Реферат на тему пирамида

Обновлено: 04.07.2024

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Африка. Египет. С чем же ассоциируется эта страна? С жарой, морем, верблюдами и конечно же с пирамидами. Что же такое пирамида, обычная ли это фигура?

Количество египетских пирамид, варьируется от 118 до 138. Большая часть пирамид была построена в качестве усыпальниц для египетских фараонов Древнего и Среднего царств.

Египетские пирамиды очень интересны с точки зрения математики. Во первых, пирамида - это геометрическая фигура, Во вторых, эта геометрическая фигура соответствует пропорциям золотого сечения. Пирамиды представляют интерес не только математиков. Они интересны также историкам, физикам, астрономам.

Таким образом, целью моей работы является: выяснить и изучить особенности и тайны пирамид с точки зрения математики.

Узнать понятие "пирамида".

Изучить геометрические и астрономические сведения о пирамидах.

Объяснить некоторые тайны и загадки пирамид.

Провести практическую часть.

Сделать соответствующие выводы.

Объект исследования – египетские пирамиды.

Предмет исследования – математические характеристики египетских пирамид.

Методы изучения:

Теоретический – метод изучения теоретического материала.

Исследовательский – метод научного познания.

Рефлексии – метод погружения в себя и самопознание.

Описания – метод исчерпывающего представления предмета.

1. Египетские пирамиды представляют интерес не только для историков, но и для математиков. Они заключают в себе много спорных и необъяснимых фактов.

2. Все египетские пирамиды являются правильными.

Ученые и исследователи на протяжении столетий изучают и пытаются разгадать тайны грандиозных египетских сооружений. Интерес к изучению пирамид не ослаб и в наши дни. Помимо исторических и культурных задач, современных ученых интересуют и чисто практические вопросы, такие как точность вычислений строителей пирамид, их астрономические знания, технологии строительства и обработки камня, измерительная техника и многое другое. Все эти достижения древних строителей поразительны с точки зрения современной науки, а многие недоступны даже в наши дни.

Глава 1. История египетских пирамид

Мастабы строили для себя и первые фараоны. Древнейшие царские мастабы, относящиеся к временам I династии , сооружались из адобов — необожжённых кирпичей из глины или речного ила. Их строили в Нагаде ( Абидос ) в Верхнем Египте , а также в Саккаре , где находился главный некрополь Мемфиса, столицы правителей первых династий. В наземной части этих построек находились молельни и помещения с погребальным инвентарем, а в подземной — собственно погребальные камеры.

Можно выделить три самые большие пирамиды Египта. Под номером один стоит Пирамида Хеопса — построенная для фараона Хеопса. Самая большая из пирамид Египта по праву заслуживает место среди чудес света. Прошло 4500 лет со времени её создания, а она по-прежнему производит неизгладимое впечатление на туристов. Пирамида предназначалась для погребения фараона Хеопса, который царствовал с 2551 по 2528 г. до н. э. Её высота 137,2 м (первоначально 146,6 м ), ширина 230,5 м. Подсчитали, что для постройки этой пирамиды понадобилось 2,3 млн. каменных блоков.

Древнейшие из известных пирамид находятся в Саккаре. Самой древней считается пирамида Джосера, построенная архитектором Имхотепом в период с 2667 по 2648 гг. до н. э.

Самые известные пирамиды находятся на окраине Каира в Гизе . Гиза расположена на западном берегу Нила, в нескольких километрах от Мемфиса, в то время столицы Египта. Известняковое плато, на котором стоит город, давало часть необходимых для постройки блоков. А благодаря каналу корабли могли подходить прямо к подножию стройки и доставлять туда гранитные плиты, извлечённые из карьеров Асуана, которые находились в 1000 км от Гизы.

Пирамида Какаура Иби I в Саккара высотой приблизительно 21 м была самой маленькой царской пирамидой в Египте, к тому же она была построена из плохо обработанных каменных блоков и так поспешно и небрежно, что сейчас мало чем уже напоминает пирамиду, и больше похожа на песчаный кратер, возвышающийся не более чем на 3 м. Нельзя разобраться и в обломках примыкающих к ней построек из необожжённого кирпича.

Глава 2. Пирамиды с точки зрения математики

2.1 Геометрические сведения

Пирамида — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;

боковые грани – треугольники, сходящиеся в вершине;

боковые ребра – общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды – точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота – отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Тетраэдр

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центре основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

боковые рёбра равны;

все боковые грани - равные равнобедренные треугольники;

в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему;

все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы;

все высоты боковых граней равны между собой.

2.2 Астрономические сведения

По мнению директора Буржской обсерватории, архитекторы Великой Пирамиды знали многое, что сумели воплотить в камне: и продолжительность високосного года, и расстояние, которое Земля проходит по своей орбите за 24 часа, и плотность вещества Земли, а также среднюю температуру нашей планеты, поскольку тепловая единица Великой Пирамиды равна значению средней температуры поверхности Земли.
Цифровое значение кода, которым зашифрована в пирамиде информация о Вселенной, число 365, выбрано не случайно. Прежде всего, это годичный жизненный цикл нашей планеты. Кроме того, число 365 состоит из трех цифр 3, 6 и 5. Что они означают? Если в Солнечной системе Солнце проходит под номером 1, Меркурий — 2, Венера — 3, Земля — 4, Марс — 5, Юпитер — 6, Сатурн — 7, Уран — 8, Нептун — 9, Плутон — 10, то 3 — это Венера, 6 — Юпитер и 5 — Марс. Следовательно, Земля особенным образом связана именно с этими планетами. Сложив числа 3, 6 и 5, получаем 14, из которых 1 — это Солнце, а 4 — Земля. Число 14 вообще имеет глобальное значение. На числе 14, в частности, основано строение кистей рук человека, общее число фаланг пальцев, каждой из которых тоже 14.

Великая пирамида и сходная по размеру пирамида Хефрена занимают место двух самых ярких звезд пояса Ориона, Аль-Нитак и Аль-Нилам, а меньшая пирамида Менкаура смещена от оси двух соседских, совсем как третья и самая маленькая звезда пояса – Минтака.

2.3 Невероятные сведения о пирамидах

Почву, на которой собирались строить пирамиду, выровняли с помощью специально разработанной системы пересекающихся каналов, вырытых на месте основания пирамиды и заполненных водой. По отметкам её уровня регулировалась горизонтальность поверхности. Точность была очень высокой, поскольку колебания уровня поверхности не превышали 2 см по всему периметру.

Во всех деталях Великой пирамиды сохранены совершенные (золотые) пропорции. Степень точности соотношений кажется невероятной, если учесть размеры всего сооружения. Это нельзя объяснить простой случайностью. Например, постоянная величина π, которую искали столько веков, материализована, если можно так выразиться, в Великой пирамиде. Сложив длину сторон основания памятника, первоначальная длина которых была 232,805 м, получаем периметр пирамиды, равный 931,22 м . Разделим теперь длину периметра на удвоенную высоту пирамиды, достигавшую в эпоху ее сооружения 148,208 м , и в итоге получим число π. Действительно: 931,22 / (2 × 148,208) = 3,1416.

Главное правило устойчивости конструкции – уменьшение её массы по мере увеличения высоты над землёй – выражено в пирамиде с предельной ясностью и симметрией.

Строители пирамиды. Вопреки распространённому мнению пирамиду возводили не рабы, а ремесленники-каменотёсы и крестьяне. Они приходили на стройку во время разлива Нила, когда поля были залиты водой. Фараон обеспечивал им кров и пищу, жили они в специально выстроенной для них деревне. Считается, что на строительстве пирамиды было занято от 20 до 30 тыс. рабочих.

Техника строителей. У египетских каменотёсов выбор инструментов был небольшой. Предполагают, что, для того чтобы вырубить каменную глыбу, они проделывали в скале дыры, вставляли в них деревянные бруски, которые щедро пропитывали водой, пока они не разбухнут. Так скала растрескивалась на несколько блоков. Затем, используя линейки, угольники и свинцовую проволоку, каменотёсы обтачивали блоки с такой точностью, что они полностью совпадали. Между ними не проходило и тонкое лезвия ножа.

Как поднимали каменные глыбы? Это до сих пор остаётся тайной. Египтянам не были известны подъёмные краны, поэтому им приходилось тянуть камни наверх вручную. Археологи считают, что они ставили камни на полозья или на круглые обрубки дерева, по которым тянули их по пандусу из кирпичей, сделанных из нильского ила. Возможно также, что они смачивали землю водой, чтобы облегчить скольжение. Пандус поднимался всё выше, становясь длиннее по мере продвижения строительства. По окончании работ его разрушали.

Согласно подсчётам, Великая пирамида Гизы состоит из 2 300 000 каменных блоков, которые весят от 2 до 30 тонн, а некоторые из них даже достигают веса более чем в 50 тонн.

До тех пор пока в Англии не был построен Линкольнский собор Девы Марии (Lincoln Cathedral) в 1311 году, Великая пирамида Гизы удерживала титул самого высокого строения в мире, созданного руками человека. Она удерживала рекорд как минимум 3871 год!

В 12 веке была предпринята попытка уничтожить пирамиды Гизы. Аль-Азис, курдский правитель и второй султан династии Айюбидов, попытался снести их, но ему пришлось сдаться, так как эта задача была слишком широкомасштабной. Тем не менее, ему удалось повредить Пирамиду Микерина, где из-за его попыток вертикальная зияющая дыра осталась в её северном склоне.

Глава 3. Практическая часть

Все египетские пирамиды с точки зрения геометрии являются правильными пирамидами.

Докажем на примере пирамиды Хеопса, что она правильная пирамида. Во первых пирамида Хеопса правильная, потому что ее основанием является правильный многоугольник. А правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.

Во вторых, по свойству площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Площадь боковых поверхностей пирамиды (изначально): ≈ 85 500 м 2

Периметр основания: 92 м

Апофема ≈ 185,5 м.

Следовательно, 920*185,5=171031/2=85 515 (учитывая ≈ 85 500)

В третьих, ребрами правильной пирамиды являются равнобедренные треугольники. Поскольку длина боковых рёбер пирамиды Хеопса одинаковая. На данный момент около 225 метров.

Длина сторон основания пирамиды: юг — 230,454 м; север — 230,253 м; запад — 230,357 м; восток — 230,394 м.

Таким образом, я доказала что Великая пирамида - правильная пирамида.

Чтобы наглядно показать свойства правильной пирамиды я решила в качестве практической части к моему проекту сделать макет правильной пирамиды и на основе её параметров доказать то, что она правильная.

Параметры моего макета:

- боковые грани 12 см;

- длина стороны основания пирамиды 10 см (Р=40см);

- площадь одной грани 55 кв. см. (площадь всех граней 220 кв. см.).

Во первых, в основании пирамиды лежит квадрат, а это правильный многоугольник.

Во вторых, площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему, то есть (40 см.*11):2=220 кв. см., что соответствует свойству.

Поскольку, все боковые грани равны 12 см, и все стороны основания равны 10 см, то все боковые грани моей пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками. Что соответствует одному из свойств правильной пирамиды.

Другое свойство правильной пирамиды гласит, что все апофемы равны. В моей пирамиде все апофемы равны.

Таким образом, изготовленный мной проект пирамиды, является проектом правильной пирамиды.

Неразгаданных тайн на нашей планете с каждым годом становится все меньше. Постоянное совершенствование техники, сотрудничество ученых различных областей наук раскрывает нам секреты и загадки истории. Но большинство тайн пирамид до сих пор не поддаются пониманию – все открытия дают ученым лишь предположительные ответы на многие вопросы. Кто строил египетские пирамиды, какова была технология строительства, существует ли проклятие фараонов – эти и многие другие вопросы до сих пор остаются без точного ответа.

Пирамиды занимают в истории и культуре Египта особое место. Они являются самыми ценными и загадочными памятниками современности. Без них культура Египта была бы неполной и не такой особенной, ведь Египет знаменит во многом благодаря пирамидам. Именно поэтому изучать их очень важно. Первоначально эти величественные сооружения были малы и назывались мастабами, но с временем их стали строить всё больше и больше и они достигли таких размеров, что одна из них на протяжении почти 4000 лет была самым высоким построением в мире. Также со временем пирамиды превратились из простых гробниц в огромные сооружения, ставшие главным достоянием Египта. Но пирамиды интересны и загадочны не только с точки зрения истории, но и с точки зрения математики и я доказала это в своей работе, изучив теорию и проведя практическую часть. Также с помощью практической части я доказала, что все пирамиды правильные. В результате я выяснила, что пирамида интересная геометрическая фигура.

"Всё на свете страшится времени, а время страшится пирамид" так гласит знаменитая арабская пословица, а ведь это совершенно верно пирамиды всегда будут считаться сооружениями для которых не подвластно время, ведь они существуют уже очень долго.

В результате моей исследовательской работы я выполнила поставленную цель и задачи.

Список используемой литературы

Бабанин В. П. Тайны великих пирамид. Серия "Мир культуры, истории и философии". Спб.: Издательство "Лань", 1999. 512 с.

Вержбицкий А.Ф. Пирамидальные антенны Земли. Ч.1. Назначение и принцип действия/ А.Ф. Вержбицкий. - СПб, 2006. - 128 с.

Нейхард А.А., Шишова И.А. Семь чудес света. - М.: Наука, 1966

Турскова Т. Великие сооружения древнего мира. – М.: РИПОЛ КЛАССИК, 2002. – 416 с.

Ионина И.А. Сто великих чудес. - М.: Вече, 2000.

Представьте себе, что в некоторой плоскости (будем считать ее горизонтальной) расположен некоторый многоугольник, обозначаемый буквой М, а над этой плоскостью взята некоторая точка А. Рассмотрим отрезок, одним концом которого является некоторая точка фигуры М, а вторым — точка А. Всевозможные такие отрезки, вместе взятые, образуют многогранник, называемый пирамидой с основанием М и вершиной А.

Поверхность пирамиды кроме основания содержит еще ряд боковых граней. Каждая из них представляет собой треугольник, основанием которого является одна из сторон многоугольника М, а вершиной — точка А.

Таким образом, пирамида содержит одну грань — основание, которое может быть многоугольником с любым числом сторон, а все остальные грани (называемые боковыми)

представляют собой треугольники, имеющие основанием одну общую сторону, причем все боковые грани имеют одну общую вершину. Это описание пирамиды можно принять за ее определение. Например, пакеты молока часто делают в форме треугольной пирамиды, т. е. пирамиды с треугольным основанием

Если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, перпендикулярен плоскости основания, то пирамида называется правильной Четырехскатная крыша дома имеет форму четырехугольной правильной пирамиды.

Пирамида - чудо света.

Прежде чем приступить к описанию грандиозного и знаменитого заупокойного ансамбля в Гизе, приведем рассказ Геродота, этого греческого "журналиста", который черпал сведения у иностранцев, живших в Египте. Он завещал нам удивительные, бесценные документы.

"Хеопс, — пишет он, — оставил после себя грандиозное произведение: свою пирамиду. Говорят, что Египет до эпохи правления Рампсинитов был процветающей, хорошо управляемой страной. Хеопс, наследовавший Рампсинитам, приказал всем египтянам работать на него. Одним было приказано перетаскивать к Нилу камни, выломанные в карьерах Арабских гор; другие должны были нагружать их на суда для перевозки через реку и тащить их к Ливийским горам. На стройке постоянно находились сто тысяч рабочих, которые сменялись каждые три месяца.

Они уже потратили 10 лет на прокладку дороги, по которой перетаскивали камни, но это еще было ничто по сравнению со строительством самой Пирамиды. Дорога была длиной в 5 стадий (923,5 м), 10 оргий в ширину (18,47 м) и в самом высоком месте имела подъем в 8 оргий (14,78 м). Она была выложена полированными камнями с изображениями животных. Понадобилось 10 лет, чтобы завершить дорогу и построить подземные камеры, которые должны были служить могилами. Гробницы были сооружены на плато: там возвышаются Пирамиды на острове, образованном отводным каналом. Сама пирамида потребовала 20 лет работы. Она квадратная. Каждая ее сторона равна 8 метрам (246,26 м) и такого же размера ее высота. Камни отполированы и тщательно пригнаны; каждый из них не меньше 30 ступней (9,24 м)".

После этого вступления Геродот рассказывает историю сооружения Большой Пирамиды, сообщая очень подробные детали, начиная от характеристики типового египетского стиля и кончая расходами на строительство этого уникального монумента.

"Эта пирамида, — продолжает он, — сначала была построена в виде большой лестницы, составленной из того, что одни называют зубцами, а другие ступенями. Такая форма позволяла поднимать остальные камни с помощью машины, состоящей из коротких балок. Когда камень был водружен на первую ступень, его перекладывали на другую машину, стоявшую там, откуда камень поднимался на следующую ступень, где его помещали на третью машину, так как машин было столько же, сколько и ступеней. Или это была переносная машина, которую перемещали с этажа на этаж, освободив от камня. Я описываю здесь два приема, как мне об этом рассказывали.

Таким образом сначала заканчивали вершину, потом переходили по этажам вниз и завершали основание пирамиды. На этой пирамиде есть надписи, в которых указано, сколько средств было израсходовано на приобретение хрена, лука и головок чеснока, чтобы прокормить рабочих, и если я правильно запомнил слова переводчика, читавшего мне эту надпись, сумма расходов доходила до 6 000 талантов серебра, что составляет 41 884 кг. Если это действительно так, то сколько же талантов серебра могли они израсходовать на железные инструменты, с помощью которых работали, на пищу и одежду для рабочих? Потому что, кроме работ по сооружению храма, они потратили еще немало времени, как я думаю, на обработку и транспортировку камней и строительство подземных камер".

Четыре века спустя после Геродота историк Диодор из Сицилии (I в. до н.э.) посетил Египет и, увидев пирамиды, причислил их к одному из семи чудес света. Как и его предшественник, Диодор изумлен этим монументом. "Нужно признать, — утверждает он, — что эти монументы намного превосходят все", что можно увидеть в Египте, не только огромностью своих размеров и средств, потраченных на них, но также и красотой".

Диодор Сицилийский сообщает нам свою версию о строительстве пирамид. Он также говорит о трех пирамидах как о заупокойном ансамбле IV династии, из которых Большая Пирамида, — конечно же, самое значительное и чудесное сооружение, но которое не может рассматриваться отдельно от других.

Как и Геродот, Диодор Сицилийский оценивает в 6 000 талантов сумму расходов на хрен, лук и чеснок для строителей Большой Пирамиды; но в противоположность Геродоту, он не считает, что эти монументы служили гробницами фараонов, которых, по его мнению, хоронили тайно в засекреченных местах. Мы не будем цитировать дальше текст Диодора, который более или менее совпадает с текстом Геродота. Мы хотели лишь показать, что все великие писатели античности были одинаково поражены самобытностью и красотой египетских погребальных монументов.

Прибывшему в Гизу туристу открывается одна из прекраснейших картин, какую когда-либо создавала рука человека. Египетская поговорка "Всё боится времени, но время боится Пирамид" как нельзя лучше применима к этому месту.

Гиза — это современное название большого каирского некрополя, занимающего примерно 2000 кв.м. Сюда входят Сфинкс и три Большие Пирамиды: Хеопса, Хефрена и Микерина. Последняя имеет еще три малых пирамиды-спутницы. Три монумента расположены по диагонали, но таким образом, что ни один не заслоняет солнце другим. Каждая пирамида включает, в соответствии с типовым планом, заупокойный храм вверх по течению Нила и заупокойный храм вниз по течению, а также соединяющий их коридор. Ансамбль Пирамиды Хеопса почти полностью разрушен; ансамбль Пирамиды Хефрена, напротив, в большей части сохранился.

Пирамида Хеопса — самая большая из трех. Имевшая вначале 146 м высоты, сегодня она достигает лишь 137 м, а на месте вершины образовалась площадка шириной 10 м. Пирамида полностью лишилась наружной

облицовки, так что гигантские каменные блоки обнажились и позволяют подняться по ним до самой вершины. Нужно сказать, что открывающаяся сверху панорама вполне вознаграждает потраченные на подъем силы.

Пирамида Хефрена

Пирамида Хефрена — единственная сохранившая на вершине полированную облицовку. Хотя ее высота меньше, чем у предыдущей, ее вершина находится на одинаковом с ней уровне, так как она стоит на более высоком месте. Первоначально ее основание было облицовано розовым гранитом. И наконец, меньшая из трех, но более пропорциональная Пирамида Микерина едва достигает 66 м в высоту. В 1500 году она еще имела гранитную облицовку, которая в наши дни полностью исчезла. Погребальная камера заключала величественный базальтовый саркофаг, украшенный под "фасад храма", что было довольно распространенным приемом декорирования в эпоху Древнего царства. К сожалению, саркофаг затонул у побережья Португалии при кораблекрушении во время перевозки его в Англию.

Перед Пирамидой Микерина возвышаются три Пирамиды-спутницы, которые еще меньше, чем спутницы Пирамиды Хеопса. Пирамида-спутница с восточной стороны, изначально облицованная розовым гранитом, была, без сомнения, предназначена для супруги фараона Хармер-Нехти II.

Феномен пирамидных конструкций.

Пирамида в геометрии.

Пирамида - (от греч. pyramis, род. п. pyramidos), многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

SABCD – четырёхугольная пирамида;

ABCD – основание пирамиды;

rSAB; rSBC; rSDC; rSDA – боковые грани пирамиды;

S – вершина пирамиды;

SA; SB; SC; SD – боковые рёбра пирамиды

SO – Высота пирамиды

Пирамида правильная – пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а высота, опущенная из вершины пирамиды на плоскость основания, является отрезком, соединяющим вершину пирамиды с центром основания.

Свойства правильной пирамиды:

1. Всё боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой.

2. Все боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, которая называется апофемой.

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

Пирамидой, вписанной в конус, является такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра такой пирамиды являются образующими конуса.

SABCD – пирамида, вписанная в конус.

Пирамидой, описанной около конуса, является такая пирамида, основание которой есть многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней такой пирамиды являются касательными плоскостями конуса.

SKMNP – пирамида, описанная около конуса.

Пирамида усечённая - пирамида, которая получается следующим способом: берется произвольная пирамида, и через точку бокового ребра проводится плоскость, параллельная основанию пирамиды. Данная плоскость разделила пирамиду на две фигуры: подобную исходной пирамиду и многогранник, который называется усеченной пирамидой. Основаниями усеченной пирамиды служат подобные многоугольники.

Если усеченная пирамида получается из правильной пирамиды, то она называется правильной усеченной пирамидой. Боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобедренными трапециями. Высота боковой грани называется апофемой правильной усеченной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на нижнее, называется высотой усеченной пирамиды.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей оснований и боковых граней.

ABCDA1B1C1D1 – усечённая правильная пирамида,

B1E – апофема усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

– высота усеченной пирамиды,

и - площади оснований усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

и- периметры оснований усечённой правильной пирамиды,

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники, основания которых – стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d . Вынося множитель за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Построим линию пересечения плоскости грани МАВ пирамиды МАВCD с плоскостью грани MCD.

Решение: Плоскости МАВ и MCD имеют по условию общую точку М. Значит, по аксиоме (если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку) они пересекаются по прямой, проходящей через точку М. Найдем еще одну общую точку этих плоскостей. В соответствии с условием прямые АВ и CD лежат в одной плоскости. Построим точку их пересечения:

Точка F принадлежит прямой АВ, две точки которой лежат в плоскости МАВ. Тогда по аксиоме (Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой, определяемой ими, лежат в этой плоскости) и точка F лежат в плоскости МАВ.

Аналогично заключаем, что точка F лежит и в плоскости MCD. Таким образом, точка F — это вторая общая точка плоскостей МАВ и MCD. Итак, прямая MF — это искомая линия пересечения плоскостей МАВ и MCD.

На ребре МА пирамиды MABCD взята точка Р, а в ее гранях MCD и МВС — соответственно точки Q и R. Построим основной след секущей плоскости , проходящей через точки Р, Q и R.

Решение: 1) Построим точки Р', Q' и R' — проекции соответственно точек Р, Q и R на плоскость ABC из центра М. Ясно, что точка Р' совпадает с точкой ,.

Так как прямые МР и MQ пересекаются, то по теореме (Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом одна) через них
проходит плоскость. По теореме этой плоскости принадлежат прямые PQ и P'Q'. Построим точку .

Так как точка лежит на прямой PQ, две точки которой принадлежат плоскости, то по аксиоме (Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой, определяемой ими, лежат в этой плоскости) точка принадлежит плоскости . Аналогично заключаем, что точка принадлежит плоскости ABC. Итак, плоскости и ABC имеют общую точку . Тогда по аксиоме (если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку) эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку

Построим еще одну общую точку плоскостей а и ABC. Например,
точку .Проведем прямую Так как точки этой прямой лежат в плоскости , то по аксиоме (Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой, определяемой ими, лежат в этой плоскости) прямая лежит в плоскости . Аналогично приходим к выводу, что прямая лежит в плоскости ABC. Таким образом, прямая — это линия пересечения плоскости а с плоскостью ABC, т.е. она является основным следом плоскости .

Центр верхнего основания куба с ребром, равным , соединен с серединами сторон нижнего основания, которые также соединены в последовательном порядке. Вычислить полную поверхность полученной пирамиды.

Решение: Так как ребро куба равно а, то сторона основания пирамиды

SABCD равна Учитывая, что ОК = , найдём апофему пирамиды:

Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при основании равен . Найти полную поверхность пирамиды.

Решение: Так как , то .

Основание пирамиды – правильный шестиугольник, поэтому и

. Тогда , т.е. ,

. Таким образом, ,

Окончательно находим

В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом . Среднее по величине боковое ребро равно . Найти объём и полную поверхность пирамиды.

Решение: По условию, , , . Откуда .

Полная поверхность выразится так: , поскольку

Ответ: ; .

Определить объём правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, если её диагональ равна 18 см., а длины сторон оснований 14 и 10 см..

Решение: Искомый объём выражается формулой , где . Найдём

Имеем . Так как - равнобедренная трапеция, то

Используемые источники.

1. Весь Египет (Джованна Маджи, Паоло Джамбоне)

2. Математика. Справочник школьника (Г. Якушева)

3. Геометрия 10-11 класс (Л. С. Атасян, В. Ф. Бутузов)

4. Что такое. Кто такой. (А.Г. Алексин, С.П. Алексеев)

5. Геометрия (В.Н. Литвиненко)

7. Сборник задач по Математике (М.И. Сканави)

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема страница

1.Пирамиды в геометрии 2

2.Виды пирамид 3

4.Пирамиды в мире 6

Пирамиды в геометрии

Пирамида-многогранник,основание которого-многоугольник,а грани-треугольники,которые имеют общую вершину.По числу углов основания пирамиды различают на треугольные,четырехугольные и т.д.

Общая вершина боковых граней-вершина пирамиды.Высота пирамиды-перпендикуляр, который опущен из вершины пирамиды на плоскость основания.

Виды пирамид

1.Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а высота, которая опущена из вершины пирамиды на плоскость основания является отрезком, который соединяет вершину пирамиды с центром основания.

Свойства правильной пирамилы:

1.Все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой

2.Все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

3.Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, которая называется апофемой.

P- периметр основания

Объём любой пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

S- площадь боковой поверхности

2.Пирамида, вписанная в конус- пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершина пирамиды- вершина конуса. Боковые ребра пирамиды- стороны, образующие конус.

3.Пирамида,описанная около конуса- пирамида, основание которой есть многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина пирамиды- вершина конуса. Плоскости боковых граней касательны плоскостям конуса.

4.Усечённая пирамида- пирамида, которая получается следующим способом: берётся произвольная пирамида, и через точку бокового ребра проводится плоскость, параллельная основанию пирамиды. Данная плоскость разделила пирамиду на две фигуры: пирамида подобная исходной и многогранник, который называется усечённой пирамидой. Основаниями усечённой пирамиды служат подобные многоугольники.

Если усечённая пирамида получается из правильной пирамиды, то она называется правильной усечённой пирамидой. Боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобедренными трапециями. Высота боковой грани называется апофемой правильной усечённой пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на нижнее основание, называется высотой усечённой пирамиды.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей оснований и боковых граней.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

V=1/3*H(S ₁ +S ₂ +(S ₁ +S ₂ )^ 0,5

H- высота усечённой пирамиды

S ₁ , S ₂ -площади оснований усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

Виды пирамид

Свойства правильной пирамилы:

1.Все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой

2.Все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

3.Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, которая называется апофемой.

P- периметр основания

Объём любой пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

S- площадь боковой поверхности

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей оснований и боковых граней.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

V=1/3*H(S 1 +S 2 +(S 1 +S 2 )^ 0,5

H- высота усечённой пирамиды

S 1 , S 2 -площади оснований усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

Данный реферат предназначен для учеников 9 класса,которые могут использовать его на уроках геометрии.

Содержимое разработки

Тема страница

1.Пирамиды в геометрии 2

2.Виды пирамид 3

4.Пирамиды в мире 6

Пирамиды в геометрии

Виды пирамид

1.Правильная пирамида- пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а высота, которая опущена из вершины пирамиды на плоскость основания является отрезком, который соединяет вершину пирамиды с центром основания.

Свойства правильной пирамилы:

1.Все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой

2.Все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

3.Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, которая называется апофемой.

Объём любой пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

S-площадь боковой поверхности

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей оснований и боковых граней.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

V=1/3*H(S₁+S₂+(S₁+S₂)^ 0,5

H-высота усечённой пирамиды

S₁, S₂-площади оснований усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

Читайте также: