Угол между прямой и плоскостью реферат

Обновлено: 02.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

- Что называют углом между прямой и плоскостью?

- Как изображают наклонную и плоскость на рисунке?

- Каковы приемы решения стереометрических задач?

- Как это поможет успешно сдать ЕГЭ?

Ранее мы уже определили понятия перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости; основания перпендикуляра; наклонной и ее проекции. Построим рисунок на плоскости, выделим знакомые элементы. Изобразим плоскость α в виде замкнутой кривой линии. Такой рисунок плоскости, как и любой другой, вполне допустим, так как плоскость не имеет границ.

Соединим точку А (точку пересечения прямой и плоскости) и точку В (проекцию точки М на плоскость), Отрезок АВ является проекцией наклонной АМ на плоскость А, это мы определили ранее.

Небольшая иллюстрация проекции прямой на плоскость при помощи луча дает понимание того, что проекцией прямой на плоскость является прямая. Но утверждать это можно только с помощью доказательства.

Теорема: Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

Используем имеющийся рисунок.

Проведем через точки М, А и В плоскость β. Получим прямую а ₁ пересечения плоскостей _. Докажем, что эта прямая является проекцией прямой а на плоскость α.

Возьмем произвольную точку М ₁ на прямой а. Проведем прямую М ₁ Р параллельно МВ.

Получим некоторую точку Н пересечения прямой а ₁ и прямой М ₁ Р и точку Н ₁ пересечения прямой М ₁ Р и плоскости α (проекции точки М ₁ на плоскость α).

Докажем, что точки Н и Н ₁ совпадают.

Действительно, отрезок М ₁ Н перпендикулярен прямой а ₁ (это следует из того, что он параллелен МВ, а отрезок МВ перпендикулярен прямой а ₁ )

Отрезок М ₁ Н ₁ перпендикулярен прямой а ₁ (это следует из того, что отрезок М ₁ Н ₁ перпендикулярен плоскости α, следовательно перпендикулярен любой прямой в плоскости в том числе прямой а ₁ . Из одной точки можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой, отсюда следует, что точки Н и Н ₁ совпадают, а проекция точки М ₁ лежит на прямой а ₁ .

Представим прямую а как множество точек. Проекции этих точек принадлежат прямой а ₁ . Из этого следует, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой является прямая.

Используя известные математические термины, составим определение :

Углом между прямой и плоскостью , пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Если прямая пересекает плоскость перпендикулярно, ее проекцией будет точка пересечения этой прямой и плоскости. В таком случае величина угла между прямой и плоскостью считается равной 90 0 .

АВ – проекция наклонной

ВМ – перпендикуляр из М на ,

В – основание перпендикуляра,

В проекция М на .

Теорема: Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

Добавить к рисунку плоскость β

Добавить прямую a ₁ пересечения плоскостей.

Провести в плоскости β прямую М ₁ Р параллельно МВ

Доказать что а ₁ проекция а

Провели : М, А и В .

Получаем а ₁ проекция а.

АМВ–угол между а и

Если прямая пересекает плоскость перпендикулярно, ее проекцией будет точка пересечения этой прямой и плоскости. В таком случае величина угла между прямой и плоскостью считается равной 90 0 .

Некоторые полезные выводы:

- Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к плоскости, является прямая;

- Проекцией отрезка на плоскость, не перпендикулярного к плоскости, является отрезок, концами которого являются проекции концов отрезка;

- Проекцией прямой и отрезка на плоскость, перпендикулярных к плоскости является точка;

- Угол между наклонной и плоскостью (между наклонной и ее проекцией) является наименьшим из всех углов, образованных этой наклонной с любой прямой принадлежащей плоскости;

- Угол между перпендикуляром к плоскости и самой плоскостью Равен 90 0 .

-Если данная прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В таком случае угол между параллельными прямой и плоскостью считают равным 0.

Чтобы построить проекцию какой-нибудь фигуры F на плоскость, надо построить проекции всех ее точек на данную плоскость.

- Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к плоскости, является прямая;

- Проекцией прямой и отрезка на плоскость, перпендикулярных к плоскости является точка;

- Угол между перпендикуляром к плоскости и самой плоскостью Равен 90 0 .

- Чтобы построить проекцию какой-нибудь фигуры F на плоскость, надо построить проекции всех ее точек на данную плоскость

Задача 1: Дан куб ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ . Сторона АВ равна 1дм. Найдите величину угла между диагональю куба B ₁ D и плоскостью ABC .

Отрезок B ₁ B – перпендикулярен плоскости ABC . Соединим основание перпендикуляра точку В и точку пересечения прямой B ₁ D с плоскостью АВС, получим отрезок BD , проекцию наклонной B ₁ D .

Найти угол BDB _1.

Треугольник BB ₁ D прямоугольный.

Найдем тангенс угла BDB ₁ . Он равен отношению B ₁ B к BD . Все ребра куба равны, значит B ₁ B =1, а BD 2 =В ₁ В 2 + BD 2 = 1 2 +1 2 (по теореме Пифагора) BD = .

tgBDB ₁ = . получили табличное значение тангенса угла, тогда, угол BDB ₁ равен 45 0 .

Дан куб ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ . Сторона АВ равна 1дм. Найдите величину угла между диагональю куба B ₁ D и плоскостью ABC .

Найти: угол между B ₁ D и ABC .

Δ BB ₁ D –прямоугольный, по определению куба.

B ₁ B =1, по т. Пифагора: BD 2 =1 2 +1 2

tgBDB ₁ = . Следует, BDB ₁ =45 0 .

Ответ: угол между B ₁ D и ABC равен 45º.

В ЕГЭ эта тема представлена задачами подобного содержания: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35, SD=37. Найдите длину отрезка BD.

Решение: Отрезок OD – проекция наклонной SD на плоскость АВС равна половине отрезка В D . Треугольник SOD прямоугольный. Применим теорему Пифагора: OD 2 +35 2 =37 2 ;

OD 2 =1369-1225=144;

Текст: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35, SD=37. Найдите длину отрезка BD.

Дано: SABCD правильная пирамида,

О– центр основания,

Отрезок OD – проекция наклонной SD на плоскость АВС равна половине отрезка В D .

Статья начинается с определение угла между прямой и плоскостью. В данной статье будет показано нахождение угла между прямой и плоскостью методом координат. Подробно будут рассмотрены решение примеров и задач.

Угол между прямой и плоскостью – определение

Предварительно необходимо повторить понятие о прямой линии в пространстве и понятие плоскости. Для определения угла между прямой и плоскостью необходимый несколько вспомогательных определений. Рассмотрим эти определения подробно.

Прямая и плоскость пересекаются в том случае, когда они имеют одну общую точку, то есть она является точкой пересечения прямой и плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, может являться перпендикулярной относительно плоскости.

Прямая является перпендикулярной к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, находящейся в этой плоскости.

Проекция точки M на плоскость γ является сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо является точкой пересечения плоскости с прямой, перпендикулярной плоскости γ , проходящей через точку M , при условии, что она не принадлежит плоскости γ .

Проекция прямой а на плоскость γ - это множество проекций всех точек заданной прямой на плоскость.

Отсюда получаем, что перпендикулярная к плоскости γ проекция прямой имеет точку пересечения. Получаем, что проекция прямой a – это прямая, принадлежащая плоскости γ и проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

На данный момент имеем все необходимые сведения и данные для формулировки определения угла между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость, причем прямая не перпендикулярна к ней.

Определение угла, приведенное выше, помогает прийти к выводу о том, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми, то есть заданной прямой вместе с ее проекцией на плоскость. Значит, угол между ними всегда будет острым. Рассмотрим на картинке, приведенной ниже.

Угол, расположенный между прямой и плоскостью, считается прямым, то есть равным 90 градусов, а угол, расположенный между параллельными прямыми, не определяется. Бывают случаи, когда его значение берется равным нулю.

Нахождение угла между прямой и плоскостью

Задачи, где необходимо найти угол между прямой и плоскостью, имеет множество вариация решения. Ход самого решения зависит от имеющихся данных по условию. Частыми спутниками решения являются признаки подобия или равенства фигур, косинусы, синусы, тангенсы углов. Нахождение угла возможно при помощи метода координат. Рассмотрим его более детально.

Если в трехмерном пространстве вводится прямоугольная система координат О х у z , тогда в ней задается прямая a , пересекающая плоскость γ в точке M , причем она не перпендикулярна плоскости. Необходимо найти угол α , находящийся между заданной прямой и плоскостью.

Для начала необходимо применить определение угла между прямой и плоскостью методом координат. Тогда получим следующее.

В системе координат О х у z задается прямая a , которой соответствуют уравнения прямой в пространстве и направляющий вектор прямой пространства, для плоскости γ соответствует уравнение плоскости и нормальный вектор плоскости. Тогда a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим вектором заданной прямой a , а n → ( n x , n y , n z ) - нормальным вектором для плоскости γ . Если представить, что у нас имеются координаты направляющего вектора прямой a и нормального вектора плоскости γ , тогда известны их уравнения, то есть заданы по условию, тогда есть возможность определения векторов a → и n → , исходя из уравнения.

Для вычисления угла необходимо преобразовать формулу, позволяющую получить значение этого угла при помощи имеющихся координат направляющего вектора прямой и нормального вектора.

Необходимо отложить векторы a → и n → , начиная от точки пересечения прямой a с плоскостью γ . Существуют 4 варианта расположения этих векторов относительно заданных прямых и плоскости. Рассмотри рисунок, приведенный ниже, на котором имеются все 4 вариации.

Отсюда получаем, что угол между векторами a → и n → имеет обозначение a → , n → ^ и является острым, тогда искомый угол α , располагающийся между прямой и плоскостью, дополняется, то есть получаем выражение вида a → , n → ^ = 90 ° - α . Когда по условию a → , n → ^ > 90 ° , тогда имеем a → , n → ^ = 90 ° + α .

Отсюда имеем, что косинусы равных углов являются равными, тогда последние равенства записываются в виде системы

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^ 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ > 90 °

Необходимо использовать формулы приведения для упрощения выражений. Тогда получим равенства вида cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^ 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ > 90 ° .

Проведя преобразования, система приобретает вид sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Отсюда получим, что синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором заданной плоскости.

Раздел нахождения угла, образованного двумя векторами, выявили, что этот угол принимает значение скалярного произведения векторов и произведения этих длин. Процесс вычисления синуса угла, полученного пересечением прямой и плоскости, выполняется по формуле

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → · n → = a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2

Значит, формулой для вычисления угла между прямой и плоскостью с координатами направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости после преобразования получается вида

α = a r c sin a → , n → ^ a → · n → = a r c sin a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2

Нахождение косинуса при известном синусе позволительно, применив основное тригонометрическое тождество. Пересечение прямой и плоскости образует острый угол. Это говорит о том, что его значение будет являться положительным числом, а его вычисление производится из формулы cos α = 1 - sin α .

Выполним решение нескольких подобных примеров для закрепления материала.

Найти угол, синус, косинус угла, образованного прямой x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 и плоскостью 2 x + z - 1 = 0 .

Для получения координат направляющего вектора необходимо рассмотреть канонические уравнения прямой в пространстве. Тогда получим, что a → = ( 3 , - 2 , 6 ) является направляющим вектором прямой x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 .

Для нахождения координат нормального вектора необходимо рассмотреть общее уравнение плоскости, так как их наличие определяется коэффициентами, имеющимися перед переменными уравнения. Тогда получим, что для плоскости 2 x + z - 1 = 0 нормальный вектор имеет вид n → = ( 2 , 0 , 1 ) .

Необходимо перейти к вычислению синуса угла между прямой и плоскостью. Для этого необходимо произвести подстановку координат векторов a → и b → в заданную формулу. Получаем выражение вида

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → · n → = a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 · 2 + ( - 2 ) · 0 + 6 · 1 3 2 + ( - 2 ) 2 + 6 2 · 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

Отсюда найдем значение косинуса и значение самого угла. Получим:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

Ответ: sin α = 12 7 5 , cos α = 101 7 5 , α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5 .

Имеется пирамида, построенная при помощи значений векторов A B → = 1 , 0 , 2 , A C → = ( - 1 , 3 , 0 ) , A D → = 4 , 1 , 1 . Найти угол между прямой A D и плоскостью А В С .

Для вычисления искомого угла, необходимо иметь значения координат направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. для прямой A D направляющий вектор имеет координаты A D → = 4 , 1 , 1 .

Нормальный вектор n → , принадлежащий плоскости А В С , является перпендикулярным вектору A B → и A C → . Это подразумевает то, что нормальным вектором плоскости А В С можно считать векторное произведение векторов A B → и A C → . Вычислим это по формуле и получим:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = ( - 6 , - 2 , 3 )

Необходимо произвести подстановку координат векторов для вычисления искомого угла, образованного пересечением прямой и плоскости. получим выражение вида:

α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

Если прямая АВ пересекает плоскость α и не перпендикулярна α, то углом между прямой АВ и плоскостью α называется угол между прямой АВ и ее проекцией на плоскость α.

Если АВ||α, то угол между прямой АВ и плоскостью α считается равным 0°, а если AB α,

Пример 1. В основании прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм с углом при вершине A, равным 60°. Отношение ребер параллелепипеда AB:AD:AA1 = 1:2:3. Найдем угол между прямой B1D и плоскостью грани AA1D1D.

Решение. Построим проекцию прямой B1D на плоскость AA1D1. Для этого нужно из какой-нибудь точки прямой B1D, например из точки В1, опустить перпендикуляр на плоскость AA1D1.

Прежде чем построить этот перпендикуляр, отметим, что если В1Н — это перпендикуляр к прямой A1D1, то В1Н — перпендикуляр и к плоскости AA1D1. Действительно, так как заданный параллелепипед прямой, то АА1 — перпендикуляр к плоскости А1В1С1, и, значит, АА1 В1Н, т. е. прямая В1Н оказывается перпендикулярной прямым A1D1 и АА1 плоскости AA1D1.

Для построения В1Н A1D1 подсчитаем стороны треугольника A1B1D1 и найдем отношение, в котором искомая точка Н разделит сторону A1D1. Введем для выполнения подсчетов вспомогательный параметр, положив, например, А1В1=a. Тогда A1D1=2a. Так как B1A1D1 = 60°, то нетрудно убедиться, что A1B1D1 = 90° (Действительно, , т. е. .)

В прямоугольном треугольнике A1B1D1 имеет место соотношение A1B1=A1H*A1D1. Таким образом, , откуда , и, значит, . Зная теперь отношение, в котором точка Н делит сторону A1D1 треугольника A1B1D1, строим эту точку. Соединяем затем точку Н с точкой D и получаем DH — проекцию прямой B1D на плоскость AA1D1. Итак, искомым углом является угол B1DH.

Продолжая вычисления, находим, что , и из прямоугольного треугольника .

И наконец, из прямоугольного треугольника DB1H получаем , т. е. искомый угол равен .

Пример 2. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 45°. На ребре SB взята точка М — середина этого ребра. Найдем угол между прямой AM и плоскостью грани SBC.

Решение. Пусть SO — высота пирамиды. Тогда ОА, ОВ и ОС — проекции соответственно ребер SA, SB и SC на плоскость ABC и . Тогда SO — общий катет треугольников SOA, SOB и SOC. Так как эти треугольники имеют еще по равному острому углу, то они равны, и, следовательно, ОА = ОВ = ОС. В прямоугольном треугольнике точкой, равноудаленной от его вершин, является середина гипотенузы. Итак, точка О — середина гипотенузы АВ треугольника ABC.

Кроме того, SA = SB = SC (так как равны проекции этих наклонных).

Так как в треугольнике , то треугольник SAB равнобедренный и . Но тогда , т. е. SA=AC, и, значит, равносторонний.

Аналогично равносторонним является и треугольник SBC.

Перейдем теперь к построению угла между прямой AM и плоскостью SBC. Проведем медиану AF равностороннего треугольника SAC. Ясно, что . Соединив точку F с точкой В, получим . Тогда плоскость AFВ перпендикулярна прямой SC. Поэтому, если в плоскости AFB провести , то, так как SC — это перпендикуляр к плоскости AFB, то будет и , или, наоборот, .

Таким образом, прямая АН будет перпендикулярна двум прямым BF и SC плоскости SBC, т. е. АН будет перпендикуляром к плоскости SBC.

Для построения , например, вычислительным способом введем вспомогательный параметр, положив, например, АС = a. Тогда ясно, что ВС = а и SA = SB = SC = a, .

Отметим еще, что Это значит, что угол AFB тупой, и, следовательно, BH = BF + FH.

Для построения точки Н находим отношение .

Построив точку Н и прямую AH, соединим точку H с точкой M.

Получаем в плоскости SBC прямую МН — проекцию наклонной AM, и, следовательно, — это угол прямой AM с плоскостью SBC, т. е. искомый угол.

Из прямоугольного треугольника .

Из прямоугольного треугольника AFH находим: , а из прямоугольного треугольника ASM .

Тогда , и, таким образом, угол прямой AM с плоскостью SBC равен .

Пример 3. В правильной призме АВСА1В1С1 угол между прямыми АВ1 и А1С равен 2а. Найдем угол между прямой ВС1 и плоскостью грани АСС1А1.

Решение. Выполним сначала дополнительные построения. В плоскости грани АВВ1A1

через точку А1 проведем прямую A1D B1A. Тогда . Соединим точку D с точкой С и проведем в треугольнике DA1C медиану А1К. Так как данная призма правильная, то ее боковые грани — равные прямоугольники, и, следовательно, В1А=А1С.

Кроме того, B1A=A1D. Тогда и A1D = A1C, т. е. в треугольнике DA1C A1K DC. Проведем далее в равностороннем треугольнике ABC медиану ВМ. Тогда ВМ AС. Но ясно и то, что АА1 является перпендикуляром к плоскости ABC, т. е. АА1 ВМ или, наоборот, BM AA1. Так как прямая ВМ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскостям АСС1А1, то ВМ — это перпендикуляр к плоскости грани АСС1А1, и, значит, соединив точку М с точкой C1, мы получим С1М — проекцию прямой ВС1 на плоскость грани АСС1А1 — и прямоугольный треугольник С1ВМ, угол ВС1М которого является углом между прямой ВС1 и плоскостью грани АСС1А1.

Рассмотрим прямоугольные треугольники С1ВМ и A1DK. У них BC1=A1D, и так как в треугольнике ADC , то . Но и в треугольнике . Таким образом, BM = DK. Итак, прямоугольные треугольники С1ВМ и A1DK равны (по гипотенузе и катету). Тогда . Но ясно, что . Следовательно, и .

Из курса планиметрии мы знаем, что плоскость – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямы.

Пространство – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Изучение пространства приводит к необходимости расширить систему аксиом планиметрии и рассмотреть новую группу аксиом, в которых выражены свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, что особенно важно для нас, в пространстве.

Цель реферата – получить наглядное представление о пространстве и способах расположения плоскостей в пространстве.

Для выполнения этой цели поставлены следующие задачи:

- рассмотреть способы задания плоскостей в пространстве,

- рассмотреть основные аксиомы стереометрии;

- изучить возможные варианты взаимного расположения плоскостей в пространстве,

- сформулировать основные признаки и свойства взаимного расположения плоскостей в пространстве;

- проиллюстрировать теоретический материал практическими примерами.

2. Способы задания плоскости

Изучение пространства приводит к необходимости расширить систему аксиом.

Рассмотрим аксиому R1 . В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Эта аксиома дает нам право рассматривать в любой плоскости пространства отрезки, прямые со всеми их свойствами, которые изучались в планиметрии. Например, если прямая а и не принадлежащая ей точка М лежат в некоторой плоскости α, то в этой плоскости можно провести через точку М прямую, параллельную прямой а , и притом только одну.

В аксиоме R3 говорится: какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Данной аксиомой утверждается, что для любой плоскости в пространстве можно выбрать любое количество точек в этой плоскости, равно как и сколько угодно точек вне её. В случае, если точка А лежит в (принадлежит) плоскости α, то записывают: А α и говорят, что плоскость α проходит через точку А . Если точка А не принадлежит плоскости α, то записывают : А α и говорят, что плоскость α не проходит через точку А.

Плоскость в пространстве однозначно определяется:

- тремя точками, не лежащими на прямой. Аксиома R2 (аксиома плоскости) гласит: Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Плоскость, которая проходит через точки А, В и С , не принадлежащие одной прямой (С АВ) , обозначается символически (АВС) ; если этой плоскостью является плоскость α, то пишут α = (АВС) или (АВС)= α. Стол, имеющий три ножки, не может качаться на плоском полу. Его устойчивость объясняется тем, что концы трех его ножек (три точки) принадлежат одной плоскости – плоскости пола, но не принадлежат одной прямой. Плохо сделанный стол на четырех ножках качается на плоском полу, и под одну из его ножек что-нибудь стараются подложить.

- прямой и точкой, не лежащей на прямой.

По теореме 1 через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть даны прямая а и не принадлежащая ей точка А. Выберем на прямой а любые точки В и С . Через точки В и С проходит только одна прямая – прямая а . Так как точка А по условию теоремы не принадлежит прямой а , то точки А, В и С не принадлежат одной прямой. По аксиоме R2 через точки А,В,С проходит только одна плоскость – плоскость АВС , которую обозначим α . Прямая а имеет с ней две общие точки – точки В и С , следовательно по аксиоме R4 (аксиоме прямой и плоскости - Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости ) эта прямая лежит в плоскости α . Таким образом, плоскость α проходит через прямую а и точку А и является искомой.

Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую а и точку А а , не существует.

Предположим, что есть другая плоскость – α , проходящая через точку А и прямую а . Тогда плоскости α и α проходят через точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, а значит совпадают. Следовательно, плоскость α единственная. Теорема доказана.

- двумя пересекающимися прямыми.

Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку.

Теорема 2. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть данные прямые а и b пересекаются в точке С . Выберем на прямых а и b любые точки А и В , отличные от С : А а, В b. Тогда точки А, В и С не принадлежат одной прямой, и по аксиоме R2 через них можно провести только одну плоскость. Обозначим её α .

Точки А и С прямой а принадлежат плоскости α , значит, плоскость α проходит через прямую а ( аксиома R4: Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости) . Плоскость α проходит и через прямую b , так как точки В и С этой прямой принадлежат плоскости α .

Таким образом, плоскость α проходит через прямые а и b , следовательно является искомой.

Докажем единственность плоскости α . Допустим, что есть другая, отличная от плоскости α и проходящая через прямые а и b , плоскость β .

Так как плоскость β проходит через прямую а и не принадлежащую ей точку В , то по теореме 1 она совпадает с плоскостью α. Единственность плоскости α доказана.

- двумя параллельными прямыми.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема 3. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.

Доказательство. Пусть а и b – данные параллельные прямые. Из определения параллельных прямых следует, что через прямые а и b можно провести плоскость. Обозначим её α и убедимся, что она единственна.

Допустим противное. Пусть существует другая плоскость, отличная от α , которая содержит каждую из прямых а и b . Обозначим эту плоскость β .

Выберем на прямой а точки В и С , на прямой b – точку А . В силу параллельности прямых а и b точки А, В и С не принадлежат одной прямой.

Каждая из плоскостей α и β содержит обе прямые а и b , значит, каждая из них проходит через точки А, В и С . Но по аксиоме R 2 через эти точки можно провести лишь одну плоскость. Следовательно, плоскости α и β совпадают. Теорема доказана.

3. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

При взаимном расположении двух плоскостей в пространстве возможен один из двух взаимно исключающих случаев.

ГОСТ

Понятие проекции фигуры на плоскость

Для введения понятия угла между прямой и плоскостью вначале необходимо разобраться в таком понятии, как проекция произвольной фигуры на плоскость.

Пусть нам дана произвольная точка $A$. Точка $A_1$ называется проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha $, если она является основанием перпендикуляра, проведенного из точки $A$ на плоскость $\alpha $ (рис. 1).

Рисунок 1. Проекция точки на плоскость

Пусть нам дана произвольная фигура $F$. Фигура $F_1$ называется проекцией фигуры $F$ на плоскость $\alpha $, составленная из проекций всех точек фигуры $F$ на плоскость $\alpha $ (рис. 2).

Рисунок 2. Проекция фигуры на плоскость

Проекция не перпендикулярной плоскости прямой является прямая.

Доказательство.

Пусть нам дана плоскость $\alpha $ и пересекающая ее прямая $d$, не перпендикулярная ей. Выберем на прямой $d$ точку $M$ и проведем её проекцию $H$ на плоскость $\alpha $. Через прямую $(MH)$ проведем плоскость $\beta $. Очевидно, что эта плоскость будет перпендикулярна плоскости $\alpha $. Пусть они пересекаются по прямой $m$. Рассмотрим произвольную точку $M_1$ прямой $d$ и проведем через нее прямую $(M_1H_1$) параллельно прямой $(MH)$ (рис. 3).

Так как плоскость $\beta $ перпендикулярна плоскости $\alpha $, то $M_1H_1$ перпендикулярно прямой $m$, то есть точка $H_1$ - проекция точки $M_1$ на плоскость $\alpha $. В силу произвольности выбора точки $M_1$ все точки прямой $d$ проецируются на прямую $m$.

Рассуждая аналогично. В обратном порядке, будем получать, что каждая точка прямой $m$ является проекцией какой-либо точки прямой $d$.

Значит, прямая $d$ проецируется на прямую $m$.

Теорема доказана.

Готовые работы на аналогичную тему

Понятие угла между прямой и плоскостью

Угол между прямой, пересекающей плоскость и её проекцией на эту плоскость, называется углом между прямой и плоскостью (рис. 4).

Рисунок 4. Угол между прямой и плоскостью

Отметим здесь несколько замечаний.

Если прямая перпендикулярна к плоскости. То угол между прямой и плоскостью равен $90^\circ$.

Если прямая параллельна или лежит в плоскости. То угол между прямой и плоскостью равен $0^\circ$.

Примеры задач

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$ и точка $M$, не лежащая в плоскости параллелограмма. Доказать, что треугольники $AMB$ и $MBC$ являются прямоугольными, если точка $B$ -- проекция точки $M$ на плоскость параллелограмма.

Доказательство.

Изобразим условие задачи на рисунке (рис. 5).

Так как точка $B$ -- проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$, то прямая $(MB)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. По замечанию 1, получаем, что угол между прямой $(MB)$ и плоскостью $(ABC)$ равен $90^\circ$. Следовательно

Значит, треугольники $AMB$ и $MBC$ являются прямоугольными.

Дана плоскость $\alpha $. Под углом $\varphi $ к этой плоскости проведен отрезок, начало которого лежит в данной плоскости. Проекция этого отрезка в два раза меньше самого отрезка. Найти величину $\varphi $.

Читайте также: