Уравнения гиперболического типа реферат
Обновлено: 05.07.2024
Целью настоящей главы является рассмотрение свойств и методов решения начально-краевых задач для уравнения колебаний
Это уравнение мы будем рассматривать как с постоянными, так и с переменными коэффициентами, в ограниченной области и в неограниченном пространстве. Причем рассмотрение будет одновременно проводиться для случая как одной, так и многих пространственных переменных.
Мы начнем с рассмотрения обоснования постановки начально-краевой задачи для уравнения колебаний в ограниченной области.
§ 1. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Пусть задана ограниченная область с кусочно-гладкой границей допускающей применение формул Грина. Начально-краевая задача для уравнения колебаний области заключается в определении в цилиндре функции удовлетворяющей уравнению колебаний, начальным и граничному условиям:
Определение классического решения задачи (1.1) — (1.3) было дано в гл. III. Напомним его.
Определение. Классическим решением начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) называется функция непрерывная вместе с первыми производными в замкнутом цилиндре имеющая непрерывные производные второго порядка в открытом цилиндре удовлетворяющая в уравнению (1.1), начальным условиям (1.2) и граничному условию (1.3).
Если граничное условие (1.3) есть условие Дирихле то непрерывность первых производных по в замкнутой области не требуется.
Заметим, что для существования классического решения необходимо (но недостаточно) выполнение условия согласования начального и граничного условий следующего вида:
Будем предполагать, что и причем а
В силу линейности начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) можно провести ее редукцию и представить решение в виде суммы решений трех задач (см. гл. III):
-решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными и однородными граничными условиями, -решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными и граничными условиями, решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний с однородными начальными и неоднородными граничными условиями. Причем с помощью методов, изложенных в гл. III, третья задача может быть сведена к первым двум. Поэтому в этой главе мы сосредоточим внимание на построении и изучении решений первых двух задач.
§ 2. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
Докажем следующую теорему.
Теорема 7.1. Задача (1.1) — (1.3) может иметь только одно классическое решение.
Доказательство. Предположим, что задача (1.1) — (1.3) имеет два классических решения: Рассмотрим их разность:
В силу линейности задачи (1.1) — (1.3) функция является классическим решением следующей однородной начальнокраевой задачи:
Используя функцию построим интеграл
Функция неотрицательна: и в силу начальных условий (2.2)
Покажем, что интеграл не изменяется во времени. Для этого вычислим его производную (дифференцирование по под знаком интеграла в (2.4) возможно)
Согласно первой формуле Грина (см. (2.2), § 2 гл. III)
Подставляя (2.7) в (2.6) и учитывая уравнение (2.1), получаем
Для первой краевой задачи и для второй краевой задачи в силу (2.3) из (2.8) находим Следовательно, Согласно Поэтому при всех 0. Для третьей краевой задачи согласно (2.3) и (2.8) получаем
Из (2.5) и (2.2) следует, что Поэтому при всех
Так как отсюда вытекает, что при всех
Итак, для всех трех краевых задач Учитывая выражение (2.4) для получаем
Следовательно, В силу т. е. Таким образом, задача (2.1) — (2.3) имеет только тривиальное решение, а решение задачи (1.1) — (1.3) единственно.
1) Доказательство теоремы единственности не зависит от размерности пространственной области
2) Используемый при доказательстве теоремы 7.1 интеграл имеет физический смысл полной (кинетической и потенциальной) энергии колебаний системы. Второе слагаемое в левой части формулы (2.9) в случае граничных условий третьего рода имеет физический смысл энергии упругого закрепления.
§ 3. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ
С помощью интеграла энергии введенного в предыдущем параграфе, можно доказать устойчивость в пространстве классического решения начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) по правой части уравнения и начальным условиям. Напомним, что, как было показано в гл. III при рассмотрении общей схемы метода разделения переменных, задача с неоднородными граничными условиями всегда может быть сведена к задаче с однородными граничными условиями.
Мы проведем доказательство теоремы устойчивости для одномерной начально-краевой задачи на отрезке:
постоянный коэффициент. Напомним, что, когда задача (3.1), (3.2) является математической моделью задачи о продольных колебаниях упругого стержня, где линейная плотность стержня, коэффициент упругости.
Теорема 7.2. Решение задачи (3.1) — (3.3) устойчиво в пространстве по правой части и начальным данным.
Доказательство. Составим функцию (интеграл энергии)
Для интеграла (3.4) выполнены условия дифференцируемости по параметру. Продифференцировав по параметру получим
где штрих означает производную по
Второй интеграл в правой части формулы (3.5) проинтегрируем по частям, учитывая, что в силу граничных условий (3.3) подстановки обратятся в нуль. В результате, учитывая уравнение (3.1), будем иметь
и, используя неравенство Коши-Буняковского, получим
где норма в пространстве определяется следующим образом:
С другой стороны, из формулы (3.4) вытекает, что
Из неравенств (3.6) и (3.7) следует неравенство
интегрируя которое по получим
Формулы (3.7) и (3.9) дают
Продифференцируем по квадрат нормы функции
и применим неравенство Коши-Буняковского
Отсюда в силу неравенства (3.10) получим неравенство
которое после интегрирования от 0 до примет вид
Двойной интеграл при легко оценивается:
Учтем теперь, что
Окончательно при из неравенств (3.11) и (3.13) получаем
Последнее неравенство означает устойчивость решения задачи по правой части и начальным функциям: для любого найдутся такие положительные постоянные что если выполняются неравенства то при
Читайте также: