Точки разрыва функции и их классификация реферат

Обновлено: 05.07.2024

Определения точек разрыва первого и второго рода. Основные факты, используемые при исследовании функций на непрерывность. Примеры решения задач, в которых требуется найти точки разрыва и определить вид разрыва.

Определения и классификация точек разрыва функции

Определение точки разрыва функции
Конечная точка x 0 называется точкой разрыва функции f ( x ) , если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , но не является непрерывной в этой точке.

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Исследование функций на непрерывность

При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения примеров, в которых требуется исследовать функцию на непрерывность и установить вид точек разрыва, если есть.
в точках ⇓;
⇓; ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.

Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
, . Тогда
.

Рассмотрим функцию . Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной – степенной функцией с показателем степени 1 . Она определена и непрерывна для всех значений переменной . Поэтому функция определена и непрерывна для всех , кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .
Итак, функция определена и непрерывна для всех , кроме точки .

Рассмотрим функцию . Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной , кроме точки .

Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.

Точка разрыва второго рода

Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.

Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.

Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.

В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.

Пример 2

Все примеры ⇑ Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.

Точка разрыва первого рода

Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1 . Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .

В входят еще две функции: и . Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
, .
Поэтому они также непрерывны для всех .

Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.

Рассмотрим точку . Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки . Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.

Найдем правый предел в точке . Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .

Поскольку, в точке , предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной – это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.

Теперь рассмотрим точку . Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.

Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.

Пример 3

Все примеры ⇑ Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.

Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех . Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех , за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение:
;
;
; .
Тогда
.

Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.

Тогда заданная функция примет вид:
(П1) .
Она определена и непрерывна для всех , кроме точек и . Поэтому точки и являются точками разрыва функции.

Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2) .
Такую операцию мы можем проделать, если . Таким образом,
при .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при , а в этой точке не определена.

Рассмотрим точку . Знаменатель дроби в функции , при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при . Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.

Рассмотрим точку . Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций, имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.

Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Файлы: 1 файл

Классификация точек разрыва.doc

Классификация точек разрыва

Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающих вещественные значения.

ε-δ определение

Функция f непрерывна в точке , если для любого существует δ > 0 такое, что

Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция f класса C 0 и пишут: или, подробнее, .

Комментарии

  • Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения.
  • Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция f непрерывна в точке x0, предельной для множества E, если f имеет предел в точке x0, и этот предел совпадает со значением функции f(x0).
  • Функция непрерывна в точке, если её колебаниев данной точке равно нулю.

Точки разрыва

Если попытаться построить отрицание свойства непрерывности функции в точке (предельной для области определения), то получится следующее: Существует такая окрестность значения функции в рассматриваемой точке, что сколь близко мы не подходили бы к данной точке, всегда можно будет найти точку, значение в которой окажется за пределами заданной окрестности.

В этом случае говорят, что функция f терпит разрыв в точке a.

Возможны два варианта:

  • либо предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка a называется точкой устранимого разрыва функции f (в комплексн ом анализе — устранимая особая точка ). Положив можно добиться непрерывности функции в этой точке. Такое изменение значения функции в точке, превращающее функцию в непрерывную в этой точке, называется до определением по непрерывности.

  • либо предела функции в данной точке не существует и тогда. В этом случае для числовой функции, заданной на вещественной прямой (или её подмножестве), возможно существование односторонних пределов. Отсюда возникает классификация точек (неустранимого) разрыва:
    • если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;
    • если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называютточкой разрыва второго рода.
    • Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
    • Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .
    • Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .
    • Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .
    • Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .
    • Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве ), равномерно непрерывна на нём.
    • Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве ), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
    • Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .
    • Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .
    • Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .
    • Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
    • Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .
    • Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку .

    Элементарные функции

    Произвольные многочлены , рацио нальные функции , показательные функции , логарифмы , тригономет рические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

    Функция с устранимым разрывом

    Функция задаваемая формулой

    непрерывна в любой точке Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

    Функция знака

    называется функцией знака .

    Эта функция непрерывна в каждой точке .

    Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, причём

    в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

    Ступенчатая функция

    Ступенчатая функция, определяемая как

    является всюду непрерывной, кроме точки x = 0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, ступенчатая функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

    Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

    является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

    Функция Дирихле

    Основная статья: Функция Дирихле

    называется функцией Дирихле . По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел . Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

    Функция Римана

    называется функцией Римана .

    Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел ( ), поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

    Вариации и обобщения

    Равномерная непрерывность

    Основная статья: Равномерная непрерывность

    Функция f называется равномерн о непрерывной на E, если для любого существует δ > 0 такое, что | f(x1) − f(x2) |

    Каждая равномерно непрерывная на множестве E функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

    Полунепрерывность

    Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

    • функция f называется полунепре рывной снизу в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность UE(a), что f(x) >f(a) − ε для всякого ;
    • функция f называется полунепре рывной сверху в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность UE(a), что f(x)

    Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

    • если взять функцию f, непрерывную в точке a, и уменьшить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке a;
    • если взять функцию f, непрерывную в точке a, и увеличить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке a.

    В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

    • если , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке a;
    • если , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке a.

    Односторонняя непрерывность

    Функция f называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке x0 её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство : ( )

    Непрерывность почти всюду

    На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция f такова, что она непрерывна всюду на E, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

    В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

    Точка $a$, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

    1. функция $f(x)$ определена в точке и ее окрестности;
    2. существует конечный предел функции $f(x)$ в точке $a$;
    3. это предел равен значению функции в точке $a$, т.е. $\lim _ f(x)=f(a)$

    называется точкой разрыва функции.

    Функция $y=\sqrt$ не определена в точке $x=-1$, а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

    Точка разрыва первого рода

    Если в точке $a$ существуют конечные пределы $f(a-0)$ и $f(a+0)$, такие, что $f(a-0) \neq f(a+0)$, то точка $a$ называется точкой разрыва первого рода.


    Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

    Функция $f(x)=\left\1> \\ \end\right.$ в точке $x=1$ имеет разрыв первого рода, так как

    Точка разрыва второго рода

    Если хотя б один из пределов $f(a-0)$ или $f(a+0)$ не существует или равен бесконечности, то точка $a$ называется точкой разрыва второго рода.

    Для функции $y=\frac$ точка $x=0$ - точка разрыва второго рода, так как $f(0-0)=-\infty$ .

    Точка устранимого разрыва

    Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции $f(x)$ в точке $a$: $f(a) \neq f(a-0)=f(a+0)$ или функция $f(x)$ не определена в точке $a$, то точка $a$ называется точкой устранимого разрыва.

    Так как $f(0-0)=f(0+0)$ и не равны значению функции в точке, то точка $x=0$ - точка устранимого разрыва.

    Примеры решения задач

    Задание. Исследовать функцию $f(x)=\left\, x \lt 1> \\ , 1 \leq x \leq 2> \\ 2>\end\right.$ на непрерывность.

    Решение. Рассматриваемая функция определена и непрерывна на промежутках $(-\infty ; 1)$, $(1 ; 2)$ и $(2 ;+\infty)$, на которых она задана непрерывными элементарными функциями $y_(x)=x^$, $y_(x)=(x-1)^$ и $y_(x)=3-x$ соответственно. А тогда, разрыв возможен только на концах указанных промежутков, то есть в точках $x=1$ и $x=2$ .

    Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из точек.

    1) Рассмотрим точку $x=1$ . Для нее

    Так как $f(1-0) \neq f(1+0)$ , то в точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода.

    2) Для точки $x=2$ имеем:

    Так как односторонние пределы и значение функции в этой точке равны, то это означает, что в точке $x=2$ функция непрерывна.

    Ответ. В точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода, а в точке $x=2$ непрерывна.

    Задание. Исследовать функцию $y=e^>$ на непрерывность в точках $x_=1$ и $x_=0$ .

    Решение. 1) Исследуем функцию на непрерывность в точке $x_=1$:

    Так как один из односторонних пределов бесконечен, то точка $x_=1$ - точка разрыва второго рода.

    2) Для точки $x_=0$ получаем:

    и значение функции в точке

    Таким образом, в точке $x_=0$ заданная функция является непрерывной.

    Ответ. $x_=1$ - точка разрыва второго рода, а в точке $x_=0$ функция непрерывна.

    • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
    • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

    Урок-лекция по теме «Непрерывные функции и их свойства.

    Методические рекомендации по организации лекции

    Мы предлагаем в начале лекции сформулировать вопросы на которые необходимо ответить в конце урока. В конце лекции на основе предложенных вопросов проводится проверочная работа №1

    Для удобства конспектирования учащимся в начале лекции раздаются рабочие листы, которые они будут заполнять по ходу лекции

    Конспект урока по теме «Непрерывные функции и их свойства.

    Цель: Сформировать теоретический аппарат по теме. Ввести

    - понятие непрерывности функции в точке и на отрезке;

    - понятие односторонней непрерывности;

    - понятие точек разрыва и их классификацию;

    - свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.

    План лекции :

    1. Постановка цели перед учащимися.

    В начале лекции формулируются вопросы на которые необходимо попытаться ответить в конце урока.

    1. Какая функция называется непрерывной в точке?

    2.Каковы характерные признаки непрерывности функции в точке?

    3. Какая функция называется непрерывной на отрезке?

    4. Какими свойствами обладают непрерывные функции?

    5. Какие точки называются точками разрыва?

    6. Какие бывают точки разрыва?

    2. Актуализация знаний учащихся, необходимых для восприятия новой темы.

    Учащимся предлагается выполнить следующее задание:

    Пример 1. Построить схематически графики функций:

    и ответить на вопросы.

    1. Сформулируйте определение функции, ее области определения и множества значений.

    2. Определены ли функции в точке ?

    3. Является ли указанная точка внутренней точкой области определения?

    4. Чем отличаются графики функций?

    5. Имеют ли функции предел в точке ? Если да, то чему он равен?

    6. Равен ли предел значению функции в точке ?

    Ответив на все вопросы учитель вместе с учащимися дает строгое определение непрерывной функции в точке.

    3. Введение понятия функции непрерывной в точке.

    На этом этапе лекции формулируются два определения функции, непрерывной в точке.

    Определение 1. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если .

    Необходимо обратить внимание учащихся на то, что согласно данному определению непрерывность функции в точке означает одновременную выполняемость следующих условий:

    1. Функция должна быть определена в точке .

    2. У функции должен существовать предел в точке . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов в точке .

    3. Предел функции в точке совпадает со значением функции в этой точке.

    Прежде чем рассматривать второе определение функции, непрерывной в точке, необходимо вспомнить определение предела функции в точке и ввести понятия приращения аргумента и приращения функции .

    Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть .

    Приводятся примеры на использование определений 1 и 2 для доказательства непрерывности функции в точке.

    Пример 2. Используя определение 1, доказать непрерывность функции в точке .

    Пример 3. Используя определение 2, доказать непрерывность функции при любом значении .

    Следует обратить внимание учащихся на то, что рассматривая аналогичным образом каждую основную элементарную функцию, можно доказать, что каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

    4. Введение понятия односторонней непрерывности.

    По аналогии с понятием предела слева и предела справа вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа. Можно предложить учащимся самостоятельно сформулировать эти определения.

    Определение 3. Если функция определена на полуинтервале и , т.е. , то эта функция называется непрерывной справа в точке .

    Определение 4. Если функция определена на полуинтервале и , т.е. , то эта функция называется непрерывной слева в точке .

    Необходимо обратить внимание учащихся на то, что для непрерывности функции в точке необходимо и достаточно её непрерывности в этой точке слева и справа.

    В качестве примера можно рассмотреть одностороннюю непрерывность функций из примера 1.

    5. Введение понятия функции непрерывной на отрезке

    Формулируются определения функции непрерывной на интервале и функции непрерывной на отрезке.

    Определение 5. Если функция непрерывна в каждой точке интервала , то она называется непрерывной на этом интервале.

    Определение 6. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале и, кроме того, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

    Геометрический смысл введенных определений можно рассмотреть на примере функций из примера1.

    6. Введение понятия точек разрыва и их классификации.

    Формулируется определение точек разрыва и приводится их классификация.

    Определение 7. Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция либо не определена в точке , либо определена, но не является непрерывной в точке .

    При этом следует отметить, что в точке разрыва нарушается одно из трех условий непрерывности. В зависимости от того какое условие нарушается выделяют точки разрыва первого рода (точки устранимого разрыва, точки разрыва с конечным скачком функции) и точки разрыва второго рода. У каждого типа разрыва есть свои характерные особенности, на которые нужно обратить внимание .

    В качестве примера можно рассмотреть поведение вблизи точек разрыва графиков функций из примера 1.

    7. Формулировка основных свойств функций, непрерывных в точке

    Формулируются основные свойства функции , непрерывной в точке и даются указания на способы их доказательства.

    1. Ограниченность в некоторой окрестности точки непрерывной в точке функции.

    2. Знак функции, непрерывной в точке , в некоторой окрестности этой точки.

    3. Непрерывность в точке суммы, произведения и частного непрерывных в точке функций.

    4. Непрерывность сложной функции.

    8. Формулировка основных свойств функций, непрерывных на отрезке

    На этом этапе лекции формулируют без доказательства ( доказательство теорем можно рассмотреть на семинаре) основные теоремы для функции, непрерывной на отрезке и рассматривают их геометрический смысл.

    1. Теорема о нулях непрерывной на отрезке функции .

    Если функция определена и непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, т.е. , то на интервале имеется по крайней мере один корень функции, т.е. .

    2. Теорема о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции.

    Если функция определена и непрерывна на отрезке и принимает на его концах различные значения , то для любого числа C , лежащего между A и B , на интервале найдется такая точка с, что .

    3. Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке функции.

    Если функция непрерывна на отрез ке , то она ограничена на этом отрезке.

    4. Теорема о достижимости своего наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной на отрезке.

    Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

    Необходимо обратить внимание учащихся на значимость этих теорем для решения практических задач.

    9. Подведение итогов

    Проведение диагностической работы. Целью этой работы является определение уровня усвоения учебного материала, рассмотренного на лекции. Учащимся предлагается ответить на вопросы, сформулированные в начале лекции.

    10. Постановка домашнего задания.

    1. Разобраться с материалом лекции, выучить основные определения и формулировки теорем.

    В результате этой лекции на рабочих листах, выданных в начале лекции, у учащихся появится опорный конспект.

    Проверочная работа №1

    1. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если ____________________________________

    2. Перечислите условия , которые должны выполняться для функции непрерывной в точке .

    3. Функция называется непрерывной на отрезке , если

    4. Какие точки называются точками разрыва графика функции?

    5. Когда функция терпит разрыв первого рода ?

    6. Сформулируйте условия, при которых функция имеет разрыв второго рода ._____________________________________________________________

    7. В каком случае функция терпит устранимый разрыв?

    __________________________________________________________________

    Читайте также: