Неравенство коши буняковского неравенство йенсена неравенства о средних сообщение

Обновлено: 28.04.2024

Обнаружение и распознавание сигналов

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского [1] . Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Содержание

Формулировка

| ⟨ x , y ⟩ | ⩽ ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ ,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши-Буняковского

Огюсте́н Луи́ Коши́ (1789 — 1857) — французский математик и механик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий. Разработал фундамент математического анализа, внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики. Его имя внесено в список величайших ученых Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.

Среднее арифметическое чисел а и в Среднее геометрическое чисел а и в Среднее квадратичное чисел а и в Среднее гармоническое чисел а и в

Эти величины называют средними, так как при 0 0 , то

Теорема 3 Если ав>0, то

При а>0 и в>0 справедлива цепочка неравенств:

Неравенство Коши-Буняковского При любых значениях выполняется неравенство Будем говорить, что неравенство выполняется к наборам чисел!

Определение евклидова пространства. Длина вектора и угол между ними. Векторное неравенство Коши-Буняковского. Особенности использования неравенства Коши-Буняковского при решении задач по алгебре. Примеры применения скалярного произведения векторов.

Рубрика	Математика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	15.12.2010
Размер файла	279,8 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

на тему:

Оглавление

2. Евклидово пространство

2.1 Определение евклидова пространства

2.2 Длина вектора. Угол между векторами

3. Неравенство Коши-Буняковского

4. Использование векторного неравенства Коши-Буняковского при решении задач по алгебре

5. Примеры применения скалярного произведения векторов

6. Список литературы

1. Введение

коши буяновский неравенство вектор

Коши Огюстен Луи (1789--1857) -- знаменитый французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений и т. д. Большая заслуга Коши -- разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т. п.

Линейная алгебра достигла в 19 веке большого расцвета. В 20 веке алгебраические исследования приобрели очень большую популярность и алгебра заняла в математике весьма почетное место. В этот период возникают многие новые разделы алгебры. Во всех частях алгебры работают крупные ученые, внесшие серьезный вклад в науку, в ряде стран возникают большие алгебраические школы. Однако настоящий расцвет алгебраических исследований в нашей стране начался лишь после Великой Октябрьской революции. Эти исследования захватывают почти все разделы современной алгебраической науки.

Изучение систем линейных уравнений потребовало введение и изучение многомерных (так называемых векторных и линейных) пространств. Это понятие является чисто математическим, даже в основном алгебраическим, и служит важным орудием во многих математических исследованиях, а также в физике и механике.

2. Евклидово пространство

В предыдущем параграфе линейное (аффинное) пространство было определено как множество элементов (векторов) с заданными в нем операциями умножения на числа и сложения.

С помощью этих операций можно сформулировать, что такое прямая, плоскость, число измерений пространства, что такое параллельные прямые и т.д.

Однако этих понятий недостаточно, чтобы охватить все многообразие фактов, составляющих содержание так называемой евклидовой геометрии. Например, в одних терминах сложения и умножения на число мы не сможем дать определение длины вектора, угла между векторами, скалярного произведения векторов и т.д. Ввести эти понятия проще всего следующим образом.

Выберем в качестве основного понятие скалярного произведения, которое определим аксиоматически.

В терминах сложения векторов, умножения их на числа и скалярного произведения векторов мы сможем развить всю евклидову геометрию.

Определение 2.1 Будем говорить, что в вещественном пространстве определено скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие действительное число, которое обозначим через причем это соответствие обладает следующими свойствами (удовлетворяет следующим аксиомам):

1 , т.е. скалярное произведение симметрично.

3 (дистрибутивность скалярного произведения).

4 Скалярное произведение вектора с самим собой неотрицательно:, и обращается в нуль, лишь если

Аффинное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1-4, мы называем евклидовым.

Пример 1. Под векторами пространства мы будем понимать векторы изучаемого в элементарной геометрии трехмерного пространства (пример 1 1). Скалярное произведение векторов определим как произведение их длин на косинус угла между ними. Можно проверить, что аксиомы 1-4 действительно выполнены. Мы предоставляем эту проверку читателю.

2. Векторами пространства мы назовем всякую систему действительных чисел . Сложение векторов и умножение их на число определим так (пример 2 1):

Скалярное произведение векторов и определим формулой

Легко проверить, что аксиомы 1-3 действительно выполнены. Аксиома 4 также справедлива, так как и только при .

3. Рассмотрим пример более общий, чем пример 2.

Вектор по-прежнему определим как совокупность действительных чисел. Сложение векторов и умножение их на числа определим так же, как в примере 2.

Зададимся некоторой матрицей . Скалярное произведение векторов и определим формулой

Посмотрим, какие условия нужно наложить на матрицу , чтобы выражение, определяемое формулой (1), действительно удовлетворяло всем аксиомам скалярного произведения.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что аксиомы 2 и 3 выполнены для всякой матрицы . Для того чтобы была выполнена аксиома 1, т.е. чтобы выражение было симметричным относительно и , необходимо и достаточно, чтобы

т.е. чтобы матрица была симметричной.

Аксиома 4 требует, чтобы выражение

было неотрицательно для любых и обращалось в нуль, лишь если .

Однородный многочлен (``квадратичная форма''), определяемый формулой (3), называется положительно определенным, если он принимает лишь неотрицательные значения и обращается в нуль, лишь когда все равны нулю. Аксиома 4 требует, следовательно, чтобы квадратичная форма (3) была положительно определенной.

Итак, всякая матрица задает скалярное произведение, определяемое формулой (1), если только эта матрица симметрична [условие (2)] и соответствующая ей квадратичная форма -- положительно определенная.

Если в качестве матрицы взять единичную матрицу, т.е. положить и , то скалярное произведение примет вид

и мы получим евклидово пространство, определенное в примере 2.

4. Векторами пространства мы будем называть непрерывные функции, заданные на интервале ; скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения

Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы 1-4 выполнены.

5. Будем считать векторами многочлены от степени не выше . Скалярное произведение двух многочленов определим как и в предыдущем примере:

Аксиомы 1-4 проверяются как и в примере 4.

2.2 Длина вектора. Угол между векторами

Определение 2.2 Длиной вектора в евклидовом пространстве называется число

Длину вектора будем обозначать через .

Естественно пожелать, чтобы угол между векторами, длина вектора и скалярное произведение были связаны обычным соотношением: скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как в этой фразе смысл всех слов, кроме слов ``угол между векторами'', нам уже известен, то этим предписывается следующее

Определение 2.3 Углом между векторами и мы назовем число

Векторы называются ортогональными, если угол между ними равен , т.е. если

3. Неравенство Коши-Буняковского

В предыдущем пункте у нас остался пробел. Мы определили угол между векторами и формулой

Для того чтобы можно было определить из этого равенства, нужно доказать, что

или, что то же самое, что

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Итак, для того чтобы иметь право определить угол между двумя векторами формулой (5), мы должны доказать неравенство Коши-Буняковского 2.5.

Чтобы доказать его, рассмотрим вектор , где -- произвольное действительное число. Согласно аксиоме 4 скалярного произведения

Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно трехчлен принимает лишь неотрицательные значения. Следовательно, дискриминант уравнения

не может быть положительным, т.е.

что и требовалось доказать.

Приведем пример неравенства, являющегося следствием неравенства Коши-Буняковского.

Для любых векторов в евклидовом пространстве имеет место неравенство

Доказательство.

так как (в силу неравенства Коши-Буняковского) , то

т.е. , что и требовалось доказать. (См. также 3, стр.)

4. Использование векторного неравенства Коши-Буняковского при решении задач по алгебре

В рассматриваемых ниже примерах используется векторное неравенство Коши - Буняковского и его следствие

Пусть векторы и и v имеют координаты: (х1, у1, z1), (x2, y2, z2). Тогда неравенства (I) и (II) примут вид:

Перейдем теперь к решению примеров

Пример 1. Решить систему уравнений.

Решение. На первый взгляд может показаться, что данная система имеет бесконечное множество решений (три переменных и два уравнения). Однако такое мнение ошибочно. Как будет показано далее, система (1)-(2) имеет единственное решение.

Рассмотрим векторы: и . Тогда

Учитывая (3) и (4), имеем: и*е= \и\ * \е\

Следовательно, на основании (3) x=y=z , а с учетом (1) получаем, что х=у=z=

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Эта система, аналогично предыдущей, на первый взгляд кажется неопределенной, но, в отличие от предыдущей, она не имеет решений.

Положим (x2, y2, z2) и (1; 2; 2). Тогда очевидно, что || = 1, || = и || · || = . Из (6) следует, что · =. Получается · > || · ||, что невозможно. Следовательно, система (5) - (6) решений не имеет.

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Нетрудно убедиться, что данная система не имеет решений, в которых хотя бы одно переменное было, равно нулю. Поэтому, разделив обе части уравнения (1) на х2у2z2 , мы получаем систему, равносильную данной.

Рассмотрим векторы (, , ), (x, 2y, z).

Тогда · = 12. Из (1,a) и (2) следует, что || = 4 и || = 3. Таким образом,

Из (4) на основании (III) следует, что

откуда y2 = и z2 =. Тогда из уравнения (2) имеем:

откуда х = ± . При этом y = ± и z = ± .

Из полученных значений х, у и z составим восемь троек чисел:

Каждая из приведенных троек является решением уравнений (1) и (2) данной системы. Далее нужно установить, какая из них является решением уравнения (3).

Проверкой убеждаемся, что только две тройки и удовлетворяют уравнению (3) и потому являются решениями данной системы.

Покажем теперь применение неравенств (I) и (II) при доказательстве неравенств.

Пример 4. Доказать, что для произвольных чисел а, b и с справедливо неравенство:

a2b2 + b2c2 + a2c2 abc(a + b + c). (1)

Решение. Введем векторы: (ab, bc, ca) и (ас, аb, bс). Для них имеем:

· = а2bс + аb2c + abс2 = abc(a + b + c), (2)

· = а2b2 + b2c + a2с2. (3)

Из (2) и (3) на основании (II) следует (1).

Пример 5. Доказать, что если а, b, с и d - неотрицательные числа, то имеет место неравенство

Решение. Введем векторы (, ) и (, ). Тогда

На основании (II) имеем

Покажем далее применение векторного неравенства Коши - Буняковского к доказательству условных неравенств.

Пример 6. Доказать, что если

Решение. Введем векторы: (х, у) и (1, 1). Тогда

На основании (I), учитывая (1) и (2), имеем |x + y| 2.

Пример 7. Доказать, что если

Решение. Введем векторы (х, у, z) и (y, z, x). Тогда

На основании (II) имеем:

xy + yz + zx x2 + y2 + z2.

Учитывая (1), получаем, что

В заключение покажем применение векторного неравенства Коши - Буняковского при отыскании экстремумов.

Пример 8. Найти наибольшее значение функции

Решение. Функция (1) определена для -7 х 11.

Рассмотрим векторы: () и (1, 1). Тогда

На основании (II) имеем

Из (2) следует, что max y = 6. Это наибольшее значение достигается,

если векторы и коллинеарны. При этом

Итак, ymax = y(2) = 6,

Пример 9. Найти наибольшее значение функции

Решение. Функция (1) определена при всех х R. Введем векторы:

На основании (II) имеем:

Итак, max y=4, что реализуется при , откуда cos2x=, x=, где .

5. Примеры применения скалярного произведения векторов

В общем случае скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними. Так как , а cos , то (1). Поэтому, если даны векторы x=(x; y) и y=(x; y), то и и следовательно, (2).

Аналогично для трехмерного пространства:

Пример. Доказать, что неравенство

выполняется при всех значениях а, при которых определена его левая часть.

Рассмотрим векторы (1;1;1) и (). Из (3) следует, что

6. Список литературы

1. Беккенбах, Э., Беллман, Р., Неравенства - Москва: Мир, 1965

2. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры - Москва: Наука, 1975

3. Куроин, А.Г. Курс высшей алгебры - Москва: Наука, 1975

Подобные документы

Векторы в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами. Общее понятие про скалярные величины. Проекции векторов, их свойства. Коммутативность скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Примеры скалярного произведения векторов.

контрольная работа [605,8 K], добавлен 06.05.2012

Данный электронный учебник по математике предназначен для изучения темы "Использование неравенств при решении олимпиадных задач". Постановка и реализация задачи. Теоретические сведения по неравенствам Йенсена, Коши, Коши-Буняковского и Бернулли.

научная работа [124,1 K], добавлен 12.12.2009

Краткие биографические сведения и характеристика творчества В.Я. Буняковского - знаменитого русского математика. Исследования Буняковского в области теории чисел. Работы по геометрии и прикладным вопросам. Научное наследство великого математика.

реферат [25,8 K], добавлен 29.05.2010

Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.

курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013

Примеры неравенств, доказываемых техникой одномонотонных последовательностей. Обоснование данного метода для случая с произвольным числом переменных. Доказательство неравенств с минимальным числом переменных. Сравнение метода с доказательством Коши.

реферат [132,8 K], добавлен 05.02.2011

Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.

курсовая работа [86,3 K], добавлен 01.10.2011

Слабые асимптотики произведения функций Хевисайда. Решение задачи Коши методом прямого интегрирования. Оценка задачи со ступенчатой функцией в качестве начального условия. Предел на бесконечности, получаемый при неограниченном уменьшении малого параметра.

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Содержание

Формулировка

Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть ,\;\forall x\in L" width="" height="" />
. Тогда для любых имеем:

$|\langle x,\;y\rangle| \leqslant \|x\|\cdot\|y\|,$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и пропорциональны (коллинеарны).

Примеры

В пространстве комплекснозначныхквадратично суммируемых последовательностейнеравенство Коши — Буняковского имеет вид:

где _k" width="" height="" />
обозначает комплексное сопряжение .

В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций,\;\mu)" width="" height="" />
неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом,\;\mathbb)" width="" height="" />
неравенство Коши — Буняковского имеет вид: ^2(X,\;Y)\leqslant\mathrm[X]\cdot\mathrm[Y]," width="" height="" />

Доказательство

$\lambda^2\langle x,\;x\rangle+2\lambda\langle x,\;y\rangle+\langle y,\;y\rangle$

Значит дискриминант многочлена неположительный, то есть

$D=(2\langle x,\;y\rangle)^2-4\langle x,\;x\rangle\langle y,\;y\rangle\leqslant 0.$

$z=e^<-i\phi></p> <p>Определим вектор x.$
Тогда

\langle x,y \rangle = r = \left | \langle x,y \rangle \right | \in \R " width="" height="" />
и \langle x,e^<-i\phi>x \rangle=e^<-i\phi>e^\langle x,x \rangle = \langle x,x \rangle " width="" height="" />

$\langle z,y \rangle \in \R$

К скалярному произведению применим результат первого пункта доказательства.

$\left | \langle x,y \rangle \right |=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot\|y\|=\|x\|\cdot\|y\|$

Литература

Примечания

Функциональный анализ
Линейная алгебра
Неравенства
Теория вероятностей
Теория операторов

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Неравенство Коши" в других словарях:

Неравенство Коши — Буняковского — Неравенство Коши Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением. Неравенство Коши … … Википедия

Неравенство Коши-Буняковского — связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением. Неравенство Коши Буняковского иногда, особенно в иностранной… … Википедия

Неравенство Коши—Буняковского — связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением. Неравенство Коши Буняковского иногда, особенно в иностранной… … Википедия

Неравенство Буняковского — Неравенство Коши Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением. Неравенство Коши Буняковского… … Википедия

Неравенство Шварца — Неравенство Коши Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением. Неравенство Коши Буняковского… … Википедия

Неравенство Йенсена — обобщает тот факт, что секущая графика выпуклой функции находится над графиком. Неравенство Йе … Википедия

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим — Неравенство Коши (неравенство о средних) Для любых неотрицательных чисел верно неравенство: причем равенство достигается тогда и только тогда, когда . Выражение называется средним арифметическим, а … Википедия

Неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим — Неравенство Коши (неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом) Для любых неотрицательных чисел верно неравенство: причем равенство достигается тогда и только тогда, когда . Выражение называется средним арифметическим, а … Википедия

Неравенство Гёльдера — в функциональном анализе и смежных дисциплинах это фундаментальное свойство пространств . Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство … Википедия

КОШИ НЕРАВЕНСТВО — 1) К. н. неравенство для конечных сумм, имеющее вид. Доказано О. Коши (A. Cauchy, ;1821); интегральный аналог Буняковского неравенство. 2) К. н. неравенство для модуля производной регулярной аналитич. функции в фиксированной точке акомплексной… … Математическая энциклопедия

Читайте также:

Неравенство коши буняковского неравенство йенсена неравенства о средних сообщение

Содержание

Формулировка

Описание презентации по отдельным слайдам:

2. Евклидово пространство

2.2 Длина вектора. Угол между векторами

Подобные документы

Содержание

Формулировка

Комментарии

Примеры

Доказательство

Литература

Примечания

Полезное

Смотреть что такое "Неравенство Коши" в других словарях: