Реферат на тему комплексные числа

Обновлено: 04.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

2. История развития комплексных чисел.

3. О комплексных числах.

4. Соглашение о комплексных числах

5. Сложение комплексных чисел

6 . Вычитание комплексных чисел.

7. Умножение комплексных чисел.

8. Деление комплексных чисел.

9. Модуль и аргумент комплексного числа.

10. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

История развития комплексных чисел.

Д ля решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х+а =в имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль. Древнегреческие математики считали, что а = с и в = а только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел, это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х² = -9. В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке.

До этого открытия при решении квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из ( p /2) 2 - q , где величина ( p /2) 2 была меньше, чем q . Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.

Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер – один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.

О комплексных числах.

В связи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они и называются комплексными.

Комплексное число имеет вид a + bi ; здесь a и b – действительные числа , а i – число нового рода, называемое мнимой единицей.

“Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел (когда а = 0).

С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi ; действительное число b – ординатой комплексного числа a + bi .

Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i * i равно –1, т.е. i 2 = -1. (1)

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частности правилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i , потому что в разных областях науки этот смысл различен.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

Соглашение о комплексных числах.

Действительное число а записывается также в виде a + 0 i (или a – 0 i ).

Запись 3 + 0 i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0 i означает –2.

Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi .

Два комплексных a + bi , a ’ + b ’ i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если a = a ’, b = b ’. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство:

2 + 5 i = 8 + 2 i , то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом.

З а м е ч а н и е. Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и е комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5 i есть сумма чисел 2 и 5 i . Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7 i .

Сложение комплексных чисел

О п р е д е л е н и е. Суммой комплексных чисел a + bi и a ’ + b ’ i называют комплексное число ( a + a ’) + ( b + b ’) i .

Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0 i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4. (-2 + 3 i ) + ( - 2 – 3 i ) = - 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a + bi и a - bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

З а м е ч а н и е. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi . Так, число 2 и число 5 i в сумме дают число 2 + 5 i .

Вычитание комплексных чисел.

О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a ’ + b ’ i (вычитаемое) называется комплексное число ( a – a ’) + ( b – b ’) i .

Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

Умножение комплексных чисел.

О п р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и a ’ + b ’ i

называется комплексное число

(aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i.

З а м е ч а н и е 1. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i 2 = -1.

Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

Деление комплексных чисел.

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a ’ + b ’ i – значит найти такое число x + yi , которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно. На практике частное удобнее всего находить следующим образом.

Пример 1. Найти частное (7 – 4 i ) :(3 + 2i).

Записав дробь (7 – 4 i )/(3 + 2 i ), расширяем её на число 3 – 2 i , сопряженное с 3 + 2 i . Получим:

((7 – 4 i )(3 - 2 i ))/((3 + 2 i )(3 – 2 i )) = (13 – 26 i )/13 = 1 – 2 i .

Пример 1 предыдущего параграфа даёт проверку.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i.

Модуль и аргумент комплексного числа.

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi |, а также буквой r . Из чертежа видно, что

r = | a + bi | = a 2 + b 2

Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённые комплексные числа a + bi u a – bi имеют один и тот же модуль.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и агрумент q . Формулами

a = r cos q; b = r sin q.

Поэтому всякое комплексное комплексное число можно представить в виде r ( cos q + i sin q ), где r > 0.

Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.

Операции над комплексными числами. Проблема разрешимости любого квадратного уравнения как одна из причин введения комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, их тригонометрическая форма. Векторная интерпретация комплексных чисел.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	18.01.2011
Размер файла	256,7 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Гомельская научно-практическая конференция

учащихся по естественнонаучным направлениям Поиск

ГУО Средняя общеобразовательная школа № 43

Учебно-исследовательская работа

Комплексные числа

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н.Е. Жуковский (1847-1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Понятие о комплексных числах

Древнегреческие математики считали, что и только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до наше эры в Древнем Египте и Древне Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за II века до нашей эры. Отрицательные числа применял в III веке нашей эры Древнегреческим математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных числе квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа , чтобы . В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Это формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения ), а если оно имело три действительных корны (например, ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалось техника операций над комплексными числами на рубеже XVII-XVIII в.в. была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце VXIII века французский математик Ж.Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я.Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П.Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце XVIII-начале IXX в.в. было получено геометрическая истолкование комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж.Арган и немец К.Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой М (а, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не сомой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании в сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехники.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Р.И.Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В.Келдыш и М.А.Лаврентьев -- к аэродинамики и гидродинамики, Н.Н.Боголюбов и В.С.Владимиров -- к проблемам квантовой теории поля.

Исторический генезис комплексных чисел

Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение (где ) было разрешимо. В области целых чисел линейное уравнение разрешимо лишь в том случае, когда b делится нацело на a.

Одна из причин расширения множества рациональных чисел до множества действительных чисел была связана с разрешимостью квадратных уравнений, например, уравнения вида . На множестве рациональных чисел это уравнение не разрешимо, так как среди рациональных нет числа, квадрат которого равен двум. Как известно, -число иррациональное. На множестве же действительных чисел уравнение разрешимо, оно имеет два решения и .

И все же нельзя считать, что на множестве действительных чисел разрешимы все квадратные уравнения. Например, квадратное уравнение x2 = - 1 на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это соображение приводит к необходимости вводить новые числа и расширять множество действительных чисел до множества комплексных чисел, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение.

Вспомним о едином принципе расширения числовых систем и поступим в соответствии с этим принципом.

Если множество А расширяется до множества В, то должны быть выполнены следующие условия:

1. Множество А есть подмножество В.

2. Отношения элементов множества А (в частности, операции над ними) определяются также и для элементов множества В; смысл этих отношений для элементов множества А, рассматриваемых уже как элементы множества В, должен совпадать с тем, какой они имели в А до расширения.

3. В множестве В должна выполняться операция, которая в А была невыполнима или не всегда выполнима.

4. Расширение В должно быть минимальным из всех расширений данного множества А, обладающих первыми тремя свойствами, причем это расширение В должно определяться множеством А однозначно (с точностью до изоморфизма).

Итак, расширяя множество действительных чисел до множества новых чисел, названных комплексными, необходимо, чтобы:

а) комплексные числа подчинялись основным свойствам действительных чисел, в частности, коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам;

б) в новом числовом множестве были разрешимы любые квадратные уравнения.

Множество действительных чисел недостаточно обширно, чтобы в нем были бы разрешимы все квадратные уравнения. Поэтому, расширяя множество действительных чисел до множества комплексных чисел, мы потребуем, чтобы в нем можно было бы построить полную и законченную теорию квадратных уравнений. Другими словами, мы расширим множество действительных чисел до такого множества, в котором можно будет решить любое квадратное уравнение. Так, уравнение не имеет решений во множестве действительных чисел потому, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. В новом числовом множестве оно должно иметь решение. Для этого вводится такой специальный символ i, называемый мнимой единицей, квадрат которого равен - 1.

Ниже будет показано, что введение этого символа позволит осуществить расширение множества действительных чисел, пополнив его мнимыми числами вида bi (где b - действительное число) таким образом, чтобы в новом числовом множестве (множестве комплексных чисел) при сохранении основных законов действительных чисел были разрешимы любые квадратные уравнения.

Основные определения

Операции над комплексными числами

1. Существует элемент i (мнимая единица) такой, что i2 = - 1.

2. Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b - действительные числа, b - коэффициент мнимой части.

Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi () называют чисто мнимыми.

Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть - действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 - коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 - 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть - 3i, число - 3 - коэффициент при мнимой части.

3. Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.

Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.

4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;

(- 2 + 3i) + (1 - 8i) = (- 2 + 1) + (3 + (- 8))i = - 1 - 5i;

(- 2 + 3i) + (1 - 3i) = (- 2 + 1) + (3 + (- 3))i = - 1 + 0i = - 1.

Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i.

(5 - 8i) - (2 + 3i) = (3 - 2) + (- 8 - 3)i = 1 - 11i;

(3 - 2i) - (1 - 2i) = (3 - 1) + ((- 2) - (- 2))i = 2 + 0i = 2.

5. Правило умножения комплексных чисел.

(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i.

Из определений 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i2 = - 1.

Действительно: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.

(- 1 + 3i)(2 + 5i) = - 2 - 5i + 6i + 15i2 = - 2 - 5i + 6i - 15 = - 17 + i;

(2 + 3i)(2 - 3i) = 4 - 6i + 6i - 9i2 = 4 + 9 = 13.

Из второго примера следует, что результатом сложения, вычитания, произведения двух комплексных чисел может быть число действительное. В частности, при умножении двух комплексных чисел a + bi и a - bi, называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части. Действительно:

(a + bi)(a - bi) = a2 - abi + abi - b2i2 = a2 + b2.

Произведение двух чисто мнимых чисел - действительное число.

6. Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di № 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:

Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.

Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Опираясь на введенные определения нетрудно проверить, что для комплексных чисел справедливы коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Кроме того, применение операций сложения, умножения, вычитания и деления к двум комплексным числам снова приводит к комплексным числам. Тем самым можно утверждать, что множество комплексных чисел образует поле. При этом, так как комплексное число a + bi при b = 0 отождествляется с действительным числом a = a + 0i, то поле комплексных чисел включает поле действительных чисел в качестве подмножества.

Решение квадратных уравнений

Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения x2 = - 1.

Покажем, что расширив поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение разрешимо, т.е. имеет решение. Так, уравнение x2 = - 1 имеет два решения: x1 = i, x2 = - i.

Это нетрудно установить проверкой: , .

Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида:

где x - неизвестная, a, b, c - действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем . Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований.

Разделим все члены уравнения на и перенесем свободный член в правую часть уравнения:

К обеим частям уравнения прибавим выражение с тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых:

Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения:

Найдем значения неизвестной:

Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения.

Если , то есть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни.

Если же то мнимое число, квадратное уравнение имеет мнимые корни.

Результаты исследования представлены ниже в таблице:

Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений. В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение.

1. Решите уравнение .

Решение. Найдем дискриминант .

Уравнение имеет два действительных корня:

2. Решите уравнение .

Решение. , уравнение имеет два равных действительных корня:

3. Решите уравнение .

Решение. D = 16 - 4*1*5 = - 4 0, если направление вектора совпадает с направлением оси, y

оказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел.

Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как

извлечения корня, решение алгебраических уравнений, приводит к

дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются

Комплексные числа были введены в м атематику для того, чтобы сделать

возможной операцию извлечения квадратног о корня из любого

действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для

того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если

производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых

встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к

результату, уж е не содержащему квадратный корень из отрицательного числа.

Квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и

назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на

нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал

Гаусс, который назвал их ком плексными числами, дал геометрическую

интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что

каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

Гипотеза: Существует ли такое множество чисел, в котором выполняется

Целью и сследовательской работы является изучение истории появления

комплексных чисел, свойств действий над комплексными числами, алгоритмов

решения уравнений с комплексным переменным и решение геометрических

задач с помощью геометрической интерпретации комплексных чисел.

1. Проследить историю развития понятия числа и их путь формально-

2. Изучить происхождение понятия комплексного числа и его развития,

свойства комплексных чисел, различных действий, производимых с

ними (таких как сложение, вычитание, возведение в степень,

извлечение корня; графическое изображение, перевод из

алгебраической формы в тригонометрическую и наоборот).

3. Рассмотреть различные виды уравнений, решаемых в комплексных

4. Рассмотреть применение комплексных чисел в геометрии.

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического

И до этого открытия при решении квадратного уравнения x

сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из

что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это

время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло быть

и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи

оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить

Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие

математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел.

Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных ф актов,

относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных

чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с

комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер – один из

величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было

указано Весселем ( Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение

комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и

лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом

Об истории развития комплексного числа можно говорить очень долго.

таблице. Мы видим, что по мере продвижения по строкам этой таблицы от N к

R список во втором столбце расширяется как раз за счет сужения списка в

третьем столбце. Осталась частично допустимая операция извлечения корней

из произвольных чисел, которая, как мы увидим, станет допустимой в системе

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

1.ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чисел недостаточно. Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.

На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида AX+B=0 (A0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X 2 =2, X 3 =5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X 2 +1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X 2 +1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2 = –1.

Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A+Bi можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название “комплексное” происходит от слова “составное”: по виду выражения A+Bi.

Комплексными числами называют выражения вида A+Bi, где A и B –действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i 2 = –1, и обозначают буквой Z.

Число A называется действительной частью комплексного числа A+Bi, а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа 2+3i равна 2, а мнимая равна 3.

Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел понятие равенства.

Два комплексных числа A+Bi и C+Di называются равными тогда и только тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+Bi можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A+Bi изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

Отметим, что для любого комплексного числа Z, причем

Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов:

Сумма двух векторов с координатами (A₁;B₁) и (A₂;B₂) есть вектор с координатами (A₁+A₂;B₁+B₂). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z₁ и Z₂ нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам Z₁ и Z₂.

Пример 1: Найти сумму и произведение комплексных чисел Z₁=2 – 3i и

Z₁ + Z₂ = 2 – 7 + (–3 + 8)i = –5 + 5i

Z₁Z₂ = (2 – 3i)(–7 + 8i) = –14 + 16i + 21i + 24 = 10 + 37i

Читайте также: