Способы нахождения приближенных значений числа пи сообщение

Обновлено: 02.07.2024

Презентация на тему: " Способы вычисления числа Маленькое да удаленькое Цель: рассмотреть различные способы вычисления числа П." — Транскрипт:

1 Способы вычисления числа Маленькое да удаленькое Цель: рассмотреть различные способы вычисления числа П

2 Число ПИ - повсюду, оно контролирует все известные нам процессы, оставаясь при этом неизменным! Кто же контролирует само число ПИ? Ответа пока нет." Доктор Чарльз Кэнтор

3 Число П (пи) - это отношение длины окружности к ее диаметру, оно выражается бесконечной десятичной дробью. В обиходе нам достаточно знать три знака (3,14). Однако в некоторых расчетах нужна большая точность. У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле. Впоследствии сюда добавилась электротехника - там есть понятие "круговой частоты переменного тока". Для запоминания числа "Пи" было придумано двустишие (к сожалению, мы не знаем автора и места первой публикации его; но еще в конце 40-х годов двадцатого века московские школьники занимались по учебнику геометрии Киселева, где оно приводилось). Двустишие написано по правилам старой русской орфографии, по которой после согласной в конце слова обязательно ставился "мягкий" или "твердый" знак. Вот оно, это замечательное историческое двустишие: Кто и шутя, и скоро пожелаетъ "Пи" узнать число - ужъ знаетъ. Тому, кто собирается в будущем заниматься точными расчетами, имеет смысл это запомнить. Так чему же равно число "Пи" с точностью до одиннадцати знаков?

4 Способы вычисления Имеется много разных методов вычисления числа, известных как с древних времен, так и появившихся совсем недавно. Эти методы используют разнообразные изящные идеи - геометрические (вписывание и описывание многоугольников вокруг окружности), теоретико-числовые (теория цепных дробей дает приближение с точностью до одной миллионной, если ограничиваться дробями с трехзначными числителем и знаменателем), аналитические (с помощью рядов, интегралов и бесконечных произведений), компьютерные, и их многочисленные комбинации. Кроме этих - математических - методов, с давних пор известны экспериментальные способы определения числа. Рассмотрим некоторые из них.

5 1.Возьмем чашку, рюмку и блюдце. Все они имеют различного размера диаметр. 2. С помощью нити измерим их диаметры d. Определим его значение по линейке. I.Простейшее измерение с помощью нити А

6 3. Обмотаем вокруг каждого предмета нить, как можно ближе приближая её к краю. Тем самым мы измерим длину окружности C каждого предмета. 4.Разделим С на длину диаметра окружности. 5.Получившееся частное будет приближенным значением числа, т.е. =С/2R..

7 Вывод 1.Данный способ довольно таки грубый и дает в обычных условия приближенное значение числа с точностью до Чем ближе к краю предмета мы измеряли длину, тем точнее были наши вычисления. 3.Получившееся число находится в пределах от 3 до 3,3

8 1.Вырежем из картонной бумаги квадрат и круг такие, что круг был бы вписанным в данный квадрат. (в случае А и Б будем брать фигуры различных размеров) II. Измерение с помощью взвешивания 2. Определим массу картонного квадрата и круга с помощью школьных весов. АБ АБ

9 Зная массы квадрата (m кв. ) и вписанного в него круга ( m кр ), воспользуемся формулами m= V, V=Sh, где и h-соответственно плотность и толщина картона, S-площадь фигуры. Рассмотрим равенства: m кв. = S кв h= 4R 2 h; m кр = S кр h= R 2 h. Отсюда m кр :m кв = :4, =4m кр :m кв. m кр m кв П А3,56 г4,55 г3, Б0,85 г1,1 г3, П А = 4 * 3,56 : 4,55 = 3, П Б = 4 * 0,85 : 1,1 = 3,090909

10 Выводы 1.В данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближенные числа с точностью до 0,1 2.Данный метод подтверждает тот факт, что число П – постоянная величина.

11 Измерения с помощью вписанных в окружность многоугольников 1.Рассмотрим последовательность вписанных в некоторую окружность правильных многоугольников с возрастающим числом сторон. 2.Будем последовательно, начиная с n = 6, находить отношение периметра многоугольника к двум радиусам для n = 12, Кроме того, построим еще одну последовательность этих же величин, соответствующую значениям n = 4, 8, 16… Результаты этих вычислений оформим в виде таблицы. 3. Измерения и построения проводим с помощью циркуля и линейки, вычисления – с помощью калькулятора. 4.Можно заметить, что по мере возрастания числа сторон эти многоугольники все более и более приближаются к кругу, их граница прижимается к окружности. Для достаточно больших n граница правильного n-угольника практически неотличима от окружности, а его периметр можно считать приблизительно равным длине окружности. Так или примерно так размышляли геометры древности, приступая к решению задачи о нахождении длины окружности. При этом они понимали, что нет необходимости последовательно находить периметры всех правильных n-угольников: трех-, четырех-, пяти-. n-угольников. Желательно как можно быстрее "добраться" до многоугольников с большим числом сторон.

12 nanPn П 44162, ,816,83 82,1517,23, ,4517,43, ,117,63, ,73317,5923, n- количество сторон многоугольника а n- сторона многоугольника Рn – периметр многоугольника П = Р/ 2R R = 2,8 Алгоритмы построения правильных многоугольников, вписанных в окружность через программу Paint

13 Выводы 1.Мы видим, что с ростом числа сторон, мы получаем все более точное значение П, то есть по мере возрастания числа сторон многоугольники все более и более приближаются к кругу, их граница прижимается к окружности или иными словами стремится к ее длине. 2.Отношение длины окружности к ее двум радиусам (т.е. диаметру) есть одно и тоже число для всех окружностей

14 III. Метод Монте - Карло 1. Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел. 2. Теоретическая основа метода была известна давно. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную - очень трудоемкая работа. Одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить и при помощи… дождя или снега. 3. Для опыта нужно приготовить кусок картона, нарисовать на нем квадрат и вписать в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем то на его поверхности останутся следы капель. Затем необходимо подсчитать число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр - число капель в круге,Nкв –число капель в квадрате Значит, 4Nкр/Nкв А

15 1. Нарисуем на листе картона квадрат и впишем в квадрат круг. 2. С помощью обыкновенного сита создадим искусственный дождь из песка 3. Поскольку подсчитать количество упавших песчинок невозможно, мы примем за количество песчинок- их массу. Итак, взвесим песчинки, упавшие внутрь круга, с помощью школьных весов. 4. Оставшиеся песчинки на квадрате добавим на весы, и мы получим массу песчинок, упавших внутрь квадрата. 5. 4Nкр/Nкв Nкр = 9,2 г Nкв = 11,8 г 4 * 9,2 : 11,8 3, … В своем эксперименте мы дождь заменим песком. Б

16 В. Дождь и песок можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например подряд.

17 Выводы 1.Метод Монте-Карло доказывает, что число используется не только в геометрии, но и в теории вероятности 2.Большее увеличение количества песчинок, попавших в круг и квадрат, обеспечат приближенные числа с точностью до 0,01 3.Компьютерная модель способа Монте-Карло показывает возможность определения числа П с очень большой точностью. 4.С помощью этого метода рассчитываются ядерные реакторы, он широко используется в геофизике, экономике, биологии, экологии и т.д., словом, для решения тех задач, где аналитические или численные методы решения не работают из-за высокой степени сложности.

19 Подсчитаем частоту пересечений p = m/n где m- число бросаний, в которых игла пересекла прямую n – общее число бросаний. Формула для нахождения экспериментального значения П из задачи Б юффона:задачи Б юффона: p = ( 2/ П ) * (l /h) 2 l n/ mh Будем увеличивать число бросаний, проведя несколько серий. Данные представлены в таблице. серии nm П , , , , , , ,125

21 Общие выводы 1.Разнообразие описанных способов позволяет обращаться к различным разделам математики, использовать знания и умения, полученные на уроках физики и информатики, что очень полезно для общего развития школьников. 2.Данные методы очень увлекательные задачи, вызывающие огромный интерес к предмету математика. 3.Число П входит во многие математические, физические и технические формулы, в том числе и не имеющие непосредственного отношения к площади круга или длине окружности.

В данной работе описаны практические способы вычисления значения числа Пи.

Вложение	Размер
mou_chislo_pi_1.docx	777.71 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное казённое образовательное учреждение

Выполнила: Филиппова Анастасия,

Учитель: Москавчук О.А.,

Вычисление значения числа П ………………………. 4-7

Из истории открытия …………………………… 4

Способы вычисления числа П……………………… 5-6

Число П в стихах ……………………………………. 7

Простейшее измерение …………………………… 8

Измерение с помощью взвешивания……………… . 8

С этим необычным числом мы сталкиваемся уже в младших классах школы, когда начинаем изучать круг и окружность. В цифровом выражении π начинается как 3,141592. и имеет бесконечную математическую продолжительность.

В повседневных вычислениях мы пользуемся упрощенным написанием числа, оставляя только два знака после запятой, — 3.14. Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра.

В учебнике геометрии сказано, что число Пи является бесконечной непериодической десятичной дробью. Рациональное число является приближённым значением числа Пи с точностью до 0,002. Это приближённое значение было найдено ещё в 3 веке до нашей эры великим греческим учёным Архимедом. При решении задач обычно пользуются приближённым значением Пи с точностью до 0,01:П=3,14. *

Мне стало интересно, а какими способами можно измерить число Пи?

Цели: рассмотреть практические способы вычисления значения числа Пи.

Задачи: 1) изучить литературу и найти сведения из истории о открытии числа Пи;

2) рассмотреть практические способы вычисления числа Пи.

*Л.С. Атанасян Учебник геометрия7-9класс. М: Просвещение ,1991г.

2.Вычисление числа П .

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375

2.2 Способы вычисления числа П.

Простейшее измерение. Начертим на плотном картоне окружность радиуса R, вырежем получившийся круг и обмотать вокруг него тонкую нить. Измерив длину одного полного оборота нити, разделим полученное число на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближённым значением числа П.

Измерение с помощью взвешивания. На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата (m кв ) и вписанного в него круга (m кр ), воспользуемся формулами m = ρ*V, V =S*h, где ρ, h- соответственно плотность и толщина картона, S- площадь фигуры. Рассмотрим равенства: m кв = ρ* S кв * h = ρ* 4R 2 * h , m кр = ρ* S кр * h = ρ* П*R 2 * h. Отсюда m кр/ m кв = П/4, т.е. П= 4 m кр / m кв.

Суммирование площадей прямоугольников, вписанных в полукруг. Пусть А(а,0), В(b,0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на п равных частей точками х 1 , х 2 , …х п-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длин каждого перпендикуляра - это значение функции f(x) = . Из рисунка 1(Приложение1) видно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле: S= ((f(x 0 )+f(x 1 ) +…+f(x n-1 )). В нашем случае b= 1, a = -1. Тогда П~2*S.

Метод Монте - Карло . Это фактически метод статистических испытаний. Своё экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов , генерирующих случайные числа , может служить рулетка. Впрочем , можно получить случайные числа и при помощи дождя. Для опыта можно взять кусок картона , нарисовать на нём квадрат и вписать в него четверть круга. Если такой чертёж подержать некоторое время подождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга . их отношение будет приближённо равно отношению площадей этих фигур , так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N кр – число капель в круге, N кв –число капель в квадрате, тогда П ~ 4* N кр / N кв . В этом способе можно использовать вместо дождя таблицу случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. ( Приложение 2)

2.3 Число Пи в стихах. Число Пи бесконечная непериодическая дробь, значение которой многие хотят знать наизусть. Поэтому сложено много стихотворений для лёгкого запоминания. Хочется привести несколько примеров.

Чтобы нам не ошибиться,
Нужно правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть

Нужно только постараться,
И запомнить все, как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Если очень постараться,
Можно сразу пи прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.

Можно просто постараться
И почаще повторять:
"Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять."

Для запоминания можно использовать запоминалки. Для восстановления числа нужно подсчитать число символов в каждом из слов и записать по порядку.

Что я знаю о кругах (5 знаков)

Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду. (21 знак!)

Я построила на картоне окружность радиуса 3,3см, затем аккуратно вырезала круг. Далее намотала на окружность тонкую нить , отрезала и её длина оказалась равна 22,2см. Вычислила П по формуле: П =С/2R= 2/2 =22,2/2*3,3=3,36
Полученное мною значение П оказалось больше 3,14 на 0,22. Данный довольно грубый способ даёт в обычных условиях приближённое значение П с точностью до единиц.

Измерение с помощью взвешивания. Из листа бумаги я вырезала квадрат со стороной 4см. Затем с помощью весов (лабораторных)и гирь определила его массу 500мг=0,5г. Далее я вписала в круг окружность и вырезала её . Определила массу круга 410мг = 0,41г. Полученные мной значения масс я подставила в формулу : П= 4 m кр / m кв. П= 4*0,41/0,5=1,64/0,5 = 3,28 .

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Способы нахождения приближённых значений числа π 2019 год

Изучить историю происхождения числа π, как самого известного в мире иррационального числа Цель работы

1) длина окружности пропорциональна ее диаметру; 2) площадь круга пропорциональная квадрату радиуса; 3) коэффициенты пропорциональности в двух последних случаях совпадают. Десятичная дробь, выражающая число π, бесконечна, хотя можно вычислить различные конечные дроби – десятичные приближения для π. Наиболее популярное приближение – с точностью до сотых: π ≈ 3,14. За этими формулами скрываются три нетривиальных математических факта:

Такое приближение использовалось, например, в Древнем Вавилоне в III–II вв. до н. э.: длину окружности находили по правилу, которое в современных обозначениях можно записать C = 3d, площадь круга находили по правилу S = C2/12. Значение π = 3 использовалось и древними иудеями, где упоминалось в библейских текстах Самое простое приближение для π полагает его равным 3

от площади квадрата, описанного вокруг круга, отнимались площади треугольников с длиной стороны, равной трети стороны квадрата, получалось довольно точное значение π = 3 + 1/9 = 3,11. Геометрические приближения площади круга, Древний Вавилон :

для вычисления площади круга использовалось правило S = (8d / 9)2, что соответствует значению π = 4 ∙ (8/9)2 ≈ 3,1605. Ошибка при этом составляет менее 1 %. Как получали это правило, неизвестно. Геометрические приближения площади круга, Древний Египет :

Изучая задачу о квадратуре круга, Гиппократ Хиосский (V в. До н. э.) нашёл некоторые случаи определения квадратуры определённых частей круга, ограниченных кривыми линиями (двумя окружностями). Такие части называются луночками. Задача о квадратуре круга и вычисление числа π

Древнейшие известные попытки вычисления собственно квадратуры круга принадлежат Антифонту и Бризону (V в. до н. э.). Антифонт последовательно вписывал в круг правильные многоугольники, каждый раз удваивая количество сторон, и полагал, что в конце концов многоугольник совпадет с окружностью. Бризон строил два квадрата – вписанный в окружность и описанный вокруг нее – и считал, что площадь квадрата, лежащего между ними, равна площади круга. Задача о квадратуре круга и вычисление числа π

Архимед доказал, что площадь круга равна половине произведения длины окружности на ее радиус. Кроме того, с помощью вычисленных им периметров вписанных и описанных правильных многоугольников (от 6-угольника до 96-угольника) Архимед нашел, что: или, в десятичных дробях, 3,1409.

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 610 239 материалов в базе

Материал подходит для УМК

§ 21. Действительные числа

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

20.05.2019 3245
PPTX 2.8 мбайт
19 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Семикова Наталия Геннадиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же для всех окружностей. Это отношение принято обозначать греческой буквой (“пи” - начальная буква греческого слова , которое и означало “окружность”).

Архимед в сочинении “Измерение круга” вычислил отношение длины окружности к диаметру (число ) и нашел, что оно заключено между 3 10/71 и 3 1/7.

Долгое время в качестве приближенного значения использовали число 22/7, хотя уже в V веке в Китае было найдено приближение 355/113 = 3,1415929. которое было открыто вновь в Европе лишь в XVI веке.

В Древней Индии считали равным = 3,1622….

Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. с 9 знаками.

Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда – число , вычисленное с 32 знаками.

Но все эти уточнения значения числа производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника – больше. Но при этом оставалась неясным, является ли число рациональным, т. е. отношением двух целых чисел, или иррациональным.

Лишь в 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число иррационально.

А еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик – Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.

Простейшее измерение

Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см), вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину l (=46,5 см) одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа , т. е. = l / d = 46,5 см / 15 см = 3,1. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1.

Измерение с помощью взвешивания

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата m_кв (=10 г) и вписанного в него круга m_кр (=7,8 г) воспользуемся формулами

где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства:

Естественно, что в данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа с точностью до 0,1.

Суммирование площадей прямоугольников, вписанных в полукруг

Пусть А (a; 0), В (b; 0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на n равных частей точками x₁, x₂, . x_n-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра – это значение функции f(x)= . Из рисунка 1 ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле

В нашем случае b=1, a=-1 . Тогда = 2 S .

Значения будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ. Облегчить однообразную вычислительную работу поможет компьютер, для которого ниже приводится программа 1, составленная на Бейсике.

Программа 1

REM "Вычисление пи"
REM "Метод прямоугольников"
INPUT "Введите число прямоугольников", n
dx = 1 / n
FOR i = 0 TO n - 1
f = SQR(1 - x ^ 2)
x = x + dx
a = a + f
NEXT i
p = 4 * dx * a
PRINT "Значение пи равно ", p
END

Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n . Полученные значения числа записаны в таблице:

Метод Монте-Карло

Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N_кр – число капель в круге, N_кв – число капель в квадрате, тогда

Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу. Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265 . Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32, у=0,65. Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х; у) выполняется неравенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х + у = 1 , то точка лежит внутри круга.

Для подсчета значения снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, а N –число испытаний. В нашем случае N = N_кв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.

Программа 2

REM "Вычисление пи"
REM "Метод Монте-Карло "
INPUT "Введите число капель ", n
m = 0
FOR i = 1 TO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t \ 100)
y = t - x * 100
IF x ^ 2 + y ^ 2

Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа записаны в таблице:

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 10 человек(а).

Количество источников, использованных в этой статье: 7. Вы найдете их список внизу страницы.

Пи (π) — одно из самых важных и интригующих чисел в математике. Эта константа, примерно равная 3,14, используется для вычисления длины окружности с учетом ее радиуса. [1] X Источник информации Это также иррациональное число, то есть оно может быть вычислено до бесконечного числа знаков после запятой. [2] X Источник информации Это не так-то просто сделать, но все-таки возможно.

Убедитесь, что вы используете идеальный круг. Этот метод не работает с эллипсами, овалами и чем-либо иным, этот метод подходит только для идеальной окружности. Окружность определяется как совокупность всех точек на плоскости, которые лежат на одинаковом расстоянии от одной центральной точки. Крышка банки — идеальный предмет для этого метода. Если вы хотите сделать наиболее точные вычисления, используйте карандаш с очень тонким грифелем.

Оберните нитку вокруг крышки как можно плотнее. Отметьте точку совпадения начала и конца, а затем измерьте длину нитки с помощью линейки.

Измерьте диаметр окружности. Диаметр — длина отрезка, проходящего через центр окружности и любые две точки, лежащие на окружности.

Используйте формулу. Длина окружности вычисляется по формуле C= π*d = 2*π*r. Таким образом, Пи равно длине окружности, деленной на ее диаметр. Посчитайте Пи (с вашими значениями) на калькуляторе. Результат должен быть примерно равен 3,14. [3] X Источник информации

Чтобы уточнить расчеты, повторите эту процедуру с несколькими различными окружностями, а затем усредните результаты. Ваши измерения не будут совершенными для одной взятой окружности, но с учетом нескольких окружностей, они должны усредниться до точного значения Пи.

Читайте также: