Закон больших чисел реферат

Обновлено: 05.07.2024

Итоги отдельных наблюдений, в том числе и проделанных в схожих критериях, имеют все шансы сильно различаться, но в то же время средние итоги для довольно огромного количества наблюдений устойчивы и слабо находятся в зависимости от итогов отдельных наблюдений. Закон больших чисел – это теоретическое объяснение данной характеристики случайных явлений. В это название заключена некоторая группа теорем, которые изъясняют факторы стойкости, а также устанавливают устойчивость средних итогов огромной численности явлений, произошедших случайно. В группу таких теорем входят: 1. Теорема Чебышева;
2. Теорема Бернулли;
3. Теорема Пуассона;
4. Центральная предельная теорема;
5. Теорема Ляпунова.

Теорема Чебышева

Данная теорема дает такое определение: описывает верхний рубеж вероятности того, что аномалия смысла случайной величины от ее математической надежды больше некого данного количества. Неравенство Чебышева является истоком в основе подтверждения теорем:

Рассмотрим пример № 81: допустим, что некоторое устройство состоит из 100 элементов, которые работают самостоятельно. Возможность отказа каждого из этих элементов за время т=0,03. Поставить вероятность того, что безусловная величина разницы между математическим ожиданием за время т будет: а) меньше двух; никак не меньше двух.

Решение будет состоять в следующем: а) если х станет числом элементов, которые отказали за время т.

Тогда м [х] = np = 100 ? 0,03 = 3 и d[x] = npq = 100 ? 0,03 ? 0,97 = 2,91. После того, как мы воспользуемся неравенством Чебышева (подставили в него м[х] = 3, d[х] = 2,91, ɛ= 2), получаем:

Решение: б) События, которые противоположны |х - 3| Закон больших чисел

Как было сказано ранее, Закон больших чисел – это теоретическое объяснение данной характеристики случайных явлений.

Если случайные величины x 1, x 2, …, x n, … попарно независимы и

то для любого e > 0

Заключение

В ходе работы мною был изучен закон больших чисел, а также были рассмотрена группа теорем, входящих в закон.

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается совокупность теорем, в которых устанавливается связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий.

Фактическое использование методов теории вероятностей и математической статистики базируется на 2-ух принципах, практически основывающихся на максимальных теоремах: принцип невозможности наступления практически невозможного действия и принцип необходимой убежденности в пришествии действия, возможность которого недалека к 1.

В общественно – финансовом значении перед законодательством огромных количеств понимается совместный принцип, в мощь которого количественные закономерности, свойственные глобальным публичным явлениям, четко появляются только в довольно великом количестве надзоров. Закон больших чисел порожден особенными качествами глобальных социальных явлений. Последние, в силу своей собственной особенности, имеют отличия друг от друга, но и имеют что то общее, обусловленное их приспособлением к конкретному виду, классу, к конкретным группам.

Тенденции и закономерности, вскрытые с помощью закона больших чисел, - это массовые статистические закономерности.

3. Прохоров Ю.В. Одна экстремальная задача теории вероятностей // Теория вероятностей и ее применения. — 1959.;

Предмет и общие принципы математической статистики как раздела математики, посвященного математическим методам систематизации и обработки данных. Раскрытие содержания закона больших чисел как метода определения эмпирического среднего в конечной выборке.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 07.07.2013
Размер файла 16,9 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Реферат на тему

Закон больших чисел

Студент: Таубин Григорий

1. Закон больших чисел в трудах ученых

2. Понятия закона больших чисел

3. Закон больших чисел

Математическая статистика, раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками

Окружающий нас мир насыщен информацией - разнообразные потоки данных окружают нас, захватывая в поле своего действия, лишая правильного восприятия действительности. Не будет преувеличением сказать, что информация становится частью действительности и нашего сознания. Без адекватных технологий анализа информации (данных) человек оказывается беспомощным в жестокой информационной среде. Статистика позволяет компактно описать данные, понять их структуру, провести классификацию, увидеть закономерности в хаосе случайных явлений.

Для студентов, аспирантов и соискателей полезно и необходимо знать, где, когда и как методы математической статистики могут применяться на практике для анализа данных психолого-педагогического исследования.

Закон больших чисел в экономической науке и в социально-экономической статистике, проявление одного из важнейших объективных законов, сопутствующее формированию закономерностей массовых социально-экономических процессов.

1. Закон больших чисел в трудах ученых

Закон больших чисел не образует закономерность, а лишь управляет её проявлением. На интуитивном признании закон больших чисел уже основывались в своих демографических и статистических исследованиях Дж. Граунт (1662), У. Петти, Э. Галлей (1693), И. Зюсмильх (1741), А. Кетле.

2. Понятия закона больших чисел

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ -- принцип, по которому частота финансовых потерь определенного вида может быть предсказана с высокой точностью тогда, когда есть большое количество потерь аналогичных видов.…

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ -- в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения.

УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ -- Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ в наиболее простой форме гласит, что количественные закономерности массовых явлений отчетливо проявляются лишь в достаточно большом их числе.

Таким образом, сущность его заключается в том, что в числах, получающихся в результате массового наблюдения, выступают определенные правильности, которые не могут быть обнаружены в небольшом числе фактов.

Закон больших чисел выражает диалектику случайного и необходимого. В результате взаимопогашения случайных отклонений средние величины, исчисленные для величины одного и того же вида, становятся типичными, отражающими действия постоянных и существенных фактов в данных условиях места и времени.

Тенденции и закономерности, вскрытые с помощью закона больших чисел, имеют силу лишь как массовые тенденции, но не как законы для каждого отдельного случая.

Принцип математической статистики, согласно которому совместное действие набора случайных факторов может привести к неслучайному (детерминированному) результату. Первым примером действия этого принципа может служить сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний.

Простейший пример - опыт с бросанием монеты. Теоретически выпадение орла или решки равновероятно. Это значит, что если подбросить монету 10 раз, то 5 раз должен выпасть орел и 5 раз - решка. Однако общеизвестно что вероятность этого очень мала. С тем же успехом может выпасть 9 к 1, 3 к 5 и т.д. Тем не менее, если увеличить число опытов, скажем, до 100, то вероятность выпадения орла или решки приблизится к 50%. В пределе, если устремить число опытов к бесконечности, то вероятность выпадения орла и решки будет асимптотически стремиться к 50%.

То, какой стороной упадет монета, зависит от множества случайных факторов: как она будет лежать на ладони у экспериментатора, силы броска, высоты падения, скорости и т. д. Тем не менее при достаточно большом числе опытов независимо от действия этих факторов мы всегда можем утверждать, что эмпирическая (опытная) вероятность будет близка к теоретической.

Например, пусть требуется оценить доходы населения в некотором регионе. Если мы рассмотрим 10 наблюдений, в которых у 9 респондентов доходы были около 20 000, а у одного - 500 000, то расчет простого среднего покажет доход на уровне 68 000, что, вообще говоря, не отражает реальную картину. Если же мы рассмотрим 100 наблюдений, из которых 99 покажут доход 20 000 и только один - 500 000, то среднее составит около 28 000, что более адекватно отражает реальную ситуацию. При увеличении числа наблюдений, среднее будет стремиться к своему истинному значению.

3. Закон больших чисел

Закон больших чисел в экономической науке и в социально-экономической статистике, проявление одного из важнейших объективных законов, сопутствующее формированию закономерностей массовых социально-экономических процессов.

В качественно однородных совокупностях, состоящих из случайных единичных явлений, закономерности проявляются (и, следовательно, могут изучаться) лишь на достаточно большом числе единиц (случаев); эти закономерности могут быть количественно выражены только в форме средних чисел (например, средних уровней, средних долей признака или групп в совокупности, различных коэффициентов и других обобщающих характеристик); средние числа выражают их тем точнее, чем большее число единиц явления ими охватывается; отклонения этих отдельных единиц в ту и другую сторону от характеристики общей закономерности всего явления, вызываемые случайными причинами, при достаточно большом числе единиц почти взаимопогашаются. В любом массовом явлении наряду с факторами, общими для всей массы единиц, действуют факторы случайные, т. е. такие, которые в индивидуальных единицах могут быть различны, и их действие может быть направлено в разные стороны -- поскольку между этими единицами имеется известная степень взаимной независимости. В результате взаимопогашения действия случайных факторов проявляется действие факторов, общих явлению, т. е. проявляется необходимость, закономерность всего массового явления.

Необходимо строго различать взаимопогашение случайных отклонений отдельных единиц от среднего уровня всего массового явления при действии закон больших чисел чисто алгебраическое уравновешивание суммы положительных и суммы отрицательных отклонений при вычислении любой арифметической средней.

Действие же закона больших чисел состоит во взаимопогашении случайных отклонений от уровня, соответствующего закономерности массового явления и лишь приближённо отражаемого средней величиной, а потому такое взаимопогашение не может быть полным, и оно зависит от численности входящих в массу единичных явлений.

выборка эмпирическое среднее большое число

Значение факта действия закона больших чисел велико для любой современной науки, в частности и в особенности -- для научной разработки теории статистики и методов статистического познания. Действие закона больших чисел имеет всеобщее значение для самих объектов статистического изучения -- статистических совокупностей с их сводными признаками и массовыми закономерностями. На планомерном использовании действия закона больших чисел при случайном отборе единиц массовой совокупности для образования выборки основан важный статистический метод выборочного наблюдения.

Принцип математической статистики, согласно которому совместное действие набора случайных факторов может привести к неслучайному (детерминированному) результату. Первым примером действия этого принципа может служить сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний.

Простейший пример - опыт с бросанием монеты. Теоретически выпадение орла или решки равновероятно. То, какой стороной упадет монета, зависит от множества случайных факторов: как она будет лежать на ладони у экспериментатора, силы броска, высоты падения, скорости и т. д. Тем не менее при достаточно большом числе опытов независимо от действия этих факторов мы всегда можем утверждать, что эмпирическая (опытная) вероятность будет близка к теоретической.

Таким образом, можно сказать, что математическая статистика-это не просто наука, а мы живем и сталкиваемся с ней каждый день.

Список литературы

2. Ястремский Б.С., Труды по статистике. М., 2005;

3. Лившиц Ф.Д., Закон больших (средних) чисел в общественных явлениях, М. 2007;

4. Пасхавер И.С. Закон больших чисел и закономерности массового процесса, М., 2006;

5. Малый И.Г. Вопросы статистической методологии и статистико-экономического анализа.М. 2007;

7. Лившиц Ф.Д Закон больших чисел. М. 2007;

Подобные документы

Теорема Бернулли как простейшая форма закона больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей и объяснение природы устойчивости частоты появлений события. Качественные и количественные утверждения закона больших чисел, его практическое применение.

курсовая работа [75,2 K], добавлен 17.12.2009

Представление доказательства неравенства Чебышева. Формулирование закона больших чисел. Приведение примера нахождения математического ожидания и дисперсии для равномерно распределенной случайной величины. Рассмотрение содержания теоремы Бернулли.

презентация [65,7 K], добавлен 01.11.2013

Понятие вероятности, математического ожидания, закона больших чисел, динамика их развития. Введение аксиоматического определения понятия вероятности математического ожидания. Теоремы Бернулли и Пуассона как простейшие формы закона больших чисел.

дипломная работа [388,7 K], добавлен 23.08.2009

Изучение основных подгрупп алгоритмов проверки простоты больших чисел: детерминированные и вероятностные проверки. Исследование методов генерации и проверки на простоту больших чисел с помощью метода Ферма (малая теорема Ферма), составление программы.

лабораторная работа [11,7 K], добавлен 27.12.2010

Предельные теоремы теории вероятностей. Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Метод характеристических функций. Закон больших чисел. Особенности проверки статистических гипотез (критерия согласия w2 Мизеса).

При изучении теории вероятностей приходится использо¬вать понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Содержание

Введение 3
1. Неравенство Чебышева 4
2. Теорема Чебышева 6
3. Теорема Бернулли 8
4. Понятие о центральной предельной теореме 10
Список литературы 14

Работа содержит 1 файл

реферат.docx

Кафедра физико-математических дисциплин

студентка группы БА-21ФЭПа

Дрозд Юлия Игоревна

Цебрук Людмила Алексеевна

    1. Неравенство Чебышева 4
    2. Теорема Чебышева 6
    3. Теорема Бернулли 8
    4. Понятие о центральной предельной теореме 10

Список литературы 14

При изучении теории вероятностей приходится использовать понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний могут наблюдаться определенные закономерности. Эти закономерности, свойственные массовым случайным явлениям, и изучает теория вероятностей. Следует отметить, что математические законы теории вероятностей получены в результате абстрагирования реальных ситуаций, в которых наблюдаются случайные массовые явления.

При изучении результатов наблюдений над реальными случайными массовыми явлениями также имеют место некоторые закономерности. Следует обратить внимание на то, что они обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Теоремы закона больших чисел устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью.

Закон больших чисел― это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

Неравенство Чебышёва (неравенство Бьенеме—Чебышева) в теории вероятностей — неравенство, дающее оценку вероятности отклонений значений случайной величины от её математического ожидания через её дисперсию.

Для случайной величины ξ = ξ(ω) с конечными математическим ожиданием Eξ и дисперсией Dξ неравенство Чебышёва имеет вид: для любого вероятность события

не превосходит , или

В таком виде неравенство было независимым образом открыто И.Бьенеме (I. Bienayme) (1853) и П.Л. Чебьшёвым (1867), используется при отсеве грубых погрешностей. В современной литературе это неравенство чаще называют неравенством Чебышёва, возможно и потому, что с именем П.Л.Чебышёва связано использование его при доказательстве обобщения закона больших чисел (теоремы Чебышёва).

Об однотипных неравенствах

Неравенство Чебышёва служит представителем класса однотипных неравенств, простейшее из которых утверждает, что для неотрицательной случайной величины ξ с конечным математическим ожиданием Eξ

Это неравенство иногда называется неравенством Маркова, из него вытекают неравенства для произвольных случайных величин, зависящие от моментов:

(при r = 2 — само неравенство Чебышёва), а также ещё более общее неравенство

для неотрицательной четной неубывающей при положительных значениях x функции f(x). Последнее неравенство указывает путь получения новых неравенств того же типа, например экспоненциального неравенства:

Обычно все эти неравенства относят к чебышёвскому типу и даже называют неравенствами Чебышёва.

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых случайных величин Х1, Х2, Х3, . Хn, дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа e справедливо неравенство

Из теоремы следует, что среднее арифметическое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т. е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин, т.е. вероятность отклонения по абсолютной величине среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше чем на e при неограниченном возрастании n стремится к 1, т.е. становится практически достоверным событием.

Рассмотрим частный случай теоремы Чебышева:

Пусть при n испытаниях наблюдаются n значений случайной величины X, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Полученные значения можно рассматривать как случайные величины Х1, Х2, Х3, . Хn,. Это следует понимать так. Серия из п испытаний проводится неоднократно. Поэтому в результате i-го испытания, i=l, 2, 3, . п, в каждой серии испытаний появится то или иное значение случайной величины X, не известное заранее. Следовательно, i-e значение xi случайной величины, полученное в i-м испытании, изменяется случайным образом, если переходить от одной серии испытаний к другой. Таким образом, каждое значение xi можно считать случайной величиной Xi .

Предположим, что испытания удовлетворяют следующим требованиям:

1) испытания независимы. Это означает, что результаты Х1, Х2, Х3, . Хn испытаний—независимые случайные величины;

2) испытания проводятся в одинаковых условиях—это означает, с точки зрения теории вероятностей, что каждая из случайных величин Х1, Х2, Х3, . Хn имеет такой же закон распределения, что и исходная величина X, поэтому, MXi=MX и DXi=DX, i=1, 2, . п.

Учитывая вышеуказанные условия, получим

Переходя к пределу, имеем

Из последнего равенства следует, что среднее арифметическое случайной величины Х обладает свойством устойчивости.

Теорема Чебышева имеет большое практическое применение. Она позволяет, используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания, и наоборот. Так, измеряя какой-либо параметр с помощью прибора, не дающего систематической погрешности, можно получить достаточно большое число результатов измерений, среднее арифметическое которых по теореме Чебышева будет практически мало отличаться от истинного значения параметра.

Пример. Пусть в результате 100 независимых испытаний получены случайные величины Х1, Х2, …, Х100 с равными математическими ожиданиями М(Х)= 10 и равными дисперсиями D(X)= 1. Оценить вероятность того, что среднее арифметическое случайных величин отклоняется по абсолютной величине от М(Х) меньше чем на 1/2.

Решение: Имеет место частный случай теоремы Чебышева. Применяя соответствующее неравенство для оценки вероятности, получим:

Теорема Бернулли: Если вероятность события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то при достаточно большом п для произвольного e >0 справедливо неравенство

Переходя к пределу, имеем

Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления и позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в п испытаниях. Из теоремы видно, что отношение т/п обладает свойством устойчивости при неограниченном росте числа испытаний.

Иногда (при решении практических задач) требуется оценить вероятность того, что отклонение числа т появления события в п испытаниях от ожидаемого результата пр не превысит определенного числа e. Для данной оценки неравенство переписывают в виде

Пример1. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности его появления меньше чем на 0,1.

Вероятность появления герба р= 0,5, тогда q = 1- 0,5= 0,5; n= 1000, e =0,1. Используем теорему Бернулли:

Раскрывая модуль и решая неравенство относительно m получим: 400

Вероятность достать белый шар при каждом испытании равна р=100/200=0,5, тогда q =0,5. Для вычисления e раскроем модуль и получим

Учитывая данные задачи, получим систему уравнений, решая которую найдем e:

Подставим значения и оценим вероятность

В конце 19 века в теории вероятностей возникло направление исследований, которое получило название: предельные теоремы теории вероятностей. В этом направлении, начало которого было положено нашими соотечественниками П.Л.Чебышевым, А.А.Марковым, А.М.Ляпуновым, по сей день ведутся интенсивные исследования. Предельные теоремы теории вероятностей можно разбить на две большие группы.

1. Одна группа теорем составляет "закон больших чисел". Закон больших чисел формулирует условия, при которых совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату почти не зависящему от случая (т.е. практически постоянный результат)

2. Вторая группа теорем связана с выяснением вопроса о распределении сумм большого числа случайных величин. В этих теоремах выясняется, какие законы распределения может иметь сумма случайных величин, если число слагаемых неограниченно увеличивается, и какие условия при этом нужно наложить на сами величины. В частности, центральная предельная теорема посвящена установлению сумм, при которых возникает нормальный закон распределения.

Центральная предельная теорема

Первый вариант этой теоремы был доказан в 1912 г. А.М.Ляпуновым. В настоящее время имеется несколько формулировок этой теоремы, различающихся условиями, которые накладываются на случайные величины. Мы приведём простейший вариант центральной предельной теоремы для одинаково распределённых независимых случайных величин.

Пусть последовательность одинаково распределённых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями .

ТЕОРЕМА. Если случайные величины независимы и , то при достаточно большом n закон распределения суммы будет сколь угодно близок к нормальному закону распределения .

Так как в условиях теоремы случайные величины независимы, то

т.е. в условиях теоремы сумма имеет закон распределения близкий к .Так' как na и с ростом п, возрастают, то удобнее рассматривать не просто суммы , а нормированные суммы . Такие суммы при имеют закон распределения .

Мы не приводим доказательства теоремы потому, что оно требует введения многих дополнительных понятий и утверждений. Было потрачено немало усилий, чтобы ослабить условия, налагаемые на случайные величины в центральной предельной теореме. В частности, оказалось, что утверждение теоремы остаётся в силе и для слабо зависимых случайных величин. Как уже отмечалось, существует много вариантов и соответственно формулировок центральной предельной теоремы, но во всех этих вариантах суть условий одна: Если случайная величина может быть представлена в виде суммы большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, каждая из которых мала по сравнению с суммой, то эта сумма имеет закон распределения близкий к нормальному.

Пример 1. Наглядной иллюстрацией действия центральной предельной теоремы является рассеивание снарядов при артиллерийской стрельбе. На траекторию снаряда действует большое количество независимых факторов, влияние каждого из которых невелико. Этими факторами являются отклонения в размере заряда, в размере и весе снаряда, сила и направление ветра на разных высотах, плотность воздушных вихрей, зависящая от температуры и влажности воздуха, и т.д.

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Данная теорема дает такое определение: описывает верхний рубеж вероятности того, что аномалия смысла случайной величины от ее математической надежды больше некого данного количества. Неравенство Чебышева является истоком в основе подтверждения теорем:

Рассмотрим пример № 81: допустим, что некоторое устройство состоит из 100 элементов, которые работают самостоятельно. Возможность отказа каждого из этих элементов за время т=0,03. Поставить вероятность того, что безусловная величина разницы между математическим ожиданием за время т будет: а) меньше двух; никак не меньше двух.

Решение будет состоять в следующем: а) если х станет числом элементов, которые отказали за время т. Тогда м [х] = np = 100 ? 0,03 = 3 и d [ x ] = npq = 100 ? 0,03 ? 0,97 = 2,91. После того, как мы воспользуемся неравенством Чебышева (подставили в него м[х] = 3, d [х] = 2,91, ɛ= 2), получаем:

Решение: б) События, которые противоположны |х - 3| Понятие корреляционных связей

Существуют виды зависимости между математическими явлениями:

Функциональная (жестко детерминированная) зависимость (ежели любому значению величины x подходит единственное значение величины Y и напротив);

Статическая (стохастически детерминированная) зависимость (любому фиксирован­ному значению независящей сменой X подходит никак не одно, а очень много значений зависимой переменной Y, при этом заблаговременно невозможно заявить, какое конкретно значение примет Y.).

Примеров в функциональной связи экономике сможет послужить зависимость производительности труда от размера, сделанной продукции и издержек рабочей медли. При данном надлежит подметить, что ежели Х – детерминированная, никак не случайная величина, то и функционально зависящая от нее величина Y также считается детерминированной. Несмотря на это, в экономике нередко имеет место статистическая зависимость, а не функциональная зависимость.

Корреляционная зависимость – это наиболее частый случай статистической зависимости (функциональной зависимостью связаны фактор X и математическое ожидание результативного показателя Y). Статистическая зависимость имеет возможность существовать только исходя из итогов довольно огромного количества надзоров. С помощью поля корреляции можно представить графически статистическую зависимость, при построении которого на оси абсцисс откладывается значение факторного признака X, сообразно оси ординат – результирующего Y.

Корреляционная связь – частный вариант статистической взаимосвязи, при котором различным значениям переменной подходят различные средние смысла иной переменной.

Ежели исследуется связь меж 2-мя показателями, налицо парная корреляция; ежели исследуется связь меж почти всеми показателями – множественная корреляция.

Корреляционная связь меж показателями имеет возможность появиться различными способами. Важный первый путь - причинная подневольность результативного показателя от варианты факторного показателя. Примером может послужить то, что знак х — балл оценки плодородия основ, знак у — урожайность сельскохозяйственной культуры. Тут совсем все логично и понятно, какой из этих знаков выступает как независящая переменная (причина) х, какой-никакой — как зависимая переменная (итог) у.

Второй путь – это сопряженность, которая образуется при наличии единой предпосылки.

Третий путь – это взаимозависимость показателей, каждый из каких и фактор, и последствие. Примером послужит здесь корреляция меж уровнями производительности труда трудящихся и уровнем оплаты 1 час труда. Если посмотреть на это с одной стороны, то степень получки — последствие производительности труда: нежели она больше, тем больше и плата. Однако, с иной стороны, поставленные тарифные ставки и цены играют подстегивающую роль: при верной системе оплаты они выступают в качестве фактора, от которого находится в зависимости производительность труда.

В данной курсовой работе изучен закон больших чисел.
Актуальность. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы, которые здесь не рассматриваются). Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

Содержание работы
Содержимое работы - 1 файл

Курсовая Закон больших чисел.doc

Введение………………………………………………………… …………… 5
1. Неравенство Чебышева……………………………………………………. 7
2. Теорема Чебышева………………………………………………………… 10
3. Сущность теоремы Чебышева…………………………………… ……….. 13
4. Значение теоремы Чебышева для практики… …………………………… 14
5. Теорема Бернулли………………………………………………………… . 16
Заключение……………………………………………..… ……………. 19
Список литературы…………………………………………………… ……. 20
Приложение…………………………………………………… ……………… 21

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

В данной курсовой работе изучен закон больших чисел.

Актуальность. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы, которые здесь не рассматриваются). Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

Цель работы. Сформулировать и доказать теорему Чебышева и Бернулли и рассмотреть их значение для практики.

    • доказать неравенство Чебышева;
    • на основе неравенства Чебышева вывести теорему Чебышева;
    • рассмотреть значение теоремы Чебышева для практики;
    • сформулировать и доказать теорему Бернулли.

    Структура работы. Во введении дается обоснование актуальности темы курсовой работы, формулируются цель и задачи. В теоретической части доказываются неравенство и теорема Чебышева и рассматривается сущность и значение для практики данной теоремы. Формулируется и доказывается теорема Бернулли. В заключении подводятся итоги и выводы по работе.

    1. Неравенство Чебышева

    Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Для простоты ограничимся доказательством этого неравенства для дискретных величин.

    Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную таблицей распределения:

    X x1 x2 … xn
    p p1 p2 … pn

    Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа e . Если e достаточно мало, то мы оценим, таким образом, вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию. П. Л. Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать интересующую нас оценку.

    Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e , не меньше, чем 1-D (Х)/ e 2 :

    Р(|Х -М(Х)| e ) 1-D(X)/ e 2 .

    Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств |Х—М(Х)| e и |Х—М(Х)| e , противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

    Р(|Х —М(Х)| e )+ Р(|Х —М(Х)| e )= 1.

    Отсюда интересующая нас вероятность

    Р(|Х —М(Х)| e )=1- Р(|Х —М(Х)| e ). (1)

    Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности Р (| Х—М(Х) | e ).

    Напишем выражение дисперсии случайной величины X:

    D(X)=[x1 -M(X)] 2 p1+[x2 -M(X)] 2 p2+…+[xn -M(X)]2pn.

    Очевидно, все слагаемые этой суммы неотрицательны.

    Отбросим те слагаемые, у которых |xi-M(Х)| e (для оставшихся слагаемых |xj-M(Х)| e ), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

    D (X) [xk+1-M (Х)] 2 pk+1 + [xk+2-M (X)] 2 pk+z+ ... +[xn-M(X)] 2 pn.

    Заметим, что обе части неравенства |xj - М (Х)| e (j = k+1, k + 2, . п) положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство |xj - М (Х)| 2 e 2 Воспользуемся этим замечанием и, заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей |xj - М (Х)| 2 числом e 2 (при этом неравенство может лишь усилиться), получим

    D (X) e 2 (рк+1 + pk+2 + … + рn). (2)

    По теореме сложения, сумма вероятностей рк+1 + pk+2 + … + рn есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений xk+1, хк+2. хп, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству |xj - М (Х)| e Отсюда следует, что сумма рк+1 + pk+2 + … + рn выражает вероятность

    P(|X - М (Х)| e).

    Это соображение позволяет переписать неравенство (2) так:

    D(X) e 2 P(|X — М (Х)| e) ,

    P(|X — М (Х)| e) D(X) / e 2 (3)

    Подставляя (3) в (1), окончательно получим

    P(|X - М (Х)| e) 1- D(X) / e 2 ,

    что и требовалось доказать.

    Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если D(X)> e 2 и, следовательно, D(X)/ e 2 >1, то 1- D (Х)/ e 2

    Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Ниже мы воспользуемся этим неравенством для вывода теоремы Чебышева.

    2. Теорема Чебышева

    Теорема Чебышева. Если Х1, Х2,…, Хn, . –попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число е, вероятность неравенства

    будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

    Другими словами, в условиях теоремы

    Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

    Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину — среднее арифметическое случайных величин

    Найдем математическое ожидание . Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим

    M = . (4)

    Применяя к величине неравенство Чебышева, имеем

    или, учитывая соотношение (4),

    Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим

    По условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, т. е. имеют место неравенства: D (X1) C; D (X2) C; . ; D (Xn) C, поэтому

    Читайте также: