Реферат на тему системы неравенств

Обновлено: 05.07.2024

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ

Кафедра математики и финансовых приложений

Курсовая работа

Выполнил студент группы МЭК 1-2

Чанкин Пётр Алексеевич

Профессор Александр Самуилович Солодовников

Оглавление

Графический метод 3

Метод искусственного базиса 8

Принцип двойственности 10

Список использованной литературы 12

Вступление

Отдельные свойства систем линейных неравенств рассматривались еще в первой половине 19 века в связи с некоторыми задачами аналитической механики. Систематическое же изучение систем линейных неравенств началось в самом конце 19 века, однако о теории линейных неравенств стало возможным говорить лишь в конце двадцатых годов 20 века, когда уже накопилось достаточное количество связанных с ними результатов.

Сейчас теория конечных систем линейных неравенств может рассматриваться как ветвь линейной алгебры, выросшая из неё при дополнительном требовании упорядоченности поля коэффициентов.

Линейные неравенства имеют особо важное значение для экономистов, т.к именно при помощи линейных неравенств можно смоделировать производственные процессы и найти наиболее выгодные планы производства, транспортировки, размещения ресурсов и т. д.

В данной работе будут изложены основные методы решения линейных неравенств, применительно к конкретным задачам.

Графический метод

Графический метод заключается в построении множества допустимых решений ЗЛП, и нахождении в данном множестве точки, соответствующей max/min целевой функции.

В связи с ограниченными возможностями наглядного графического представления данный метод применяется только для систем линейных неравенств с двумя неизвестными и систем, которые могут быть приведены к данному виду.

Для того чтобы наглядно продемонстрировать графический метод, решим следующую задачу:

Так как и графики и область допустимых решении находятся в первой четверти.

Для того чтобы найти граничные точки решаем уравнения (1)=(2), (1)=(3) и (2)=(3).

Как видно из иллюстрации многогранник ABCDE образует область допустимых решений.

Если область допустимых решений не является замкнутой, то либо max(f)=+ ?, либо min(f)= -?.

Теперь можно перейти к непосредственному нахождению максимума функции f.

Поочерёдно подставляя координаты вершин многогранника в функцию f и сравнивать значения, находим что

f(C)=f(4;1)=19 – максимум функции.

Такой подход вполне выгоден при малом количестве вершин. Но данная процедура может затянуться если вершин довольно много.

В таком случае удобнее рассмотреть линию уровня вида f=a. При монотонном увеличении числа a от -? до +? прямые f=a смещаются по вектору нормали 1 . Если при таком перемещении линии уровня существует некоторая точка X – первая общая точка области допустимых решений (многогранник ABCDE) и линии уровня, то f(X)- минимум f на множестве ABCDE. Если X- последняя точка пересечения линии уровня и множества ABCDE то f(X)- максимум на множестве допустимых решений. Если при а?-? прямая f=a пересекает множество допустимых решений, то min(f)= -?. Если это происходит при а?+?, то

В нашем примере прямая f=a пересевает область ABCDE в точке С(4;1). Поскольку это последняя точка пересечения, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Симплекс-метод

Реальные задачи линейного программирования содержат очень большое число ограничений и неизвестных и выполняются на ЭВМ. Симплекс-метод – наиболее общий алгоритм, использующийся для решения таких задач. Суть метода заключается в том, что после некоторого числа специальных симплекс- преобразований ЗЛП, приведенная к специальному виду, разрешается. Для того, чтобы продемонстрировать симплекс-метод в действии решим, с попутными комментариями следующую задачу:

Для того, чтобы приступить к решению ЗЛП симплекс методом, надо привести ЗЛП к специальному виду и заполнить симплекс таблицу.

Система (4) – естественные ограничения и в таблицу не вписываются. Уравнения (1), (2), (3) образуют область допустимых решений. Выражение (5) – целевая функция. Свободные члены в системе ограничений и области допустимых решений должны быть неотрицательны.

В данном примере X3, X4, X5 – базисные неизвестные. Их надо выразить через свободные неизвестные и произвести их замену в целевой функции.

2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную.

3) Графическое решение неравенств второй степени

4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

5) Решение рациональных неравенств методом интервалов

6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

1. Основное понятие неравенства

Неравенство [inequality] — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования — линейные неравенства вида

где a ₁ . a_n , b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥, [1]

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Неравенство - алгебраическое, второй степени.

Неравенство - трансцендентное.

2. Основные свойства числовых неравенств . Неравенства содержащие переменную

2) Если a>b b>c a>c;

4) Если a+b>c a> c-b;

5) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;

6) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же число и изменить знак на противоположный, то получится верное неравенство;

7) Множество всех х, при которых имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения неравенства f(x) >g(x);

8) Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если они имеют общее множество решений (множество решений этих неравенств совпадают);

9) Если к обеим частям неравенства прибавить(или вычесть) любую функцию J(x). область определения которой содержит область определения неравенств, то получится новое неравенств, равносильное данному;

10) Если обе части неравенства f(x) >g(x) умножить (или разделить) на любую функцию J(x), определенную для всех значений переменной х из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при J(x)>0 получится неравенство, равносильное данном, а при J(x) g(x). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

1) Графиком квадратичной функции y = ах 2 +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0 , и вниз, если а 0 и выпуклостью вверх, если а 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а 2 +bх + с a>0 D>0 y = ах 2 +bх + с a 0,

Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах 2 + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a 2 + х + с

y = ах 2 +bх + с a>0 D = 0 y = ах 2 +bх + с a 2 +bх + с не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a>0 и ниже ее при a 2 +bх + с a>0 D 2 +bх + с a 2 -4х ;

3х 2 -4х.

1. Пусть f(x) = 3х 2 -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x) ;

2. Найдем нули функции.

f(x) при х .

Ответ f(x) при х .

Пусть f(x)=х 2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,

Ответ .

4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

f (5) = – 1 – 20 = – 10 2 +х-2

Пусть f(x)=х 2 +х-2 тогда найдем такие х при которых f(x) 3 -4х 2 -4) g(x) и (f(x)) 2 >(g(x)) 2 равносильны.

Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

Объединяя результаты получим .

2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную.

3) Графическое решение неравенств второй степени

4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

5) Решение рациональных неравенств методом интервалов

6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

1. Основное понятие неравенства

где a ₁ . a_n , b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥, [1]

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Неравенство - алгебраическое, второй степени.

Неравенство - трансцендентное.

2. Основные свойства числовых неравенств . Неравенства содержащие переменную

2) Если a>b b>c a>c;

4) Если a+b>c a> c-b;

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.

Определение системы неравенств

Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.

Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.

Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства 2 · x − 3 > 0 и 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при помощи фигурной скобки:

2 · x - 3 > 0 , 5 - x ≥ 4 · x - 11

Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.

Основные виды системы неравенств

Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:

количество неравенств системы;
количество переменных записи;
вид неравенств.

Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.

2 · x - 3 > 0 , 5 - x ≥ 4 · x - 11

Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.

x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 · y 2

Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.

Такие системы неравенств могут иметь одну, две, три и более переменных. В последней изображенной системе это отчетливо видно, там имеем три переменные: x , y , z . Уравнения могут содержать по одной переменной, как в примере, либо по несколько. Исходя из примеров, неравенство x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 и 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 не считают равнозначными. Школьным программам уделяют внимание решению неравенств с одной переменной.

При записи системы могут быть задействованы уравнения разных видов и с разным количеством переменных. Чаще всего встречаются целые неравенства разных степеней. При подготовке к экзаменам могут встретиться системы с иррациональными, логарифмическими, показательными уравнениями вида:

544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Такая система включает в себя показательное и логарифмическое уравнение.

Решение системы неравенств

Решение системы неравенств с одной переменной – это значение переменной, которое обращает каждое неравенство заданной системы в верное числовое неравенство, то есть будет являться решением каждого имеющегося неравенства.

Рассмотрим пример решения систем уравнений с одной переменной.

x > 7 , 2 - 3 · x ≤ 0

Если значение х = 8 , то решение системы очевидно, так как выполняется 8 > 7 и 2 − 3 · 8 ≤ 0 . При х = 1 система не решится, так как первое числовое неравенство во время подстановки имеет 1 > 7 . Таким же образом решается система с двумя и более переменными.

Решение системы неравенств с двумя и более переменными называют значения, которые являются решением всех неравенств при обращении каждого в верное числовое неравенство.

Если х = 1 и у = 2 будет решением неравенства x + y 7 x - y 0 , потому как выражения 1 + 2 7 и 1 − 2 0 верны. Если подставить числовую пару ( 3 , 5 , 3 ) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 0 .

Данные определения систем неравенств и решения рассматриваются как пересечения множеств решений всех неравенств системы. Особое внимание стоит уделить разделу, посвященному равносильным неравенствам.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов, освоивших программу основного общего образования, является средством получения независимой оценки знаний учащихся и может считаться элементом общероссийской системы оценки качества образования.

Экзаменационная работа состоит из двух частей. Первая часть направлена на проверку усвоения учащимися основных алгоритмов и правил, понимание смысла важнейших понятий и их свойств, содержания применяемых приемов, а также умение применять знания в простейших практических ситуациях. Учащиеся должны продемонстрировать определенную систему знаний, умение пользоваться разными математическими языками, распознавать стандартные задачи в разнообразных формулировках.

Вторая часть направлена на проверку уверенного владения учащимися формально-оперативным алгебраическим аппаратом, способностей к интеграции знаний из различных тем курса, владение широким набором приемов и способов рассуждения. Учащиеся должны продемонстрировать умение математически грамотно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения.

Цель занятий:

- развитие математических способностей; логически мыслить, умения

анализировать, обобщать, делать выводы через усвоение различных методов

решения неравенств, систем неравенств;

- преодоление психологического барьера, связанного с новой формой проведения итоговой аттестации по математике, и обретение уверенности в своих силах.

Задачи занятий:

- систематизировать основные методы решения неравенств, систем неравенств;

- научиться применять основные методы решения неравенств и их систем в новых нестандартных ситуациях;

- приобрести навыки работы с тестами, совершенствовать навыки самостоятельной работы, работы в группах;

- совершенствовать навыки самоконтроля.

Умение решать неравенства различных видов позволяет обеспечить базовую подготовку школьника для успешного прохождения итоговой аттестации по математике за курс основной школы. Кроме того, это может помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего образования, так и повысить уровень своей общей математической культуры.

Учащийся должен знать:

- виды неравенств и систем неравенств,

- основные методы решения неравенств и их систем.

Учащийся должен уметь:

- различать виды неравенств,

- выбирать рациональный способ решения для предложенного вида неравенств;

- выбирать и верно записывать ответ.

Для проведения занятий по повторению данной темы необходимо:

повторить, обобщить и систематизировать знания учащихся по решению линейных и квадратных неравенств; провести входную диагностику учащихся для определения уровня готовности учащихся к усвоению курса.

Читайте также: