2. Механизм сознания как функциональный безразмерный рефлексивный код (синрефлексия)

4.2. Механизм сознания как функциональный безразмерный рефлексивный код (синрефлексия) Сознание человека, как и осознание человеком явления и самого себя, было и остается притягательным для анализа психологов, философов, естественников.Не обольщаясь, можно утверждать,

Функциональный акт

Функциональный акт Любой интеллект функционирует дискретно. Если говорить точнее, то это сочетание непрерывных и дискретных процессов. Впрочем, существуют ли вообще чисто непрерывные процессы. Во всяком случае, в сложных системах любое непрерывное есть только

Анализ

Анализ Чтобы подводить первые итоги, подсчитайте количество пунктов.Меньше 10 – наверное, вы не постарались. Потому что вы же не бездельник, да?11–15 – неплохо для начала. Наверное, вы писали только самое главное и не детализировали.16–20 – хорошо: неплохая детализация, вы

145. Анализ

§ 34. Принципиальное развитие феноменологического метода. Трансцендентальный анализ как анализ эйдетический

§ 34. Принципиальное развитие феноменологического метода. Трансцендентальный анализ как анализ эйдетический В учении о Я, как полюсе своих актов и субстрате хабитуальностей, мы уже затронули, и притом в важном пункте, проблематику феноменологического генезиса и, таким

Функциональный эротизм

Функциональный эротизм Вместе с красотой, как мы ее только что определили, сексуальность сегодня руководит "новым открытием" и потреблением тела. Императив красоты, который является императивом сделать производительным тело посредством поворота к нарциссическому

2.1.3. Структурно-функциональный анализ

Структурно-функциональный параллелизм

Структурно-функциональный параллелизм Противоречие между социальной интеграцией и свободой личности в рамках общего позитивистского подхода к пробле­мам общества нашло отражение в следующем отрывке из статьи Герберта Спенсера, в которой он формулирует свои

1.3. Функциональный потенциал нормы

1.3. Функциональный потенциал нормы Одним из значимых результатов моделирования поля нормы мы считаем установление того факта, что понятия объединяются в родовое понятие нормы на основании функциональной близости: все виды норм выполняют комплекс функций, основными из

Анализ (Analyse)

Объекты управления, которые выражают характер, и содержание управляемых процессов являются весомыми признаками классификации видов анализа, применяемого к деятельности хозяйственного типа. Примечательным видом является функциональный анализ, который следует рассмотреть более подробно.

Понятие

Функциональный анализ представляет собой разновидность анализа, которая предполагает рассмотрение объекта, с точки зрения комплекса его функций, не учитывая его как материально-вещественную структуру. То есть его принимают не как совокупность конструктивных деталей, а как носитель определенной функции.

Предметом анализа этого типа являются причинно-следственные связи, структура функций и содержание конкретного продукта. Проведение исследований данного типа требует наличия специальных знаний.

функциональный анализ

Особенности функционального анализа

В объекте, подвергающемуся анализу, присутствуют полезные функции, которым сопутствуют нейтральные и негативные функции. Чтобы понять, что это означает, можно рассмотреть конкретный пример. Нож мясорубки выполняет три функции одновременно: нейтральную – нагрев продукта, полезную – его измельчение, а также негативную – сминает его. Из данной предпосылки исходит функциональный анализ. Стоит также понимать, что функции одного объекта могут быть для него полезными, а для других вредными или нейтральными.

Анализ данного типа позволяет сосредоточить все внимание на функциях рассматриваемого объекта, абстрагируясь от его исполнения. Дабы повысить степень выполнения и уменьшить затраты функций, производится поиск альтернативных вариантов для их реализации. Анализ этого вида может использоваться с целью совершенствования технических процессов и объектов.

функциональный стоимостной анализ

Основные цели функционального анализа

Функциональный анализ применяется для достижения таких целей:

  • Устранение лишних функций. Зачастую некоторые применяемые функции не соответствуют условиям нынешней экономической системы. По этой причине выполняется их обоснованное сокращение. Это можно делать с целью экономии средств, а также усовершенствования организационной структуры учреждения.
  • Добавление необходимых недостающих функций. Например, для перехода к рыночной экономике может быть недостаточно административных функций. Вместе с тем некоторые из тех, которые имеются, уже давно устарели. Если заменить нейтральные функции полезными, это позволит улучшить деятельность предприятия.
  • Рационализация в распределении. Дабы избежать снижения эффективности, следует обеспечить эффективное одновременное выполнение разных функций. Для этого необходимо выполнить их распределение рационально.

Функциональный анализ должен разрабатываться с предельной внимательностью, что позволит достичь поставленных целей.

структурно функциональный анализ

Функциональные подходы

Структурно функциональный анализ представляет собой один из главнейших подходов к изучению социальных явлений. Он получил наибольше значение в теории организаций. В некоторых случаях социальный объект рассматривается как адаптивная система, составляющие которой удовлетворяют потребности системы в целом.

Функциональный стоимостной анализ представляет собой один из способов проведения системного исследования функций объекта. Благодаря ему можно найти баланс между полезностью объекта и его себестоимостью. Его применяют для совершенствования продукции и услуг.

Рассмотрев данное понятие, можно начать более углубленное изучение функционального анализа, которое позволит подробно изучить тему.

Читайте также: