Реферат по теме периодические функции

Возьмём произвольный угол α и построим подвижной радиус ОМ единичной окружности такой, что угол, составленный с осью Ох этим радиусом, равен α .

Если мы к углу прибавим 2π или 360 ° (то есть полный оборот), то углу α + 2π или α + 360 ° будет соответствовать то же положение подвижного радиуса ОМ , что для угла α .

Так как синус и косинус угла, составленного с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности, по сути соответственно ордината у и абсцисса х точки М , то

sin (α + 2π) = sin α или

sin (α + 360 ° ) = sin α

cos (α + 2π) = cos α или

cos (α + 360 ° ) = cos α .

Таким образом, функции sin α и cos α от прибавления к аргументу α одного полного оборота ( 2π или 360 ° ) не меняют своих значений.

Точно так же, прибавляя к углу α любое целое число полных оборотов, мы не изменим положения подвижного радиуса ОМ , а потому:

sin (α + 2 k π ) = sin α или

sin (α + 360 ° k ) = sin α

cos (α + 2 k π ) = cos α или

cos (α + 360 ° k ) = cos α ,

где k – любое целое число.

Функции, обладающие таким свойством, что их значения не изменяются от прибавления к любому допустимому значению аргумента определённого постоянного числа, называются периодическими .

Следовательно, функции sin α и cos α – периодические.

Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.

Периодом функции sin α и cos α является 2π или 360 ° .

Функции tg α и с tg α также периодические и их периодом является число π или 180 ° .

В самом деле, пусть α – произвольный угол, составленный с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности.

Построим точку М ',

симметричную точке М относительно начала координат. Один из углов, образованных с осью Ох подвижным радиусом ОМ ' , будет равен α + π .

Если х и у – координаты точки М , то точки М ' будут –х и –у . Поэтому

sin α = у, cos α = х,

sin (α + π) = –у,

cos (α + π) = –х.

tg (α + π) = tg α,

с tg (α + π) = с tg α .

отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:

tg (α + k π ) = tg α,

с tg (α + k π ) = с tg α .

где k – любое целое число.

y = A sin ( ωx + φ ) и

y = A cos ( ωx + φ )

вычисляются по формуле

T = 2π /_ω ,

а период функции

y = A tg ( ωx + φ )

T = π /_ω .

Если период функции y = f ( x ) равен T ₁ , а период функции y = g ( x ) равен T ₂ , то период функций

y = f ( x ) + g ( x ) и

y = f ( x ) – g ( x )

равен наименьшему числу, при делении которого на T ₁ и T ₂ получаются целые числа.

Найти период функции

y = 3 sin (x – 2) + 7 со s π x .

Период функции

y = 3 sin ( x – 2)

T ₁ = 2π / ₁ = 2π .

Период функции

y = 7 со s π x

T ₂ = 2π /_π = 2 .

Периода у функции

y = 3 sin ( x – 2) + 7 со s π x

не существует, так как такого числа, при делении которого на 2π и на 2 получались бы целые числа, нет.

Периода не существует.

Доказать следующее утверждение :

tg 3850 ° = tg 250 ° .

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 180 ° , то получим :

tg 3850 ° = tg (20 ∙ 180 ° + 250 ° ) = tg 250 ° .

Доказать следующее утверждение :

сos (–13π) = –1.

Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом 2π , то получим :

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

Доказать следующее утверждение :

sin (–7210 ° ) = – sin 10 ° .

Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 360 ° , то получим :

sin (–7210 ° ) = –sin 7210 ° = –sin (20 ∙ 360 ° + 10 ° ) – sin 10 ° .

ПРИМЕР :

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

sin 7х = sin 7(х + t ) = sin (7х + 7 t )

так как 2 πk период синуса, то получим :

sin (7х + 7 t ) = sin (7х + 2 πk ),

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

со s 0,3х = со s 0,3(х + t ) = со s (0,3х + 0,3 t )

так как 2 πk период косинуса, то получим :

со s (0,3х + 0,3 t ) = со s (0,3х + 2 πk ),

Найти период функции :

y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3х.

Период функции

y = 5 sin 2 x

равен Т ₁ = 2 𝜋 / ₂ = π ,

а период функции

y = 2 ctg 3х

равен Т ₂ = 𝜋 / ₃ .

Наименьшее число, при делении которого на

Т ₁ = π и Т ₂ = 𝜋 / ₃

– получаются целые числа будет число π . Следовательно, период заданной функции равен Т = π .

Найти период функции :

y = 9 sin (5 x + π / ₃ ) – 4 c о s (7х + 2).

Находим периоды слагаемых. Период функции

y = 9 sin (5 x + π / ₃ )

равен Т ₁ = 2 𝜋 / ₅ ,

а период функции

y = 4 c о s (7х + 2)

равен Т ₂ = 2 𝜋 / ₇ .

Очевидно, что период заданной функции равен

Т = 2π .

Найти период функции :

y = 3 sin π x + 8 tg (х + 5).

Период функции

y = 3 sin π x

равен Т ₁ = 2 π / _π = 2,

а период функции

y = 8 tg (х + 5)

равен Т ₂ = 𝜋 / ₁ = π.

Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на 2 и на π одновременно получались бы целые числа.

Найти период функции :

y = sin 3 x + со s 5х.

Период функции

y = sin 3 x

равен Т ₁ = 2 π / ₃ ,

а период функции

y = со s 5х

равен Т ₂ = 2 π / ₅ .

Приведём к общему знаменателю периоды :

Т ₁ = 10 π / ₁₅ , Т ₂ = 6 π / ₁₅ .

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Во введении обосновывается выбор темы исследования, определены его цель объект, предмет сформулированы гипотеза, задачи.

Первая глава посвящена теоретическим основам темы периодические функции, периодичность функции.

Общей учебной задачей, которое ставится при изучении данной темы является усвоение свойств периодической функции и умение применять их при решении задач.

Для сознательного усвоения этого материала необходимо формулировать определение периодической функции.

Определение: Функция f называется периодической с периодом Т≠0, если для каждой точки х их ее области определения f значения этой функции в точках х и х+Т равны:

Определения периодической функции имеет сложную структуру, оно включает три признака:

1. Существует Т≠0;
2. При любой х Д(х) числа х± Т Д(у);
3. f(x-T)=f(x+T)=f(x).

поэтому возможны затруднения учащихся.

Эти три признака соединены конъюнктивно, поэтому при невыполнении одного из них функция будет непериодической функцией. Это позволяет приводить примеры непериодических функций и указывает, что для доказательства периодичности следует проверять три признака.

Основные образовательные цели изучения периодической функции в 10-11 классах:

• познакомить учащихся с определением и свойствами периодической функции;
• ввести понятие периода функции наименьшего положительного периода;
• знать формулировку и доказательство теоремы о периодичности тригонометрических функций;
• уметь применять свойства периодичности тригонометрических функций при вычислении их значений и при выполнении упражнений.

Анализ учебного материала по периодичности функции позволяет выделить следующие основные содержания:

1. определения периодической функции;
2. определение периода;
3. утверждение: если Т – период, то и nT – период;
4. теорема о периодичности;
5. наименьший период функции;
6. теорема о периодичности тригонометрических функций;
7. нахождение периодичности функции.

Понятие периодической функции вводится как периодичность тригонометрических функций. Оно вводится после изучения обратных тригонометрических функций и решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств, но до рассмотрения графиков функций.

Определение: Функция f(x) называется периодической, если существует такое число Т≠0, что для любых х из области определения этой функции выполняется равенство f(x-T)=f(x)=f(x+T).

Число Т называется периодом функции f(x).

Из этого определения → х Д(f) то х+Т, х-Т Д(f) и х+Т ∗n Д(f) → f(x+T ∗n)=f(x), n Ζ .

Покажем, что число 2П является наименьшим положительным периодом функции y=cos x.

• ] T > 0 – период cos, то есть для любого х выполняется равенство cos(x+T)=cos x. Положив, что х=0, получим cos T=0 → T=2ПK, n Ζ. Так как Т>0, то Т может принимать значение 2П, 4П, 6П…. и поэтому период не может быть меньше 2П.

y = sin x. также 2П.

Задача: Доказать, что f(x)=sin2x – периодическая функция с периодом

∆ если функция f(x) определена на всей числовой оси f(x+T)=f(x).

Данная функция определена для всех х R.

f(x+ )=sin3(x+ )=sin(3x+2П)=sin3x=f(x).

покажем, что функция tg x является периодической с периодом П

х Д(f) то есть х≠ +П, n Ζ.

Tg(x-П)= -tg(П-x)= -(-tg x)=tg x. tg(x+П)=tg x.

Таким образом, tg(x-П)=tg x =tg(x+П) покажем, что П – наименьший положительный период функции.

• ] Т – период tg, тогда tg(x+T)=tg x, откуда х=0 , tg T=0, T=кП, к Ζ.

Так как наименьшее целое положительное П равно 1, то П – наименьший положительный период функции tg x.

Задача: Доказать, что tg – периодическая функция с периодом 3П.

∆ так как tg =tg( )=tg .

№327. Доказать, что данная функция является периодической с периодом 2П.

4) y= ; 5) y=sin(x+ ); 6) y=cos(x+ ).

№328. Доказать, что данная функция является периодической с периодом Т, если:

1. у=sin2x, Т=П; 2) у=cos , Т=4П;
2. y=tg2x, T= ; 4) у=sin , Т= П.

Найти наименьший положительный период функции (330-331).

№330*. 1) у=cos х; 2) у=sin х; 3) y=tg ; 4) y=(sin x).

№331*. 1) у=sinx+ cosx; 2) у=sinx+tgx.

Упражнения к главе 4.

№376. Найти наименьший положительный период функции

1) у=cos7х; 2) у=sin .

№383. 1) у=2sin(2x+1); 2) y=3tg (x+1).

№441. Найти наименьший положительный период периодической функции

1) у=cos3х; 2) у=sin ; 3) у=tg5x; 4) у=sinx+tgx.

Упражнения для повторения курса алгебра и начала математического анализа 11 класса.

Упражнения для итогового повторения курса алгебры.

№891. Найти наименьший положительный период функции

Периодичность и не периодичность функцией.

Понятия периодичности функции, относится к числу важнейших понятий математики, широко используемых в вузовских курсах. Поэтому школьники, особенно абитуриенты должны хорошо понимать определение периодической функции, знать основные свойства этих функций, уметь доказывать периодичность (V не периодичность той или иной конкретной функции. Подчеркнем, что включение в школьную программу элементов математического анализа открывает дополнительные возможности для решения задач такого рода.

Понятие периодической функции вводится впервые. Поэтому нужно найти ответ на следующий вопрос: для чего используются периодические функции?

Для ответа на этот вопрос желательно провести беседу о периодических функциях. Любой человек без труда приведет……..

Объект исследования: Изучение периодических функций.

Исходя из поставленной проблемы, цели объекта и предмета исследования предлагается решить следующие задачи.

Общая задача, которую мы поставили сформулировать аппарат, который позволял решить задачи содержащие тригонометрические функции и их различные виды. Эта задача решалась через систему следующей задачи.

В заключении, хотелось бы отметить, что все поставленные задачи реализованы. Нашли подтверждение и рабочая гипотеза: если методически грамотно разработать процесс формирования учебных действий, то можно повысить эффективность учебного процесса и получить высокие результаты, и это способствует повышению эффективности работы учителя, служит ликвидацием формализма в знаниях учащихся по математике, а значит вырабатывается важное качество знаний – осознанность, что также сказывается на качестве знаний.

Понятию периодической функции в разных учебниках даются различные определения, однако независимо от этих различий периодическими являются или не являются одни и те же функции, поэтому говорят, что эти определения равносильны, или эквивалентны, т.е. описывают одно и то же свойство функций, означают одно и то же.

Наиболее просто, по нашему убеждению, дать определение периодической функции в два шага:

1. Число $ T\neq0$ называется периодом функции f, если вместе со всяким числом $x \in D(f)$ числа х+Т и x-Т также принадлежат D(f) и выполняется равенство f(x+Т)=f(x).

2. Функция называется периодической, если она имеет хотя бы один период.

Естественно, функцию называют периодической с периодом Т, если число Т является ее периодом.

Сама форма определения периода подсказывает, что периодов у функции может быть много: в нем подразумевается, что всякое число Т с указанным свойством является периодом функции f, а вы прекрасно знаете, что если Т — период f, то любое его кратное, т.е. число вида nТ, где n — любое целое число, является ее периодом.

Полезно — особенно для экономии времени при решении задач с кратким ответом — знать, что сумма двух периодических функций с одинаковым периодом является периодической функцией, и более того, для периодичности суммы достаточно, чтобы отношение каких-то двух их периодов Т₁ и Т₂ являлось рациональным числом (такие числа Т₁ и Т₂ часто называют соизмеримыми).

В самом деле, если $\frac>>=\frac pq$, то $qT_=pT_$ и это число является, очевидно, общим периодом этих функций, а значит, и периодом их суммы. Аналогичные утверждения могут быть доказаны и для разности функций, а также для их произведения и частного — правда, с некоторыми осложнениями из-за нулевых значений.

Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .

Переменная х - независимая переменная или аргумент.

Переменная у - зависимая переменная

Значение функции - значение у , соответствующее заданному значению х .

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f ( x )= f (- x )

Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- x )=- f ( x )

Возрастающая функция - если для любых х₁ и х₂ , таких, что х₁ f (х₂ )

Линейная функция.

Это функция вида . Число называется угловым коэффициентом , а число - свободным членом . Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная оси .

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению - положительному направлению оси .

График линейной функции - прямая

1. Область определения – все действительные числа.

2. Область значений – все действительные числа.

3. Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b).

4. Линейная функция ни четная ни нечетная.

5. Функция возрастает если k>0,

Функция убывает если k 0, то в точке x =- b /(2 a ) функция имеет минимум. При x - b /(2 a ) монотонно возрастает.