Школьный курс геометрии делится следующим образом
Обновлено: 05.07.2024
Периоды развития геометрии
I период — зарождение геометрии как математической науки, начало которого теряется в глубине столетий, а концом считают V в. до н.э. Этот период характеризуется накоплением фактов и установлением первых зависимостей между геометрическими фигурами. Начался он в Древнем Египте и Вавилоне, в VII в. до н.э. Эти знания были перенесены в Грецию, где постепенно они начали оформляться в четкую систему.
III период — (XVII в. — 1826 г.). На этом этапе геометрия как наука рассматривает более общие фигуры и применяет совершенно новые методы. В этот период возникают: аналитическая геoметрия, дифференциальная геомeтрия, проективная геoметрия, начертательная гeометрия.
IV период — (1826 год) начинается с открытия Н. И. Лобачевским неэвклидовой геометрии, которая включает в себя геометрию Эвклида. В направлениях, начертанных выдающимися математиками, развивается современная геомeтрия. Одним из важных разделов современной геометрии является топология.
Источники идей и цитат для конспектов по Геометрии:
- Гeомeтрия 7-9 класс: опорные конспекты / А.А. Мещерякова — Минск: Аверсэв,
- Геомeтрия в схемах, терминах и таблицах — Феникс,
- Геомeтрия 7-9 класс. Учебник / А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир — М.: Вентана-Граф,
- Геомeтрия. Справочник в таблицах — М.: Айрис-Пресс
- Геометрия 7-9 класс. Учебник /
(с) Цитаты из вышеуказанных учебных пособий использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ).
Геометрия является одним из разделов математики, изучаемых в школе. Начиная с 7 класса, под изучение этого предмета выделяется отдельный урок. И с этого момента геометрия будет сопровождать школьников, на протяжении всего обучения.
- Геометрия является предметом, который развивает и формирует у школьников пространственное изображение и логическое мышление. При изучении школьники узнают об основных методах доказательства теорем и утверждений.
Темы школьной геометрии
Школьный курс геометрии разбит на два больших раздела: планиметрия (геометрия на плоскости) и стереометрия (геометрия в пространстве).
- Первые три года (с 7 по 9 класс) изучается планиметрия.
В 7 классе изучаются основные понятия геометрии: точка, прямая, отрезок, угол, луч. После изучения основ, рассматривается одна из основных фигур – треугольник. Изучаются три признака равенства треугольников и основные теоремы: теорема о сумме углов треугольника, неравенство треугольника и д.р. А также исследуются параллельные прямые.
В 8 классе продолжается изучение треугольников. Рассматриваются три признака подобия треугольников. Рассматриваются основные виды четырехугольников. На этом же этапе изучения рассматривается подробно понятие площади фигуры. Даются формулы для вычисления площадей прямоугольника, треугольника, трапеции. Изучается теорема Пифагора. Вводится понятие вектора. Изучаются правила сложения и вычитания векторов.
В 9 классе изучается очень мощный метод используемый при решении широкого класса геометрических задач – метод координат. Кроме того, изучается основные теоремы о соотношении между сторонами и углами в произвольном треугольнике: теорема синусов и теорема косинусов. Вводится понятие правильного многоугольника и изучаются основные виды правильных многоугольников. Даются формулы для вычисления площади правильного многоугольника.
- На этом заканчивается изучение планиметрии. В 10 и 11 классе изучается стереометрия.
На начальном этапе изучаются основные понятия и аксиомы стереометрии. Изучаются основные виды расположения прямых в пространстве: пересечение, параллельность, скрещивание. Кроме того изучается расположение прямой и плоскости в пространстве.
После изучения основ изучаются основные виды многогранников: призма, пирамида, усеченная пирамида. Кроме того, в конце 10 класса начинается изучение векторов в пространстве, что бы в начале 11 класса начать изучение метода координат в пространстве.
Кроме метода координат, в 11 классе изучаются фигуры образованные вращением прямой: цилиндр, конус, усеченный конус, а также сфера. Также вводится понятие объема тела и даются основные формулы для вычисления объемов различных геометрических фигур.
Стоит напомнить, что знания этого предмета проверяются в некоторых заданиях ЕГЭ по математике. В части С обязательно есть геометрическая задача.
2. Возможные методические подходы к построению школьного курса геометрии.
3. Основные этапы изучения геометрии в школе.
4. Первые уроки систематического курса геометрии.
Особенность геометрии состоит в том, что в ней
самая строгая логика соединена с наглядным представлением.
С одной стороны – логика, с другой – наглядность.
А.Д. Александров
Что такое геометрия? Это наука о геометрических фигурах и их свойствах. Она возникла из практической деятельности людей.
Цель лекции – показать особенности построения геометрии как науки и основные подходы к построению школьного курса геометрии.
Логическое строение геометрии
Геометрия – дедуктивная наука, так как в основу ее построения положен аксиоматический метод.
Как строится геометрия?
1) Выделяется небольшое число основных, первоначальных, т. е. неопределяемых понятий. Другие понятия последовательно определяются через основные (например, отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками).
2) Все утверждения формулируются при помощи основных понятий и понятий, уже получивших определение.
3) Выделяется небольшое число утверждений (аксиом), принимаемых без доказательства. Эти утверждения описывают свойства основных понятий и связи между ними. Все остальные утверждения последовательно доказываются в качестве теорем.
Таким образом, геометрия – дедуктивная наука, и школьный курс геометрии отражает это. Но в школьном курсе никогда не существовало геометрии, удовлетворяющей третьему требованию. Это просто невыполнимо. Невозможно осуществить строгое логическое построение геометрии в школе, но именно в этом курсе учащиеся должны получить наиболее полные представления о дедуктивных теориях. Чтобы снять это противоречие, необходимо искать компромиссы при построении школьного курса геометрии, а именно:
· не всем понятиям давать определения. Часть из них должна опираться на опыт и интуицию учащихся;
· часть понятий вообще следует опускать;
· не все свойства необходимо формулировать и, тем более, доказывать.
Однако в целом дедуктивный характер школьного курса геометрии сохраняется. И показать это учащимся – задача учителя.
Итак, в школьном курсе геометрии есть основные понятия, есть система аксиом, есть стремление обосновывать любое суждение на основе имеющихся утверждений.
Задание № 1 для самостоятельной работы.
1. Сравните основные понятия геометрии Д. Гильберта и геометрии А.Н. Колмогорова.
2. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной, приняв за аксиому утверждение, что сумма углов треугольника равна 180º.
3. Сравните аксиоматики (в том числе стереометрии) А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна.
Возможные методические подходы к построению
Школьного курса геометрии
Как же строится школьный курс геометрии? Надо отметить, что именно геометрия претерпевает наибольшие изменения в результате реформ и преобразований. Постоянно ведутся дискуссии по вопросам качества учебников. Одним из основных методов построения школьного курса геометрии является аксиоматический метод. Идея аксиоматического построения геометрии была предложена, как уже было отмечено выше, и реализована Евклидом. Она состоит в том, что если мы не можем определить, что представляет собой исследуемый объект, то следует определить его свойства. Выделить существенное и абстрагироваться от несущественного (вместо того, чтобы говорить о том, что такое точка, прямая, плоскость, можно говорить о свойствах, которыми они обладают). Аксиомы позволяют лучше понять основания геометрии. Наличие аксиом (определенных правил) должно подкрепляться соответствующими интуитивными представлениями. Отсутствие сформулированных в том или ином учебнике аксиом на самом деле означает, что аксиомы просто не выделены. Все равно какие-то свойства приходится принимать без доказательства.
Одной из проблем построения школьного курса геометрии является выбор такой аксиоматики, которая была бы пригодна для первоначального изучения геометрии.
Проблема в том, что содержание школьного курса геометрии должно соответствовать уровню развития современной геометрии и одновременно быть доступно для усвоения учащихся. Где есть проблема, там есть варианты ее решения, там есть развитие методики.
Итак, основные идеи и периоды в развитии методики преподавания геометрии в школе.
Н.А. Извольский (то же время) подчеркивал роль логической структуры курса геометрии для сознательного усвоения. Логика в курсе геометрии, по мнению Н.А. Извольского, должна проявляться двояко: 1) в плане построения курса и 2) в силлогизмах, служащих для доказательства теорем. Наибольшее значение имеет первое проявление логики. Однако невозможно построить полностью строго логический школьный курс геометрии.
(Подробнее об учебнике А.П. Киселева см. [2.6, с. 395-404]).
3. Период внедрения в школьный курс геометрии новых разделов (60-е годы): элементов теории множеств, геометрических преобразований, векторной алгебры и т.д. (В.Г. Болтянский, А.И. Фетисов, И.М. Яглом и др.) [2.4].
2) Общее единство курсу математики придавал функциональный подход. Все изложение – на основе геометрических преобразований. (Преобразование – как отображение плоскости на себя, преобразование множества точек плоскости).
3) Курс геометрии строился на основе аксиоматики, состоящей из 12 аксиом, однако не являлся строго аксиоматическим, потому что полный список аксиом появлялся лишь в конце планиметрии.
Курс планиметрии и идейно подчиненный ему курс стереометрии З.А. Скопеца [3.6] нельзя рассматривать в отрыве от общей концепции А.Н. Колмогорова о построении школьного курса математики в целом. Во многом Колмогорову удалось упростить геометрические доказательства, но в его учебнике теоретико-множественный аппарат затмил геометрическое содержание. Значительное время уходило на его усвоение и незначительное – на решение содержательных геометрических задач.
Безусловно, этот период имеет большое значение для развития теории и методики обучения геометрии в средней школе. Однако геометрия А.Н. Колмогорова оказалась трудной для учащихся, перегруженной теорией, которая усваивалась далеко не всеми учениками.
5. Период современных учебников для массовой школы (Л.С. Атанасян и др.; А.В. Погорелов; И.Ф. Шарыгин; А.Д. Александров и др.). Появление этих учебников было связано с желанием авторов вернуться к более традиционному (чем у А.Н. Колмогорова) подходу к изучению школьного курса геометрии (80-е годы и т.д.):
б) в геометрии Л.С. Атанасяна аксиомы вводятся постепенно и формулируются не все, необходимые для построения планиметрии, хотя некоторые и используются при изложении курса. В приложении к курсу [3.3, с. 344] приводятся все аксиомы. Значительно усилена практическая направленность курса (развитие умений и навыков плюс доступность изложения).
Но перед авторами этих учебников встала проблема, связанная с внедрением в систему образования дифференцированных методов обучения. Оказалось, что для современной школы нужна не только достаточно четкая и строгая система изложения геометрических знаний, но и мотивация учения, учет индивидуальных особенностей и способностей учащихся, связь с окружающим миром, эстетическое воспитание и т.д.
В настоящее время эти авторские коллективы адаптировали свои учебники к современным условиям [3.3; 3.9] (задание № 2 для самостоятельной работы).
6. В течение последних десяти лет возникли новые проблемы: определить уровни и профили обучения, понять соотношение влияния математических знаний на развитие личности человека и мн. др. Это привело к появлению достаточно большого количества новых авторских проектов (А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот; В.А. Гусев; В.А. Смирнов, И.М. Смирнова и др.).
Итак, подходы к построению различные, но задачи, стоящие перед школьным курсом геометрии, одни и те же. Это изучение базовых геометрических понятий, формирование практических умений и навыков, развитие логического мышления, развитие пространственного воображения. Надо научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Немногие станут математиками, однако всем придется рассуждать, анализировать, доказывать. Наиболее эффективным средством для развития пространственных представлений у учащихся является использование наглядности (окружение, модели и т.д.). Геометрия – это инструмент развития интеллектуальной сферы ученика.
Задание № 2 для самостоятельной работы.
1. Сравните учебники геометрии для 7–9 кл. А.В. Погорелова 2000 г. и 2004 г. (оформление, структура, рекомендации для учащихся [3.9, с.25, 35], стереометрия).
2. Сравните учебники геометрии для 7–9 кл. Л.С. Атанасяна 2000 г. и 2005 г.
Электронные формы учебников.
Особенности курса
1. Мотивация учеников. Часто детей убеждают, что геометрия — это очень сложно. Однако в изучении любого предмета важен позитивный настрой. В начале учебника для 7 класса авторы разъясняют школьнику, что на уроках геометрии он будет работать с уже знакомыми фигурами — только на новом уровне.
2. Наглядность и доступность материала. Текст учебников ясен и лаконичен. Понятия и определения представлены простым понятным языком. В чертежах используются цветовые решения (например, для демонстрации доказательств теорем).
Учебник предназначен для изучения геометрии в 7 классе общеобразовательных организаций. Учебник содержит большой и интересный дидактический материал: упражнения для повторения, задания в тестовой форме и др. Предусмотрены уровневая дифференциация, дополнительные материалы, позволяющие формировать у школьников познавательный интерес к предмету. Вместе с дидактическими материалами, и методическим пособием для учителя составляет учебно-методический комплект "Геометрия. 7 класс" (авторы Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.). Учебник входит в систему "Алгоритм успеха".Соответствует федеральному государственному образовательному стандарту для основной общего образования (2010 г). Электронная форма учебника (ЭФУ) Геометрия. 7 класс включена в состав учебно-методического комплекта (УМК) по предмету Геометрия 7 класса Мерзляк А. Г. Полонский В. Б. Якир М. С. Геометрия. 7 класс соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта. ЭФУ рекомендована Министерством образования и науки Российской Федерации.
Пример из учебника
Определение: Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
Часто справедливость (истинность) какого-либо факта приходится устанавливать с помощью логических рассуждений. Рассмотрим такую задачу. Известно, что все жители Геометрической улицы — математики. Женя живет по адресу: ул. Геометрическая, 5. Является ли Женя математиком? Из условия задачи следует, что Женя живет на Геометрической улице. А поскольку все жители этой улицы математики, то Женя — математик. Приведенные логические рассуждения называют доказательством того факта, что Женя — математик. В математике утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства, называют теоремой.
Теорема: Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
3. Разумное сочетание строгости и доступности. Авторы сделали упор на опыт и наглядность, потому что материал, изложенный слишком строго, не усваивается подростками. Чрезмерное же упрощение делает курс ненаучным, чего тоже нельзя допускать.
4. Многообразие задач. Упражнения в учебнике делятся по уровням сложности: простые, среднего уровня, сложные, для математических кружков и факультативов. Такое разделение позволяет учителю реализовать самооценку и саморегуляцию учеников.
6. Помощь в организации проектной работы. В учебниках представлены темы для проектных работ. Чтобы ученик знал, где искать актуальную информацию, к каждой теме даны список литературы и адреса интернет-ресурсов.
8. Подготовка к олимпиадам. На счету авторов УМК 30 учеников-победителей математических соревнований международного уровня. Опыт позволил создателям курса реализовать в учебниках целую систему задач для подготовки к олимпиадам.
Пример из учебника
Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырехугольника является восьмиугольник.
Разрежьте ромб на четыре четырехугольника так, чтобы каждый из них являлся вписанным в окружность и описанным около окружности.
Учебник предназначен для изучения геометрии в 8 классе общеобразовательных организаций. Учебник содержит большой и интересный дидактический материал: упражнения для повторения, задания в тестовой форме и др. Предусмотрены уровневая дифференциация, дополтительные материалы, позволяющие формировать у школьников познавательный интерес к предмету. Вместе с дидактическими материалами, и методическим пособием для учителя составляет учебно-методический комплект "Геометрия. 8 класс" (авторы Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.). Учебник входит в систему "Алгоритм успеха". Соответствует федеральному государственному образовательному стандарту для основной общего образования (2010 г). Электронная форма учебника (ЭФУ) Геометрия. 8 класс включена в состав учебно-методического комплекта (УМК) по предмету Геометрия 8 класса Мерзляк А. Г. Полонский В. Б. Якир М. С. Геометрия. 8 класс соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта. ЭФУ рекомендована Министерством образования и науки Российской Федерации.
9. Справочный материал. На форзацах представлены латинский и греческий алфавиты, а также справочный материал о происхождении математических терминов — что позволяет расширить познавательную деятельность на уроке.
11. Дидактические материалы и методические пособия. В изданиях для педагогов представлены дополнительные задания, подробный план каждого урока в форме технологической карты, контрольные работы, математические диктанты, рекомендации по проектной деятельности, рекомендации по использованию на уроках отдельных упражнений и т.д.
13. Практическая геометрия. В специальном разделе учебника авторы рассказывают, каким образом правила геометрии применяются в окружающей жизни. Например, как жесткость треугольника позволяет создавать конструкции для электропроводов. На наглядном материале педагог может объяснить ученикам, что знания, полученные на уроках геометрии — не абстрактные, а важные в повседневности.
14. Формулы площади треугольника возведены в ранг теорем. Не секрет, что часто формулы, кроме пары основных, не выделяются и ускользают от внимания учеников. Однако в некоторых случаях нераспространенная формула являются единственным путем к решению задачи. Чтобы ученики обладали полным арсеналом знаний, все способы вычисления площади треугольника в учебнике 9 класса представлены ярко, и для закрепления каждой формы даны специальные задачи.
17. Метод ключевых задач. В тексте параграфа и в разделе для самостоятельной работы отмечены ключевые задачи, решениями которых можно пользоваться в работе с другими заданиями.
Обобщим: в основу УМК лег наглядно-дедуктивный принцип в сочетании с частичной аксиоматизацией.
3. Смотрим определение в учебнике: Две прямые называются перпендикулярными, если при их пересечении образовался прямой угол. Отсюда следует вопрос: если один угол прямой, какова градусная мера оставшихся углов?
4. Изучаем следующее определение: Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Обсуждаются понятия перпендикулярности двух отрезков, отрезка и луча и т.д.
6. Практическое закрепление знаний начинаем с обсуждения заданий по готовым чертежам.
7. Даем практические задания. Чтобы не тратить время, используем упражнения в рабочей тетради с готовыми чертежами.
8. Некоторым ученикам предлагаем более сложные задачи на доказательство или нахождение величины угла.
Пример из учебника
Докажите, что если биссектрисы углов АОВ и ВОС перпендикулярны, то точки А, О и С лежат на одной прямой.
9. Разбираем всем классом или группой учеников объемную задачу.
Пример из учебника
Угол АВС равен 160 °, лучи ВК и ВМ проходят между сторонами этого угла и перпендикулярным им. Найдите угол МВК.
10. Задаем на дом или разбираем на уроке задачу для кружка или факультатива.
Учебник предназначен для изучения геометрии в 9 классе общеобразовательных организаций. Учебник содержит большой и интересный дидактический материал: упражнения для повторения, задания в тестовой форме и др. Предусмотрены уровневая дифференциация, дополтительные материалы, позволяющие формировать у школьников познавательный интерес к предмету. Вместе с дидактическими материалами, и методическим пособием для учителя составляет учебно-методический комплект "Геометрия. 9 класс" (авторы Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.). Учебник входит в систему "Алгоритм успеха". Соответствует федеральному государственному образовательному стандарту для основной общего образования (2010 г). Электронная форма учебника (ЭФУ) Геометрия. 9 класс включена в состав учебно-методического комплекта (УМК) по предмету Геометрия 9 класса Мерзляк А. Г. Полонский В. Б. Якир М. С. Геометрия. 9 класс соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта. ЭФУ рекомендована Министерством образования и науки Российской Федерации.
Читайте также: