Реферат задачи на построение одной линейкой
Обновлено: 08.07.2024
Пример готовой курсовой работы по предмету: Высшая математика
Содержание
1. Аксиомы циркуля и линейки 4
2. Задачи на построение 5
1. Построение треугольника по трём сторонам 6
2. Построение угла, равного данному 8
3. Построение биссектрисы угла 9
4. Построение серединного перпендикуляра 10
5. Построение прямой, перпендикулярной к данной 11
6. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету 12
7. Построение касательной 14
8. Трисекция угла 15
9. Построение отрезка, равного данному 17
10. Опустить перпендикуляр из данной точки С на прямую. 18
3. Использование различных методов при решении задач на построение циркулем и линейкой 19
3.1. Метод геометрических мест 20
3.2. Метод спрямления при решении задач на построение 22
3.3. Решение задач на построение с использованием свойств движений 30
3.4. Решение задач на построение методом подобия 36
3.5. Решение задач алгебраическим методом 40
4. Задачи, не разрешимые с помощью циркуля и линейки 43
Список литературы 47
Содержание
Выдержка из текста
Посчитать γ, средневзвешенный доход (среднее арифметическое) и средний доход, рассчитанный по медиане (доход семьи, расположенной в се-редине упорядоченного общества).
1) политическая элита в Российской империи, СССР и РФ: критерии отбора, принципы построения, условия и эффективность существования
Содержание и принципы формирования доходов бюджета
Основной задачей обучения математике в школе является обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому человеку, достаточных для изучения сложных дисциплин и продолжения образования. Этой проблемой занимались и продолжают заниматься ряд отечественных и зарубежных учёных, но в практической работе учителя успехи в направлении решения этой проблемы ещё незначительны.
Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо из других объектов. Элементами множества считаются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Примером служит описание множества М
4. где исходными объектами для построения являются натуральные числа, а порождающей процедурой – вычисление, описанное формулой /2±k.
или . Далее, — центральный, следовательно, равен дуге на которую опирается, т.е. . Рассмотрим теперь вписанный , он равен половине дуги на которую опирается, т.е. , откуда . Тогда . Следовательно,
Список литературы
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7-9 кл.;
2. Белозёров С.Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов н/Д., 1975;
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 7 кл., 2010;
4. Прасолов В. В., Три классические задачи на построение. — М.: Наука, 1992.
5. И. Ф. Шарыгин, Р. К. Гардин. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами. — М.: Астрель, 2001.
8. И. И. Александров. Сборник геометрических задач на построение. — М.: УРСС, 2004.
Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:
линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины;
циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.
Цель работы заключается в рассмотрении решения задач на построение с помощью циркуля и линейки.
Содержание
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………3
ГЛАВА 1. АКСИОМЫ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ……………………….4
Аксиомы циркуля………………………………………………..4
Аксиомы линейки………………………………………………..4
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ……………….4
2.1 Простейшие построения………………………………………..4
2.2 Основные построения…………………………………………..5
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ……………………………………………9
3.1 Этапы решения задач…………………………………………. 9
3.2 Пример решения задач…………………………………………10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………. 13
Прикрепленные файлы: 1 файл
Kursovaya.docx
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Выполнил студент группы
ГЛАВА 1. АКСИОМЫ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ……………………….4
- Аксиомы циркуля………………………………………………..4
- Аксиомы линейки………………………………………………..4
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ……………….4
2.1 Простейшие построения……………………… ………………..4
2.2 Основные построения…………………………… ……………..5
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ…………………………………………… 9
3.1 Этапы решения задач…………………………… ……………. 9
3.2 Пример решения задач………………………… ………………10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………. 13
Работа посвящена построению с помощью линейки и циркуля.
Доказательства, да и вычисления в геометрии, как правило, опираются на какие-то дополнительные построения. Конечно, их можно просто описать, но нужно быть уверенными, что они действительно возможны. Еще важнее то, что определения геометрических объектов и понятий при строгом изложении теории должны сопровождаться доказательствами их существования. А главный метод доказательства существования в геометрии - конструктивный, т. е. построение нужного объекта с последующим доказательством, что построенный объект удовлетворяет нужным условиям.
Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:
линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины;
циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.
Цель работы заключается в рассмотрении решения задач на построение с помощью циркуля и линейки.
1.Аксиомы циркуля и линейки
С помощью циркуля можно:
- Построить окружность, если даны ее центр и отрезок, равный радиусу;
- Построить любую из двух дополнительных дуг, если даны центр и концы дуг;
- Отложить отрезок заданной длины от данной точки по данной прямой.
С помощью линейки можно:
- Построить отрезок, соединяющий две данные (построенные) точки;
- Построить прямую, проходящую через две заданные (построенные) точки;
- Построить луч, исходящий из данной точки и проходящий через другую данную точку.
- Построение циркулем и линейкой
- Простейшие построения
Простейшие построения линейкой:
1) Построение прямой;
2) Построение прямой, проходящей через данную точку;3) Построение прямой, проходящей через две данные точки;
Простейшие построения циркулем:
Построение окружности с данным центром и данным радиусом;Рассмотрим основные задачи на построение, при решении которых используют только простейшие построения:
1) Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку;
Дано: луч ON, отрезок AB.Устанавливаем раствор циркуля равным отрезку АB, делаем насечку на луче из его начала (точка O) и получим точку P. Отрезок OP будет равен отрезку AB.
2) Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному;
Дано: луч ON, угол ABC.
Берем произвольный раствор циркуля и чертим полукруг, который пересекает луч ON, из точки O (получим точку P), чертим полукруг из точки B (получим точки E и F). Ставим раствор циркуля равный EF, этим раствором делаем насечку на полукруге (получим точку Q). Строим прямую OQ. Полученный угол QOP будет равен углу ABC.3) Построить треугольник по трем сторонам;
Дано: 3 отрезка длиной a, b, c.
Произвольно чертим луч m и откладываем на нем отрезок a (1 пункт). C- начало, B- конец отрезка. Берем раствор циркуля, равный b и чертим полукруг из точки C; берем раствор циркуля, равный с и чертим полукруг из точки B. Получим A (точка пересечения полукругов) . Строим отрезок CA и BA. Получим треугольник ABC.4) Построить биссектрису угла;
Дано: угол ABC.
Берем произвольный раствор циркуля и из точки B проводим полукруг (получим точки D и E). Из точек D и E чертим полукруг и получим F (точка пересечения полукругов). Чертим BF- это будет биссектриса угла ABC.5) Из данной точки прямой восстановить к этой прямой перпендикуляр;
Дано: прямая m, точка C, лежащая на прямой m.Берем произвольный раствор и из точки C чертим окружность (получим точки D и E). Берем раствор циркуля чуть больше длины DC (или EC) и чертим два полукруга из точек D и E (получим F- одна из точек пересечения полукругов). Строим прямую FC- она будет являться перпендикуляром к прямой m.
6) Построить серединный перпендикуляр данного отрезка;
Дано: отрезок AB.
Берем произвольный раствор циркуля, чуть длиннее половины отрезка AB (на глаз). Из точек A и B чертим два полукруга (получим точки C и D). Строим прямую через точки C и D. Прямая CB будет являться серединным перпендикуляром отрезка AB.7) Построить середину данного отрезка;
Дано: отрезок AB.
Берем произвольный раствор циркуля, чуть длиннее половины отрезка AB. Из точек A и B чертим два полукруга (получим точки C и D). Строим прямую CD. Точка пересечения прямой CD и отрезка AB (точка E) будет являться серединой отрезка AB (AE=EB).8) Построить прямую, проходящую через данную точку перпендикулярно данной прямой;
Дано: прямая m, точка A, не лежащая на прямой m.
Берем произвольный раствор циркуля и чертим полукруг из точки A (получим точки C и B). Берем произвольный раствор циркуля, чуть длиннее половины отрезка CB и чертим два полукруга из точек C и B (одной из точек их пересечения будет точка D). Строим прямую AD- она будет проходить перпендикулярно прямой m.В решении задач на построение выделяются следующие четыре этапа:
- Анализ
- Построение
- Доказательство
- Исследование
Сейчас подробно рассмотрим каждый этап:
Первый этап- "Анализ". На этом этапе происходит поиск решения задачи. Из предположения, что задача решена и требуемая фигура построена, пытаются вывести такие следствия, которых окажется достаточно для того, чтобы требуемую фигуру построить.
Второй этап - "Построение". Построение предлагается поэтапное, шаг за шагом, выполнение построений с помощью циркуля и линейки, т. е. подробное описание последовательности простейших задач на построение, к решению которых сводится построение фигуры в данный задаче.
Третий этап- "Доказательство". В этом этапе требуется доказать, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем требованиям задачи.
Четвертый этап- "Исследование". Здесь нужно установить, при каком выборе начальных данных задача имеет решение и сколько решений имеет задача при каждом допустимом выборе начальных данных.
Задача о построении правильных многоугольников, вписанных в единичную окружность.
Пусть дана окружность единичного радиуса. С помощью циркуля и линейки можно вписать в эту окружность правильные треугольник, шестиугольник и т. д. 3*2 n -угольник (рис. 1).
Аналогично, в единичную окружность можно вписать правильные 2*2 n -угольники (рис. 2), правильные 5*2 n -угольники (рис. 3).Полностью вопрос о возможности построений правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки был исследован Гауссом. А именно, он доказал, что правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n представимо в виде произведения степени двойки и различных простых чисел Ферма, т.е. простых чисел вида . В частности, из этого следует, что правильный семиугольник нельзя построить циркулем и линейкой. Докажем это отдельно с использованием комплексных чисел.
Вершины правильного семиугольника в комплексной плоскости, вписанного в единичную окружность, являются корнями уравнения z 7 - 1 = 0. Один из корней есть z = 1, а остальные удовлетворяют уравнению z 6 + z 5 + z 4 + z 3 +z 2 + z + 1 = 0. Деля на z 3 , получим уравнениеПростые алгебраические преобразования приводят его к виду
Положив теперь z + 1/z=t, окончательно приходим к уравнению
t 3 + t 2 - 2t - 1 = 0 (*).
Так как комплексное число z предст авляется в виде z = cosa + i sina, то 1/z = cosa - i sina и, следовательно, t = 2cosa является действительным числом.
Как легко видеть, уравнение (*) не имеет рациональных корней и, следовательно, его корни не выражаются с помощью квадратичных операций.
Таким образом, задача построения правильного семиугольника циркулем и линейкой неразрешима.Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Пусть даны два вектора b и c, и угол A.
Нужно построить треугольник ABC.
1. Построить угол А, равный заданному углу.
2. На одной стороне угла отметить точку С так, чтобы отрезок АС был равен заданному отрезку b.
3. На другой стороне угла отметить точку В так, чтобы отрезок АВ был равен заданному отрезку с.Цель моей курсовой работы – изучить геометрические построения одним циркулем.
Для достижения заданной цели были поставлены следующие задачи:
– проанализировать литературу, посвященную геометрическим
построениям на плоскости;
– рассмотреть доказательство теоремы Мора – Маскерони;
– изучить метод инверсии в геометрии циркуля;
– подобрать и решить геометрические задачи на построение одним
циркулем.Оглавление
Введение…………………………………………………………………………. 3
1 Постулаты построений (аксиомы построения)………………………………..5
1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии……………………………. 5
1.2 Аксиома построения одним циркулем…………………………………….8
2 Задачи на построение с помощью циркуля и линейки……………………….9
2.1 Понятие задачи на построение……………………………………………..9
2.2 Схема решения задач на построение……………………………………..13
3 Теорема Мора – Маскерони…………………………………………………..15
4 Инверсия и ее основные свойства…………………………………………….19
5 Решение геометрических задач на построение одним циркулем…………..23
Заключение……………………………………………………………………….28
Список использованной литературы…………………………………………. 29Файлы: 1 файл
КУРСОВАЯ РАБОТА,геометрия.docx
1 Постулаты построений (аксиомы построения)………………………………..5
1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии……………………………. 5
1.2 Аксиома построения одним циркулем…………………………………….8
2 Задачи на построение с помощью циркуля и линейки……………………….9
2.1 Понятие задачи на построение……………………………………………..9
2.2 Схема решения задач на построение……………………………………..13
3 Теорема Мора – Маскерони………………………………………………….. 15
4 Инверсия и ее основные свойства…………………………………………….19
5 Решение геометрических задач на построение одним циркулем…………..23
Список использованной литературы…………………………………………. 29
Геометрические построения являются существенным фактором математического образования; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Теория геометрических построений составляет теоретическую основу практической графики: многие чертежные приемы опираются на решения геометрических задач на построение.
Уже давно было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки.
Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника, поэтому данная тема является важной для учителя математики. Ни один вид задач не дает столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия им учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков. К сожалению, данный раздел геометрии не входит в программу курса геометрии вуза и изучается только факультативно.
Объектом исследования в моей курсовой работе являются геометрические построения различными средствами.
Предметом исследования являются геометрические построения с помощью одного циркуля.
Цель моей курсовой работы – изучить геометрические построения одним циркулем.
Для достижения заданной цели были поставлены следующие задачи:
– проанализировать литературу, посвященную геометрическим
построениям на плоскости;
– рассмотреть доказательство теоремы Мора – Маскерони;
– изучить метод инверсии в геометрии циркуля;
– подобрать и решить геометрические задачи на построение одним
Работа состоит из введения, шести разделов и заключения.
1 Постулаты построений (аксиомы построения).
- Общие аксиомы конструктивной геометрии.
Основные требования (постулаты) конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты чертежной практики. Они являются аксиомами, принимаются без доказательства и служат в дальнейшем логической основой конструктивной геометрии. Перейдём к рассмотрению этих ocнoвныx положений (аксиом) теории геометрических построений.
Если о какой – либо фигуре сказано, что она дана, то при этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т. е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:
I. Каждая данная фигура построена.
Представим себе, что построена полуокружность АmВ (рис. 1.1), а также построена и полуокружность АnВ. Конечно, после этого надо считать, что построена вся окружность АmВnА.
Точно так же, если построен луч АМ некоторой прямой (рис. 1.2),а затем луч BN той же прямой, то, считается, что построена прямая MN, являющаяся соединением этих лучей.
Если построены три отрезка АВ, ВС и СА. то нет надобности строить что-либо еще, чтобы построить треугольник АВС. Эти примеры разъясняют смысл следующего постулата:
II. Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединение этих фигур.
Представим себе, что построены два отрезка одной прямой: АВ и CD. Естественно, считается возможным ответить на вопрос, принадлежит ли отрезок CD целиком отрезку АВ (рис. 1.3) или нет (рис. 1.4).
Рисунок 1.3 Рисунок 1.4
Если построена окружность и точка, то при непосредственном рассмотрении чертежа можно ответить на вопрос, лежит ли построенная точка на построенной окружности или нет. Вообще, если построены две фигуры, то считается известным, является ли одна из них частью другой или нет. А так как фигура Ф1, является частью фигуры Ф2 в том и только в том случае, когда разность Ф1/ Ф2 представляет собой пустое множество, то третье основное требование теории геометрических построений можно выразить в следующей форме:
III. Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.
Пусть А, В, С, D - 4 точки прямой (рис. 1.5). Допустим, что отрезки АС и BD построены. Тогда будем считать построенными как отрезок АВ, который является разностью отрезков АС и ВО, так и отрезок СD, , который является разностью отрезков BD и АС. Другой пример: если построена окружность и на ней точка, то мы считаем построенной также ту фигуру, которая останется если из окружности удалить эту точку, т. е. считаем построенной разность между окружностью и точкой.
IV. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.
Построив две прямые, мы всегда считаем возможным сказать, пересекаются они или нет. Точно так же, если две окружности построены, то мы считаем возможным установить (по чертежу), имеют ли они общие точки. Это же относится к любым двум построенным фигурам. Таким образом:
V. Еcли две фигуры построены, то можно установить, является ли их пepeсeчeниe пустым множеством или нет.
С точки зрения чертежной практики последнее условие отражает определенные требования к качеству выполненных чертежей. Так, например, если построены некоторая окружность и точка, то должно быть ясно, лежит ли точка на окружности или нет. Если построены две окружности, то можно сказать, имеют ли они общие точки или нет.
Обратимся еще раз к рисунку 1.5. Пусть известно, что построены отрезки АС и BD. В этом случае мы будем также считать построенным и отрезок BС, который является пересечением этих двух отрезков. Если начерчены две пересекающиеся окружности, то мы будем считать построенной также пару точек их пересечения. Такого рода соглашения выражаются cлeдующим образом:
VI. Еcли пepeceчениe двух построенных фигур не пусто, то оно пocтpoeнo.
В следующих трех основных требованиях говорится о возможностях построения отдельных точек.
VII. Можно пocтpoить любое конечное число общих постpoeнных фигур, если такие точки существуют.
VIII. Можно пocтроить точку, заведомo принадлежащую построенной фигуре.
IX. Можно построить точку, заведомо не принадлежащую построенной фигуре. Требования I–IX называют общими аксиомами конструктивной геометрии.
Для конструктивной геометрии необходимо располагать точным и для математических целей полным описанием того или иного инструмента. Такое описание дается в виде аксиом. Эти аксиомы в абстрактной математической форме выражают те свойства реальных чертежных инструментов, которые используются для геометрических построений.
Наиболее употребительными инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями) и некоторые другие. Перейдем к формулировке аксиомы циркуля:
Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:
а) построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности (или его концы).
б) построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построены центр окружности и концы этих дуг.
2 Задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
2.1 Понятие задачи на построение.
Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.
Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.
Найти решение задачи на построение - значит свести ее к конечному числу основных построений, т.е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Перечень допустимых основных построений, а следовательно и ход решения задачи, существенно зависит от того, какие именно инструменты употребляются для построения.
Во всякой задаче на построение требуется по каким-либо данным фигурам построить искомую фигуру, удовлетворяющую тем или иным условиям. При этом указывается (т. е. формулируется явно или подразумевается), с помощью каких чертежных инструментов следует выполнить построение искомой фигуры. Здесь могут представиться различные комбинации из следующих инструментов: линейка, угольник, транспортир, циркуль с данным раствором, линейка с параллельными краями и др. В школьном курсе геометрии обычно рассматриваются задачи на построение с помощью циркуля и линейки, поэтому в дальнейшем всюду, где не оговорено противное, предполагается, что все построения должны быть выполнены с помощью этих инструментов.
Предполагается, что линейка как инструмент геометрических построений не имеет масштабных делений и с ее помощью можно провести прямую, проходящую через две данные или построенные точки. Никаких других операций выполнить линейкой нельзя. С помощью циркуля как инструмента геометрических построений можно описать окружность с центром в данной или построенной точке и радиусом, равным данному или построенному отрезку.
Презентация на тему: " Задачи на построение с помощью одной линейки Задачи на построение с помощью одной линейки Выполнила: Иванченко И.А. Выполнила: Иванченко И.А." — Транскрипт:
1 Задачи на построение с помощью одной линейки Задачи на построение с помощью одной линейки Выполнила: Иванченко И.А. Выполнила: Иванченко И.А.
2 О решении задач на построение Решение задач на построение состоит из 4 этапов: АнализПостроениеДоказательствоИсследование
3 Теорема Дезарга Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух треугольников, пересекаются в одной точке, то соответственные прямые, содержащие стороны треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой (см. рис.) Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух треугольников, пересекаются в одной точке, то соответственные прямые, содержащие стороны треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой (см. рис.) S B A C U A/A/ B/B/ C/C/ V W
4 Доказательство теоремы Дезарга Докажем теорему Дезарга с помощью теоремы Менелая. Докажем теорему Дезарга с помощью теоремы Менелая. Теорема Менелая. Точки A 1, B 1 и C 1, расположенные соответственно на прямых BC, CA, AB и не совпадающие с вершинами треугольника ABC, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда (см. рис.) Теорема Менелая. Точки A 1, B 1 и C 1, расположенные соответственно на прямых BC, CA, AB и не совпадающие с вершинами треугольника ABC, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда (см. рис.) AB 1 CA 1 BC 1 AB 1 CA 1 BC 1 * * = -1. * * = -1. B 1 C A 1 B C 1 A B 1 C A 1 B C 1 A C1C1 A B A1A1 C B1B1
5 Для доказательства принадлежности точек U, V, W одной прямой, рассмотрим АВС и точки U, V, W, лежащие на прямых, содержащих стороны АВ, ВС, АС этого треугольника и докажем, что Для доказательства принадлежности точек U, V, W одной прямой, рассмотрим АВС и точки U, V, W, лежащие на прямых, содержащих стороны АВ, ВС, АС этого треугольника и докажем, что Для этого применим теорему Менелая для треугольников, SАВ, SBC, SAC и их секущих (A / B / ), (В / С / ), (А / С / ) соответственно. Тогда для SАВ и секущей (А / В / ) имеем: Для этого применим теорему Менелая для треугольников, SАВ, SBC, SAC и их секущих (A / B / ), (В / С / ), (А / С / ) соответственно. Тогда для SАВ и секущей (А / В / ) имеем: Для SВС и секущей (В / С / ) имеем: Для SВС и секущей (В / С / ) имеем: S A B C WU V A/A/ B/B/ C/C/
6 Для SАС и секущей (А / С) имеем: Для SАС и секущей (А / С) имеем: Умножим на и поделим Умножим на и поделим на Получаем: на Получаем: В итоге получили равенство В итоге получили равенство S B A C U A/A/ B / C/C/ V W
7 Модификации теоремы Дезарга Теорема 1. Теорема 1. Дано: ABC и A / B / C / таковы, что Дано: ABC и A / B / C / таковы, что AA / BB / CC / = S, AA / BB / CC / = S, AB A / B / = U, AB A / B / = U, BC B / C / = V, BC B / C / = V, AC A / C / = W. AC A / C / = W. Доказать: что W, V, U Доказать: что W, V, U лежат на одной прямой. лежат на одной прямой. S B C A U VW A/A/ C/C/ B/B/
8 Теорема 2. Дано: ABC и A / B / C / Дано: ABC и A / B / C / AA / // BB / // CC /, AA / // BB / // CC /, AB A / B / = X, AB A / B / = X, BC B / C / = Y, BC B / C / = Y, AC A / C / = Z. AC A / C / = Z. Доказать: X, Y, Z Доказать: X, Y, Z лежат на одной прямой. лежат на одной прямой. A B C X Y Z C/C/ B/B/ A/A/
9 Теорема 3. Дано: ABC и A / B / C / AA / BB / CC / = S, AA / BB / CC / = S, AB A / B / = X, AB A / B / = X, BC B / C / = Y, BC B / C / = Y, AC // A / C / AC // A / C / Доказать: XY//AC C B A S YX A/A/ B/B/ C/C/
10 Теорема 4. Дано: ABC и A / B / C / Дано: ABC и A / B / C / AA / BB / CC / = S, AA / BB / CC / = S, AB // A / B /, AB // A / B /, BC // B / C /, BC // B / C /, Доказать: AC // A / C / Теорема 5. Дано: ABC и A / B / C / AA / // BB / // CC /, AA / // BB / // CC /, AB // A / B /, AB // A / B /, AC // A / C / AC // A / C / Доказать: BC//B / C / Доказать: BC//B / C / S B AC B/B/ C/C/ A/A/ A B C A/A/ B/B/ C/C/
11 Применение теоремы Дезарга для построения параллельных прямых (с помощью одной линейки) Задача. Даны две различные параллельные прямые а и b и точка А, не лежащая на них. Через точку А проведите прямую, параллельную данным прямым. Задача. Даны две различные параллельные прямые а и b и точка А, не лежащая на них. Через точку А проведите прямую, параллельную данным прямым.
12 Решение. Анализ. Пусть задача решена и прямая с проходит через точку А параллельно прямым а и b (см. рис.) Вспомним теорему Дезарга, где треугольники содержат одну пару параллельных сторон (см.теорема3), сопоставим этот рис. и рисунок, иллюстрирующий теорему. Вспомним теорему Дезарга, где треугольники содержат одну пару параллельных сторон (см.теорема3), сопоставим этот рис. и рисунок, иллюстрирующий теорему. Теорема 3 Теорема 3 a c b A C B A S YX A/A/ B/B/ C/C/
13 В этой задаче первоначальный рисунок ничего не выражает. В нашем случае прямые а и в – это прямые, на которых лежат две соответственные стороны треугольников с осью с. Тогда точка А является точкой пересечения одной пары соответственных сторон. Ещё одна пара соответственных сторон должна пересекаться в точке, также лежащей на с. Построение, таким образом, сводится к построению двух треугольников, одна пара соответственных сторон которых лежит на прямых а и в. Поэтому на прямых а и в возьмем произвольные отрезки: [С 1 В 1 ] а, [СВ] в в качестве соответственных сторон, а вторая пара сторон пересекается в точке А. a c b A C B A S YX A/A/ B/B/ C/C/
14 (С / С) (В / В) = S, S – точка, в которой пересекаются прямые, проходящие через соответственные вершины треугольников. Вторая пара сторон искомых треугольников лежит на прямых (А / С / ) и (АС). (Теорема Дезарга, см. рис.) S A B C WU V A/A/ B/B/ C/C/
15 Построение: Построение: 1. 1.Берем точки С 1, В 1 а 2. 2.Берем точки С, В, в 3. 3.S = (СС 1 ) (ВВ 1 ) 4. 4.Проведем произвольную прямую l S 5. 5.О 1 = l (С 1 А) О = l (СА) 6. (В 1 О 1 ) (ВО) = А (АА 1 ) = с – искомая l Доказательство: Доказательство: Рассмотрим С 1 О 1 В 1 и СОВ. (СС 1 ) (ВВ 1 ) (ОО 1 ) = S по построению. Точки А = (С 1 О 1 ) (СО) и А 1 = (В 1 О 1 ) (ВО) определяют прямую с. Поскольку (С 1 В 1 ) // (СВ), то с // а // в. Рассмотрим С 1 О 1 В 1 и СОВ. (СС 1 ) (ВВ 1 ) (ОО 1 ) = S по построению. Точки А = (С 1 О 1 ) (СО) и А 1 = (В 1 О 1 ) (ВО) определяют прямую с. Поскольку (С 1 В 1 ) // (СВ), то с // а // в. С1С1 В1В1 a C Bb S А О О1О1 А1А1
16 Исследование: Исследование: Задача всегда имеет единственное решение, так как через данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной. Задача всегда имеет единственное решение, так как через данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной.
17 Задача с недоступными элементами Точку называют недоступной, если к ней нельзя применить аксиомы конструктивной геометрии, в частности, аксиома линейки и циркуля. Фигура считается недоступной, если все ее точки недоступны. Недоступная точка считается заданной (известной), если построены отрезки двух прямых, пересекающихся в этой точке.
18 Задача. Даны две прямые а и в, пересекающиеся в недоступной точке L (т.е. лежащей вне пределов чертежа); построить прямую, соединяющую точку L с данной (доступной) точкой М. Задача. Даны две прямые а и в, пересекающиеся в недоступной точке L (т.е. лежащей вне пределов чертежа); построить прямую, соединяющую точку L с данной (доступной) точкой М. Решение. Анализ. Пусть задача решена и прямая с проходит через точку М и точку L (см. рис.) Для проведения анализа вспомним теорему Дезарга и сделаем к этой теореме рисунок. Решение. Анализ. Пусть задача решена и прямая с проходит через точку М и точку L (см. рис.) Для проведения анализа вспомним теорему Дезарга и сделаем к этой теореме рисунок. недоступная часть недоступная часть M c M c L b a
19 Так как точки М и L лежат на одной прямой, то можно рассмотреть их как точки пересечения соответственных сторон треугольников, а прямые а и в взять как прямые ВС и В'С', то есть прямые, на которых лежат две соответственные стороны треугольников с осью с. Таким образом, построение сводится к построению двух треугольников, две стороны которых лежат на сторонах а и в, а другая пара соответственных сторон пересекаются в точке М. Необходимо построение проводить таким образом, чтобы прямые пересекались в доступной части чертежа. L b a M S B C A U VW A/A/ C/C/ B/B/
20 Построение: Построение: 1. Возьмем точки А, В а; А /, В / b (см. рис.) 2. Точка S = (АА / ) (ВВ / ). 3. Проведем произвольную прямую l: S l. 4. С 1 = (В / М) l, С = (ВМ) l. С = (ВМ) l. 5. (АС) (А / С / ) = М 1 6.(ММ 1 ) = с – искомая. Доказательство: Рассмотрим АВС и А / В / С /. Рассмотрим АВС и А / В / С /. В них: (ВВ / ) (АА / ) (СС / ) = S (ВВ / ) (АА / ) (СС / ) = S (АС) (А / С / ) = М 1, (АС) (А / С / ) = М 1, (ВС) (В / С / ) = М, (ВС) (В / С / ) = М, (АВ) (А / В / ) = а в = L, (АВ) (А / В / ) = а в = L, следовательно, по теореме 1 точки М, М 1 и L лежат на одной прямой. следовательно, по теореме 1 точки М, М 1 и L лежат на одной прямой. a A B b А/А/ В/В/ S l LM С С/С/ М1М1
21 Поляра Четыре точки A, B, C, D, лежащие на одной прямой, образуют гармоническую четверку, если Четыре точки A, B, C, D, лежащие на одной прямой, образуют гармоническую четверку, если AC AD AC AD : = -1. : = -1. CB DB CB DB Задача. Задача. Из данной точки A проведены к данной окружности с центром O касательные AK 1, AK 2 и секущая, пересекающая окружность в точках C и D, а отрезок K 1 K 2 – в точке B. Докажите, что точки A, B, C и D образуют гармоническую четверку. Из данной точки A проведены к данной окружности с центром O касательные AK 1, AK 2 и секущая, пересекающая окружность в точках C и D, а отрезок K 1 K 2 – в точке B. Докажите, что точки A, B, C и D образуют гармоническую четверку.
22 Доказательство: Введем систему координат с началом в точке A, как показано на рисунке. Пусть B 1, C 1, D 1 – проекции точек B, C, D на ось абсцисс. Докажем, что точки A, B 1, C 1, D 1 образуют гармоническую четверку. Отсюда сразу же последует, что точки A, B, C, D также образуют гармоническую четверку. Уравнение окружности запишем в виде (x – a) 2 + y 2 = R 2 (2) (x – a) 2 + y 2 = R 2 (2) где a = AO, R – радиус окружности, а уравнение секущей AD – в виде где a = AO, R – радиус окружности, а уравнение секущей AD – в виде y = kx (3) y = kx (3) где k – некоторое число. Координаты точек C и D удовлетворяют уравнениями (2) и (3). Если подставить y = kx в уравнение (2), то придем к квадратному уравнению (1 + k 2 ) x 2 – 2ax + a 2 – R 2 = 0 (4) (1 + k 2 ) x 2 – 2ax + a 2 – R 2 = 0 (4) x y A K2K2 C K1K1 D B D1D1 OB1B1 C1C1
23 корни x 1 и x 2 которого равны абсциссам точек C и D, т.е. AC 1 = x 1, AD 1 = x 2. По теореме Виета 2a a 2 – R 2 2a a 2 – R 2 x 1 + x 2 =, x 1 x 2 =, x 1 + x 2 =, x 1 x 2 =, 1+ k k 2 1+ k k 2 2x 1 x 2 a 2 – R 2 2x 1 x 2 a 2 – R 2 откуда = (5) x 1 + x 2 a x 1 + x 2 a Рассматривая прямоугольный треугольник AOK 1, нетрудно Рассматривая прямоугольный треугольник AOK 1, нетрудно a 2 – R 2 a 2 – R 2 установить, что AB 1 =. Поэтому если положить AB 1 = x 0, a то равенство (5) можно записать в виде 2x 1 x 2 2x 1 x 2 = x 0, или x 1 (x 2 – x 0 ) – x 2 (x 0 – x 1 ) =0. = x 0, или x 1 (x 2 – x 0 ) – x 2 (x 0 – x 1 ) =0. x 1 +x 2 x 1 +x 2 24 Отсюда, учитывая, что Отсюда, учитывая, что x 1 (x 2 – x 0 ) = AC 1 * B 1 D 1, x 2 (x 0 – x 1 ) = AD 1 * C 1 B 1, x 1 (x 2 – x 0 ) = AC 1 * B 1 D 1, x 2 (x 0 – x 1 ) = AD 1 * C 1 B 1, получаем: получаем: AC 1 * B 1 D 1 – AD 1 * C 1 B 1 =0, AC 1 * B 1 D 1 – AD 1 * C 1 B 1 =0, а это и означает, что точки A, B 1, C 1, D 1 образуют гармоническую четверку. а это и означает, что точки A, B 1, C 1, D 1 образуют гармоническую четверку. 2x 1 x 2 2x 1 x 2 Равенство = x 0 можно доказать и не прибегая Замечание. Равенство = x 0 можно доказать и не прибегая x 1 + x 2 к рассмотрению треугольника AOK 1. В самом деле, соотношение 2x 1 x 2 a 2 – R 2 2x 1 x 2 показывает, что величина не зависит от = показывает, что величина не зависит от x 1 + x 2 a x 1 + x 2 k, т.е.имеет одно и то же значение для любой прямой, описываемой уравнением y = kx. Возьмем k таким, чтобы уравнение y = kx было уравнением касательной AK 1. Тогда оба корня x 1 и x 2 квадратного уравнения Тогда оба корня x 1 и x 2 квадратного уравнения (1 + k 2 ) x 2 – 2ax + a 2 – R 2 = 0 будут равны абсциссе точки K 1, т.е. будут равны x 0.
25 Но в этом случае Но в этом случае 2x 1 x 2 2x 0 x 0 2x 1 x 2 2x 0 x 0 = = x 0, = = x 0, x 1 + x 2 x 0 +x 0 x 1 + x 2 x 0 +x 0 2x 1 x 2 2x 1 x 2 а значит, и для любой другой прямой = x 0 x 1 + x 2 x 1 + x 2 Прямая K 1 K 2 называется полярой данной точки A относительно данной окружности. Если точка B не лежит на поляре, а прямая AB пересекает окружность в точках C и D, то можно сделать такой вывод: Прямая K 1 K 2 называется полярой данной точки A относительно данной окружности. Если точка B не лежит на поляре, а прямая AB пересекает окружность в точках C и D, то можно сделать такой вывод: если данная точка A лежит вне данной окружности, то множество точек B, для каждой из которых точки пересечения прямой AB и окружности гармонически разделяют точки A и B, представляет собой часть поляры точки A относительно данной окружности, лежащую внутри этой окружности. если данная точка A лежит вне данной окружности, то множество точек B, для каждой из которых точки пересечения прямой AB и окружности гармонически разделяют точки A и B, представляет собой часть поляры точки A относительно данной окружности, лежащую внутри этой окружности.
Читайте также: