Что такое числовая функция кратко

Обновлено: 02.07.2024

Если каждому числу \(x\) множества \(X\) по правилу \(f\) поставлено в соответствие определённое число \(y\), то считают, что задана функция \(y = f(x)\) на области определения \(X\).

Областью определения функции \(y = f(x)\) называют множество всех значений \(x\), для которых функция имеет смысл.

Задать функцию — это значит указать правило, которое позволяет по произвольно выбранному значению x ∈ D ( f ) вычислить соответствующее значение \(y\).

Если дана функция y = f ( x ) , x ∈ X , и на координатной плоскости \(xOy\) отмечены все точки вида \((x; y)\), где x ∈ X , а y = f ( x ) , то множество этих точек называют графиком функции y = f ( x ) , x ∈ X .

Пункт 2.1. Понятие числовой функции. Простейшие свойства числовых функций.

1. Понятие числовой функции

Числовой функцией с областью определения D называется зависимость, при которой каждому числу x
из множества D (области определения) ставится в соответствие единственное число y.
Записывается это соотвествие так: y=f(x)
Обозначения и термины
D(f) - область определения
E(f) - область значений
x - аргумент (независимая переменная)
y - функция (зависимая переменная)
f - функция
f(x0) - значение функции f в точке x0

2. График функции

3. Возрастающие и убывающие функции

Функция f(x) возрастающая на множестве P:
если x2 > x1, то f(x2) > f(x1)
для любых x1 и x2, лежащих во множестве P
(при увеличении аргумента соотвествующие точки графика поднимаются)

Функция f(x) убывающая на множестве P:
если x2 > x1, то f(x2)

4. Чётные и нечётные функции

Функция f(x) чётная:
если f(-x) = f(x)
для любых x из области определения.
График чётной функции симметричен относительно Oy

Функция f(x) нечётная:
если f(-x) = -f(x)
для любых x из области определения.
График нечётной функции симметричен относительно начала координат

Объяснение и обоснование

1. Понятие функции. С понятием функции вы ознакомились в курсе алгебры.
Напомним, что зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если
каждому значению x соответствуе единственное значение y.
В курсе алгебры и начал математического анализа мы будем пользоваться
следующим определением числовой функции.

Числовой функцией с областью определения D называется зависимость,
при которой каждому числу x из множества D ставится в соответствие
единственное число y.

Функции обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмотрим
произвольную функцию f. Число y, соответствующее числу x (на рисунке 9 это
показано стрелкой), называют значением функции f в точке x и обозначают f (x).

Область определения функции f - это множество тех значений, которые
может принимать аргумент x. Она обозначается D(f).

Область значений функции f - это множество, состоящее из всех чисел
f(x), где x принадлежит области определения. её обозначают E(f).

Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. Если нет
дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной
формулой, считается множество всех значений переменной, при которых эта
формула имеет смысл.

Например, если функция задана формулой y = √x + 1, то её область
определения: x ≥ 0, то есть D(y) = [0;+∞), а область значений:
y ≥ 1, то есть E(y) = [1;+∞).

Функция может задаваться не только при помощи формул, но и сс помощью
таблицы, графика или словесного описания. Например, на рисунке 10
графически задана функция y = f(x) с областью определения
D(f) = [-1;3] и множеством значений E(f) = [1;4]

2. График функции. Напомним, что
графиком функции y = f(x) называется множество точек
координатной плоскости с координатами (x;f(x)), где первая координата
x "пробегает" всю область определения функции, а вторая координата -
это соответствующее значение функции f точке x.

На рисунках к пункту 4 табицы 2 приведены графики функций y = x²
и y = 1/x, а на рисунке 11 - график функции y = |x|.

Приведём также график функции y = [x], где [x] - обозначение
целой части числа x, то есть наибольшего целого числа,
не превосходящего x (рис. 12). Область определения этой функции
D(y) = R - множество всех действительных чисел, а область
значений E(y) = Z - множество всех целых чисел.

На рисунке 13 приведён график ещё одной числовой функции y = ,
где - обозначение дробной части числа x ( по определению
= x - [x]).

3. Возрастающие и убывающие функции. Важными характеристиками
функций являются их возрастание и убывание.

Функция f(x) называется возрастающей на множестве P, если
большему значению аргумента из этого множества соответствует
большее значение функции.

То есть для любых двух значений x1 и x2 из множества P, если
x2 > x1, то f(x2) > f(x1).
Например, функция f(x) = 2x возрастающая ( на всей области
определения - на множестве R), поскольку при x2 > x1 имеем
2⋅ > 2⋅, то есть f(x2) > f(x1). У возрастающей
функции при увеличении аргумента соотвествующие точки графика
поднимаются (рисунок 14).

На рисунке 15 приведён график ещё одной возрастающей функции
y = x³. Действительно, при x2 > x1 имеем x2³ > x1³,
то есть f(x2) > f(x1).

Функция f(x) называется убывающей на множестве P, если
большему значению аргумента из этого множества соответствует
меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1 и x2 из множества P, если
x2 > x1, то f(x2) x1 имеем
-2⋅

Рассматривая график функции y = x² (рис. 17), видим, что
на всей области определения эта функция не является ни возрастающей,
ни убывающей. Однако можно выделить промежутки области определения,
где эта функция возрастает и где убывает. Так как на промежутке
(-∞;0] - убывает, а на промежутке [0;+∞) функция
y = x² возрастает.(Докажите самостоятельно).

отметим, что для возрастающих и убывающих функций выполняются
свойства, обратные утверждениям, содержащимся в определении.

Если функция возрастает, то большему значению функции
соответствует большее значение аргумента.
Если функция убывает, то большему значению функции
соответствует меньшее значение аргумента.

Обоснуем первое из этих свойств методом от противного. Пусть
функция f(x)возрастает и f(x2) > f(x1). Допустим, что
аргумент x2 не больше аргумента x1, то есть x2≤x1.
Из этого предположения получаем: если x2≤x1 и f(x)
возрастает, то f(x2)≤f(x1), что противоречит
условию f(x2) > f(x1). Таким образом, наше предположение
неверно, и если f(x2) > f(x1), то x2 > x1, ч.т.д.
Аналогично обосновывается и второе свойство.

Например, если x² > 8, то есть x² > 2², то,
учитывая возрастание функции f(x) = x², получаем x > 2.

4. Чётные и нечётные функции. Рассмотрим функции, области
определения которых симметричны относительно начала координат, то
есть содержат вместе с каждым числом x и число (-x). Для таких
функций вводятся понятия чётности и нечётности.
Функция f называется чётной, если для любого x из её области определения
f(-x) = f(x).

Например, функция y = x² (то есть функция f(x) = x²) -
чётная, поскольку f(-x) = (-x)² = x² = f(x).

Если функция f(x) чётная, то ее графику вместе с каждой точкой
M с координатами (x;y) = (x;f(x)) принадлежит также точка M1 с
координатами (-x;y) = (-x;f(-x))=(-x;f(x)). Точки M и M1
расположены симметрично относительно оси Oy (рис. 18), поэтому
и весь график чётной функции расположен симметрично относительно оси OY.

Например, график четной функции y = x² (рис. 17)
симметричен относительно Oy.
Функция f называется нечётной, если для любого x из её области определения
f(-x) = -f(x).
Например, функция y = 1/x ( то есть функция f(x) = 1/x) - нечётная,
поскольку f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x).

Если функци f(x) нечётная, то её графику вместе с каждой точкой M с
координатами (x;y) = (x;f(x)) принадлежит также точка M1 с
координатами (-x;y) = (-x;f(-x))=(-x;-f(x)). Точки M и M1
расположены симметрично относительно начала координат (рис. 19), поэтому
и весь график нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Например, график нечётной функции y = 1/x (см. пункт 4 табл. 2) симметричен относительно
начала координат, то есть точки O.

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ:

1. Что называется числовой функцией? Приведите примеры таких функций.
2. На примерах объясните, что такое область определния функции и область
значений функции. Какие ограничения необходимо учесть при нахождении
области определения функции y = √x/x ? Найдите её область определения.
3. Что называется графиком функции y = f(x)? Приведите примеры.
4. Какая функция называется возрастающей? Приведите примеры.
5. Какая функция называется убывающей? Приведите примеры.
6. Какая функция называется чётной? Приведите примеры. Как расположен
график чётной функции на координатной плоскости? Приведите примеры.
7. Какая функция называется нечётной? Как расположен график нечётной
функции на координатной плоскости? Приведите примеры.

2. Найдите область определения функции, заданной формулой:
1)y = 2x + 3; 2)y = √ (x + 3) 3)y = 1/(x+1) 4)y = x/(x² + 1)
5)y = √(x² - 1) 6)y = √(x² + 1) 7)y = √(x-1) + √(5-x) 8)y = √(x+3)/x
9)y = √ ((x² - 9)/(x - 3)) 10)y =√ (x² - x)/(x + 1); 11)y = √(x)/(|x| - 2) 12)y = √(x² + x + 1)

3. Найдите область значений функции, заданной формулой:
1) f(x) = 5 2) f(x) = x 3) f(x) = x² 4) f(x) = √(x)
5) y = -3x +1 6) y = x² - 5 7) y = |x| + 3

4. Для функций, заданных своими графиками на рисункке 20, укажите область определения, область значений, промежутки возрастания и убывания и значение каждой функции при x = 1.

5. Обоснуйте, что заданная функция является возрастающей (на её области определения):
1) y = 3x 2) y = x + 5 3) y = x³ 4) y = x 5 5) y = √(x)

6. Докажите, что на заданном промежутке функция возрастает:
1) y = -2/x, где x > 0 2) y = 1/x, где x 5

8. Докажите, что на заданном промежутке функция убывает:
1) y = 3/x, где x 0

9. Докажите, что функция y = x² на промежутке [0; + ∞) возрастает, а на промежутке (- ∞;0] убывает.

10. Используя утверждения, приведённые в примере 5, укажите какие из данных функций являются возрастающими, а какие - убывающими.
1) y = x³ + x 2) y = -x -x 5 3) y = x + √ (x) 4) y = -x³-x 5

11. Используя утверждения, приведённые в примере 6:
1) Обоснуйте, что уравнение x³ + x = 10 имеет единственный корень x = 2;
2) Подберите корень уравнения √(x) + x = 6 и докажите, что других корней это уравнение не имеет.

12. Обоснуйте, что заданная функция является чётной:
1) y = x 6 2) y = 1/x² + 1 3) y = √ (x² + 1) 4) y = √ (|x| + x 4 )

13. Обоснуйте, что заданная функция является нечётной:
1) y = x 5 2) y = -1/x³ 3) y = x |x| 4) y = x³ - x

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Тема: Числовые функции, их свойства и графики

Тип урока: урок-лекция.

Целевая аудитория : обучающиеся 1 курса специальностей СПО 151031, 190631.

образовательные : систематизировать имеющиеся знания в области числовых функций и их свойств, научиться исследовать графики функций по их свойствам.

развивающие : формировать умения анализировать свойства функций на основе имеющихся знаний, формировать аналитическое мышление, развивать навыки по применению знаний в различных ситуациях.

воспитательные : формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, развивать коммуникативные умения; формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.

Метод обучения : объяснительно-иллюстративный.

Формы обучения : фронтальная, индивидуальная.

Оборудование : доска, проектор, экран. (Лекция построена исходя из реальных возможностей учебного кабинета. При наличии интерактивной доски необходимо работу с графиками проводить с ее помощью).

1. Организационный этап.

Приветствие, проверка присутствия на уроке, целеполагание.

2. Изложение теоретического материала

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение: y = f(x),

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

аналитический способ (с помощью математической формулы);

табличный способ (с помощью таблицы);

описательный способ (с помощью словесного описания);

графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля

– для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля

– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x ₁ и x ₂ из этого множества, таких, что x ₁ ₂ выполнено неравенство f(x ₁ ) ₂ ).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x ₁ и x ₂ из этого множества, таких, что x ₁ ₂ выполнено неравенство f(x ₁ ) > f(x ₂ ).

функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Точка Х _max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х _max , выполнено неравенство f(х) f(X _max ).

Значение Y _max =f(X _max ) называется максимумом этой функции.

Х _max – точка максимума

Точка Х _min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х _min , выполнено неравенство f(х) f(X _min ).

Значение Y _min =f(X _min ) называется минимумом этой функции.

X _min – точка минимума

X _min , Х _max – точки экстремума

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Нулём функции y=f(x) называется такое значение аргумента x ₀ , при котором функция обращается в нуль.

Линейная функция y=kx+m

Графиком функции y=kx+m является прямая .

Свойства функции y=kx+m

2) возрастает, если k>0, убывает, если k

3) не ограничена ни снизу, ни сверху;

4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5) функция непрерывна

Функция y=kx 2 ,k≠0

Графиком функции y=kx 2 ,k≠0 является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если k>0, и вниз, если k

Свойства функции y=kx 2 ,k≠0

Для случая k>0

2) убывает на луче (−∞;0], возрастает на луче [0;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) y _наим =0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

Свойства функции y=kx 2 ,k≠0

Для случая k

2) возрастает на луче (−∞;0], убывает на луче [0;+∞);

3) не ограничена снизу, ограничена сверху;

4) наименьшего значения не существует, y _наиб =0;

5) функция непрерывна;

7) выпукла вверх.

Графиком функции является гипербола .

Свойства функции y=k/x

2) если k>0, то функция убывает на открытом луче (−∞;0) и на открытом луче (0;+∞); если k

3) не ограничена ни снизу, ни сверху;

4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5) функция непрерывна на открытом луче (−∞;0) и на открытом луче (0;+∞);

Графиком функции y=√x является ветвь параболы .

Свойства функции y=√x

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4)y наим =0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

7) выпукла вверх.

Графиком функции является объединение двух лучей : y=x,x≥0 и y= −x, x≤0.

Свойства функции y=|x|

2) убывает на луче (−∞;0], возрастает на луче [0;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) y _наим =0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

Функция y=ax 2 +bx+c

Графиком функции y=ax 2 +bx+c является парабола с вершиной в точке (x ₀ ;y ₀ ), где x ₀ =−b/2a,y ₀ =f(x ₀ )=ax ₀ 2 +bx ₀ +c, и с ветвями направленными вверх, если a>0, и вниз, если a

Свойства функции y=ax 2 +bx+c

Для случая a>0

2) убывает на луче (−∞;−b/2a], возрастает на луче [−b/2a;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) y _наим =y0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

Для случая a

2) возрастает на луче (−∞;−b/2a], убывает на луче [−b/2a;+∞);

3) не ограничена снизу, ограничена сверху;

4) наименьшего значения не существует, y наиб =y0;

5) функция непрерывна;

7) выпукла вверх.

3. Подведение итогов учебного занятия.

1. Что такое числовая функция?

2. Назовите способы ее задания.

3. Назовите основные свойства числовой функции.

4. Перечислите элементарные функции, изученные на уроке.

4. Домашнее задание.

Пользуясь теоретическим материалом лекции (основными свойствами функции), выполнить следующее:

1) построить графики функций: а) y =3 x 2 б) y =-5/ x

2) Записать их свойства, используя построенные графики.

Краткое описание документа:

Разработка урока-лекции по теме "Числовые функции их свойства и графики" с презентацией. Урок проводится на первом курсе технических специальностей среднего профессионального образования.

· образовательные : систематизировать имеющиеся знания в области числовых функций и их свойств, научиться исследовать графики функций по их свойствам.

· развивающие : формировать умения анализировать свойства функций на основе имеющихся знаний, формировать аналитическое мышление, развивать навыки по применению знаний в различных ситуациях.

· воспитательные : формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, развивать коммуникативные умения; формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.

Метод обучения : объяснительно-иллюстративный.

Формы обучения : фронтальная, индивидуальная.

Мы знаем, как соответствовать определенным чертам: быть вежливым, опрятным, инициативным. А как быть соответствиям между числовыми множествами — узнаем в этой статье про математические функции.

О чем эта статья:

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, функция у = 2х каждому действительному числу x ставит в соответствие число y, которое в два раза больше, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Читайте также: