Реферат на тему уравнения 6 класс

Обновлено: 31.05.2024

Уравнение, которое можно привести к виду ax=b, где a и b − некоторые числа (a0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.

Линейные уравнения обладают свойствами:

Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (стр. 229 учебника).
Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак (стр. 230 учебника).

Рассмотрим план решения линейного уравнения:

х-1+(х+2)=-4(-5-х)-5
х-1+х+2=20+4х-5
х+х-4х=20-5+1-2
-2х=14
х=14:(-2)
х=-7
Ответ: -7.

1) раскрыть скобки, если они есть;
2) слагаемые, содержащие неизвестное, перенести в левую часть равенства, а не содержащие неизвестное − в правую;
3) привести подобные слагаемые;
4) найти неизвестный множитель.

Какими из свойств равенств мы воспользовались для решения уравнения? (вторым)

Рассмотрим примеры уравнений, при решении которых будет удобно воспользоваться и первым свойством.

х+3=х+5 │∙9 Удобно умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробей.

(х+3)∙9=(х+5)∙9 Далее − по плану.

7х+27=6х+45

7х-6х=45-27

х=18

Не забывайте о том, что ответ может быть дробным числом.

V. Самостоятельная работа обучающего характера.

(Выполняется на листочках парами по карточкам.)

Для наиболее слабых учащихся:

Для средних учащихся:

Для сильных учащихся:

Сдать работы и тут же сверить ответы со слайдом 5.

В первом бидоне в три раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока в каждом бидоне?

(Решает учитель, поясняя каждый шаг).

1 бидон	2 бидон
Было, л	3х	Х
Стало, л	3х-20	х+20

По условию получаем уравнение:

3х-20=х+20

3х-х=20+20

2х=40

х=20(л) молока было в 1 бидоне.

3∙20=60(л) молока было во 2 бидоне.

Ответ: 60л и 20л.

На первую машину погрузили на 0,6т зерна больше, чем на вторую. Если бы на первую машину погрузили в 1,2 раза больше, а на вторую в 1,4 раза больше, то груза на обеих машинах было бы поровну. Сколько тонн груза погрузили на каждую машину?

(Решает у доски учащийся).

1 машина	2 машина
Было, т	Х+0,6	Х
Стало, т	1,2(х+0,6)	1, 4х

По условию получаем уравнение:

1,2(х+0,6)=1,4х

1,2х+0,72=1,4х

1,2х-1,4х=-0,72

-0,2х=-0,72

х=-0,72:(-0,2)

х=3,6(т) зерна было на 2 машине.

3,6+0,6=4,2(т) зерна погрузили на 1 машину.

Ответ: 4,2т и 3,6т.

Длина отрезка АВ на 2см больше, чем длина отрезка СD. Если длину отрезка АВ увеличить на 10см, а длину отрезка CD увеличить в 3 раза, то получатся равные результаты. Найдите длину отрезка АВ.

(Задача решается парами на местах. По окончании решения к доске для сверки вызывается один из учащихся.)

АВ	CD
Было, см	х+2	Х
Стало, см	(х+2)+10	3х

По условию получаем уравнение:

Если останется время, решим №1340. (слайд 8)

− Скажи мне, учитель, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы.

− Вот сколько, − ответил учитель, − половина изучает математику, четверть − природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть ещё три женщины.

Пусть х − все ученики, из них:

изучают математику − ,
изучают природу − ,
размышляют − ,
женщины − 3.

Составим и решим уравнение:

Ответ: всего 28 учеников.

VII. Подведение итогов.

VIII. Задание на дом.

п. 42, правила, №1342(г-ж), №1346, №1338.

№1342. Решите уравнения:

На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с одной полки сняли 8 книг, а на другую положили 32 книги, то на полках стало книг поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Технологическая карта и презентация "Решение уравнений 6 класс" УМК Дорофеев В.Г., Шарыгин И.Ф.

Вложение	Размер
tehnologicheskaya_karta_uroka_6_klass_reshenie_uravneniy.doc	83 КБ
reshenie_uravneniy_6_klass_g.v.dorofeev.pptx	1.68 МБ

Предварительный просмотр:

Технологическая карта урока математики в 6 классе

Учитель: Яценко Елена Дмитриевна

ГБОУ школа № 589 Колпинского района г. Санкт-Петербурга

Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. Математика 6 класс

Открытие новых знаний

Предметные – формулировать определение уравнения и корня уравнения; называть компоненты при сложении, вычитании, умножении, делении; решать уравнения на основе зависимости между компонентами арифметических действий;
Метапредметные – осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения уравнений в зависимости от конкретных условий;
Личностные – уметь ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; понимать смысл поставленной задачи; осуществлять самоконтроль и взаимоконтроль.

Формирование универсальных учебных действий учащихся

Познавательные – воспитывать познавательный интерес к предмету; учить анализировать имеющуюся информацию; учить осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения образовательных задач в зависимости от конкретных условий.
Регулятивные – учить целеполаганию; планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей; умению вносить коррективы в действие после его завершения на основе учёта сделанных ошибок; оценивать правильность выполнения действий.
Коммуникативные – организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками; контролировать действие партнёра.
Личностные – формирование учебно-познавательного интереса к деятельности; воспитание доброжелательного отношения к окружающим; формирование умения проводить объективный самоанализ деятельности.

Обучающие и развивающие задания

I. Мотивация к учебной деятельности.

Цель: создать благоприятный психологический и эмоциональный настрой на работу

Проверяет готовность учащихся к уроку.

- Здравствуйте. Пожалуйста, садитесь. Я очень рада всех вас видеть здесь и сейчас бодрыми и здоровыми. К работе готовы? Итак, начинаем.

Посмотрите, пожалуйста, на экран и ответьте на вопрос:

- На какие две группы можно разделить выражения?

Показывают готовность к уроку.

Включаются в работу.

- На две группы: буквенные выражения и уравнения.

Коммуникативные: учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками.

Личностные: осознание процесса учебной деятельности.

Регулятивные: саморегуляция к деятельности.

Регулятивные: планирование деятельности.

Познавательные: использование имеющихся знаний в новой ситуации.

II. Актуализация знаний.

Цель: повторение ЗУНов, необходимых для работы на уроке.

-Значит, какая тема сегодняшнего урока?

-Такие уравнения мы с вами умеем решать?

-Значит, что мы с вами сегодня будем делать на уроке? Какова будет цель нашего урока?

Запишите тему нашего урока в тетради.

-Что называется уравнением?

-Что называется корнем уравнения?

-Что значит решить уравнение?

-Давайте повторим основные компоненты сложения, вычитания, умножения, деления.

Учитель проводит устную работу.

-Учиться решать новый вид уравнений.

Учащиеся записывают тему урока в тетради.

-Равенство с неизвестным.

-Число, при подстановки которого в уравнение мы получаем верное равенство.

-Найти корень уравнения или показать, что его нет.

Учащиеся выполняют задания и отвечают на вопросы учителя.

Коммуникативные: участие в диалоге.

Регулятивные: формулирование темы урока.

Личностные: высказывание своих собственных суждений.

Регулятивные: оценивание правильности выполнения, исправление сделанных ошибок.

III. Первичное усвоение знаний.

Цель: отработать алгоритм решения уравнений.

Учитель организует работу по решению уравнений

Отвечают на вопрос учителя.

Решают в тетрадках уравнения.

4 ученика решают у доски.

Слабые учащиеся могут еще раз проверить правильность применяемого пути решения.

Личностные: оценивание своего понимания новой учебной задачи, определение причин затруднений.

Регулятивные: отделение знаний от незнаний.

IV. Первичная проверка понимания.

Учитель предлагает найти ошибку в решении уравнений.

Побуждает к высказыванию своего мнения.

Предлагает записать правильное решение уравнений.

Отмечает степень вовлеченности учащихся в работу на уроке.

Учащиеся находят ошибки в решении уравнений, предлагают пути исправления их. В тетрадках записывают правильное решение.

Коммуникативные: участие в работе по решению проблемной задачи.

Личностные: формирование учебно-познавательного интереса к новому действию.

Познавательные: получение новой информации.

V. Исторический экскурс.

Учитель проводит исторический экскурс: кто придумал уравнения, когда появились первые упоминания о них, по каким правилам решали уравнения раньше, кто придумал эти правила.

Учащиеся слушают учителя и дополняют.

Познавательные: анализ имеющейся информации;

Выполнение упражнений для глаз.

Личностные: забота о своём здоровье. Регулятивные: осознанное выполнение физических упражнений.

VII. Контроль усвоения.

Учитель показывает слайд презентации с высказываниями.

- Решите следующее уравнение и определите, кому принадлежат эти слова.

- Поставьте, пожалуйста, себе за работу на этом этапе оценку.

Предлагает выполнить самостоятельную работу по вариантам.

По завершению самостоятельной работы, учитель предлагает поменяться тетрадями и проверить правильность выполнения по шаблону.

Учащиеся решают уравнение в тетрадке и определяют, кому принадлежит данное высказывание.

Выполняют самостоятельную работу.

Учащиеся проверяют правильность решения заданий у соседа по образцу, выставляют оценку.

Регулятивные: коррекция своих действий, сличение с эталоном.

Познавательные: проверка качества усвоения новых знаний.

Личностные: проводят объективный самоанализ деятельности.

- Оцените своё состояние и работу на уроке. В оценочный лист поставьте оценку за весь урок, смайлик и выберете слово, которое ассоциируется у Вас с этим уроком

Дети оценивают свою работу на уроке.

Регулятивные: оценка успешности достижения цели.

Личностные: понимание причин успеха и неуспеха.

IХ. Домашнее задание.

Записывает на доске.

№ 687(2,3 столбики), 693(в, г), 703.

Записывают домашнее задание в дневник.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

На какие две группы можно разделить? 5( x – 3) = 20 x + 8 = – 15 7,5s – 3k 5x = 2x +6 a – 4 + b 4b 6m – 1

Тема урока : Решение уравнений Тема урока:

Разгадайте анаграмму и определите, какое слово лишнее? зачада лиратерату варунение извененаяст ЗАДАЧА ЛИТЕРАТУРА УРАВНЕНИЕ НЕИЗВЕСТНАЯ

Решите устно уравнения 3x = 15 1 5 – x = 8 + x = 1 8 ,6 x : 3 = 1,2 10 - 5x = 3 6x – 14 = 4 7x - 54 = 2 4,9 - x = 0

Вспомни Что называется уравнением ? Что называется корнем уравнения? Что значит решить уравнение?

Решите уравнения 1) 1,5+2,5х=14 2) (х-1,1)-2=5 3) 10-0,3х=6,4 4) х:100-20=7,2

Исторический экскурс Кто придумал уравнения? Ответить на этот вопрос невозможно! Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3-4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Наибольших успехов в развитии учения об уравнениях достиг греческий ученый Диофант ( IIIв ) “Он уйму всяких разрешил проблем. И засухи предсказывал и ливни. Поистине его познанья дивны”

Ал - джабра При решении уравненья Если в части одной, Безразлично какой, Встретится член отрицательный, Мы к обеим частям, С этим членом сличив, Равный член придадим, Только с знаком другим,- И найдем результат нам желательный.

Ал - мукабала Дальше смотрим в уравненье, Можно ль сделать приведенье, Если члены в нем подобны, Сопоставить их удобно, Вычтя равный член из них, К одному приводим их.

Самостоятельная работа. Вариант 1. Вариант 2. Реши уравнения: х + 32 = 171 463 – у = 219 (246 + а) – 42 = 643 Реши уравнения: 83 + с = 345 n – 93 = 139 318 – (т – 8) = 27 В санатории было 97 отдыхающих. После того, как несколько человек уехало на экскурсию, в санатории осталось 78 отдыхающих. Сколько человек уехали? В автобусе было 78 пассажиров. На остановке несколько человек вышли. В автобусе осталось 59 пассажиров. Сколько человек вышли из автобуса на остановке?

Ответы к самостоятельной работе 1 вариант 2 вариант 1) х=139 1) с=262 2) y=244 2) n=232 3) а=439 3) m=299 4) 19 ЧЕЛОВЕК 4) 19 ЧЕЛОВЕК

Выберите слово, которое у вас ассоциируется с содержанием прошедшего урока Успех Польза Новизна Интерес Лёгкость Скука Трудность Бесполезность

Спасибо за урок

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок математики и ИКТ в 9 классе по теме: "Приближенное решение уравнений в электронных таблицах" (Графический способ решения уравнений)

Данный интегрированный урок может провести любой учитель математики, хорошо владеющий информационно-коммуникационными технологиями. Цель урока: научить учащихся решать уравнения графическим спос.

Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений.

Презентация по теме "Решение уравнений".

Учебно-методическое пособие "Решение уравнений". Часть 1: Решение иррациональных уравнений.

Электронное учебно-методическое пособие для уроков повторения в 11 классе по теме "Решение уравнений".

Задания теста соответствуют содержанию учебника «Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев , Н. Г. Миндюк , К. И. Нешков , И. Е. Феоктист.

Учебный модуль по теме " Уравнение. Решение уравнений.Решение текстовых задач с помощью уравнений."

Данный учебный модуль разработан в рамках персонализированного обучения .Модуль расчитан на 12 часов. Содержитз адания для прохождения уровней цели 2.0,,3.0 и 4.0.В модуле представле.

Простые равенства с неизвестными — первоначальный этап знакомства с линейными уравнениями. Примеры с объяснением для 6 класса основываются не только на решении последних, но и на базовых определениях, а также использования формул сокращенного умножения для понижения степени до единицы. Математики рекомендуют начать с теории, а затем перейти к ее практическому применению.

Общие сведения

Уравнение — совокупность чисел и переменных. Иными словами, тождеством, содержащим неизвестные величины, называется математическая запись, в которой следует определить значения переменных, превращающих это выражение в истинное. Например, переменная t в выражении 2t=6 эквивалентна 3, поскольку 2*3=6.

Линейное — тождество, в котором максимальный показатель степени при неизвестной величине всегда эквивалентен единице.

Классификация уравнений

Прежде чем рассматривать примеры уравнений по алгебре в 7 классе (изучаются подробнее, чем в 6-м), необходимо разобрать их классификацию, поскольку она влияет на алгоритм нахождения корней. Они бывают трех типов:

Обыкновенные.
С параметром.
Высшей степени.

Первый вид — обыкновенные приведенные линейные уравнения, состоящие из числовых величин и переменных с единичным степенным показателем. Они являются наиболее распространенными не только в математике и физике, но и в других дисциплинах с физико-математическим уклоном. Графиком их функции является прямая линия, которую также называют прямо пропорциональной зависимостью.

Ко второму типу относятся любые многочлены линейного типа, имеющие переменную, а также некоторый параметр. Последний влияет на решение и нахождение корней. Обычно он задается на начальном этапе решения, но бывают и исключения. В последнем случае необходимо указывать диапазон допустимых значений параметра.

Суть решения второго вида уравнений — предотвратить превращение тождества в пустое множество. Для этой цели требуется исключить при помощи записи в виде неравенства все ложные значения параметра. Выражения с параметром применяются в программировании при написании и разработке различных алгоритмов. Кроме того, их можно встретить при описании физических процессов и явлений.

Последний тип — выражения высшей степени, которые при помощи математических преобразований превращаются в первый или второй тип. Для их решения необходимо знать формулы сокращенного умножения, понижающие степень до единицы, а также навык раскрытия скобок и приведения подобных компонентов.

Обыкновенные тождества

Простое линейное уравнение записывается в таком виде: At+Bt+Ct+As+Bs+Cs=0. Некоторых коэффициентов может и не быть. Кроме того, тождество может записываться в виде выражения, включающего в свой состав скобки. Алгоритм решения имеет следующий вид:

Раскрыть скобки.
Произвести математические преобразования над компонентами уравнения.
Сгруппировать элементы: перенести неизвестные в одну, а известные — в другую сторону.
Найти корень или доказать его отсутствие (учитывать и знаменатель при его наличии).
Выполнить проверку, подставив решение в исходное равенство.

Последний пункт реализации методики свидетельствует о том, что корень тождества найден правильно. Далее нужно рассмотреть выражения с параметром.

Выражения с параметром

Уравнения с некоторым параметром решаются немного по другой методике. Ее суть заключается в нахождении корня, дополнительно зависящего от некоторого значения. Алгоритм имеет следующий вид:

Записать равенство.
Раскрыть скобки и привести подобные элементы к общему виду.
Выполнить математические преобразования, при помощи которых следует отделить некоторый параметр от переменной.
Записать диапазон значений, при которых неизвестная величина в третьем пункте не превращает уравнение в пустое множество.
Записать формулу определения корня.
При необходимости подставить значение параметра.
Проверить результат.

t-2+pt=0.
Опускается, поскольку в выражении нет скобок.
(t+pt)=t (1+p)=2.
p не должен быть -1: (-inf;-1)U (-1;+inf), где -inf и +inf — минус и плюс бесконечность соответственно.
t=2/(1+p).
При p=0: t=2.
2−2+0*2=0.

Иногда в некоторых задачах нет необходимости подставлять значение параметра. В этом случае следует просто записать формулу корня, указав допустимый интервал (диапазон) последнего. Например, в вышеописанном примере решение записывается следующим образом: t=2/(1+p) . Каждый ученик должен понять основной смысл решения уравнений этого типа - научиться находить область значений параметра, не превращающие выражение в пустое множество.

Понижение степени

Некоторые уравнения представлены степенью при неизвестной, превышающую единицу. К ним относятся следующие виды: квадратные, кубические и бикубические. Каждый из трех видов имеет собственный алгоритм нахождения корней.

Однако некоторые из них можно свести к линейному типу. Для этого применяется метод разложения на множители. Он подразумевает алгебраические соотношения, при помощи которых выражение легко записывается в обыкновенной линейной форме. К ним относятся следующие:

v^2+2vw+w^2=(v+w)^2=(v+w)(v+w).
v^2-2vw+w^2=(v-w)^2=(v-w)(v-w).
v^2-w^2=(v-w)(v+w).

Первая и вторая формула называется квадратом суммы или разности соответственно. Третья - разность квадратов. Кроме того, бывают случаи, при которых невозможно применить эти тождества. Для этого требуется выносить общий множитель за скобки, тем самым понижая степень. Для нахождения корней существует определенная методика:

Написать равенство с неизвестным.
Выполнить анализ его структуры и сопоставить с одним из соотношений. Если операцию выполнить невозможно, то следует осуществить математические преобразования по вынесению общего множителя.
Решить линейные уравнения.
Произвести проверку, подставив корни или корень в исходное выражение в первом пункте методики.

Реализация алгоритма нужно проверить на практическом примере, т. е. следует решить уравнение "3t^2-3=0". Найти его корни можно, воспользовавшись вышеописанной методикой:

3t^2-3=0.
3(t^2-1)=0.
Сократить обе части на 3: t^2-1=0.
Воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов): (t-1)(t+1)=0.
У уравнения два корня: t1=1 и t2=-1.
Подставить t1 и t2: 3*1-3=0 и 3*(-1)^2-3=0. Оба решения являются верными, поскольку не обращают искомое тождество в пустое множество.

Кубические и бикубические должны сводиться к квадратным, а затем преобразовываться в линейные, поскольку формулы кубов суммы и разности, при их разложении на множители, дают вторую степень. Однако существует еще один частный случай, о котором не упоминалось при классификации линейных выражений с неизвестными — системы уравнений.

Системы линейного типа

Система уравнений — совокупность выражений с неизвестными, которые имеют общие решения. Методика для вычисления корней имеет следующий вид:

Записать систему уравнений.
Выбрать наиболее простое тождество и выразить одну величину через другую.
Подставить в любое выражение переменную, выраженную во втором пункте алгоритма.
Раскрыть скобки и выполнить математические преобразования.
Решить уравнение в четвертом пункте.
Подставить корень, полученный на пятом шаге алгоритма, во 2 пункт.
Найти вторую переменную.
Записать результат.
Выполнить проверку.

Однако для практического применения вышеописанной методики необходимо разобрать систему уравнений, состоящую из двух тождеств (5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0). Решать ее нужно по вышеописанной методике:

5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0.
Простое выражение: 5t-2s=1. Выразить s: s=(5t-1)/2.
(2t-s)(2t+s)=[4t/2-(5t-1)/2][4t/2+(5t-1)/2]=8t=8.
8t=8=>t=1.
5*1-2s=1. Отсюда s=2.
5*1-2*2=1=1 (равенство действительное).

В третьем пункте математики рекомендуют разложить тождество на множители, поскольку необходимо всегда понижать степень при неизвестной величине. Во всех трех случаях описаны простые примеры, которые позволяют перейти к более сложным заданиям.

Упростить все выражения, входящие в систему.
Выразить одну величину через другую в каждом выражении. Следует учитывать, что искомая переменная должна быть обязательно без степени и коэффициентов.
Построить отдельно для каждой функции специальные таблицы значений зависимости одной переменной от другой.
Начертить прямоугольную систему координат.
Отметить точки, исходя из таблицы, в системе координат.
Соединить точки плавными линиями при помощи карандаша.
Проделать аналогичные действия над другими тождествами (5 и 6).
Определить точки пересечения функций и записать их координаты.

В последнем пункте методики находятся корни системы уравнений. Далее рекомендуется их подставить в исходные выражения для проверки.

Таким образом, линейные уравнения применяются в различных физико-математических дисциплинах и прикладных науках. Для их решения существуют определенные методики, позволяющие выполнить эту операцию за короткий промежуток времени и не допустить ошибок.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Решение уравнений. 6 класс. Урок 2. Презентация на заданную тему содержит 12 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

194923 194947 194909 194922 194940 194933 194907 194930 194934 194941 194950 194932 194919 194906 194945 194911 194951 194936 194949 194910 194943 194929 194944 194942 194948 194912 194913 194935 194946 194918

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать её на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Мы в социальных сетях

Читайте также: