Диофантовы уравнения цепные дроби теорема ферма о сумме квадратов сообщение

Обновлено: 05.05.2024

Обычно, произвольное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах, т.е. найти все его решения, являющиеся целыми. Имя Диофанта - выдающегося Александрийского математика - появляется здесь не случайно. Диофант интересовался решением уравнений в целых числах еще в третьем веке нашей эры и, надо сказать, делал это весьма успешно.

Отступление про Диофанта и его исторический след.

Третий и последний период античного общества - период господства Рима. Рим завоевал Сиракузы в 212 году, Карфаген - в 146 году, Грецию - в 146, Месопотамию - в 46, Египет - в 30 году до нашей эры. Огромные территории оказались на положении колоний, но римляне не трогали их культуры и экономического устройства пока те исправно платили налоги и поборы. Установленный римлянами на столетия мир, в отличие от всех последующих великих миров и рейхов, принес всей завоеванной территории самый длинный период безвоенного существования, торговли и культурного обмена.

Александрия оказалась центром античной математики. Велись оригинальные исследования, хотя компилирование, пересказ и комментирование становились и стали основным видом научной деятельности. Александрийские ученые, если угодно, приводили науку в порядок, собирая разрозненные результаты в единое целое, и многие труды античных математиков и астрономов дошли до нас только благодаря их деятельности. Греческая наука с ее неуклюжим геометрическим способом выражения при систематическом отказе от алгебраических обозначений угасала, алгебру и вычисления (прикладную математику) александрийцы почерпнули с востока, из Вавилона, из Египта.

Основной труд Диофанта (ок. 250 г.) - "Арифметика". Уцелели только шесть книг оригинала, общее их число - предмет догадок. Мы не знаем, кем был Диофант, - возможно, что он был эллинизированный вавилонянин. Его книга - один из наиболее увлекательных трактатов, сохранившихся от греко-римской древности. В ней впервые встречается систематическое использование алгебраических символов, есть особые знаки для обозначения неизвестного, минуса, обратной величины, возведения в степень. Папирус N 620 Мичиганского университета, купленный в 1921 году, принадлежит эпохе Диофанта и наглядно это подтверждает. Среди уравнений, решаемых Диофантом, мы обнаруживаем такие, как x 2 - 26 y 2 = 1 и x 2 - 30 y 2 = 1, теперь известные нам как частные случаи "уравнения Пелля", причем Диофант интересуется их решениями именно в целых числах.

Книга Диофанта неожиданно оказала еще и огромное косвенное влияние на развитие математической науки последних трех столетий. Дело в том, что юрист из Тулузы Пьер Ферма (1601 - 1665), изучая "Арифметику" Диофанта, сделал на полях этой книги знаменитую пометку: "Я нашел воистину удивительное доказательство того, что уравнение x n + y n = z n при n > 2, не имеет решений в целых числах, однако поля этой книги слишком малы, чтобы здесь его уместить". Это одно из самых бесполезных математических утверждений получило название "Великой теоремы Ферма" и, почему-то, вызвало настоящий ажиотаж среди математиков и любителей (особенно после назначения в 1908 году за его доказательство премии в 100 000 немецких марок). Попытки добить эту бесполезную теорему породили целые разделы современной алгебры, алгебраической теории чисел, теории функций комплексного переменного и алгебраической геометрии, практическая польза от которых уже не подлежит никакому сомнению. Сама теорема, кажется, благополучно доказана в 1995 году; Пьер Ферма, конечно, погорячился на полях "Арифметики", ибо он физически не мог придумать подобного доказательства, требующего колоссальной совокупности математических знаний. Элементарного доказательства великой теоремы Ферма пока никто из жителей нашей планеты найти не смог, хотя над его поиском бились лучшие умы последних трех столетий. Однако, до сих пор тысячи психически нездоровых любителей-"ферматистов" в жажде славы и денег бомбят своими письмами академические институты и университеты и почти ежегодно один из сотрудников кафедры алгебры и дискретной математики Уральского госуниверситета, где я работаю, вынужден вести с таким психом дипломатическую переписку на заранее заготовленном бланке:

"Уважаемый. В Вашем доказательстве на странице №. в строке №. содержится ошибка. ".

Пусть требуется решить линейное диофантово уравнение:

где a , b , c О Z ; a и b - не нули.

Попробуем порассуждать, глядя на это уравнение.

Пусть ( a , b ) = d . Тогда a = a ₁ d ; b = b ₁ d и уравнение выглядит так:

a ₁ d· x + b ₁ d· y = c , т.е. d· ( a ₁ x + b ₁ y ) = c .

Теперь и ежику ясно, что у такого уравнения имеется решение (пара целых чисел x и y ) только тогда, когда d | c . Поскольку очень хочется решать это уравнение дальше, то пусть d | c . Поделим обе части уравнения на d , успокоимся, и всюду далее будем считать, что ( a , b ) = 1. Так можно.

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. Пусть c = 0, уравнение имеет вид ax + by = 0 - " однородное линейное диофантово уравнение". Немножко потрудившись, находим, что

x = -

b a

y .

Так как x должен быть целым числом, то y = at , где t - произвольное целое число (параметр). Значит x = - bt и решениями однородного диофантова уравнения ax + by = 0 являются все пары вида bt , at >, где t = 0; ±1; ±2;. Множество всех таких пар называется общим решением линейного однородного диофантова уравнения, любая же конкретная пара из этого множества называется частным решением.

Случай 2. Пусть теперь c № 0. Этот случай закрывается следующей теоремой.

Теорема. Пусть ( a , b ) = 1, < x ₀ , y ₀ > - частное решение диофантова уравнения ax + by = c . Тогда его общее решение задается формулами:

м
н
о

x = x ₀ - bt
y = y ₀ + at .

Таким образом, и в теории линейных диофантовых уравнений общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого (любого) частного решения неоднородного уравнения. Вот оно - проявление единства линейного мира! (Однажды, перед экзаменом по дифференциальным уравнениям, мне снился кошмар, будто все линейные пространства решений сговорились между собой и требовали от меня прибавить к ним частное решение, так как они не хотели содержать нулевой вектор, а хотели быть линейными многообразиями. Я отказался, а наутро, на экзамене, мне досталась однородная система!)

Доказательство. То, что правые части указанных в формулировке теоремы равенств действительно являются решениями, проверяется их непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Покажем, что любое решение уравнения ax + by = c имеет именно такой вид, какой указан в формулировке теоремы. Пусть < x * , y *> - какое-нибудь решение уравнения ax + by = c . Тогда ax * + by * = c , но ведь и ax ₀ + by ₀ = c . Следуя многолетней традиции доказательства подобных теорем, вычтем из первого равенства второе и получим:

a ( x *- x ₀ ) + b ( y *- y ₀ ) = 0

- однородное уравнение. Далее, глядя на случай 1, рассмотрение которого завершилось несколькими строками выше, пишем сразу общее решение: x *- x ₀ = - bt , y *- y ₀ = at , откуда моментально, используя навыки третьего класса средней школы, получаем:

м
н
о

x * = x _0- bt ,
y * = y ₀ + at.

"Все это, конечно, интересно", - скажет читатель, - "Но как же искать то самое частное решение < x ₀ , y ₀ >, ради которого и затеяна вся возня этого пункта и которое, как теперь выясняется, нам так нужно?". Ответ до глупости прост. Мы договорились, что ( a , b ) = 1. Это означает, что найдутся такие u и v из Z , что au + bv = 1 (если вы это забыли, вернитесь в пункт 4), причем эти u и v мы легко умеем находить с помощью алгоритма Евклида. Умножим теперь равенство au + bv = 1 на c и получим: a ( uc ) + b ( vc ) = c , т.е. x ₀ = uc , y ₀ = vc . Вот и все!

Пример. Вы - хроноп, придуманный Хулио Кортасаром в книжке "Из жизни хронопов и фамов". Вам нужно расплатиться в магазине за синюю пожарную кишку, ибо красная в хозяйстве уже давно есть. У вас в кармане монеты достоинством только в 7 и 12 копеек, а вам надо уплатить 43 копейки. Как это сделать? Решаем уравнение:

7 x + 12 y = 43

Включаем алгоритм Евклида:

12 = 7· 1 + 5
7 = 5· 1 + 2
5 = 2· 2 + 1
2 = 1· 2

Значит, наибольший общий делитель чисел 7 и 12 равен 1 , а его линейное выражение таково:

1 = 5 - 2· 2 = 5 - (7 - 5) · 2 = (12 - 7) - (7 - (12 - 7) · 2) = 12· 3 + 7· (- 5),

т.е. u = - 5, v = 3. Частное решение:

x ₀ = uc = (- 5) · 43 = - 215
y ₀ = vc = 3 · 43 = 129.

Итак, вы должны отобрать у кассира 215 семикопеечных монет и дать ему 129 двенадцатикопеечных. Однако процедуру можно упростить, если записать общее решение неоднородного диофантова уравнения:

x = -215 - 12 t
y = 129 + 7 t

и, легко видеть, что при t = - 18, получаются вполне разумные x = 1, y = 3, поэтому дубасить кассира необязательно.

1 . Решите диофантовы уравнения:

а) 2 x + 7 y = 20;

б) 6 x - 27 y = 21;

в) 11 x + 99 y = 41.

2 . Для каждого целого z решите в целых числах уравнение 2 x + 3 y = 5 z .

3 . Решите уравнение 3 sin 7 x + cos 20 x = 4, а потом предложите решить его знакомому школьнику. Кто быстрее?

4 . Сколькими различными способами можно расплатиться за вкуснейшую девяностосемикопеечную жевательную резинку лишь пятаками да копейками?

В работе рассматриваются неопределенные уравнения первой степени,второго порядка,третьей степени,методы решения диофантовых уравнений,теория чисел по диофанту,связь неопределенных уравнений с теоремой Пифагора .Великая теорема Ферма.

Вложение	Размер
Неопределенные уравнения	669.5 КБ

Предварительный просмотр:

Глава I Диофант и диофантовы уравнения

1.2 Диофант и способы его решений неопределенных уравнений 14

1.3 Теория чисел по Диофанту 18

1.4 Неопределенные уравнения первой степени 23

1.5 Неопределенные уравнения второго порядка 34

1.6 Неопределенные уравнения третьей степени 41

Глава II Методы решений диофантовых уравнений

2.4 Алгоритм Евклида 57

2.5 Цепные дроби 61

2.6 Связь диофантовых уравнений с теоремой Пифагора 66

2.7 Великая теорема Ферма 68

Диофант был одним из самых своеобразных математиков, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в III веке н.э.

В одном из древних рукописных сборников задач в стихах¹ жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле. [6; 374]

«Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой он встретил с пушком на щеках. Только минута седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Считают, что великий математик жил около 250 года.

В сохранившихся книгах Диофанта содержатся 189 задач с решениями. В первой книге изложены задачи, приводящие к определенным уравнениям первой и второй степени. Остальные же 5 книг содержат в основном неопределенные уравнения. В этих книгах еще нет систематической теории неопределенных уравнений, методы решения меняются от случая к случаю. Диофант довольствуется каким-нибудь одним решением, целым или дробным, лишь бы оно было положительным. Тем не менее, решения составляют основной вклад Диофанта в математику.

В работе рассматривается вопрос о видах диофантовых уравнений и способах их решений.

Основная цель - изучить диофантовы уравнения и методы их решения.

Цель исследования определяет следующие задачи:

1)Изучить исторический аспект.

2)Выделить виды диофантовых уравнений.

3)Рассмотреть методы решения неопределенных уравнений.

4)Выявить специфические особенности решения задач с помощью диофантовых уравнений.

5)Выявить связь неопределенных уравнений с теоремой Пифагора.

Решение задач с помощью диофантовых уравнений имеют специфические особенности. Во-первых, они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целыми коэффициентами. Как правило, эти системы неопределенные, то есть число уравнений в них меньше числа неизвестных.

Во-вторых, решения требуется найти только целые, часто натуральные. Для выделения таких решений из всего бесконечного их множества приходится пользоваться свойствами целых чисел, а это уже относится к области арифметики.

Тема актуальна и значима в школьном курсе, так как расширяет представления об уравнениях с несколькими переменными, развивает познавательную активность, интерес к математике.

Поскольку тема интересна, требует сообразительности, напряженной работы ума, исследовательского подхода к рассматриваемой проблеме, поэтому очень часто задачи встречаются в материалах математических олимпиад различных уровней.

ГЛАВА I ДИОФАНТ И ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Диофант открыл новую главу в математике, и невозможно выявить, какие невидимые источники питали его творчество.

Диофант выделяет среди чисел квадраты, кубы, биквадраты, квадратокубы, наконец, кубокубы. Наименование степеней основано на сложении показателей степеней, то есть квадратокуб - это квадрат, умноженный на куб. Диофант указывал, что решение большого числа арифметических задач приводит к операциям над числами различного вида, то есть к оперированию с различными степенями неизвестного. Он ввел символы для шести первых положительных и шести первых отрицательных степеней неизвестных.

Неизвестное Х определяется как неопределенное кратное единицы, однако на деле это означает, что его значение может быть рациональным; оно просто называется числом. Числа, не являющиеся коэффициентами при неизвестных, называются единицами и обозначаются символом М. Появился знак вычитания, в то время как сложение чисел обозначается просто написанием их друг за другом.

Число неизвестных могло достигать шести, но Диофант имел обозначение только для одного. Когда их было несколько, он говорил о первом, о втором, самом большом, самом маленьком и т.д. неизвестном или выражал неизвестные через одно из них. В этом отношении его текст бывает иногда весьма темным.

Получаем ху = 100 - d² = 96, откуда d = 2.

Первое число равно 10 + 2 = 12, второе 10 – 2 = 8.

Таким образом, условие разрешимости выражается соотношением

(( ) 2 – ху) 2 = полный квадрат. (1.1.1)

У Диофанта оно имеет целью получение лишь рациональных положительных решений.

Действительно, если мы положим х + у = а и ху = b, то получим значения , которые будут рациональными, если ( ) 2 – b = полный квадрат, что непосредственно дает (1.1.1)

Наконец, если уравнение второй степени имеет два допустимых корня, Диофант либо упоминал лишь об одном из них, либо, если он находил эти два решения с помощью различных процедур, то не пытался объединить их общим представлением.

Можно сказать, что, изучив сто решений Диофанта, невозможно предвидеть сто первое; и действительно, каждая из 189 задач решалась особым способом благодаря разумному выбору вспомогательного неизвестного и блестящим вычислительным приемам, учитывающим конкретные свойства чисел, выбранных в качестве числовых значений. Самые трудные дроби не пугали Диофанта – вообще он любил вычисления.

В общем случае при решении систем неопределенных уравнений он уменьшал число неизвестных, подставляя вместо них произвольные рациональные значения или выбирая вспомогательные неизвестные. Так, некоторые задачи с неопределенными уравнениями изменяли характер в ходе решения, поскольку он доопределял одну или несколько неизвестных произвольным образом, что сводило их к задачам с определенными уравнениями.

Приведем пример неопределенной задачи Диофанта [4; с.111].

Условия задачи можно перевести так:

Диофант полагал X + Y + Z = x, откуда (X + Y + Z)² = x².

Затем он сделал следующие подстановки:

X = 2x², Y = 5x², Z = 10x²,

которые обращали все три уравнения в тождества α² = x², β² = 4x²,γ² = 9x².

Затем он подставлял эти значения в соотношение X + Y + Z = x и получал 2х² + 5х² + 10х² = х или 17х² = х, откуда х = , х² =

Решение Диофанта таково: Х = Y = , Z = .

Он редко приводил полное семейство решений.

Речь идет о тождествах, которые можно квалифицировать как алгебраические, таких, как

[( )] 2 + mn = [( )] 2 , или (m 2 -n 2 ) 2 + (2mn) 2 = (m 2 +n 2 ) 2 ;

В действительности он использовал здесь тождество

a = 2, b = 1, c = 2, d = 3,

5·13 = 65 = 4² + 7² = 8² + 1².

Затем отсюда с помощью пифагоровых троек он выводит при m = 7, n = 4 и m = 8, n = 1, что

Числа, выбранные для этого примера, позволяют предположить, что Диофант знал, что всякое простое число вида 4n + 1 является суммой двух квадратов.

Судя по выбираемым им числовым значениям, Диофант, вероятно, был знаком со многими свойствами чисел, например с тем фактом, что число вида 4n + 3 не является суммой двух квадратов, число вида 8n + 7 не является суммой трех квадратов и т.д., но эти свойства нигде не были им высказаны явно(V; 9,11,14).

Многие из них были сформулированы, а затем доказаны Ферма и его исследователями в ХVIII веке и легли в основу современной теории чисел.

В греческой математике этот труд представлял собой новое по своей сути слово, как в смысле содержания, так и методов, которые означали разрыв с традиционными геометрическими методами. Однако именно эти последние воспринимались впоследствии как основное греческое наследие, в то время как влияние Диофанта оказалось скрытым.

К классическим операциям в математике относят решение элементарных выражений с несколькими неизвестными. Называют их линейные диофантовые уравнения. Разработанная теория древнегреческим учёным позволяет вычислять равенства без использования сложных формул. Метод базируется на рассуждениях и чётком понимании числовой теории, связанной в логическую конструкцию. В школе о нём рассказывают в восьмом классе. Его широко применяют на практике.

Основные понятия

Диофантовыми уравнениями принято называть линейные выражения вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = c. В этих равенствах икс обозначает искомое неизвестное, а коэффициенты a и c являются целыми числами. Греческий учёный предложил несколько способов решения таких уравнений:

полный перебор;
разложение на множители;
выражение одной переменной через другую с выделением целой части при решении системы;
поиск частного решения;
алгоритм Евклида;
геометрический метод.

Методы решения диофантовых уравнений позволяют найти целые или рациональные решения для алгебраических равенств или их систем. Но при этом число переменных в выражении не должно превышать двух. Как правило, такие уравнения имеют несколько решений, поэтому их другое популярное название — неопределённые.

Чтобы воспользоваться способами, предложенными математиком при рассмотрении задач, нужно попробовать проанализировать исходные данные и свести их к линейному равенству или системе уравнений. При этом коэффициенты, как стоящие возле неизвестных, так и свободные, должны быть целыми. Ответом же должно получиться тоже целое число, обычно натуральное.

Методы решения

Для начала следует рассмотреть однородное линейное уравнение вида: ax + by = 0. Это простой многочлен первой степени. Для него характерно то, что если для коэффициентов можно подобрать один делитель, то обе части возможно сократить на его величину не нарушив принципы записи. Наиболее простым способом определить этот делитель является метод разработанный великим математиком своего времени Евклидом.

Решение диофантовых уравнений по алгоритму Евклида заключается в нахождении общего делителя натуральных чисел с использованием деления с остатком. Для этого нужно взять большее число и просто разделить его на наименьшее. Затем полученный остаток нужно снова разделить на меньшее из чисел. Это действие необходимо повторять до тех пор, пока результатом операции не станет единица, то есть выполнится деление без остатка. Последнее полученное число и будет являться наибольшим общим делителем (НОД).

Существует три теоремы, которые используются при решении уравнений первой степени:

В случае, когда НОД равняется единице, выражение будет обязательно иметь хотя бы одну пару целого решения.
Если коэффициенты выражения больше единицы, и при этом свободный член нельзя нацело разделить на них, то корни равенства не имеют целого значения.
Когда коэффициенты равняются единице, все решения, состоящие из целых чисел, находятся с помощью формул: x = x0c + bt и y = y0c — at, где: х0, y0 — целые ответы, t — множество чисел.

Например, пусть есть равенство вида 54x + 37y = 1. Используя то, что a = 54, а b =37, можно записать: 54 — 37 *1 = 17. Теперь можно выполнить следующие вычисления:

37 — 17 * 2 = 3;
71 — 3 * 5 = 2;
3 — 2 * 1 = 1.

Далее нужно выразить значения коэффициентов через остаток:

3 — (17 — 3 * 5) = 1;
1 = 17 — 3 * 4;
1 = 17 — (37- 17 * 2) * 4;
1 = 17 — 37 * 4+17 * 8;
1 = 17 * 9 — 37 * 4;
1 = (54 — 37 * 1) * 9 — 37 * 4;
1 = 54 * 9 — 37 * 9 — 37 * 4;
1 = 54 * 9 — 37 * 13;
1 = 54х + 37у.

Исходя из приведённого следует, что x0 равняется девяти, а игрек нулевой — минус тринадцать. Таким образом, рассматриваемое уравнение будет иметь вид:

Этим же способом можно и определить, что целых решений в выражении быть не может, как, например, для равенства 17x + 36y = 7. В этом случае НОД не делится на два, поэтому и целых решений нет.

Способ подбора и разложения

Метод подбора используется для нахождения корней простых уравнений. Пожалуй, это самый простой способ, но вместе с тем и требующий повышенного внимания и большого количества операций. Его суть заключается в полном переборе всех допустимых значений переменных, входящих в равенство. Например, эта задача которая будет интересна и школьникам, только знакомящимся с уравнениями.

Пусть имеется зоопарк, в котором находятся птицы и млекопитающие. Всего у животных двадцать лап. Определить, какое количество может быть птиц, а какое — млекопитающих. Для нахождения ответа методом перебора следует принять число одних животных, равное x (пусть это будут четырёхпалые), а других — y (птицы). Таким образом, получится уравнение: 2x + 4 y = 20. Для простоты выражение можно упростить, сократив на два: x + 2y = 10.

Полученное выражение нужно преобразовать, разделив неизвестные знаком равно: x = 10 — 2y. Зная, что ответом могут быть только целые числа, вместо y нужно пробовать подставлять возможные варианты: 1 — 8; 2 — 6; 3 — 4; 4 — 2; 5 — 0. Это и есть все возможные ответы на поставленную задачу.

Разложение выражения на множители можно выполнять различными способами. Вот основные из них:

вынесение общего множителя: если каждый член многочлена можно разделить на одно и то же число, то его можно вынести за скобку;
использование формулы сокращённого умножения: оно выполняется по формуле: an — bn = (a-b) * (an-1 + an-2 * b +… a2bn-3 + abn-2 + bn-1);
применение свойства полного квадрата: это самый эффективный способ, заключающийся в вынесении полного квадрата за скобку с последующим использованием формул разности квадратов;
группировкой — в его основе лежит вынесение общего множителя таким образом, чтобы появилась возможность перегруппировки выражения, после которой получится значение, присутствующее во всех членах равенства.

Например, пусть имеется нелинейное уравнение вида: 8x4 + 32x2 = 8. Все его члены можно перенести в одну сторону, а равенство приравнять к нулю, при этом сократив каждый член на восемь: x4 + 4x2 — 1 = 0. Для преобразования такого выражения удобнее всего применить метод квадратов. Таким образом, уравнение можно расписать следующим образом: x4 + 2 * 2 * x2 + 4 — 4 — 1 = (x2 + 2)2 — 5 = (x2 + 2 — √5) * (x2 + 2 +√5).

Геометрический подход

Этот метод удобно применять для системы уравнений. Его принцип построен на изображении графиков уравнений и определения их точки пересечения. При этом координаты этой точки и будут являться корнями рассматриваемой системы.

Из этого утверждения можно сделать следующие выводы:

если графики уравнений представляют пересекающиеся прямые, то решением будет только одно число;
когда графики уравнений не имеют общих точек, то решения у системы уравнений нет;
в случае, когда графики совпадают, система будет иметь бесконечное множество корней.

Применять этот метод можно для уравнений, порядок которых не превышает единицы. В равенствах высшего порядка построить график обычно сложно. Например, дана система:

Из первого и второго равенства можно выразить одно неизвестное через другое, используя несколько произвольных чисел. Затем, подставляя их вместо неизвестного, можно построить график. Как только две прямые будут построены, можно будет определить, что точка их пересечения имеет координаты -2; 5. Эти значения и будут искомыми корнями.

Занимательная задача

На самом деле примеры диофантовых уравнений можно встретить в повседневной жизни. Например, при покупке чего-либо в магазине. На эту тему математики смогли придумать интересные задачи, обычно предлагающиеся ученикам на дополнительных занятиях.

Вот одна из них, появившаяся из реальной истории. Однажды математик пришёл в магазин приобрести свитер. Его цена составляла 19 рублей. У учёного же были с собой только купюры номиналом три рубля, а у кассира — пятирублёвки. Задача состоит в том, чтобы выяснить, сможет ли состояться сделка. Иными словами, необходимо найти, сколько нужно математику дать купюр, и какое их количество он получит от кассира.

Рассуждать нужно следующим образом. В задачи есть два неизвестных: количество трёхрублёвых и пятирублёвых купюр. Поэтому можно составить уравнение: 3x — 5y = 19. По сути, уравнение с двумя неизвестными может иметь бесчисленное число решений, но не всегда из них может найтись хотя бы одно целое положительное.

Итак, зная, что неизвестные должны быть целыми положительными числами, нужно выразить неизвестное с меньшим коэффициентом через остальные члены. Получится равенство: 3 x = 19 + 5 y. Левую и правую часть можно разделить на три, а после выполнить простейшие преобразования: x = (19 + 5y) / 3 = 6 + y + (1 + 2y) / 3. Учитывая, что неизвестные и свободный член это целые числа, выражение (1 + 2y) / 3 можно заменить буквой r, также являющимся каким-то целым числом.

Тогда уравнение можно переписать как x = 6 + y + t. Отсюда t = (1 + 2y) / 3 или y = t + (t — 1) / 2. Снова можно сделать вывод, что (t — 1) / 2 — какое-то целое число. Если заменить его на t1, выражение примет вид: y = t + t1.

Подставив t = 2t1 + l в равенство можно получить, что x = 8 + 5t1, а y = 1 + 3t1. Таким образом, решением уравнения будут полученные равенства. Исходя из того, что результат должен быть положительным, равенства можно переписать в неравенства вида:8 + 5t1> 0, 1 + 3t1 > 0. Отсюда определить диапазон, ограничивающий t1. Беря во внимание только плюсовую часть диапазона, можно сделать заключение, что возможные варианты решения лежать в пределе от нуля до плюс бесконечности.

Подставляя по очереди числа, можно определить значения x и y. Искомый ряд будет выглядеть следующим образом: 1 = 8, 13, 18, 23, …, n; 1 = 1, 4, 7, 10,…, m. То есть математик, дав восемь купюр, получит одну на сдачу, а если он отдаст 13 купюр, то продавец должен будет ему выдать четыре пятирублёвки. Этот ряд можно продолжать до бесконечности.

Использование онлайн-калькулятора

Существуют сайты, рассчитывающие линейные уравнения в автоматическом режиме. Они называются математическими онлайн-калькуляторами. Пользователю, желающему воспользоваться их услугами, нужно иметь лишь подключение к интернету и любой веб-браузер.

Свои услуги сервисы предоставляют бесплатно. При этом часто на их страницах содержится краткий теоретический материал, посвящённый решению диофантовых уравнений. Кроме того, пользователю предоставляется возможность ознакомиться с решением типовых примеров.

Из нескольких десятков таких сайтов на русском языке можно отметить следующие:

HostCiti;
PocketTeacher;
Upbyte;
Planetcalc;
Math24.

Все приведённые сайты имеют интуитивно понятный интерфейс и бесплатны. После того как пользователь введёт в предложенную форму нужные уравнения и запустит расчётчик, онлайн-сервисы не только выдадут ответ, но и выведут на экран пошаговое решение с объяснениями. Таким образом, эти сервисы помогают не только быстро и верно найти решение, но и дают возможность пользователю понять принципы вычисления, проверить самостоятельно выполненный расчёт.

Статья посвящена одному из разделов теории чисел — диофантовым уравнениям — как средству реализации интеграционных связей математического образования.

Учитель готовится к хорошему уроку всю жизнь… и, чтобы дать ученикам искорку знаний, учителю надо впитать целое море света.

В. А. Сухомлинский.

Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся. Эта цель выходит на одно из ведущих мест при изучении математики на повышенном уровне. Поэтому в современных условиях значительно повышается необходимость создания оптимальной системы интегративного содержания образования и процесса обучения. Интеграция является сегодня одной из определяющих тенденций познавательного процесса. Одним из средств реализации интеграционных связей математического образования является использование историко-математических сведений в учебном процессе [4, 5]. В частности, решение старинных задач в формулировке первоисточников, изучение истории их решения, сравнение различных методов решения подобных задач позволяет достичь указанные цели.

Поскольку одним из основных отличий задачи С-6 от остальных задач ЕГЭ является ее явно выраженный нестандартный характер, а сведения, необходимые для решения этой задачи, могут относиться к самым различным разделам школьного курса, построение решения может потребовать нетривиальных идей и методов, постольку смыслом включения задачи С-6 в состав контрольно-измерительных материалов является именно диагностика уровня интеллектуального развития учащихся. Недаром данная проблематика берет свои истоки с самого зарождения математики.

Первый этап развития учения о неопределённых уравнениях второго и третьего порядков, начало которому положил Диофант, нашёл своё завершение в работах Леонарда Эйлера [1, c. 39–48].

В настоящее время задача решения неопределенных уравнений формулируется так: пусть дано многочленов от переменных, с коэффициентами из некоторого поля . Требуется найти множество всех рациональных решений системы

(1)

и определить его алгебраическую структуру. При этом решение называется рациональным, если все [2, c. 42].

Ограничимся рассмотрением только таких задач Диофанта, которые сводятся к одному уравнению с двумя неизвестными, т. е. к случаю :

(2)

Это уравнение определяет на плоскости алгебраическую кривую . Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой [1, c. 15].

Для диофантовых уравнений имеет место теорема, позволяющая установить наличие корней или же их отсутствие: Неопределенное уравнение второго порядка от двух переменных либо не имеет ни одного рационального решения, либо имеет их бесконечно много, причем в последнем случае все решения выражаются как рациональные функции параметра , , где и — рациональные функции [1, c. 23].

При исследовании линейных диофантовых уравнений необходимо ответить на следующие вопросы:

1) имеет ли уравнение целочисленные решения;

2) конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;

3) решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения;

4) решить уравнение на множестве целых положительных чисел;

5) решить уравнение на множестве рациональных чисел [3].

В настоящее время известны следующие способы решения линейных диофантовых уравнений, а именно:

- использование алгоритма Евклида;

- использование цепных дробей;

- способ перебора вариантов;

- использование сравнений [3].

Уравнение второй степени с двумя неизвестными , где , может:

1) не иметь решений в целых числах;

2) иметь конечное число решений в целых числах;

3) иметь бесконечное множество решений в целых числах [3, c. 134].

При этом в рациональных числах диофантовы уравнения второй степени либо не имеют решений, либо имеют их бесконечно много.

На данный момент известны следующие способы решения неопределенных уравнений второго порядка, а именно [3]:

Далее рассмотрим несколько примеров решения диофантовых уравнений, а именно: метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение и метод разложения на множители.

1. Метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение.

Пример 1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения

Решение.Выразим из уравнения переменную через : .

Так как и — натуральные числа, то , , , .

Показывает перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются , .

Ответ: [3, c. 13].

Пример 2. Решить в целых числах уравнение .

1) Правая часть уравнения делится на 3 при любом целом .

2) Исследуем, какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.

По теореме о делении с остатком целое число либо делится на 3, либо при делении на 3 в остатке дает 1 или 2.

Если , то левая часть уравнения на 3 не делится.

Если , то

следовательно, левая часть уравнения на 3 не делится.

Если , то

, следовательно, левая часть уравнения на 3 не делится.

Таким образом, ни при каких целых левая часть уравнения на 3 не делится, а правая часть — делится на 3 при любых значениях переменной . Следовательно, уравнение в целых числах решении не имеет.

Ответ: решений нет [3, c. 15].

Данный метод применяется в случаях, когда в уравнениях можно применить какой-либо из способов разложения на множители:

- Формулы сокращенного умножения;

- Вынесение общего множителя за скобку и т. д.

Итак, охарактеризуем метод разложения на множители на конкретных примерах.

Пример 1. Решить уравнение в целых числах .

Решение.Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители .

Выпишем все делители числа 91: , , , .

Проведем исследование: заметим, что для любых целых чисел и число , следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение равносильно совокупности систем уравнений:

Решив системы, получим:

1) первая система имеет решения , ;

2) вторая система решений в целых числах не имеет;

3) третья система имеет решения , ;

4) четвертая система решений в целых числах не имеет.

Пример 2. Найти все целочисленные решения уравнения .

Решение.Проведем цепочку равносильных преобразований:

ó ó ó ó .

Так как можно представить в виде двух целых чисел с учетом порядка двумя способами, т. е. , получаем две системы:

или .

Решением первой системы является пара , а второй — .

Ответ: , [3, c. 17–19].

Оказывается, что некоторые текстовые задачи практического содержания также можно свести к составлению неопределённых уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Покажем данный прием на конкретных примерах.

Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа . В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа ?

Пусть каждый из трех автобусов типа B сделает по m рейсов, а каждый из двух автобусов типа A — по m+1.

Так как в обоих случаях автобусы перевезут одно и то же количество детей, то получим уравнение: .

При k> 14 получаем: или .

Число k — 14 — один из восьми делителей числа . Перебирая их по очереди, мы получим все возможные решения (8 пар k и m): (14; 44), (16; 23), (17; 16), (20; 9), (21; 8), (21; 5), (35; 4), (56; 3).

Для каждой пары последовательно находим количества перевозимых детей, равные : 1980, 1104, 816, 540, 504, 420, 504.

Ответ: 1980 детей перевозятся тремя автобусами типа В (по 15 человек) или двумя автобусами типа А (по 22 человека) за 45 рейсов.

Задача 2. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же шарики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 шарика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее количество шариков может быть при таких условиях?

Решение.Пусть в каждой из коробок лежит 3 пакетика, по n шариков в каждом. Во втором случае коробок x + 2, пакетиков в коробке 2, а шариков в пакетике n+ 3. По условию задачи получаем уравнение: , откуда .

Заметим, что из следует, что , откуда .

Учитывая, что числа n и x натуральные, получаем, что — натуральный делитель числа 36.

Количество шариков при этом .

Решение находим, исследуя функцию . Данная функция монотонно убывает при и монотонно возрастает при . Следовательно, наибольшее значение функции достигается, если — наибольший или наименьший натуральный делитель числа 36.

Если , то , .

Ответ: 840 шариков [7, c. 27–28].

Таким образом, решение уравнений в целых и рациональных числах — один из самых красивых разделов математики, теоретические и практические сведения которого используются как в инженерии, биологии, так и повседневной жизни — последние две задачи тому подтверждение. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории. В настоящее время, в связи с современными требованиями к выпускнику школы, возникает особенная необходимость в изучении неопределенных уравнений. Считаем, что необходимо разрабатывать и составлять элективные и специальные курсы по обучению современных школьников и их учителей основным приемам решения данных уравнений и поиску способов нахождения этих решений, что, безусловно, служит предметом исследования, как математиков, так и методистов.

3. Гринько Е. П., Головач А. Г. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. — Брест, 2013 г.

4. Жмурова И. Ю., Бесперстова А. Ю. Использование историко-математических сведений в курсе теории чисел // Молодой ученый. — 2013. — № 10

6. Корянов А. Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания С6. — Брянск, 2010 г.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, автобус типа, решение, число, целое, левая часть уравнения, задача, метод разложения, математическое образование, полный перебор.

Определение 1. Непрерывной или цепной дробью называется выражение вида:

Числа a₁, a₂, a₃,… - целые и называются членами цепной дроби; a_i > 0,i=2,3,… Если число членов цепной дроби конечно и равно m, то цепная дробь называется конечно цепной дробью длины m, если число членов цепной дроби бесконечное, то дробь называется бесконечной цепной дробью. Цепную дробь обозначают в виде:

Любая конечная цепная дробь

есть рациональное число. Обратно, любое рациональное число изображается цепной дробью. Пусть a / b рациональное число, представимое в виде несократимой дроби. Применим, числам a , b алгоритм Евклида и получим систему равенств вида:

где r_m = НОД(a , b) = 1. Из этих равенств последовательно получим:

Теорема 1. Любое рациональное число a / b представляется в виде конечной цепной дроби, членами которой являются неполные частные, полученные в алгоритме Евклида, примененном к числам a , b .ÿ

Пример 1. Представить число a / b , a = 2346, b = 1456 в виде цепной дроби. Применяя вычисления примера 1 из параграфа 4, получаем:

Таким образом, НОД(a , b) = 2.

Определение 2. Несократимая рациональная дробь , равная конечной цепной дроби

записанной для конечной цепной дроби [a₁, a₂, a₃,…, a_m], k =1,2,…,m , или для бесконечной цепной дроби [a₁, a₂, a₃,…, a_m, …], k =1,2,…,m ,…называется k-й подходящей добью к данной цепной дроби.

Определение 3. Бесконечная цепная дробь [a₁, a₂, a₃,…, a_m, …], называется сходящейся, если существует предел последовательности ее подходящих дробей r_k> и этот предел называется значением бесконечно цепной дроби. Также говорят, что действительное число a представляется данной цепной дробью.

Теорема 2. Любая бесконечная цепная дробь сходится. Обратно любое действительное число a представляется в виде конечной или бесконечной цепной дроби.

Члены цепной дроби последовательно вычисляются по следующему алгоритму:

Если a₁ = a, то процесс закончен, если .

Если a₂ = a₁, то процесс закончен, если .

Таким образом, на k-м мы имеем

Если a_k_-1 = a _k_-1, то процесс закончен, если .

Пример 2. Представить число в виде цепной дроби.

Дальше a _i и a_i начинают повторяться. Поэтому имеем

Бесконечная цепная дробь, у которой последовательность неполных частных, начиная с некоторого места начинает повторяться называется периодической. В примере 2 была получена периодическая цепная дробь.

Найдем формулу для числителей и знаменателей подходящих дробей:

Теорема 3. Числители и знаменатели k -подходящей дроби (k >1) вычисляются по формулам:

где полагается

Доказательство. Формулы (1) и (2) справедливы при k =1, 2. Допустим, что формулы (1) справедливы для k и докажем их для k +1. По индуктивному предположению

Так как k +1-я подходящая дробь получается из k -й подходящей дроби, заменой числа a_k на , то получаем:

Отсюда следует утверждение теоремы.

Пример 3. Вычислить все числители и знаменатели цепной дроби, полученной в примере 1. . Вычисления проводим по формулам (1), (2), записывая результаты вычислений в таблицу.

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a_k	-	1	1	1	1	1	2	1	19	2
P_k	1	1	2	3	5	8	21	29	572	1173
Q_k	0	1	1	2	3	5	13	18	355	728

Заметим, что последняя подходящая дробь совпадает с данным рациональным числом.

Подходящие дроби обладают следующими свойствами, которые легко доказываются методом математической индукции по формулам теоремы 3.

3 0 Последовательность знаменателей строго возрастает с номера k =2: .

4 0 Числители и знаменатели подходящих дробей взаимно простые числа.

5 0 Каждая подходящая дробь с четным номером больше любой подходящей дроби с нечетным номером.

6 0 Последовательность подходящих дробей с четными номерами убывает.

7 0 Последовательность подходящих дробей с нечетными номерами возрастает.

8 0 Если несократимая рациональная дробь a/b представляется цепной дробью длины m, то .

Определение 4. Линейным диофантовым или неопределенным уравнением называется уравнение вида:

где a₁, a₂, a₃,…, a_n, b – известные целые числа, и решение уравнения ищется в целых числах.

Теорема 4. Линейное диофантово уравнение (3) разрешимо тогда и только тогда, когда оно число d = НОД(a₁, a₂, a₃,…, a_n) делит число b .

Доказательство. Необходимость следует из определения НОД и свойств делимости целых чисел. Достаточность следует из теоремы 2 параграфа 4.ÿ

Теорема 5. Пусть a, b, c Î Z, a ¹ 0 или b ¹ 0, d = НОД(a ,b). Если (x₀, y₀) решение уравнения

ax + b y = c, (4)

Тогда все решения уравнения (2.3) находятся по формулам:

где t - произвольное целое число. Решение (x₀, y₀) можно найти по формулам

где m – длина цепной дроби при разложении числа a / b в цепную дробь, P_m _-₁, Q_m _-₁ – числители и знаменатели соответствующих дробей.

Доказательство. Пусть (x¢, y¢) произвольное решение уравнения (2.4). Тогда справедливо равенство a x¢ + b y¢ = c. Так как решение уравнения (2.4), то справедливо равенство a x₀ + b y₀ = c. Почленно, вычитая из первого равенства второе, получим: a(x¢ - x₀) + b(y¢ - y₀ ) = c. Разделим обе части этого равенства на d получим

Так как то отсюда получим . Поэтому , где t Î Z.

Отсюда , и . Таким образом, решение уравнения (4) находится по формуле (5).

Обратно, легко проверить, что любые числа (x, y), найденные по формуле (5) являются решения уравнения (4).

Частное решение (x₀, y₀) уравнения (4) находится, методом разложения числа a / b в цепную дробь. Вычисляются все подходящие дроби и применяется свойство 8 0 .

Примеры 4. Решить ДУ 2346x - 1456y = 22.

Так как НОД(2346, 1456) = 2 и 2|22, то данное уравнение разрешимо и равносильно уравнению 1173x - 728y = 11. Разлагаем дробь 1173/728 в цепную дробь и находим длину дроби m = 9, и все ее подходящие дроби (см. пример 4). Находим P₈ = 572, Q₈ = 355,

Тогда общее решение уравнения имеет вид:

Уравнение (3) в частных случаях легко решить методом замены переменных.

Пример 5. Метод замены переменных решить уравнение 34x - 13y = 53.

Так как 34 = 13×2 + 8, то уравнение представим в виде

(13×2 + 8)x - 13y = 53, 8x + 13(2x -y) = 53.

Отсюда, полагая z =2x -y, получим уравнение 8x + 13z = 53. Продолжая такие замены переменных, последовательно находим

5 = 3×1 + 2, 3w + (3×1 + 2)u = 53, 3(w + u)+ 2u = 53, v = w + u, 3v + 2u = 53;

3 = 2×1 + 1, (2×1 + 1)v + 2u = 53, v + 2(v + u)= 53, t = v + u, v + 2t = 53.

Из полученных равенств последовательно находим

v = 53 - 2t,

u = t - v = t - (53 - 2t) = 3t -53,

w = v - u = 53 - 2t - (3t -53) = 106 - 5t,

z = u - w = 3t -53- (106 - 5t) = 8t -159,

x = w - z = 106 - 5t - (8t -159) = 265 - 13t,

y =2x -z = 2(265 - 13t) - (8t -159) = 689 - 34t.

Алгоритм решения ЛДУ ax + by = c , b ¹ 0.

Ввод: коэффициенты a , b уравнения и свободный член c .

m:=0; r:=b;a1:= a; ;b1:= b;

while r ¹0 do m:= m + 1;(q_m, r): = div(a1, b1);a1:=b1;b1:=r; end while;

(c1, r): = div(c, b1);

if r=0 then

a1:= a /с; b1:= b;

if m>1 then for i:=2…m; P_i: = P_i-₁q_i + P_i-₂; Q_i: = Q_i-₁q_i + Q_i-₂; end for; end if;

x(t) : = (-1) m c1Q_m_-1 - b₁t ; y(t) : = (-1) m+ 1 c1P_m_-1 + a₁t ;

Вывод: s и x(t), y(t).

Замечание. Можно вычислять знаменатели цепной дроби, числители P_m_-1 и знаменатели Q_m_-1 в одном цикле, не используя массивы.

Определение 5. Системой m линейных диофантовых уравнений с n неизвестными x₁, x₂,…, x_n (СЛДУ) называется система уравнений вида:

где a₁₁ ,a₁₂ . a_mn - фиксированные целые числа (рациональные или целые алгебраические) , называемые коэффициентами при неизвестных, b₁ ,b₂ . b_m - фиксированные целые числа, называемые свободными членами.

Если все свободные члены в системе линейных уравнений равны нулю, то система линейных уравнений называется однородной.

Определение 6. Решением системы диофантовых линейных уравнений (7) называется такой упорядоченный набор n целых чисел чисел , при подстановке которых в каждое из уравнений системы (2.1) вместо соответственно неизвестных x_{1 ,} x_{2 .} x_n каждое из уравнений системы превращается в истинное числовое равенство.

Теорема 6. Пусть A - целая матрица размерности m´n, 1£ k £.minm, n>. При целочисленных элементарных преобразованиях матрицы A НОД миноров k -го порядка матрицы не изменяется.

Определение 7. Целая матрица D = (d_ij) размерности m´n называется матрицей канонического вида, если она обладает свойствами:

1) все элементы d_ij = 0 для любых i = 1, 2,…,m; j = 1, 2,…,n; i ¹ j;

2) все элементы d_ij ³ 0 для любых i = 1, 2,…,k, где k = min m. n>;

3) d_ii | d_i+_1,i+1 для любых i = 1, 2,…,k-1, где k = min m, n>.

Элементы d_ij, i = 1, 2,…,k, где k = min m, n>, называем диагональными элементами канонической матрицы. Обозначим число ненулевых диагональных элементов канонической матрицы через r. Очевидно, что r = rang D.

Теорема 7. Любую целую матрицу конечным числом элементарных преобразований строк и столбцов можно привести к матрице канонического вида, при этом r = rang A .

Диагональные элементы d₁₁,…, d_rr, r = rang A, матрицы канонического вида, эквивалентной матрице A , называются элементарными делителями матрицы A.

Теорема 8. Система ЛДУ (2.1) разрешима тогда и только тогда, когда элементарные делители матрицы A и расширенной матрицы СЛДУ соответственно равны.

Пример 6. Выяснить разрешимость данной СЛДУ

Решение. Приводим матрицу и расширенную матрицу СЛДУ к каноническому виду.

Так как элементарные делители матриц равны, то данная СЛДУ разрешима.

Алгоритм решения СЛДУ Пусть дана СЛДУ (2.1). Запишем ее в матричном виде:

AX = B, (9)

Расширенную матрицу СЛДУ (8) расширим вторично, приписав к ней снизу единичную матрицу размерности n´n и нулевую матрицу размерности n´1. Получим дважды расширенную матрицу СЛДУ:

Преобразуем матрицу A к каноническому виду D, выполняя элементарные преобразования над первыми m строками и первыми столбцами n матрицы . Тогда матрица B перейдет в матрицу F = U₁B, где U₁ - произведение элементарных матриц, соответствующих элементарным преобразованиям строк. Единичная матрица E ¢ перейдет в матрицу U₂, где U₂ - произведение элементарных матриц, соответствующих элементарным преобразованиям столбцов. Получим матрицу:

Полученной матрице соответствует матричное уравнение:

DY = F, (10)

где Y = U₂ -1 X, F = U₁B , которому соответствует СЛДУ

Если хотя бы один из элементов f_r _{+ 1} ,…, f_m не равен нулю, или хотя бы один из элементов f_k не делится на число d_kk (k =1, 2, …, r), то система (11), а поэтому и система (8) не имеют решений. Если же

то разделим 1-е, 2-е, …, r-е уравнения системы (11) соответственно на числа d₁₁, d₂₂, …, d_rr находим y₁, y₂, …, y_r. Значения неизвестных y_r₊₁,…, y_n можно брать произвольным образом: y_r₊₁= t₁, …, y_n = t_n_-_r . Следовательно, находим:

Так как Y = U₂ -1 X, то отсюда находим

X = U₂Y, (12)

и оно зависит от n - r свободных переменных t₁, …, t_n_-_r Î Z.

Пример 7. Решить диофантово уравнение:

Решение. Составим дважды расширенную матрицу и приведем ее к каноническому виду:

t₁, t₂, t₃ - свободные неизвестные. Тогда

, где t₁, t₂, t₃ Î Z.

Пример 8. Решить СЛДУ:

где a - произвольный целый параметр.

Решение. Составим дважды расширенную матрицу и приведем ее к каноническому виду:

где. Следовательно, x = a - 2t, y = -3a + 7t, z = 4a - 9t, где t Î Z.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Читайте также: