Что изучает геометрия 7 класс кратко

Обновлено: 05.07.2024

Вот и настал момент прощания с математикой, сопровождающей нас на протяжении долгих шести лет школьной жизни. Но огорчаться не нужно, на смену привычной математике приходят занимательные и интересные разделы этой науки – алгебра и геометрия.

План урока:

Знакомство с геометрией

Давайте разберемся, что же такое геометрия, для чего она нужна, где её используют?

В дословном переводе с греческого, геометрия означает землемерие:

Более точное определение утверждает, что наука об отношениях плоскостей, пространств и изучении форм называется геометрией.

Постоянно сталкиваясь с геометрией не придаем этому большого значения. Она всегда рядом, она живет с нами. Оглянитесь вокруг – потолок, стены, мебель, бытовая техника отображают геометрические фигуры, созданные с учетом геометрических знаний. Выйдя на улицу, посмотрите по сторонам – стволы деревьев и стебли растений имеют цилиндрическую форму, кроны деревьев - форму конусов, овалов, треугольников, лепестки цветов - форму круга или овала. Любая профессия (хирург, строитель, водитель, учитель, повар) имеет связь с основами геометрии. Повсюду нас окружают геометрические элементы. Эта наука плотно вошла в нашу жизнь, и является её неотъемлемой частью.

Геометрия содержит ряд основных понятий, необходимых для дальнейшего изучения и применения на практике геометрических знаний. Давайте познакомимся с ними поближе.

Основные понятия геометрии

Понятие точки

Фигура, которую невозможно измерить, а для вычислений используется только место её расположения, называется точкой. Такие фигуры обозначают цифрами и буквами латиницы. Если точек много, то обозначения должны быть разными.

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

Читается: точка A, точка B, точка C

Понятие линии

Линия представляет собой массу точек. Линии принято обозначать строчными буквами латиницы.

Понять геометрию с нуля — это непросто. Но, чем дальше, тем интереснее. Новые знания можно применить везде: в школе на уроках, дома во время ремонта и даже на прогулке. В этой статье рассказали про основы геометрии для начинающих.

О чем эта статья:

Идеальные объекты

Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Математика занимается объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Базовые геометрические объекты

Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.

Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.

Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.

Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.

Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.

Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b, c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).

Два варианта расположения точек относительно прямой:

Точки лежат на данной прямой. Или еще говорят, что прямая проходит через эти точки — на рисунке выше такими точками являются А и В. При решении задач для краткости используют запись A ∈ a (читается так: точка А принадлежит прямой a или точка А лежит на прямой a), аналогично будет и для точки В (B ∈ b).

Точки не лежат на данной прямой. Говорят так: прямая не проходит через эти точки — на рисунке такими точками являются С и D. При решении задач для краткости используют запись C ∉ a (читается так: точка С не принадлежит прямой a или точка С не лежит на прямой a), аналогично будет и для точки D (D ∉ a).

Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:

Прямые пересекаются, то есть имеют одну общую точку.

Для записи пересекающихся прямых используют специальный знак — ∩, то есть a∩b (читают: прямая a пересекает прямую b). Чтобы обозначить точку пересечения прямых, пишут a∩b = O (читается: прямая a пересекается с прямой b в точке O).

Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — , то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n). В дальнейшем для обозначения не пересекающихся прямых мы будем использовать знак параллельности ||.

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.

На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:

Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.

Назовем получившиеся лучи:

Луч ОА, точка О — начало луча ОА; конца у луча ОА нет.

Луч ОВ, точка О — начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет.

Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.

Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости

Комбинации простейших объектов

Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).

Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.

Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.

Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.

Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.

Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.

Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:

Если градусная мера угла меньше 90° — угол острый.

Если градусная мера угла равна 90° — угол прямой.

Если градусная мера угла больше 90°, но меньше 180° — угол тупой.

Если градусная мера угла равна 180° — угол развернутый.

Общая точка, из которой исходят лучи, называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.

Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.

Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.

А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.

Первый случай: все три прямые параллельны.

Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.

Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.

Треугольник

Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.

Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.

Треугольник можно использовать для измерения расстояний. А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.

Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:

две стороны и угол между ними;

два угла и сторону;

Приходи на наши онлайн уроки по математике с лучшими препадавателями! Для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства треугольников

Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.

Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.

Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.

Неравенство треугольника

Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.

Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.

Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.

Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.

От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃

Четырехугольники

Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.

Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.

Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:

Окружность

Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.

Практическая сторона геометрии

Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.

А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.

Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.

Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.

Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.

Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.

Нет, нельзя. И английский язык за 2 месяца тоже выучить нельзя. Ускоренные курсы — не более, чем быстрый сыр для ленивых мышей. Обучение – это долго и трудно. Только в этом случае полученные знания стоят того, чтобы их иметь.

Геометрия как наука: общие понятия

Геометрия – обширная и многогранная наука. Дать ей простое определение – нелёгкая задача. Но в пределах школьного курса можно сказать, что:

В школьном курсе рассматриваются два раздела геометрии: планиметрия (7 – 9 классы) и стереометрия (10 и дальше).

Стереометрия – раздел геометрии, изучающий объёмные фигуры, а также плоские фигуры, лежащие в разных плоскостях

Поскольку вы только начинаете изучение геометрии, вполне возможно, что понять смысл этих определений будет сложно. На помощь придёт воображение – отныне ему придётся делать это постоянно. Посмотрите этот короткий отрывок из мультфильма про скатерть-самобранку: сначала она и все предметы на ней были двухмерными и лежали в одной плоскости – то есть, находились в ведении планиметрии, а потом стали трёхмерными – теперь самой скатертью и всем её содержимым должна заниматься стереометрия.

История планиметрии

В наше время геометрия, и планиметрия как её часть, используется во всех сферах нашей жизни. Без планиметрии невозможно инженерное проектирование, моделирование одежды, производство мебели.

Геометрия является важной частью математики, которую начинают изучать в школах с 7 класса в качестве отдельного предмета. Что такое геометрия? Что она изучает? Какие полезные выводы можно из нее извлечь? Все эти вопросы подробно рассматриваются в статье.

Понятие о геометрии

Под этой наукой понимают ветвь математики, которая занимается изучением свойств разных фигур на плоскости и в пространстве. Само слово "геометрия" с древнегреческого языка означает "измерение земли", то есть любые реальные или воображаемые объекты, которые имеют конечную длину вдоль хотя бы одной из трех осей координат (наше пространство является трехмерным), подвергаются изучению рассматриваемой наукой. Можно сказать, что геометрия - математика пространства и плоскости.

В ходе своего развития геометрия обзавелась набором понятий, которыми она оперирует с целью решения различных задач. К таким понятиям относятся точка, прямая, плоскость, поверхность, отрезок, окружность, кривая, угол и другие. Основой этой науки являются аксиомы, то есть концепции, связывающие геометрические понятия в рамках утверждений, которые принимаются в качестве истинных. На основании аксиом строятся и доказываются теоремы.

Когда появилась эта наука

Что такое геометрия с точки зрения истории? Здесь следует сказать, что она является очень древним учением. Так, ее использовали древние вавилоняне при определении периметров и площадей простых фигур (прямоугольников, трапеций и др.). Развита она была и в Древнем Египте. Достаточно вспомнить знаменитые пирамиды, строительство которых было бы невозможно без знания свойств объемных фигур, а также без умения ориентироваться на местности. Отметим, что знаменитое число "пи" (его приблизительное значение), без которого невозможно определить параметры круга, было известно египетским жрецам.

Разрозненные знания о свойствах плоских и объемных тел были собраны в единую науку только во времена Античной Греции благодаря деятельности ее философов. Самым важным трудом, на котором основываются современные геометрические учения, являются "Элементы" Евклида, которые были им составлены приблизительно в 300 году до нашей эры. Около 2000 лет этот трактат являлся основой для каждого ученого, который занимался исследованием пространственных свойств тел.

В XVIII веке французский математик и философ Рене Декарт заложил основы так называемой аналитической науки геометрии, которая описывала с помощью численных функций любой пространственный элемент (прямую, плоскость и так далее). С этого времени начинают появляться многие ветви в геометрии, причиной существования которых является пятый постулат в "Элементах" Евклида.

Евклидова геометрия

Что такое геометрия Евклида? Это достаточно стройное учение о пространственных свойствах идеальных объектов (точек, прямых, плоскостей и т.д.), которое основывается на 5 постулатах или аксиомах, изложенных в труде под названием "Элементы". Аксиомы приведены ниже:

Если даны две точки, то можно провести всего одну прямую, которая их соединит.
Всякий отрезок можно продолжить бесконечно из любого его конца.
Любая точка пространства позволяет начертить окружность произвольного радиуса так, чтобы сама точка находилась в центре.
Все прямые углы являются подобными или конгруэнтными.
Через всякую точку, которая не принадлежит данной прямой, можно провести всего одну линию, параллельную ей.

Евклидова геометрия составляет основу любого современного школьного курса по этой науке. Более того, именно ею человечество пользуется в ходе своей жизнедеятельности при конструировании зданий и сооружений и при составлении топографических карт. Здесь важно отметить, что набор постулатов в "Элементах" не является полным. Он был расширен немецким математиком Давидом Гильбертом в начале XX века.

Виды евклидовой геометрии

Мы разобрались, что такое геометрия. Рассмотрим, какие ее виды бывают. В рамках классического учения принято выделять два вида этой математической науки:

Планиметрия. Она изучает свойство плоских объектов. Например, расчет площади треугольника или нахождение его неизвестных углов, определение периметра трапеции или длины окружности - это задачи планиметрии.
Стереометрия. Объектами изучения этой ветви геометрии являются пространственные фигуры (все точки, которые их образуют, лежат в разных плоскостях, а не в одной). Так, определение объема пирамиды или цилиндра, изучение свойств симметрии куба и конуса - это примеры задач стереометрии.

Неевклидовы геометрии

Что такое геометрия в ее широком понимании? Помимо привычной нам науки о пространственных свойствах тел, существуют также неевклидовы геометрии, в которых пятый постулат в "Элементах" нарушается. К ним относятся эллиптическая и гиперболическая геометрии, которые были созданы в XIX веке немецким математиком Георгом Риманом и русским ученым Николаем Лобачевским.

Изначально полагали, что неевклидовы геометрии имеют узкую область применения (например, в астрономии при изучении небесной сферы), а само физическое пространство является евклидовым. Ошибочность последнего утверждения показал Альберт Эйнштейн в начале XX века, разработав свою теорию относительности, в которой он обобщил понятия пространства и времени.

Геометрия в школе

Как было сказано выше, изучение в школе геометрии начинается с 7 класса. При этом школьникам демонстрируют основы планиметрии. Геометрия 9 класса уже включает изучение трехмерных тел, то есть стереометрию.

Главная задача школьного курса состоит в том, чтобы развить у школьников абстрактное мышление и воображение, а также научить их мыслить логически.

Многие исследования показали, что при изучении этой науки у школьников наблюдаются проблемы с абстрактным мышлением. Когда формулируется для них геометрическая задача, они часто не понимают ее суть. У старшеклассников к проблеме с воображением добавляются трудности понимания математических формул для определения объема и площади поверхности разверстки пространственных фигур. Часто старшеклассники при изучении геометрии 9 класса не знают, какой формулой следует воспользоваться в конкретном случае.

Школьные учебники

Существует большое количество учебных пособий для обучения школьников этой науке. Одни из них дают только базовые знания, например, учебники Л. С. Атанасяна или А. В. Погорелова. Другие преследуют цель углубленного изучения науки. Здесь можно выделить учебник А. Д. Александрова или полный курс геометрии Бевза Г. П.

Поскольку в последние годы для сдачи всех экзаменов в школе введен единый стандарт ЕГЭ, стали необходимы учебники и решебники, которые позволяют ученику быстро самостоятельно разобраться с необходимой темой. Хорошим примером таких пособий можно назвать геометрию Ершовой А. П., Голобородько В. В.

Любой из названных выше учебников имеет как положительные, так и отрицательные отзывы со стороны учителей, поэтому преподавание в школе геометрии часто осуществляется с использованием нескольких учебников.

Читайте также: