Дробные выражения в формулах естественных наук сообщение
Обновлено: 01.07.2024
В этом уроке мы познакомимся с понятием дробных выражений и с тем, как их считать. Узнаем интересные способы работы с дробями, в числителе или знаменателе которых стоят дроби.
Дробные выражения
Для начала определимся с определением дробного выражения.
Дробным выражением называется частное двух выражений или чисел, знак деления в котором обозначается чертой.
Пример:
Мы привыкли называть такое выражение обыкновенной дробью. Она ничем не противоречит определению дробного выражения. Поэтому если вас спросят: "Является ли обыкновенная дробь дробным выражением?", то можно смело ответить: "Да, является!"
Мы не накладываем никаких ограничений на то, что из себя представляют выражения; нужно только то, чтобы это было деление, записанное как дробь.
Также никто не запрещает записать в одну или даже в обе части выражения, содержащие дроби.
Примеры:
Можем пойти дальше и записать так называемую многоэтажную дробь. Это дробь, в числителе или в знаменателе (а иногда и в числителе и в знаменателе) которой стоят дробные выражения.
Примеры:
Помимо определения дробного выражения необходимо знать определения числителя и знаменателя дробного выражения.
Если мы считаем дробное выражение делением, то числителем будет являться делимое, а знаменателем делитель.
Например, существует следующее дробное выражение:
В данном случае \(\mathbf\) будет являться числителем, а \(\mathbf>\)- знаменателем.
Также можно преобразовывать обычные выражения в дробные.
Это можно делать при условии, что выражение представляет из себя частное двух выражений или чисел, но пока что записанное через обычный знак деления.
Примеры преобразования обычного выражения в дробное:
Сформулируем правило: для того, чтобы преобразовать выражение, представляющее из себя частное двух выражений или чисел, необходимо делимое поместить в числитель дробного выражения, а делитель- в знаменатель.
Теперь вы видите, насколько большой класс формул покрывается понятием дробного выражения.
Давайте пройдем небольшой тест и перейдем к изучению того, как вычислять значения дробных выражений.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Вычисление дробных выражений
Начнем с самого простого способа вычисления значений дробных выражений.
Он заключается в том, чтобы отдельно посчитать значения числителя и знаменателя и получить дробное выражение, в знаменателе и числителе которого стоят числа.
Далее надо смотреть, что получилось:
- может получиться правильная дробь, тогда это будет готовым ответом
- может получиться дробь неправильная, тогда необходимо выделить целую часть
- в числителе и знаменателе дробного выражения могут получиться дробные числа; в таком случае нужно поделить числитель на знаменатель, это и будет ответом
Пример 1
Вычислим значение выражения \(\mathbf>\)
Решение:
Для начала вычислим значения числителя и знаменателя:
В данном примере числитель делится на знаменатель, поэтому из дроби получится натуральное число.
Пример 2
Решение:
Сначала вычислим числитель и знаменатель:
В данном случае получилась неправильная дробь, выделим целую ее часть, чтобы получить в ответе смешанное число:
Пока что были рассмотрены случаи, в которых выражения в числителе и знаменателе представляли из себя арифметические действия над натуральными числами. Но вас нисколько не должны смущать случаи, в которых выражения содержат в себе дроби как обыкновенные, так и десятичные.
Пример:
Решение:
Наверное, вы уже догадываетесь, что мы сделаем дальше. Правильно! Вычислим числитель и знаменатель:
В данном случае мы получили неправильную дробь в числителе и десятичную дробь в знаменателе.
Чтобы получить окончательный результат разделим одно на другое:
Прежде чем перейти к дополнительным приемам работы с дробными выражениями, решим небольшой тест для закрепления навыка вычисления дробных выражений.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Приемы для работы с дробными выражениями
Но, как это часто бывает в математике, в некоторых случаях можно упростить себе подсчеты, вовремя заметив определенные вещи.
Вы уже наверняка хорошо освоили сокращение дробей.
Напомним, в чем его суть: если числитель представляет из себя произведение, и знаменатель также является произведением, и в этих произведениях есть одинаковый множитель, то мы можем сократить дробь на этот множитель.
Как же это относится к дробным выражениям?
Дело в том, что в некоторых случаях числитель и знаменатель могут быть произведениями или же могут стать произведениями в процессе подсчетов.
Тогда почему бы не сокращать их по возможности?!
Пример:
Начнем считать выражение и посмотрим, что получается.
Числитель и знаменатель дробного выражения после первых преобразований превратились в произведения.
Также можно заметить, что в этих произведениях есть общий множитель: 127
Тогда мы можем поделить числитель и знаменатель дробного выражения на это число, тем самым значительно упростив выражение.
Это и будет значением этого выражения.
Также мы можем быть еще более хитрыми и внимательными.
Конечно же, можно начать вычислять сначала числитель, потом знаменатель. Для этого мы будем вычислять разность шестизначных чисел.
Но можно сделать проще: заметим, что числитель и знаменатель являются произведениями.
Числитель является произведением 2-х и выражения (478569-145236)
Знаменатель же является произведением выражения (478569-145236) и 3-х.
Выражение (478569-145236) является множителем и можно утверждать, что это один и тот же множитель в числителе и в знаменателе.
Значит, мы можем уверенно сокращать дробное выражение на это выражение.
В данном случае мы сразу получили правильную дробь, это и будет являться значением выражения.
Отдельно стоит упомянуть работу с многоэтажными дробями.
Мы всегда можем идти по алгоритму с последовательным вычислением числителя и знаменателя - это гарантированно дает результат.
Но также можно запомнить два правила, которые существенно экономят время.
Второе правило рассматривает случай, когда дробь (или дробное выражение) находится в знаменателе дробного выражения.
И парочка примеров на этот случай:
И в завершение еще дам такой пример:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Десять интересных математических фактов:
1. Известные всем знаки сложения и вычитания впервые были использованы только около 500 лет назад
2. 2 и 5- единственные простые числа, которые оканчиваются на 2 или 5
3. Несмотря на то, что сохранилось много трудов древнегреческого ученого Евклида, о его биографии почти ничего не известно
4. В римской системе счисления не существует нуля
7. У древних египтян отсутствовала таблицы умножения и прочие математические правила
8. В свое время заниматься математикой в высоких кругах было настолько популярно, что даже Наполеон Бонапарт оставил после себя научные труды
9. Самые древние математические записи были найдены написанными на костях
Презентация на тему: " Дробные выражения Дробь равна частному от деления 2 : 3." — Транскрипт:
1 Дробные выражения Дробь равна частному от деления 2 : 3
2 Запишите у себя в тетради в виде дроби выражения: 25 : 55 а : ав 19 : ас : 15х
3 Любое частное можно записать с помощью черты дроби Например, выражение (41,3 – 4,4) : (15,3 + 33,9) можно записать так:
4 Запишите правило Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением
5 Выражение стоящее над чертой называют числителем, а выражение под чертой, – знаменателем
6 Числителем и знаменателем дробного выражения могут быть любые числа, а также числовые или буквенные выражения
7 С дробными выражениями можно выполнять действия по тем же правилам, что и с обыкновенными дробями
8 Вспомним их Основное свойство дроби … Умножение дробей… Сложение (вычитание) дробей с разными знаменателями… Деление дробей…
9 Пример 1 Найдём значение выражения
10 Пример 2 Найдем произведение
11 Пример 3 Найдем сумму \2
12 Запишите в виде дробного выражения частные (512+ав) : (256–325х) (fb-256) : xy 89 : ac
Дробные выражения
Содержание
Определения дробных выражений
Сегодня на уроке мы с вами приступим к изучению дробных выражений. Для начала начнем с определения, и узнаем, какие именно выражения принято называть дробными.
Дробные выражения – это частное 2-х чисел или выражений, знак деления которого обозначают чертой.
В дробном выражении, то выражение, которое стоит под этой дробной чертой, называют знаменателем.
В дробном выражении его числителями и знаменателями являются какие-либо числа или буквенные выражения.
Вот несколько примеров дробных выражений:
Также как и с обыкновенными дробями, так и с дробными выражениями все действия делаются по одним и тем же правила.
Что такое простая дробь
Прежде чем приступить к изучению дробных выражений и выполнению практических заданий, давайте вспомним, что такое дроби.
Простой дробью называют часть единицы или ее нескольких частей.
Знаменателем простой дроби называют то количество равных частей, на которое делится единица. А числителем простой дроби называют количество взятых частей.
Простая дробь записывается в таком виде:
Из этого следует, что дробь — это число, составленное из целого числа долей единицы.
Историческая справка о математических дробях
Вначале древний человек научился считать предметы, но позднее пришло понимание для измерения длины, времени, площади и вести расчеты при купле-продаже. А в этих случаях не всегда удавалось использовать только натуральные числа, а необходимо было учитывать и какие-то части или доли. Вот так постепенно и появились дроби.
Исторический след исчисления дробей был замечен в использовании многих народов. В Древнем Вавилоне существовала мера в один талант, что составляло 60 мин, одна мина равнялась 60 шекелей. То есть, можно сказать, что в вавилонской системе исчислений применялись шестидесятеричные дроби.
Домашнее задание
Дайте ответы на следующие вопросы:
1. Назовите действия, которые необходимые выполнить, чтобы найти дробь от числа?
2. Какие вы знаете способы нахождения числа по его значению дроби?
3. Сформулируйте правило умножения обыкновенных дробей.
4. Сформулируйте правило деления обыкновенных дробей.
5. Какие выражения принято называть дробными?
6. Чем дробные выражения отличаются от остальных?
Перед вами предоставлены различные виды выражений, выберите из них те, которые являются дробными выражениями.
Решите задачи:
1. Таня читает интересную книгу и уже прочла 32 страницы, это составляет 2/3 всей книги. Дайте ответ, сколько в этой книге страниц?
2. Денису четырнадцать лет. Его возраст составляет 2/7 возраста отца. Решите задачу и ответьте, сколько же лет отцу Дениса?
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
ФГКОУ «Московский кадетский корпус «Пансион воспитанниц
открытого урока по математике
Преподаватель: Шаталина Елена Дмитриевна
2014 – 2015 уч. г.
Руководитель отдельной дисциплины
(математика, информатика и ИКТ)
ПЛАН - КОНСПЕКТ УРОКА
ТЕМА УРОКА : Дробные выражения
Тип урока: Урок закрепления знаний
Цель: Отработка навыков применения ранее приобретенных знаний и умений в различных заданиях. Закрепление алгоритма действий со сложными дробными выражениями. Определение границ применения знаний.
Образовательные:
развитие у воспитанниц вычислительных навыков, навыков анализа, сравнения, обобщения изучаемого материала и умения применять его в повседневной практической жизни и деятельности;
развитие умения прокомментировать и объяснить решение задания, вызвавшего затруднения.
Воспитательные:
воспитание познавательного интереса к учебному предмету;
воспитание у учащихся культуры мышления;
Развивающие:
формирование умения строить логическую цепочку рассуждений,
рационально излагать свои мысли;
формирование умения проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию;
формирование интеллектуально – познавательной компетенции;
формирование личностных позитивных качеств воспитанниц: чувства ответственности, дисциплинированности и организованности; трудолюбия и сознательного отношения к учебе;
создание атмосферы сотрудничества.
Оборудование:
раздаточный материал: карточки с текстом самостоятельной работы – для осуществления рефлексии на заключительном этапе урока;
Основные педагогические технологии:
(решение задач на проценты разного уровня сложности).
В течение всего урока:
Этап актуализаци знаний, необходимых для их творческого применения.
Этап усвоения образца комплексного применения знаний и умений.
Этап применения обобщенных знаний и умений в новых условиях Этап проверки понимания воспитанницами изученного материала.
Этап осознания и осмысления блока новой информации:
– использование специальных заданий с применением презентации после объяснения нового материала, с целью проверки понимания полученных знаний и отработки навыка решения примеров по теме
Этап контроля результатов учебной деятельности.
Технология критического мышления
Этап контроля результатов учебной деятельности.
В течение всего урока – смена видов учебной деятельности, расчет времени на каждый вид работы. Зарядка для глаз.
Технология обучения в сотрудничестве
В течение всего урока происходит создание условий для активной учебной деятельности воспитанниц:
– создание эмоционального настроя на урок;
– при закреплении материала;
– на заключительном этапе происходит закрепление положительного эмоционального настроя учащихся.
Содержание этапа урока
Приветствие, фиксация отсутствующих. Проверка готовности воспитанниц, их настроя на работу. Организация внимания и внутренней готовности.
Этап актуализации знаний
Этап обобщения и систематизации знаний и способов деятелтьности
Подробное объяснение алгоритма действий с дробными выражениями, числитель и знаменатель которых являются обыкновенными дробями.
Этап первичного закрепления знаний
Решение заданий на сокращение дробей. Упрощение дробных выражений.
Воспитанницы выполняют упражнения для глаз и рук.
Этап применения знаний и умений в новых условиях
Решение примера на нахождение значения числового выражения, содержащего дробные выражения в числителе и знаменателе.
Этап контроля и самопроверки знаний
Выполнение самостоятельной работы;
Взаимопроверка самостоятельной работы по готовым решениям.
Этап информации воспитанниц о домашнем задании
Запись домашнего задания. Комментарии по решению. Дополнительное задание для желающих.
1
Анализ воспитанницами своей работы на уроке. Воспитанницы подводят итог урока, слушают комментарии преподавателей и оценивают свою работу на уроке и свои эмоции, связанные с данным уроком
1
Ход урока
Оргмомент (1 минута)
Знакомство с темой и целями урока осуществляется воспитанницами в ходе обсуждения.
Основная цель сегодняшнего урока – расширить и углубить знания, имеющиеся у воспитанниц по рассматриваемой теме, научиться применять их в новых условиях. Убедиться в необходимости повседневных, систематических занятий математикой.
2. Актуализация имеющихся знаний (9 минут)
Повторение ранее изученного материала в ходе фронтальной беседы и опроса. Первоначально вопросы предлагаются в основном, более подготовленным воспитанницам, чтобы их знания были достаточными для проверки на следующем этапе в ходе индивидуального опроса знаний менее подготовленных воспитанниц по теоретическому материалу.
Вопросы для воспитанниц:
Чем различаются понятия ДРОБЬ и ДРОБНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ?
Каким замечательным свойством обладает всякая дробь?
Сформулируйте основное свойство дроби.
Что можно делать с дробями и дробными выражениями?
Что значит сократить дробь?
Зачем производится сокращение дробей?
Вспомните правила действий с десятичными дробями.
Сформулируйте признаки делимости натуральных чисел.
Работа по слайдам №2 - №4.
Сформулируйте правило умножения десятичной дроби на 100, на 0,001.
Дайте определение степени числа.
Сформулируйте правило умножения на 11.
Работа по слайдам №5 - №8.
Сформулируйте правило нахождения дроби от числа и правило решения обратной задачи. Воспитанницы класса разбиваются на две группы для решения задач разного уровня сложности. Решение каждой группы представляется для обсуждения всем воспитанницам.
Вывод формулы сложного процента.
Пусть в начале I года (1 января – условно) в банк положили сумму в А рублей. Банк дает 100α процентов годовых. Тогда 31 декабря I года первоначальная сумма увеличится на Аα рублей и составит
А + Аα = А(1 + α) рублей.
Таким образом 1 января II года на счете будет А(1 + α) рублей, и в коце II года эта сумма увеличится на α процентов от нее и станет равной
А(1 + α)+ А(1 + α)•α = А(1 + α)•(1 + α) = А(1 + α) 2 .
1 января III года на счете будет А(1 + α) 2 рублей, и в коце III года эта сумма увеличится на α процентов от А(1 + α) 2 и станет равной
А(1 + α) 2 + А(1 + α) 2 •α = А(1 + α) 2 •(1 + α) = А(1 + α) 3 .
Теперо хорошо видна закономерность, что если вклад пролежит в банке n лет , то сумма от первоначальной в А рублей составит А(1 + α) n рублей .
Работа по слайду №9.
Что значит сократить дробь?
Зачем производится сокращение дробей?
Воспитанницы последовательно (парами, помогая в случае затруднения) дают ответы сокращенных дробей.
3. Этап обобщения и систематизации знаний и способов
Работа по слайду №10 - №13
Воспитанницы сами объясняют согласно записи на доске правила упрощения сложнных дробных выражений.
4. Этап первичного закрепления знаний
Первичная проверка усвоения нового материала - решение задания на сокращение дробей (упрощение дробных выражентй, в том числе, содержащих буквенные выражения, слайд №15.).
5. Физкультминутка
Расслабление и отдых глаз и рук воспитанниц. Используется видеоролик. Слайд № 16.
6. Этап применения знаний и умений в новых условиях
Работа по слайду №17.
Работа в группах (по четыре человека). Каждая воспотанница сначала выполняет по одному независимому действию, затем все оставшиеся действия выполняются совместно.
Индивидуально для более подготовленных воспитанниц можно предложить объединить действия
7. Этап контроля и самопроверки знаний
Работа по слайду №18.
Самостостоятельная работа (для оценки берутся работы выборочно) с последующей взаимопроверкой по раздаточному материалу.
8. Этап информации воспитанниц о домашнем задании
Рассмотреть пункт 19, № 716(а, д, е, ж), 713, 717, 1562.
Индивидуальное задание: Найти значение выражения:
9. Рефлексия
Воспитанницы подводят итог урока, слушают комментарии преподавателей, анализируют и оценивают свою работу на уроке.
По окончании урока преподаватель благодарит воспитанниц за активное участие в работе, отмечает работу отдельных воспитанниц на уроке, называет полученные ими отметки.
Читайте также: