Тангенс и котангенс сообщение

Обновлено: 05.07.2024

Помимо синуса и косинуса в тригонометрии имеется еще огромное количество функций, в частности, тангенс и котангенс, о котором мы поговорим на данном уроке.

Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x)

Котангенс ctg(x) — это отношение косинуса cos(x) к синусу sin(x) .

Определения для прямоугольного треугольника:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Определения для числа:

Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, tg(t)=y/x .

Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, ctg(t)=x/y .

Так как делить на ноль нельзя, то значения в знаменателе не может быть равным нулю, т.е.

$ ctg\ x = \dfrac $, где $ x \neq \pi k $

Таблица знаков тангенса и котангенса по четвертям (составить ее можно, опираясь на таблицу синусов и косинусов, применяя правило деление чисел с отрицательными знаками):

I	II	III	IV
tg x	+	–	+	–
ctg x	+	–	+	–

Как видите, значения тангенса и котангенса очень просто найти, зная значения синуса и косинуса, тем не менее также существует таблица и для данных функций, которая существенно упрощает жизнь. Здесь я представлю самые распространенные значения. А для всех остальных значений существуют специальные таблицы Брадиса.

$ \frac<\pi> $	$ \frac<\pi> $	$ \frac<\pi> $	$ \frac<\pi> $	0
tg x	$ \frac<\sqrt> $	1	$ \sqrt $	–	0
ctg x	$ \sqrt $	1	$ \frac<\sqrt> $	0	–

Завершая разговор про данные тригонометрические функции нельзя не сказать про еще две важные формулы:

Для любого допустимого значения х справедливы равенства:

Для любого допустимого значения х также справедливы следующие равенства:

Ну вот теперь вроде все, более подробно и углубленно изучать мы будем все функции в процессе дальнейшего обучения.

Значение каждой тригонометрической величины изменяется с изменением угла , которому она соответствует, т.е. тригонометрическая величина это функция угла.

Значение каждой тригонометрической величины изменяется с изменением угла, которому она соответствует, т.е. тригонометрическая величина это функция угла.

Линией тангенса (AD_l, AD₂ и т.д.) является отрезок касательной, проведенной через конец А первого диаметра, от точки касания до пересечения с продолжением подвижного радиуса (OM_l, ОМ₂ и. т.д.).

Линией котангенса (BE_l, ВЕ₂ и т.д.) является отрезок касательной, проведенной через конец В второго диаметра, от точки касания В до пересечения с продолжением подвижного радиуса (OM₁, OM₂ и т.д.).

Тангенс угла (tgх) – это отношение линии тангенса, взятого с соответствующим знаком, к радиусу.

Котангенс угла (сtgх) — отношение линии котангенса, взятого с соответствующим знаком, к радиусу.

Знаки тангенса и котангенса для различных четвертей указаны на рисунке ниже:

Секанс (secx) и косеканс (cosecx) проще всего определить как обратные величины косинуса и синуса.

Существуют законы, которые связывают все тригонометрические функции между собой, т. е позволяют их выражать одну через любую другую.

Понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса неразрывно связаны с понятием угла.

Звучит ужасно, да?

Не так страшен черт, как его малюют!

Чтобы хорошо разобраться в этих понятиях (нет, не в чёрте! в тригонометрии 🙂 ), начнём с самого начала.

Синус, косинус, тангенс, котангенс — коротко о главном.

Синус угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе

Косинус угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе

Тангенс угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому)

Котангенс угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

Понятие угла: радиан, градус

Давай для начала разберёмся в понятии угла.

Посмотрим на рисунок.

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в $ 1<>^\circ $ (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную $ \frac$ части окружности.

То есть на рисунке выше изображён угол $ \beta $, равный $ 50<>^\circ $, то есть этот угол опирается на круговую дугу размером $ \frac$ длины окружности.

Углом в $ 1$ радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображён угол $ \gamma $, равный $ 1$ радиану.

То есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина $ AB$ равна длине $ BB’$ или радиус $ r$ равен длине дуги $ l$).

Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

$ l=\theta \cdot r$, где $ \theta $ — центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью?

Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен $ 2\pi $.

То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что $ 2\pi =360<>^\circ $.

Соответственно, $ \pi =180<>^\circ $.

А сколько радиан составляют $ 60<>^\circ $?

Уловил? Тогда вперёд закреплять:

Тогда смотри ответы:

Cинус, косинус, тангенс, котангенс угла в прямоугольном треугольнике

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла?

Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Всё верно, гипотенуза и катеты.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона $ AC$)

Катеты – это две оставшиеся стороны $ AB$ и $ BC$ (те, что прилегают к прямому углу).

Причём, если рассматривать катеты относительно угла $ \angle BAC$, то катет $ AB$ – это прилежащий катет, а катет $ BC$ — противолежащий.

Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике $ \sin \beta =\frac$.

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике $ \cos \beta =\frac$.

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике $ tg\beta =\frac$.

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике $ ctg\beta =\frac$.

Эти определения необходимо запомнить!

Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе.

А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле).

Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла $ \beta $.

По определению, из треугольника $ ABC$: $ \cos \beta =\frac=\frac=\frac$.

Но ведь мы можем вычислить косинус угла $ \beta $ и из треугольника $ AHI$: $ \cos \beta =\frac=\frac=\frac$.

Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника $ ABC$, изображённого ниже на рисунке, найдём $ \sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha $.

Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла $ \beta $.

Ответы: $ \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\frac$.

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным $ 1$.

Такая окружность называется единичной. Еще ее называют тригонометрической. Это одно и тоже.

Эта окружность — универсальная шпаргалка для решения уравнений и даже неравенств, если уметь ей пользоваться!

Здесь мы тоже ее разберем довольно подробно.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат.

Радиус окружности равен единице.

При этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси $ x$ (в нашем примере, это радиус $ AB$).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси $ x$ и координата по оси $ y$.

А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме?

Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник.

На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника.

Рассмотрим треугольник $ ACG$. Он прямоугольный, так как $ CG$ является перпендикуляром к оси $ x$.

Чему равен $ \cos \ \alpha $ из треугольника $ ACG$?

Всё верно $ \cos \ \alpha =\frac$.

Кроме того, нам ведь известно, что $ AC$ – это радиус единичной окружности, а значит, $ AC=1$.

Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

А чему равен $ \sin \ \alpha $ из треугольника $ ACG$?

Ну конечно, $ \sin \alpha =\frac$!

Подставим значение радиуса $ AC$ в эту формулу и получим:

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка $ C$, принадлежащая окружности? Ну что, никак?

А если сообразить, что $ \cos \ \alpha $ и $ \sin \alpha $ — это просто числа?

Какой координате соответствует $ \cos \alpha $?

Ну, конечно, координате $ x$!

А какой координате соответствует $ \sin \alpha $?

Всё верно, координате $ y$!

Таким образом, точка $ C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha )$.

А чему тогда равны $ tg \alpha $ и $ ctg \alpha $?

Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что $ tg \alpha =\frac=\frac$, а $ ctg \alpha =\frac=\frac$.

А что, если угол будет больше $ 90<>^\circ =\frac<\pi >$?

Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере?

Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику.

Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла $ _><_>G=180<>^\circ -\beta \ $?

Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате $ y$; значение косинуса угла – координате $ x$; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям.

Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси $ x$.

До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке?

Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным.

Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет $ 360<>^\circ $ или $ 2\pi $.

А можно повернуть радиус-вектор на $ 390<>^\circ $ или на $ -1140<>^\circ $?

Ну конечно, можно!

В первом случае, $ 390<>^\circ =360<>^\circ +30<>^\circ $, таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении $ 30<>^\circ $ или $ \frac<\pi >$.

Во втором случае, $ -1140<>^\circ =-360<>^\circ \cdot 3-60<>^\circ $, то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении $ -60<>^\circ $ или $ -\frac<\pi >$.

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на $ 360<>^\circ \cdot m$ или $ 2\pi \cdot m$ (где $ m$ – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол $ \beta =-60<>^\circ $.

Это же изображение соответствует углу $ -420<>^\circ ,-780<>^\circ ,\ 300<>^\circ ,660<>^\circ $ и т.д.

Этот список можно продолжить до бесконечности.

Все эти углы можно записать общей формулой $ \beta +360<>^\circ \cdot m$ или $ \beta +2\pi \cdot m$ (где $ m$ – любое целое число)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться.

Итак, мы знаем, что:

Отсюда мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла.

Ну что же, начнём по порядку: углу в $ 90<>^\circ =\frac<\pi >$ соответствует точка с координатами $ \left( 0;1 \right)$, следовательно:

$ \text\ 90<>^\circ =\frac=\frac\Rightarrow \text\ 90<>^\circ $ — не существует;

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в $ 180<>^\circ ,\ 270<>^\circ ,\ 360<>^\circ ,\ 450<>^\circ (=360<>^\circ +90<>^\circ )\ $ соответствуют точки с координатами $ \left( -1;0 \right),\text< >\left( 0;-1 \right),\text< >\left( 1;0 \right),\text< >\left( 0;1 \right)$, соответственно.

Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

$ \displaystyle \sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =0$ $ \displaystyle \cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =-1$ $ \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\frac=0$

$ \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\frac\Rightarrow \text\ \pi $ — не существует

$ \sin \ 270<>^\circ =-1$ $ \cos \ 270<>^\circ =0$

$ \text\ 270<>^\circ =\frac\Rightarrow \text\ 270<>^\circ $ — не существует

$ \text\ 270<>^\circ =\frac=0$ $ \sin \ 360<>^\circ =0$ $ \cos \ 360<>^\circ =1$ $ \text\ 360<>^\circ =\frac=0$

$ \text\ 360<>^\circ =\frac\Rightarrow \text\ 2\pi $ — не существует

$ \sin \ 450<>^\circ =\sin \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\sin \ 90<>^\circ =1$ $ \cos \ 450<>^\circ =\cos \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\cos \ 90<>^\circ =0$

$ \text\ 450<>^\circ =\text\ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\frac\Rightarrow \text\ 450<>^\circ $ — не существует

$ \text\ 450<>^\circ =\text\left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\frac=0$.

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения!

Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

А вот значения тригонометрических функций углов в $ 30<>^\circ =\frac<\pi >,\ 45<>^\circ =\frac<\pi >$ и $ 30<>^\circ =\frac<\pi >,\ 45<>^\circ =\frac<\pi >$, приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение

Прямоугольный треугольник.

|BD| – длина дуги окружности с центром в точке A .
α – угол, выраженный в радианах.

Тангенс ( tg α ) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс ( ctg α ) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

, где n - целое.
, где n - целое.

Принятые обозначения

Тангенс

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

Котангенс

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

Графики функций тангенс, y = tg x , и котангенс, y = ctg x

Графики функций y=tg(x) и y=ctg(x).

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

Четность

Функции тангенс и котангенс – нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

y = tg x	y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений	–∞	–∞
Возрастание	–
Убывание	–
Экстремумы	–	–
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	–

Формулы

Выражения через синус и косинус

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности

Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

Таблица тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > >; для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга, . При этом получаются следующие формулы.

$B_n = (-1)^n \, n! \left| \begin при . при . где Bn – числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения: ; ; где . Либо по формуле Лапласа: \frac1 & 1 & 0 & . & 0 \\ \frac1 & \frac1 & 1 & . & 0 \\ \frac1 & \frac1 & \frac1 & . & 0 \\ . & . & . & . & . \\ \frac1 & \frac1 & \frac1 & . & \frac12 \\ \end \right|$

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс, соответственно.

Арктангенс, arctg

, где n - целое.

Арккотангенс, arcctg

, где n - целое.

Читайте также:

\( \frac<\pi> \)	\( \frac<\pi> \)	\( \frac<\pi> \)	\( \frac<\pi> \)	0
tg x	\( \frac<\sqrt> \)	1	\( \sqrt \)	–	0
ctg x	\( \sqrt \)	1	\( \frac<\sqrt> \)	0	–