Сочинение по лобачевский по геометрии
Обновлено: 04.07.2024
Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.
Участь эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям и посвящен этот проект.
История геометрии.
Считается, что геометрия началась в так называемой Ионийской школе. Её основателем считается Фалес Милетский (640-540 (546?) гг. до н. э.). Он считался одним из семи мудрецов Греции, первым математиком, астрономом и философом. Он доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что вертикальные углы равны, что диаметр делит окружность пополам и ещё множество теорем. Предсказание затмения солнца в 585 году также приписывается ему.
Огромный импульс развития этой школе дал Пифагор (569-470 гг. до н. э.). В основном о его личных качествах пишут то же самое, что и о Фалесе. Но к этому ещё можно добавить титул чемпиона по боксу на олимпийских играх – звание, среди математиков редкое.
1. Разделить угол на три части (задача о трисекции угла).
2. Построить квадрат, равный по площади данному кругу (задача о квадратуре круга).
3. Построить куб, равный по объему данному (задача об удвоении куба).
Нерешаемость этих задач была доказана только в 19 веке, но перед этим они успели вызвать настоящую бурю: например, задача №2 вызвала появление интегрального исчисления.
Метод доказательства от противного – тоже его заслуга. Он же сформулировал пять постулатов геометрии:
1. Через два точки можно провести одну и только одну прямую.
2. Прямая продолжается бесконечно.
3. Из любого центра можно провести окружность любым радиусом.
4. Все прямые углы равны между собой.
Пятый постулат является своеобразным философским камнем геометрии и будет подробнее описан в шестой части.
Биография Николая Ивановича
Лобачевского.
1729 – 1856
Лобачевский пользовался уважением и любовью студентов и коллег. Когда упразднили должность директора университета, то его кандидатуру на пост главного ректора утвердили без возражений. Не высказался даже его главный соперник – Симонов.
в 1842 году, во время большого пожара в Казани он героически спас древние книги, до этого, во время эпидемии холеры, превратил университет в мини-госпиталь – из-за чего умерло гораздо меньше студентов, чем в других ВУЗ’ах.
Когда негде было разместить второй класс Казанской гимназии, он предложил свой дом, обещав потом построить для гимназии дворец. Понятно, что в 1845 году он получил должность управляющего Казанским учебным округом, а после стал член-кореспондентом Гуттенгенского университета.
Но жизнь нанесла ещё один удар: он начал слепнуть. Он начал играть со своей женой в страшную игру, пытаясь убедить её, что ещё хорошо видит. Она закатывала истерики, уговаривала лечиться, но все тщетно – Лобачевский ослеп. Но, тем не менее, он продолжал преподавать и пользоваться безграничной любовью и уважением учеников. Знаменателен случай, когда молодого студента, засмеявшегося над споткнувшимся Лобачевским, однокурсники заставили уйти из университета. Лобачевский об этом даже не узнал.
Ему поставлен памятник – и поэт В. Фирсов написал о нем:
Высокий лоб, нахмуренные брови,
В холодной бронзе – отраженный луг…
Но даже неподвижный и суровый,
Он, как живой, - спокоен и могуч.
Когда – то здесь, на площади широкой,
Задумчивый, неторопливый, строгий,
Он шел на лекции – великий и живой.
Пусть новых линий не начертят руки,
Он здесь стоит, взнесенный высоко,
Как утверждение бессмертья своего,
Как вечный символ торжества науки.
Другие авторы.
Тога Гаусс написал Фаркашу Больяи то, что тот сам говорил сыну: время для этих выкладок ещё не пришло. Януш же посчитал, что Гаусс решил присвоить его труд. Но Гаусс не публиковал его – ведь он был королем математики того периода, и боялся, что его сочтут свихнувшимся.
Гаусс в то время хотел уехать – куда-нибудь далеко, где никто не помешает. Он думал о Петербурге или Казани. Но из-за бюрократии российских чиновников поездка расстроилась.
Через шесть лет Гаусс все ещё думает о Лобачевском. Но он понимает, что слишком стар, чтобы защищать новые идеи. А Лобачевский погибал без поддержки.
За год до этого, зимой 1848 года, к Гауссу пришел студент. Его звали Бернард Риман. Но Гаусс оттолкнул его. Тогда Риман, сжав зубы, уехал в Берлин. Но мир тесен, и, защитив докторскую диссертацию, он решает стать профессором. Удивительно, но тему пробной лекции утверждает и принимает именно Гаусс.
Риман создал геометрию, где прямые замкнуты, где нет параллельных прямых, а сумма углов треугольника больше 180 о . Она похожа на геометрию сферы Гаусса.
Краткое описание геометрии Лобачевского.
Иногда говорят, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются в бесконечности. Но это не совсем так. Есть только немного другое свойство параллельности: через одну точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Это видно на рисунке 1. Причем параллельность сохраняется только в сторону уменьшения расстояния между прямыми. Этот, казалось бы, простой факт, меняет всю геометрию. Как, например, в геометрии Евклида доказывается, что сумма углов треугольника равна 180 о ? Классическое доказательство приведено на рисунке 2. Используется свойство углов при накрест лежащих прямых, и выходит, что Ð1+Ð2+Ð3=180 о . Но так как в геометрии Лобачевского параллельность сохраняется только в одном направлении, то для нахождения суммы углов треугольника*, то нужно провести две прямые, параллельные данной в разные стороны. Что получается, видно на рисунке 3. Понятно, что теперь сумма углов треугольника меньше 180 о . Эта разница была названа Лобачевским дефектом треугольника.
Одними из важных объектов на плоскости Лобачевского являются пучки прямых. Но чтобы описать эти пучки, сначала надо уяснить, что в плоскости Лобачевского есть три типа расположения прямых: прямые или параллельны, или пересекаются, или являются расходящимися.
_______
* Здесь и далее подразумевается геометрия Лобачевского, если нет оговорки на геометрию Евклида.
Так вот, первый вид пучков образован прямыми, имеющими общую точку – центр пучка (рис. 4а). Пучок расходящихся прямых – это перпендикуляры к одной прямой – оси пучка (рис. 4б). Из этого определения выходит интересное и, казалось бы, абсурдное утверждение, что два перпендикуляра к одной прямой непараллельны, и отличие от геометрии Евклида.
И, наконец, пучок, образуемый прямыми, параллельными данной прямой в заданном направлении (рис. 4в).
Следующими объектами геометрии Лобачевского являются кривые. Для их построения Лобачевским было введено понятие соответственных точек. В пучке первого рода это точки на прямых, равноудаленные от центра (рис. 5а). В пучке второго рода это точки прямых, лежащие по одну сторону от оси и отстоящие от нее на одинаковые расстояния (рис. 5б). Наконец, в пучке третьего рода они расположены симметрично относительно биссектрисы полосы между двумя прямыми, на которых лежа эти точки (рис. 5в).
Соединив соответствующие точки первого пучка, мы получим окружность. В случае второго пучка мы получаем линию равных расстояний, а в третьем случае – так называемую предельную линию.
Примеры таких построений – на рисунке 6.
Из определения предельных линий выходит, что она бесконечна. Поэтому в теоремах используется понятие предельной дуги, или дуги предельной линии.
Для концентрических предельных дуг существуют несколько правил: во-первых, равным хордам соответствуют равные дуги, большей хорде – большая дуга; отрезки осей, заключенные между дугами, равны, и отношение двух предельных дуг, заключенных между одинаковыми осями, зависит только от расстояния. Причем это отношение при S1 >S2 равно , где х – расстояние, а к – некотрая константа. Сам Лобачевский дает её определение так: к – это расстояние между двумя предельными дугами, заключенными между двумя осями, отношение которых равно е . Физический смысл этой константы заключается в отображении кривизны пространства Лобачевского.
Лобачевским была создана и стереометрия. Прямые в пространстве могут или скрещиваться, или лежать в одной плоскости. Скрещивающиеся прямые имеют смысл двух прямых, имеющих общий перпендикуляр, определяющий кратчайшее расстояние между ними. У параллельных прямых есть два основных свойства: во-первых, если через две параллельные прямые провести две пересекающиеся плоскости, то прямая пересечения плоскостей будет параллельна двум другим; во-вторых, две прямые, параллельные третей, параллельны одна другой в том же направлении – даже если третья прямая не лежит в плоскости первых двух.
Для анализа расположения прямой и плоскости, на плоскость опускается проекция. Если прямая и плоскость параллельны, то прямая и её проекция на плоскость тоже параллельны, и наоборот. Так же определяется и расположение двух плоскостей – с тем лишь отличием, что, если нельзя провести плоскость, перпендикулярную двум выбранным плоскостям и проходящую через выбранную прямую и её проекцию, то плоскости обязательно пересекутся.
Аналогию пучкам в пространстве составляют связки. Связки также делятся на три рода: первые образуются прямыми и плоскостями, проходящими через одну точку – центр связки; вторые образованны прямыми и плоскостями, перпендикулярными некой плоскости; и, наконец, третьи образованы прямыми и плоскостями, параллельными данной плоскости в одном направлении. Точно так же определяются соответствующие точки. В случае связки первого рода они формируют сферу, второго – поверхность равных расстояний, третьего – предельную поверхность. Предельная поверхность обладает удивительным свойством: на ней справедлива геометрия Евклида. Этот факт свидетельствует о том, что неевклидова геометрия не опровергает евклидову, а включает её в себя как органичную часть.
В процессе нахождения тригенометрических формул, Лобачевский проецировал прямоугольный треугольник с предельной плоскости на плоскость, касательную к ней. Пользуясь формулами и , вывод которых приведен в приложении, он получил тригинометрические формулы своего пространства. Соотношения в прямоугольном треугольнике при этом остаются одинаковыми, но cos , sin и tg определяются по-другому: , , , где с – сторона против прямого угла, а – против a , в – противb .
Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает исчезающе малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.
5 постулат.
Конечно, ещё сам Евклид пытался вывести этот сложный постулат из более простых. После него этой проблемой занимались почти все известные математики, но чаще всего это заканчивалось тем, что постулат выводился только при принятии каких-то дополнительных предположений. У менее удачливых математиков не получалось вообще ничего.
Самую известную попытку доказать пятый постулат методом от противного предпринял итальянский монах Джироламо Саккерти в 1733 году. Но отрицание пятого постулата – это и есть главное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Он, как и другой математик И. Г. Ламберт в 1766 году, вплотную подошел к неевклидовой геометрии, но не нашел её реальной.
Гаусс, изучая поверхности, обнаружил, что на поверхностях отрицательной кривизны сумма углов треугольника меньше 180 о . Он был в шаге от опровержения пятого постулата.
Попыток было много – и именно недоказуемость этого предположения привела к открытию неевклидовой геометрии.
Геометрия Лобачевского в реальном мире.
Если геометрия Евклида является только частью геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир – не мир Евклида, как принято считать? Почему же мы не замечаем разницы?
Как пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами – и ошибки достигали 1/6.
Проникновение геометрии в Древнюю Грецию превратило ее из эмпирической и установленной на глаз науки в цепь связанных между собой постулатов и аксиом, каждые из которых заняли определенное место в создаваемой строгой науке. Именно в Древней Греции геометрия приобрела тот современный вид, который мы помним из средней школы: каждое предположение логически вытекает из предыдущего, вместе с которым обусловливает последующее.
Нужно отметить, что, попав на благодатную почву, геометрия как наука стала бурно развиваться и даже превращаться в своеобразный культ. Каждая теорема, которую логически выводили на основании других, была маленькой победой человеческого ума, так как знания, полученные опытным путем, подтверждались строгими правилами. Ученые Древней Греции старались свести к необходимому минимуму те факты, которые устанавливают опытным путем, то есть созерцанием и наблюдением. Превратить геометрию в науку, каждое положение которой выводится по правилам логики, — вот какой была цель научной школы Платона. Согласно тенденциям этой школы любая научная дисциплина, в том числе и геометрия, должна выводиться или развиваться из как можно меньшего числа исходных положений, которые составляют костяк данной науки. Кроме этого, Платон и его последователи старались освободить изложение геометрии от наглядных выводов.
Фундаментальный и основополагающий труд Евклида состоит из тринадцати книг и предлагает значительный объем знаний — от учения о параллельных линиях до теоремы Пифагора.
- Нужно потребовать, чтобы от каждой точки к каждой другой точке можно было провести прямую линию.
- И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать по прямой.
- И чтобы вокруг любого центра любым радиусом можно было провести окружность.
- И чтобы все прямые углы были равны друг другу.
- И чтобы, когда прямая, пересекая две прямые, образует внутренние односторонние углы, составляющие в сумме меньше двух прямых углов, эти прямые при продолжении пересекались в точке, лежащей с той стороны, где расположены эти углы.
Геометрия Лобачевского
Разрешить проблему параллелей удалось русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому. Однако доказательство было выполнено косвенно. Он просто допустил, что пятый постулат неверен, и на основании этого вывел новую (так называемую не евклидову) геометрию. Тот факт, что новая геометрия непротиворечива, удалось доказать лишь спустя тридцать лет. Отсюда следует, что проблема параллелей снимается сама собой.
Лобачевский вместо пятого постулата сформулировал новую аксиому параллельных прямых, которая по смыслу оказалась прямо противоположна пятому постулату Евклида:
Через точку вне прямой можно провести не одну прямую, не встречающуюся с данной прямой, а по крайней мере две.
Если из точки С, расположенной вне прямой AB, опустить на прямую AB перпендикуляр СD, а затем еще к прямой CD построить перпендикуляр CN, то легко доказывается, что NN (прямая, полученная продолжением CN) будет параллельна прямой AB. Из пятого постулата Евклида следует, что из всех прямых плоскости ABC, которые проходят через точку С, только одна прямая NN не будет встречаться с прямой AB. Нам кажется это очевидным! Однако Лобачевский отказался от этого утверждения и допустил, что через точку С проходит по крайней мере еще одна прямая (например, CL), которая тоже не пересекает AB
На основании этой теоремы и остальных четырех постулатов абсолютной геометрии Лобачевский и получил свою, которая была так же логически безупречна, как и геометрия Евклида.
Аксиома Лобачевского на первый взгляд может показаться абсурдной или как минимум странной. Кажется, что он подменяет очевидное неочевидным, противоречит установившимся геометрическим представлениям. Но если этот вопрос рассмотреть глубже, то неочевидность именно пятого постулата Евклида будет налицо.
Так, если внимательно прочитать первые четыре постулата Евклида, можно заметить, что они относятся к фигурам ограниченного размера, а пятый — нет. Он оперирует неограниченной, бесконечной прямой. В итоге если мы захотим проверить правильность данного постулата на практике, то не сможем это сделать, поскольку такой эксперимент осуществить невозможно. Можно представить следующую ситуацию. Например, если предположить, что угол MCL очень маленький, а затем продлить отрезки CL и AB, то, даже обладая необширной фантазией, можно представить, что при таких условиях эти прямые не пересекутся даже на расстоянии, выходящем за пределы нашей планеты! В то же время если взять какую-либо ограниченную часть пространства, например круг, то каким бы большим он ни был, мы можем провести множество прямых, проходящих через точку С и не пересекающих прямую AB.
Поэтому нет никаких оснований считать утверждение Лобачевского неправильным.
Отличие двух противоположных по своей сути предположений заключается только в том, что евклидов постулат более понятен человеческому сознанию.
В ограниченном пространстве (круге) через точку С можно провести более одной прямой (CL и CM), не пересекающей прямую AB
Он соответствует нашему обыденному восприятию, в конце концов мы к нему привыкли… В этом случае можно вспомнить, что у древних было распространено представление, будто Земля плоская, а факт, что она круглая (как предполагала революционная гелиоцентрическая теория Коперника), полностью отрицался. Однако в отличие от теории Коперника, в которой говорилось об ином расположении и движении тел в пространстве, понимание идеи Лобачевского требует более абстрактного мышления.
Доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского
Не секрет, что геометрия Лобачевского не получила признания при его жизни из-за необычности. Более того, он был осмеян и к концу своих дней морально опустошен, так как считал, что теории суждено умереть вместе с создателем. Все осложнялось тем, что ученому не удалось найти объективных доказательств непротиворечивости своей теории. Для признания правоты Лобачевского потребовалось не только время, но и дальнейшее развитие математической науки, нахождение связей между различными ее разделами.
Теория Лобачевского прошла проверку временем и не оказалась пустышкой, которая, как думали его современники, в будущем сама уничтожит себя.
Фактический материал, который позволил устранить сомнения в непротиворечивости новой геометрии, был получен при разработке теории поверхностей. Если проследить за изменением свойств фигур, расположенных на изгибаемых поверхностях, то можно сделать некоторые неожиданные выводы. Сама теория поверхностей разрабатывалась немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом, а затем развивалась российским ученым Фердинандом Миндингом. Одним из главных понятий в теории поверхностей были так называемые геодезические линии, которые можно сравнить с обыкновенными прямыми на плоскости. И геодезические линии, и прямые выполняют одну и ту же функцию — определяют кратчайшее расстояние между точками. Разница лишь в том, что в искривленном пространстве геодезические линии представляют собой, грубо говоря, искривленные линии. Например, на сфере геодезическими линиями являются большие окружности, опоясывающие ее.
В результате Миндинг вывел формулы для геодезических треугольников (в них стороны образованы геодезическими линиями), которые совпали с планиметрией Лобачевского. Удивительно, но факт — доказательства непротиворечивости новой геометрии практически лежали на поверхности и существовали уже при жизни ученого. Однако ни один из математиков не заметил этого, так как они не были знакомы с работами друг друга. Потребовалось время, и только через 28 лет после открытия Миндинга (по прошествии 12 лет после смерти Лобачевского) итальянский геометр Эудженио Бельтрами сопоставил эти два исследования, провел строгие расчеты и вывел модель геометрии Лобачевского — три псевдосферические поверхности.
Таким образом и была убедительно доказана непротиворечивость, иными словами — верность геометрии Лобачевского. Она выражает свойства определенных криволинейных фигур в пространстве Евклида (таком, которое описывается аксиомами геометрии Евклида), а значит, не может быть противоречивой. Если бы она была таковой, то тогда геометрия Евклида противоречила бы сама себе, что не является истиной. Со временем было показано, что данная модель лишь частично доказывает непротиворечивость неевклидовой геометрии. Однако начало было положено.
Как только была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского, идеи на ее основе стали оказывать влияние на дальнейшее развитие математической науки.
Интересно, что вскоре была опубликована переписка Гаусса, в которой фигурировало его настоящее мнение о Лобачевском, скрываемое в годы непризнания неевклидовой геометрии. Ведь симпатия к ученому и его открытию тогда грозила всеобщим осмеянием.
Полная реабилитация Лобачевского дала импульс к появлению новых моделей неевклидовой геометрии, полностью подтверждающих непротиворечивость геометрии ученого.
Александр Фридман пришел к выводу, что Вселенная расширяется с течением времени и пространство такой Вселенной обладает геометрией Лобачевского, то есть подчиняется законам неевклидовой геометрии
Сферы применения неевклидовой геометрии Лобачевского
Лобачевский показал, что в пределах Солнечной системы для расчетов достаточно применять простую евклидову геометрию. Свою геометрию он использовал для математического анализа, а точнее — для вычисления определенных интегралов. Будучи уверенным в верности собственной теории и в том, что классическая геометрия — частный (а вернее — предельный) случай неевклидовой геометрии, ученый был убежден, что его система имеет гораздо больший потенциал: она не может не описывать более глобальные закономерности природы.
После того как непротиворечивость геометрии Лобачевского была доказана, на нее обратили внимание самые выдающиеся математики того времени. В 1881-м на ее основе была создана новая дисциплина — теория автоморфных функций, построенная великим французским математиком и физиком Анри Пуанкаре, которая имеет огромное значение для фундаментальной науки.
Важное практическое приложение геометрии Лобачевского нашел русский физик Александр Фридман. Используя в 1922 году идеи теории относительности и решая уравнение Эйнштейна, он пришел к выводу, что Вселенная расширяется с течением времени.
Медаль 1895 года, выдававшаяся в Казанском императорском университете рецензентам работ, представленных на соискание премии им. Н. И. Лобачевского
Следующим важным применением геометрии Лобачевского является то, что она оказалась естественной частью теории относительности.
Законы сложения относительных скоростей, полученные Альбертом Эйнштейном, напрямую связаны с геометрией Лобачевского.
Прошение Л. Н. Толстого о приеме в Казанский императорский университет, написанное на имя ректора Н. И. Лобачевского, при котором учебное заведение переживало свои лучшие времена. В нем читали лекции самые лучшие преподаватели, в него стремились лучшие абитуриенты
А в 1950-х годах советский физик Н. А. Черников стал успешно использовать геометрию Лобачевского для исследования столкновений элементарных частиц в ускорителе, а также при изучении других вопросов физики элементарных частиц и ядерных реакций.
Все идеи, которые были выдвинуты на основании геометрии Лобачевского, описать практически невозможно. Многие еще только находятся на пути развития, и до их практического применения остается еще много времени. Однако сама фундаментальность открытия дает полную уверенность в том, что неевклидова геометрия будет приводить к новым изобретениям, так как потенциал ее безграничен.
Краткая биография
Николай Иванович Лобачевский (1792–1856 гг.) – великий русский математик, один из создателей неевклидовой геометрии. Также был народным просветителем и ярким деятелем университетского образования. Знакомый с биографией Лобачевского У. Клиффорд назвал своего коллегу “Коперником геометрии”.
Детские и юные годы
Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября (1 декабря) 1792 г., в Нижнем Новгороде, в семье чиновника геодезического департамента, И. М. Лобачевского.
В 1802 г. поступил в Казанскую гимназию и закончил её в 1806 г. Особенно хорошие знания он показал в области математики, а также французского, немецкого и латинского языков.
В те годы в гимназии преподавал Г. И. Карташевский. Именно благодаря ему у Николая пробудился интерес к математике.
В феврале 1807 г. юный Лобачевский стал студентом Императорского Казанского училища.
Начало научной деятельности
Университет Лобачевский окончил в 1811 г. Получив степень магистра по физике, он был оставлен при университете. Летом 1811 г. он, совместно с И. М. Симоновым, наблюдал комету. В октябре этого же года принялся за изучение работ Гаусса и Лапласа. Это способствовало началу самостоятельных поисков.
В конце 1811 г. Лобачевский Николай Иванович представил свою работу “Теория эллиптического движения небесных тел”. В 1813 г. он написал еще одно исследование – “О разрешении алгебраического уравнения”.
Основные научные открытия
Лобачевский считал Евклидову аксиому параллельности произвольным ограничением. По его мнению, это требование было чересчур жестким. Оно существенно ограничивало возможности теории, которая описывала пространственные свойства.
Николай Иванович изменил существующую аксиому на другую. Она звучит так: “через точку, не лежащую на прямой, может проходить множество прямых параллельных с первой”.
В 1826 г. учёным было сделано устное заявление о своем открытии. После этого он опубликовал несколько трудов, посвящённых этой теме.
Современники Лобачевского отнеслись прохладно к его идеям. В 1832 г. он представил свой труд “О началах геометрии”.
Пытаясь найти понимание за границей, в 1837 г. Лобачевский опубликовал свою статью “Воображаемая геометрия” в немецком журнале “Крелле”. Идеи русского учёного удалось продвинуть “королю математиков” К. Ф. Гауссу. Заинтересованный его трудами, он даже начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с ними в оригинале.
Лобачевский сделал и иные открытия. Независимо от Ж. Данделена, он разработал метод приближенного решения уравнений. В математическом анализе им было получено несколько теорем о тригонометрических рядах. Также Лобачевский ввёл понятие о признаке сходимости рядов и о непрерывной функции.
Смерть
Николай Иванович Лобачевский ушёл из жизни 12 (24) февраля 1856 г. В этот же день тридцать лет назад он впервые опубликовал свою теорию неевклидовой геометрии. Выдающийся русский математик был похоронен на казанском Арском кладбище.
Геометрия Лобачевского в реальности
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В настоящее время геометрия широко применяется в самых разных областях: физике, химии, биологии и т.д. Неоценимо ее значение в прикладных науках: машиностроении, геодезии, картографии. Геометрия – часть нашей жизни. Но так было не всегда. Становлении геометрии как математической науки произошло позднее и связано с именами греческих ученых Фалеса (625 – 547 гг. до н.э.), Пифагора (580 – 500 гг. до н.э.), Демокрита (460 – 370 гг. до н.э.), Евклида ( III век до н.э.) и др.
Много веков усилия большого числа ученых были направлены на доказательство данного утверждения, у некоторых математиков возникала мысль о невозможности доказательства пятого постулата. Решение этого вопроса было найдено великим русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792—1856). Более того, он сделал замечательный вывод: можно построить другую геометрию, отличную от геометрии Евклида. И такая геометрия была построена – геометрия Лобачевского. Но возникает вопрос: после открытия геометрии Лобачевского применяется ли она в современной жизни? Ведь мало кто слышал о его геометрии, а если и слышал, то не знает истинного ее применения.
Объект исследования – геометрия Лобачевского.
Предмет исследования – применение геометрии Лобачевского в окружающем мире.
Цель исследования: изучить возможности применения геометрии Лобачевского в жизни.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
- изучить и проанализировать учебную литературу, связанную с жизнью Лобачевского;
- ознакомиться с особенностями его теории;
- рассмотреть применение неевклидовой геометрии в современной жизни.
Была выдвинута гипотеза: применение геометрии Лобачевского не ограничивается математикой, она используется в других науках, в окружающем нас мире.
Мы использовали методы эмпирического уровня (наблюдение, опрос, фотографирование) и теоретического уровня (изучение, обобщение, анализ, абстрагирование).
1. СОЗДАНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Безуспешные поиски доказательства 5-го постулата сыграли ту положительную роль, что помогли глубже проникнуть в структуру геометрии, уяснить взаимную связь её важнейших предложений. Эти попытки подготовили почву для возникновения у передовых учёных предположения, что 5-ый постулат недоказуем при помощи остальных аксиом геометрии Евклида.
1) профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792–1856);
2) великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855);
3) венгерский офицер Янош Бояи (1802–1860).
Однако вклад в создание новой геометрии, сделанный этими учёными, весьма неравноценен.
Что касается Гаусса, то он совершенно не оставил никаких следов систематического изложения своих открытий в области неевклидовой геометрии и при жизни не опубликовал ни одной строчки по этому вопросу. Гаусс слишком боялся уронить свой огромный авторитет в глазах учёного мира.
Однако всё сделанное в области геометрии Гауссом и Я. Бояи представляет собой лишь первые шаги по сравнению с глубокими и далеко идущими исследованиями Лобачевского, который всю жизнь упорно и настойчиво разрабатывал с разных точек зрения своё учение, довёл его до высокой степени совершенства и опубликовал целый ряд крупных сочинений по новой геометрии. Поэтому как с формальной стороны (первое по времени опубликование открытия в 1826 г.), так и по существу первое место среди лиц, разделяющих славу создания неевклидовой геометрии, следует безраздельно отвести Н. И. Лобачевскому, имя которого и носит созданная им геометрия.
Геометрия Лобачевского так и не была понята и оценена при жизни самого учёного. Но уже через десятилетие после смерти Лобачевского его открытие привлекло всеобщее внимание математических кругов и послужило могучим стимулом к коренному пересмотру взглядов на основания геометрии.
Это объясняется тем, что к этому времени самим развитием математики была подготовлена почва к правильному восприятию и пониманию идей Лобачевского и к их дальнейшему углублению и развитию.
Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще.
2. ОСОБЕННОСТИ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
В геометрии Лобачевского вместо пятого постулата Евклида принимается следующая аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее.
Через точку А, не лежащую на данной прямой b , проходит бесконечно много прямых, не пересекающих b и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние c ' , c ' ' , которые и называются параллельными прямой b .
Рассмотрим некоторые факты, отличающие данную геометрию от евклидовой.
В геометрии Лобачевского прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны, либо являются расходящимися.
В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые можно доказать без использования аксиомы параллельности.
Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов любого треугольника меньше 180°. При ее доказательстве используется аксиома параллельности.
Разность между 180° и суммой углов треугольника в геометрии Лобачевского называется дефектом этого треугольника. Площадь треугольника равна S = k ∙ D, где S – площадь, D – дефект треугольника, число k зависит от выбора единиц измерения площадей и углов и не зависит от выбранного треугольника. Площади треугольников в геометрии Лобачевского ограничены некоторой константой.
Согласно геометрии Евклида, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. В геометрии Лобачевского нет подобных треугольников, но есть четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом, т. е. геометрическое место точек , удалённых от данной прямой на данное расстояние (в Евклидовой геометрии эквидистанта прямой есть прямая)
Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.
Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.
Модели геометрии Лобачевского дали доказательство её непротиворечивости.
Псевдосфера
Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского сходна с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны (псевдосфере). …Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Но эта модель является интерпретацией геометрии, неспособной отобразить всю плоскость Лобачевского.
Псевдосфера образуется вращением линии F СЕ, называемой трактриссой, вокруг её оси АВ.
Широко распространено заблуждение (отражённое, в частности, в нематематической литературе и фольклоре), что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются. Во-первых, параллельные прямые не могут пересекаться (ни в одной геометрии) по определению параллельности . Во-вторых, в геометрии Лобачевского как раз можно провести через точку, не лежащую на данной прямой, бесконечно много прямых, не пересекающихся с ней.
Различия между геометрией Лобачевского и геометрией Евклида кроются в понимании самой природы пространства. Физическое трехмерное пространство искривлено, и лишь в бесконечно малых областях его можно считать плоским, евклидовым.
В наших земных пределах этой кривизной можно пренебречь и пользоваться положениями и теоремами евклидовой геометрии, а при измерении космических расстояний верны теоремы геометрии Лобачевского.
4. ПРИМЕНЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ В ЖИЗНИ
Сам Лобачевский применял неевклидову геометрию для вычисления определенных интегралов при нахождении длины, площади или объема фигуры в своей геометрии. Но применение новых знаний не ограничилось математикой.
Также геометрия Лобачевского используется в астрономии: при описании голографической Вселенной или черных дыр.
Рис. 8 "Относительность"
Рис. 9 "Предел круга III "
Использование геометрии Лобачевского в искусстве не ограничивается живописью.
Творчество Фрэнка Гери тому доказательство. Он продемонстрировал
Рис. 11 Архитектура в Лос-Анджелесе Рис. 12 Музей в г. Сидней
Мы вдохновились идеями Ф.Гери, поэтому решила найти элементы геометрии Лобачевского в архитектуре других стран.
Рис 13 Футбольный стадион "Казань -арена"
Рис.14 Музей Гуггейнхейма в Испании Рис. 15 Многофункциональный комплекс в Китае
Мы выяснили, что еще один архитектор в своем творчестве подчинялся законам неевклидовой геометрии. С помощью фоторедактора художник превращает городские здания в футуристическую архитектуру. Эти "Городские портреты" - маленький виртуальный мир Виктора Энрича, в котором нет никаких ограничений для фантазии.
В реальном мире тоже можно легко найти модели гиперболических поверхностей. Не стоит далеко ходить, достаточно рассмотреть в качестве гиперболической поверхности седло для верховой езды. Сумма углов любого треугольника, нарисованного на такой поверхности, составляет менее 180°, и параллельные линии здесь не находятся друг от друга на фиксированном расстоянии, а постепенно расходятся.
В обычной спальне я провел небольшой эксперимент, чтобы понаблюдать, как в гиперболическом мире движутся различные предметы. Нам потребовалась кровать с ровной поверхностью, как на евклидовой плоскости. На нее мы поставили подвижный объект (см. рисунок ниже). Рядом с ним положила тяжелый предмет, так чтобы постель прогнулась. Теперь поверхность уже не является плоской, она искривилась. Из-за этой кривизны подвижный объект будет скользить к тяжелому предмету. Поверхность постели вокруг тяжелого предмета похожа на гиперболическую поверхность.
Гиперболические пространства (т.е. пространства, в которых действуют законы гиперболической геометрии) встречаются и в самой природе. Например: Геометрия Лобачевского проглядывается в структурах кораллов, в организации клеточных структур у растении, у некоторых цветков.
В частности, если взять лист салата, то его нельзя уложить плоско, если попытаться его разгладить на плоскости, он все время будет топорщиться. Это происходит из-за того, что клетки, которые находятся на границе листа, растут так, что их рост ничем не ограничен. С удалением от центра длина круга растет
пропорционально радиусу и в результате она станет больше, чем 2πr .
Рис.20 Листья салата
вот профессор Университета Корнелла в Нью-Йорке Дайна Тайминя разрешила столетнюю проблему неевклидовой геометрии по визуализации гиперболических плоскостей. Свою первую модель гиперболической плоскости она связала крючком в 1997 году, чтобы использовать в студийном курсе неевклидовой геометрии. С тех пор она связала более сотни геометрических моделей. На данный момент она имеет признание на международном уровне из-за того, что благодаря ее необычному открытию, что модель гиперболической плоскости, которую нельзя изготовить даже с помощью компьютера, возможно сделать, используя вязание крючком. Красивые, математически описываемые сложными формулами модели, похожие на жителей морских глубин.
Изучив литературу по данному вопросы, мы задумали провести опрос среди 9-11 классов: насколько же эрудированны в данной области наши ровесники?
Геометрия Лобачевского – геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Данная теория совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности вогнутой поверхности, напоминающей седло (гиперболического параболоида).
• мы изучили учебную литературу, связанную с жизнью Лобачевского;
• познакомились с особенностями его теории;
• рассмотрели применение неевклидовой геометрии в современной жизни. Сам Лобачевский пытался рассмотреть свою теорию в рамках геометрии (пятого постулата), но другие области нашей жизни активно используют положения его теории. Это и физика, и астрономия, и искусство (живопись и архитектура), и игровая индустрия. Задача современного человека – повышение уровня своего образования, изучать новое и видеть применение полученных знаний. Надеюсь, что учащиеся, услышав о геометрии Лобачевского, заинтересуются этим вопросом, оглянутся вокруг, смогут объяснить какие-либо явления, а возможно, и сделают открытие.
Таким образом, цель работы достигнута, задачи выполнены, гипотеза подтверждена.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. – Геометрия, 7 – 9 классы. – М.: Просвещение, 2010.
Читайте также: