Уравнения и неравенства реферат
Обновлено: 05.07.2024
· Решение иррациональных уравнений стандартного вида.
· Решение иррациональных уравнений смешанного вида.
· Решение сложных иррациональных уравнений.
IV. Иррациональные неравенства:
· Решение иррациональных неравенств стандартного вида.
· Решение нестандартных иррациональных неравенств.
· Решение иррациональных неравенств смешанного вида.
VI. Список литературы
Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают. Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств. В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.
II. Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.
Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:
Решение иррациональных уравнений стандартного вида:
а) Решить уравнение = x – 2,
2x – 1 = x 2 – 4x + 4, Проверка:
x 2 – 6x + 5 = 0, х = 5, = 5 – 2,
x2 = 1 – постор. корень х = 1, 1 – 2 ,
Ответ: 5 пост. к. 1 -1.
б) Решить уравнение = х + 4,
в) Решить уравнение х – 1 =
х 3 – 3х 2 + 3х – 1 = х 2 – х – 1,
х 3 – 4х 2 + 4х = 0,
х = 0 или х 2 – 4х + 4 = 0,
г) Решить уравнение х – + 4 = 0,
х + 4 = , Проверка:
х 2 + 8х + 16 = 25х – 50, х = 11, 11 – + 4 = 0,
х 2 – 17х + 66 = 0, 0 = 0
х1 = 11, х = 6, 6 – + 4 = 0,
Решение иррациональных уравнений смешанного вида:
· Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:
а) Решить уравнение =
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
б) Решить уравнение
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
· Иррациональные показательные уравнения:
а) Решить уравнение
Сделаем обратную замену:
– (ур-ние не имеет решений) x = 3.
б) Решить уравнение
Приведем все степени к одному основанию 2:
данное уравнение равносильно уравнению:
· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:
возведем обе части уравнения в квадрат
· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:
возведем обе части уравнения в куб
возведем обе части уравнения в куб
· Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:
а) Решить уравнение
Пусть = t, тогда = , где t > 0
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части в квадрат
б) Решить уравнение
Пусть = t, значит = , где t > 0
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень
x + 8 = 16, Проверка:
в) Решить уравнение
Пусть = t, где t > 0
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части уравнения в квадрат
Решение сложных иррациональных уравнений:
· Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность:
возведем обе части уравнения в куб
возведем обе части уравнения в квадрат
t 2 – 11t + 10 = 0,
Сделаем обратную замену: Проверка:
x = -пост. корень 0
· Иррациональные логарифмические уравнения:
а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg
lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg,
Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:
б) Решить уравнение
IV. Иррациональные неравенства
Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).
Иррациональное неравенство вида равносильно системе неравенств:
Иррациональное неравенство вида равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:
Решение иррациональных неравенств стандартного вида:
а) Решить неравенство
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ: [1; 2). 1 3 x
б) Решить неравенство
Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:
в) Решить неравенство
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ: нет решений
Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:
а) Решить неравенство
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
б) Решить неравенство
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
· Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении:
а) Решить неравенство
Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:
б) Решить неравенство (2x – 5)
Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:
· Решение иррациональных неравенств способом группировки:
сгруппируем по два слагаемых
вынесем общий множитель за скобку
учитывая, что > 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:
· Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности:
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
· Решение иррациональных неравенств заменой:
Пусть = t, тогда = , t > 0
Сделаем обратную замену:
возведем в квадрат обе части неравенства
Решение иррациональных неравенств смешанного вида:
· Иррациональные показательные неравенства:
а) Решить неравенство
0,5x(x – 3) 2 – 1,5x – 2 2 – 3x – 4 2 – 3x – 4,
б) Решить неравенство 4– 2 0
2– 2 2 4 – 2 5 , выполним группировку слагаемых
2(2– 2) – 2 4 (2–2) 4 ) t , то т.к. y = 2 t , то
· Решение иррациональных логарифмических неравенств:
уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств
Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.
Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.
Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и абитуриентам технических вузов.
VI. Список литературы
1) Алгебра и начала анализа. Под редакцией А.Н. Колмогорова
2) 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин
3) Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович
4) Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави
5) Справочный материал
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 8510
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 20
Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+5=8х-1. Уравнение х2+1=0 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) =0 имеет два корня: х1= -3, х2=4.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.
При решении уравнений используются следующие свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Уравнение ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Если а¹0, то уравнение имеет единственное решение .
Если а=0, b=0, то уравнению удовлетворяет любое значение х.
Если а=0, b¹0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0х=b не выполняется ни при одном значении переменной.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:
Пример 2. Решить уравнения:
Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения.
3х2-5х=0; х(3х-5)=0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, получаем х1=0; х2= .
Разложить на множители левую часть уравнения:
х2(х-2)-9(х-2)=(х-2)(х2-9)=(х-2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)=0. Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа х1=2, х2=3, х3=-3.
с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+12=0, х(х+3)+4(х+3)=0, (х+3)(х+4)=0, отсюда х1=-3, х2=- 4.
Пример 3. Решить уравнение: ½х+1ç+½х-1ç=3.
Напомним определение модуля числа:
Например: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.
В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х меньше, чем –1, то число х+1 отрицательное, тогда ½х+1½=-х-1. А если х>-1, то ½х+1½=х+1. При х=-1 ½х+1½=0.
а) Рассмотрим данное уравнение½х+1½+½х-1½=3 при х£-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+1=3, -2х=3, х= , это число принадлежит множеству х£-1.
х+1+х-1=3, 2х=3, х= . Это число принадлежит множеству х>1.
Ответ: х1=-1,5; х2=1,5.
Пример 4. Решить уравнение:½х+2½+3½х½=2½х-1½.
–2 1, х+2+3х=2(х-1), 2х=- 4, х=-2Ï(1; +¥)
Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х=(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а.
В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра а.
Если а=1, то уравнение имеет вид 0×х=0, этому уравнению удовлетворяет любое число.
Если а=-1, то уравнение имеет вид 0×х=-2, этому уравнению не удовлетворяет ни одно число.
Если а¹1, а¹-1, тогда уравнение имеет единственное решение .
Ответ: если а=1, то х – любое число;
если а=-1, то нет решений;
2. Системы уравнений с двумя переменными.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является решением первой системы или они обе не имеют решений.
При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.
Пример 1. Решить систему уравнений:
Для решения этой системы применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х и подставим это значение во второе уравнение системы, получим
Пример 2. Решить систему уравнений:
Для решения этой системы применим метод сложения уравнений. 8х=16, х=2. Подставим значение х=2 в первое уравнение, получим 10-у=9, у=1.
Пример 3. Решить систему уравнений:
Эта система равносильна одному уравнению 2х+у=5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: (х; 5-2х), х–любое.
Пример 4. Решить систему уравнений:
Умножим первое уравнение на –2 и сложим со вторым уравнением, получим 0×х+0×у=-6. Этому уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Следовательно, эта система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.
Пример 5. Решить систему:
Из второго уравнения выражаем х=у+2а+1 и подставляем это значение х в первое уравнение системы, получаем . При а=-2 уравнение не а=-2 имеет решения, если а¹-2, то .
Ответ: при a=-2система не имеет решения,
при а¹-2 система имеет решение .
Пример 6. Решить систему уравнений:
Нам дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Применим метод Гаусса, который состоит в том, что равносильными преобразованиями приводят данную систему к треугольной форме. Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на –2.
Далее к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на –3,
наконец прибавим к этому уравнению уравнение у-z=-1, умноженное на 2, получим - 4z=-12, z=3. Итак получаем систему уравнений:
z=3, которая равносильна данной.
Система такого вида называется треугольной.
3. Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений.
Покажем на примерах, как можно решать задачи с помощью уравнений и систем уравнений.
Пример 1. Сплав олова и меди массой 32 кг содержит 55% олова. Сколько чистого олова надо добавить в сплав, чтобы в новом сплаве щсодержалось 60% олова?
Решение. Пусть масса олова, добавленная к исходному сплаву, составляет х кг. Тогда сплав массой (32+х)кг будет содержать 60% олова и 40% меди. Исходный сплав содержал 55% олова и 45% меди, т.е. меди в нем было 32·0,45 кг. Так как масса меди в исходном и новом сплавах одна и та же, то получим уравнение 0,45·32=0,4(32+х).
Решив его, находим х=4, т.е. в сплав надо добавить 4 кг олова.
Пример 2. Задумано двузначное число, у которого цифра десятков на 2 меньше цифры единиц. Если это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 6. Какое число задумано?
Решение. Пусть цифра единиц есть х, тогда цифра десятков равна х-2 (х>2), задуманное число имеет вид 10(х-2)+х=11х-20. Сумма цифр числа х-2+х=2х-2. Следовательно, разделив 11х-20 на 2х-2, получим в частном 4 и в остатке 6. Составляем уравнение: 11х-20=4(2х-2)+6, т.к. делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток. Решив это уравнение, получим х=6. Итак, было задумано число 46.
Пример 3. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?
Решение. Пусть в первом ящике было х орехов, в третьем – y. Тогда во втором ящике было х+0,1х=1,1х или y+0,3y=1,3y. Учитывая, что в первом ящике было на 80 орехов больше, чем в третьем, составляем систему уравнений:
, откуда y=440, х=520, 1,1х=572.
Замечание. Можно эту задачу решить, не составляя системы уравнений. Пусть в первом ящике было х орехов, тогда в третьем — х-80, во втором — 1,1х или 1,3(х-80). Имеем уравнение: 1,1х=1,3(х-80), х=520.
Ответ: в первом ящике было 520 орехов, во втором — 572, в третьем — 440.
Пример 4. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин. вышли навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин. раньше, а легковой автомобиль на 15 мин. позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?
Решение. Пусть скорость автобуса V1 км/ч, скорость легкового автомобиля V2 км/ч. Так как их встреча произошла через 1,5 ч, то имеем уравнение:1,5V1+1,5V2 =180. Если бы автобус вышел на 1ч 15 мин. раньше, то он был бы в пути 2 ч 30 мин. (7 ч 35 мин. – 5 ч 5 мин.= 2 ч 30 мин.). Если бы легковой автомобиль вышел на 15 мин. позже, то он был бы в пути 1 ч (7 ч 35 мин. – 6 ч 35 мин.= 1ч). Получаем уравнение: 2,5V1 +V2 =180.
Таким образом, имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
, откуда V1=40 км/ч, V2=80 км/ч.
Ответ: 40 км/ч, 80 км/ч.
4. Линейные неравенства с одной переменной.
Если переменной х придать какое-либо числовое значение, то мы получим числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство 5х-1>3х+2. При х=2 получим 5·2-1>3·2+2 – истинное высказывание (верное числовое высказывание); при х=0 получаем 5·0-1>3·0+2 – ложное высказывание. Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной – значит найти множество всех его решений.
Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.
Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяем более простым равносильным ему неравенством и т.д.
Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.
Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Линейным называется неравенство вида ax+b>0 (соответственно ax+b .
Пример 2. Решить неравенство: .
Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части неравенства на положительное число 6, оставив без изменения знак неравенства.
, далее последовательно получаем ; .
Последнее неравенство верно при любом значении х, так как при любом значении переменной х получается истинное высказывание 0>-55. Поэтому множеством его решений служит вся числовая прямая.
Пример 3. Решить неравенство: ½х-1½ (1) (2)
решая эту совокупность получим (2), таким образом решением этого неравенства является промежуток (-2; 4).
Пример 4. Решить неравенство:½х+1½>2-х.
отсюда х>0,5 из первой системы, а вторая система – не имеет решения.
5. Система и совокупности неравенств.
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти множество общих решений заданных неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.
Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих систему. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой.
Иногда используется запись в виде двойного неравенства. Например, систему неравенств можно записать в виде двойного неравенства .
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если ставится задача найти множество таких решений, каждое из которых является решением хотя бы одного из этих неравенств.
Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называется решением совокупности неравенств.
Множество решений совокупности неравенств есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность. Неравенства, образующие совокупность, иногда объединяются квадратной скобкой. Так, запись означает, что неравенства образуют совокупность.
Пример 1. Решить систему неравенств: Û
С помощью числовой прямой находим, что пересечением этих множеств служит интервал . Это и есть множество решений данной системы.
Пример 2. Решить совокупность неравенств:
Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность, равносильную данной
Объединением этих множеств служит промежуток , который и является решением совокупности неравенств.
6. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
Известно, что пара действительных чисел (х0; у0) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изображать множество решений неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.
Пример 1. Дать геометрическую интерпретацию решения неравенства .
Преобразуем данное неравенство к виду .
Построим в прямоугольной системе координат прямую .
Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой , больше, чем ордината точки, лежащей на прямой и имеющей такую же абсциссу, то множество точек плоскости, расположенных выше этой прямой и служит геометрической интерпретацией решения заданного неравенства.
Геометрическая интерпретация позволяет записать решение в виде
(для составления второй записи нужно преобразовать уравнение к виду, разрешенному относительно х).
Пример 2. Решить систему неравенств:
Найдем на координатной плоскости пересечение областей , получим геометрическое решение заданной системы неравенств.
Для того, чтобы записать решения, найдем координаты точек пересечения линий , .
Решив систему уравнений найдем координаты искомых точек: (1; 4) и (4; 1), таким образом приходим к системе
Задания для самостоятельного решения
Приведенные ниже задачи, являются контрольным заданием. Необходимо решить все задачи, однако, если это не удалось, присылайте те, которые решены. Правила оформления работ смотрите во вступительной статье.
М9.1.1 Решить уравнения:
М9.1.2 Указать, при каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечно много решений:
М9.1.3 Указать, при каких значениях параметра а уравнение не имеет решений:
М9.1.4 Решить систему уравнений:
М9.1.5 При каких значениях параметра а система имеет бесконечно много решений?
М9.1.6 Решить задачи:
а) сплав состоит из цинка и меди, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?
б) расстояние между пристанями А и В теплоход проходит по течению за 5 ч, а против течения за 6 ч. За сколько часов проплывет по течению это расстояние плот?
М9.1.7 Решить неравенство:
М9.1.8 Решить совокупность неравенств:
М9.1.9 Найти геометрические решения систем неравенств и, по крайней мере, один из видов записи решений:
2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную.
3) Графическое решение неравенств второй степени
4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
5) Решение рациональных неравенств методом интервалов
6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
1. Основное понятие неравенства
Неравенство [inequality] -- соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования -- линейные неравенства вида
где a1. an, b -- постоянные и знак * -- один из знаков неравенства, напр. ?, [1]
Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.
Неравенство - алгебраическое, второй степени.
2. Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную
2) Если a>b b>c a>c;
4) Если a+b>c a> c-b;
5) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;
6) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же число и изменить знак на противоположный, то получится верное неравенство;
7) Множество всех х, при которых имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения неравенства f(x) >g(x);
8) Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если они имеют общее множество решений (множество решений этих неравенств совпадают);
9) Если к обеим частям неравенства прибавить(или вычесть) любую функцию J(x). область определения которой содержит область определения неравенств, то получится новое неравенств, равносильное данному;
10) Если обе части неравенства f(x) >g(x) умножить (или разделить) на любую функцию J(x), определенную для всех значений переменной х из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при J(x)>0 получится неравенство, равносильное данном, а при J(x) g(x). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.
3. Графическое решение неравенств второй степени
1) Графиком квадратичной функции y = ах 2 +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а 0 и выпуклостью вверх, если а 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а 2 +bх + с a>0 D>0 y = ах 2 +bх + с a 0,
Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах 2 + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a 2 + х + с
y = ах 2 +bх + с a>0 D=0 y = ах 2 +bх + с a 2 +bх + с не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a>0 и ниже ее при a 2 +bх + с a>0 D 2 +bх + с a 2 -4х ;
1. Пусть f(x) = 3х 2 -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x) ;
2. Найдем нули функции.
Пусть f(x)=х 2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,
4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными
1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.
f(5) = - 1 - 20 = - 10 2 +х-2
Пусть f(x)=х 2 +х-2 тогда найдем такие х при которых f(x) 3 -4х 2 -4) g(x) и (f(x)) 2 >(g(x)) 2 равносильны.
Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:
Цель исследования: рассмотреть математические понятия, уравнения, выражения, неравенства и изучить работу с ними.
Объект исследования: уравнения, выражения, неравенства.
Предмет исследования: математические понятия, понятие уравнения, основные понятия неравенства.
Вложенные файлы: 1 файл
МАТЕМАТИКА КУРСОВАЯ.docx
ВВЕДЕНИЕ
При изучении математики очень важна логическая структура математических понятий. К алгебраическим мат Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражения, уравнения, неравенства. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальном курсе математике. Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в употреблении терминов обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств. Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изучению материала данного параграфа, - это уточнить и углубить знания о выражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и числовых неравенствах, уравнениях и неравенствах.
Изучение данных понятий связанно с использованием математического языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой, математический язык имеет свой алфавит.
Неравенство числовое - высказывание вида а b, где или b, то b а.
К обеим частям истинного (верного) числового неравенства можно прибавлять одно и то же число, в результате получим истинное неравенство. Умножая обе части истинного числового неравенства аbс.
Содержание линии неравенств развертывается на протяжении всего школьного курса математики. Учитывая важность и обширность материала этой линии, еще раз отметим целесообразность на заключительных этапах обучения предлагать достаточно разнообразные и сложные задания, рассчитанные на активизацию наиболее существенных компонентов этой линии, основных понятий и основных приемов решения, исследования и обоснования заданий.
Выражение в математике - это практически всё, с чем мы собственно и имеем дело в математике. Уравнения, дроби, примеры, формулы. 1+1 - это выражение, a+b+c - это выражение, уравнение 5x+12=37 - это 2 математических выражения, соединённые знаком равенства. Дробь - математическое выражение, состоящее из числителя и знаменателя.
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначаемые буквами. Неизвестные числа в уравнении называют переменными. Переменные чаще всего обозначают буквами х, y, z хотя их можно обозначить и другими буквами.
Актуальность исследования: системная работа с уравнениями, неравенствами и выражениями, является базой качественного обучения.
Цель исследования: рассмотреть математические понятия, уравнения, выражения, неравенства и изучить работу с ними.
Объект исследования: уравнения, выражения, неравенства.
Предмет исследования: математические понятия, понятие уравнения, основные понятия неравенства.
Гипотеза исследования: определения уравнения, выражения, неравенства и их свойства создают более глубокие понятия в усвоении данных тем.
Задачи исследования: рассмотреть виды уравнений, неравенства,
В работе использовались следующие методы исследования:
- Теоретический анализ и синтез;
- Изучение литературы, различных источников;
- Изучение и обобщение педагогического опыта;
Структура работы состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
ГЛАВА I. ВЫРАЖЕНИЯ
1.1 Понятие выражения в математике
Выражения в математике - основа всей математики. Вся математика состоит из выражений и их преобразований.
Для начала выясним, что такое выражение в математике. Что такое числовое выражение и что такое алгебраическое выражение. Выражение в математике - это очень широкое понятие. Практически всё то, с чем мы имеем дело в математике - это набор математических выражений. Любые примеры, формулы, дроби, уравнения и так далее - это всё состоит из математических выражений.[2]
3+2 - это математическое выражение. с2- d2 - это тоже математическое выражение. И здоровущая дробь, и даже одно число - это всё математические выражения. Уравнение, например, вот такое:
состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства. Одно выражение - слева, другое - справа.
Вот в этих целях фраза "математическое выражение" очень хороша. И правильно, и солидно. Но для практического применения надо хорошо разбираться в конкретных видах выражений в математике.
Конкретный вид- это другое дело. У каждого вида математических выражений есть свой набор правил и приёмов, который необходимо использовать при решении. Для работы с дробями - один набор. Для работы с тригонометрическими выражениями - второй. Для работы с логарифмами - третий. И так далее. Где-то эти правила совпадают, где-то - резко отличаются. Логарифмы, тригонометрию и прочие загадочные вещи мы будем осваивать в соответствующих разделах.
1.2 Числовые выражения.
Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением.
7-3 - числовое выражение.
Главный признак числового выражения - в нём нет букв. Никаких. Только числа и математические значки.
Числовые выражения, как правило, можно считать. Для этого приходится раскрывать скобки, менять знаки, сокращать, менять местами слагаемые - т.е. делать преобразования выражений. [16]
Мы разберёмся с таким случаем, когда с числовым выражением ничего делать не надо. Выражение не имеет смысла.
Когда числовое выражение не имеет смысла?
Однако, это выражение тоже не имеет смысла. По той простой причине, что во вторых скобках - если посчитать - получается ноль. А на ноль делить нельзя. Это запретная операция в математике. Стало быть, с этим выражением тоже ничего делать не надо. При любом задании с таким выражением, ответ будет всегда один: выражение не имеет смысла.
1.3 Алгебраические выражения.
Если в числовом выражении появляются буквы, оно становится алгебраическим выражением. Например:
5а2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x2+4x-4; (а+b)2; .
Ещё такие выражения называют буквенными выражениями. Или выражениями с переменными. Это, практически, одно и то же. Выражение 5а +с, к примеру - и буквенное, и алгебраическое, и выражение с переменными.
Понятие алгебраическое выражение - более широкое, чем числовое. Оно включает в себя и все числовые выражения. Т.е. числовое выражение - это тоже алгебраическое выражение, только без букв. Фраза выражение с переменными тоже не сильно озадачивает. Если понимать, что под буквами скрываются числа. Всякие числа могут скрываться под буквами. И 5, и -18, и всё, что угодно. Т.е букву можно заменять на разные числа. Поэтому буквы и называются переменными.
В выражении у+5, например, у - переменная величина. Или говорят просто "переменная", без слова "величина". В отличие от пятёрки, которая - величина постоянная. Или просто - постоянная.
Термин алгебраическое выражение означает, что для работы с данным выражением нужно использовать законы и правила алгебры. Если арифметика работает с конкретными числами, то алгебра - со всеми числами разом. Простой пример для пояснения.
В арифметике можно записать, что
Посчитать, и все дела. Слева 8, и справа 8. А для других чисел такое равенство выполняется? Тоже можно записать и посчитать. Но чисел - бесконечное количество. И что, каждый раз считать?!
А вот если мы подобное равенство запишем через алгебраические выражения:
мы сразу решим все вопросы. Для всех чисел махом. Для всего бесконечного количества. Потому, что под буквами а и b подразумеваются все числа. И не только числа, но даже и другие математические выражения. Вот так работает алгебра.
В каких случаях алгебраическое выражение не имеет смысла.
Возьмём для примера вот такое выражение с переменными:
Но есть одно значение а, при котором это выражение точно не имеет смысла. Это 5. Если переменную а заменить (говорят - "подставить") на число 5, в скобочках ноль получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение не имеет смысла, если а = 5. Алгебраическое выражение 2: (а - 5) имеет смысл для любых значений а, кроме а = 5.
Весь набор чисел, которые можно подставлять в заданное выражение, называется областью допустимых значений этого выражения.
1.4 Преобразование выражений. Тождественные преобразования.
Мы познакомились с числовыми и алгебраическими выражениями. Теперь надо разобраться, что такое преобразование выражений Это любое действие с выражением. Возьмём крутое числовое выражение 3+5.
Вот этот расчёт и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:
Записали выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать вот так:
И это тоже - преобразование выражения. Таких преобразований можно понаделать сколько хочешь. [15]
Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. Но есть здесь одно очень важное правило. Настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, вот так:
Вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Три плюс пять можно записать в каком угодно виде, но это должно быть восемь.
Преобразования, не меняющие сути выражения, называются тождеств енными.
Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, превращать сложный пример в простое выражение, сохраняя суть примера. Если в цепочке преобразований мы ошибёмся, сделаем НЕ тождественное преобразование, дальше мы будем решать уже другой пример. С другими ответами, которые не имеют отношения к правильным.
Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.
Пример с числовыми выражением 3+5 я привёл для наглядности. В алгебраических выражениях тождественные преобразования даются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:
Значит, мы в любом примере можем вместо выражения a(b+c) смело написать выражение ab + ac. И наоборот. Это тождественное преобразование. Математика предоставляет нам выбор из этих двух выражений. А уж какое из них писать - от конкретного примера зависит.
Ещё пример. Одно из самых главных и нужных преобразований - это основное свойство дроби. Правило: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится. Вот пример тождественных преобразований по этому свойству:
Эту цепочку можно продолжать до бесконечности
Формул, задающих тождественные преобразования, - много. Но самых главных - вполне разумное количество. Одно из базовых преобразований - разложение на множители. Оно используется во всей математике - от элементарной до высшей.
Читайте также: