Реферат на тему изгиб

Обновлено: 05.07.2024

Нормальное напряжение при поперечном изгибе определяется как при чистом изгибе по формуле (5.9) и в настоящем разделе рассмотрим в соответствии с принципом суперпозиции только действие поперечной силы Рис. 6. Определение касательных напряжений при поперечном изгибе Действующие нормальные напряжения на боковых гранях выделенного бесконечно малого элемента равны. Определение предельной нагрузки… Читать ещё >

Изгиб ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Контрольная работа

1. Общие сведения и основные определения

2. Дифференциальные зависимости при поперечном изгибе

3. Напряжение при чистом изгибе

4. Касательное напряжение при поперечном изгибе. Формула Журавского

5. Расчеты на прочность при изгибе

6. Определение перемещений при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

7. Теорема о взаимности работ. Теорема о взаимности перемещений

8. Определение перемещений методом Мора

9. Графоаналитический способ определения перемещения при изгибе. Способ Верещагина Литература изгиб дифференциальный графоаналитический напряжение

1. Общие сведения и основные определения

Весьма часто в технике стержни подвергаются действию поперечной нагрузки и изгибающих моментов. При этом в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты, т. е. внутренние моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости поперечного сечения стержня, и поперечные силы. При действии такой нагрузки ось стержня искривляется. Указанный вид нагружения называется изгибом, а стержни, работающие на изгиб, принято называть балками.

Этот вид деформаций принято называть изгибом в двух плоскостях или косым изгибом. Косой изгиб в соответствии с принципом суперпозиции эквивалентен совокупности двух плоских изгибов.

Изгиб называют чистым, если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающим в поперечном сечении балки.

Чаще, однако, в поперечных сечениях наряду с изгибающим моментом возникают также и поперечные силы. Такой изгиб называют поперечным.

Если плоскость действия изгибающего момента (силовая плоскость) проходит через одну из главных осей поперечного сечения стержня, изгиб носит название простого или плоского. В последнем случае применяется также название прямой изгиб.

Если плоскость действия изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей сечения, то изгиб называют косым. При плоском изгибе ось балки и после деформации остается в плоскости внешних сил — силовой плоскости. При косом изгибе плоскость деформации не совпадает с силовой плоскостью.

Для построения эпюр внутренних силовых факторов может быть использован метод сечений (см. раздел 1.5). Простейший пример построения эпюр внутренних силовых факторов при изгибе приведен на рис. 5.1

Рис. 1. Построение эпюр внутренних силовых факторов при изгибе Последних 200−300 лет развития техники связаны с использованием конструкций, работающих на изгиб. Это придает современным конструкциям легкий, изящный облик.

2. Дифференциальные зависимости при поперечном изгибе

Выделим на балке бесконечно малый элемент

Рис. 2. Выделение бесконечно малого элемента при изгибе

Установим связь между внутренними силовыми факторами и внешней нагрузкой. С этой целью используем уравнение равновесия в проекциях сил на вертикальную ось Оу

Используем еще одно уравнение равновесия в проекциях моментов на ось, перпендикулярную плоскости чертежа Ох (относительно точки 1)

В этом выражении оставим только величины первого порядка малости

Наконец, после подстановки (5.5) в (5.4) можно получить

Рис. 3. Использования знака кривизны для проверки правильности построения эпюр внутренних силовых факторов при изгибе

Таким образом, эпюры внутренних силовых факторов и при изгибе связаны интегрально-дифференциальными зависимостями.

3. Напряжение при чистом изгибе

Пользуясь принципом суперпозиции, часто встречающийся в технических приложениях поперечный изгиб разложим на 2 случая:

2. действие одной перерезывающей силы.

И для случая чистого изгиба может быть использована гипотеза Бернулли.

Рис 4. Выделение бесконечно малого элемента для чистого изгиба (н.л. — нейтральная линия)

При изгибе нижние волокна сжимаются, верхние — растягиваются, среднее волокно или нейтральная линия не деформируется.

Непосредственно их рис 5.4.

Используем закон Гука.

Для заданного сечения .

Используем уравнение равновесия. Рассмотрим равновесие всех сил, действующих в некотором сечении общего вида Рис. 5. К выводу уравнений равновесия при изгибе Общее число уравнений равновесия шесть:

три — в силах, три — в моментах.

Некоторые из этих уравнений равновесия представляют собою тождества

т.е. оси x, y при изгибе должны быть центральными центральные

Зависимость (5.8) может быть в дальнейшем использована для оценки деформаций конструкции. После подстановки (5.8) в (5.7)

используя — осевой момент сопротивления.

4. Касательное напряжение при поперечном изгибе. Формула Журавского

Спроектируем все силы на ось Z.

Рис 7. Равновесие отсеченной части балки при поперечном изгибе

S'_x — статический момент отсеченной части поперечного сечения.

На рис. 5.8. приведены примеры распределения касательных напряжений для некоторых поперечных сечений бруса.

Рис 8. Эпюры касательных напряжений при поперечном изгибе Формула Журавского имеет значение для тонкостенной конструкции.

5. Расчеты на прочность при изгибе

По аналогии с другими ранее изученными видами напряженных и деформированных состояний можно выделить три вида расчеты на прочность при изгибе:

5.1. Проектировочный расчет. В этом случае при известных внешних нагрузках с помощью метода сечений строятся эпюры внутренних силовых факторов — поперечных сил и изгибающих моментов. Для максимального изгибающего момента при известных допускаемых напряжениях можно определить необходимый с позиций обеспечения прочности момент сопротивления По известному моменту сопротивления можно определить номер прокатной стали или характерный геометрической размер поперечного сечения заданного типа.

5.2. Проверочный расчет. И вновь при известных внешних нагрузках с помощью метода сечений строятся эпюры внутренних силовых факторов — поперечных сил и изгибающих моментов. Для максимального изгибающего момента при заданном поперечном сечении, то есть известном моменте сопротивления, можно определить максимальные нормальные напряжения Для проверки прочности достаточно вычислить коэффициент запаса прочности

Если этот коэффициент больше единицы, то сохраняется работоспособное состояние.

5.3. Определение предельной нагрузки. В большинстве практических случаев максимальный изгибающий момент может быть представлен в следующем виде где — некоторый числовой коэффициент, зависящий от конструктивной схемы балки, от способа ее нагружения и от граничных условий. Тогда справедлива следующая зависимость для предельной нагрузки

6. Определение перемещений при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Для качественной оценки вида изогнутой оси балки можно использовать следующую зависимость:

Если, т. е. , то это прямолинейный участок. Знак кривизны совпадает со знаком изгибающего момента.

Рис. 9. Знаки кривизны упругой линии и изгибающего момента Для достаточно гладких функций в математике и для малой деформации в технической механике справедлива следующая зависимость.

гдеV — линейное перемещение по оси Oу или прогиб.

Выражение (5.11) в механике деформируемых твердых тел известно, как дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Уравнение (5.11) оказывается справедливым только для отдельного участка балки, в пределах которого вся правая часть имеет вид гладкой аналитической функции.

Рассмотрим случай, когда на балке имеется всего 1 участок.

Рис 10. К определению функции изогнутой оси балки

Исходное дифференциальное уравнение может быть для рассматриваемого случая записано в следующем виде

После интегрирования получаем выражение для функции углов поворота

После еще одного интегрирования получаем выражение для функции прогиба

Для определение постоянных интегрирования и рассмотрим граничные условия в жесткой заделке

Если мы имеет N участков, то нам неизвестно 2N постоянных интегрирования. Кроме граничных условий мы должны использовать условия сопряжения.

Рис 11. Балка, содержащая два участка

Пример 5.1. Рассмотрим методику интегрирования дифференциального уравнения упругой линии консольной балки

Рис. 12. Определений перемещений при изгибе консольной балки

Использование дифференциального уравнения изогнутой оси балки (5.10) при большом количестве участков связано с определенными вычислительными трудностями (11, "https://referat.bookap.info").

7. Теорема о взаимности работ. Теорема о взаимности перемещений

Рассмотрим линейно-деформируемую систему в двух различных состояниях, отвечающих двум различным нагрузкам (рис. 5.15).Для простоты выкладок рассмотрим простую двухопорную балку, последовательно нагружаемую двумя сосредоточенными силами.

Рис 15. Прямой и обратный порядок приложения нагрузки

Приравнивая полные работы при прямом и обратном порядке приложения нагрузок, получим

Работа, фактически совершаемая силой на перемещениях, вызываемых другой силой или силами, называется дополнительной работой.

Согласно теореме о взаимности работ, работа сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещение первого состояния.

Аналогичным образом может быть доказана также взаимность дополнительной работы внутренних сил.

Рис 16. Взаимность дополнительной работы внутренних сил.

Используя закон сохранения энергии, можно показать, что дополнительная работа внешних сил равна по абсолютному значению дополнительной работе внутренних сил:

Это соотношение будет использовано далее для обоснования общего метода определения перемещений (метода Мора).

получим теорему о взаимности перемещений.

Перемещение точки приложения единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки, приложения второй единичной силы по направлению последней, вызванному действием первой единичной силы.

8. Определение перемещений методом Мора

Вместо системы сил F₁ и F₂, введем грузовое и вспомогательное состояния:

Введение

грузового и вспомогательного состояний

Запишем теорему о взаимности работ для этих двух состояний:

После суммирования по отдельным участкам балки получим интеграл Мора

Пример 5.2. Рассмотрим пример на использование интеграла Мора на определение перемещений для консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой

Рис 18. Построение грузовой и вспомогательной эпюры для консольной балки Используем интеграл Мора.

На практике использование такого подхода затруднено. Эта трудность преодолевается организацией интегрирования, интегрирование легко реализуется на компьютере.

9. Графоаналитический способ определения перемещения при изгибе. Способ Верещагина

Введем два упрощающих обстоятельства:

— линейная функция в пределе рассматриваемого участка.

Рис 19 Графоаналитическое вычисление интеграла Мора

Последний интеграл представляет собой статический момент фигуры ABCD относительно оси y. Произведение

представляет собой ординату, взятую на вспомогательной эпюре под центром тяжести грузовой.

гдеn — номер участка.

Пример 5.3. Еще раз рассмотрим консольную балку

Рис 20. Использование способа Верещагина для консольной балки

Более сложные случаи:

1. Умножение трапеции на трапецию

Рис. 21. Умножение трапеции на трапецию

Для умножения трапеции на трапецию можно перейти к умножению прямоугольника на трапецию и треугольника на трапецию.

Определение умножения прямоугольника на трапецию означает, что, А _f берем по прямоугольнику, а M _{к с} по трапеции.

Правило перестановок действует только на линейных эпюрах.

2. Параболический сегмент

Рис 22. Площадь и положение центра тяжести для параболического сегмента

3. Вогнутый параболический треугольник

Рис 23. Площадь и положение центра тяжести для вогнутого параболического треугольника

4. Выпуклый треугольник

Рис 24. Площадь и положение центра тяжести для выпуклого параболического треугольника

5. Выпуклая параболическая трапеция.

Рис 25. Разбиение площадей и положение центров тяжести для выпуклой параболической трапеции

Пример: 5.4. Рассмотрим более сложный случай нагружения консольной балки, кода действуют все три вида внешних нагрузок. Необходимо определить максимальный угол поворота балки

Рис. Консольная балка при одновременном действии трех нагрузок

I способ. Заменим эпюру М _f совокупностью более простых фигур.

то есть вершина параболы находится за пределами балки.

Для построения вспомогательной эпюры необходимо:

1. Рассмотрим некоторую балку без внешних нагрузок.

2. В заданной точке прикладываем F=1 или М=1 соответственно для определения прогиба или угла поворота. Направление действия внешних нагрузок — произвольно.

3. Считая единичную нагрузку внешней, определяем реакции и строим эпюры.

Формула для определения угла поворота способом Верещагина примет следующий вид

где — ордината, взятая на вспомогательной эпюре М к под центром тяжести грузовой эпюры — с учетом разбития грузовой на элементарные фигуры

При построении изогнутой оси балки мы используем:

1. Знак обобщенного перемещения. Для рассмотренного случая точка поворачивается по часовой стрелке.

2. Используем знак изгибающего момента на грузовой эпюре.

Примерный вид изогнутой оси балки показан на рис. 5.24.

II способ. Использование принципа суперпозиций.

Рис Использования принципа суперпозиции

1. *Александров А. В., Потапов В. Д. , Державин Б. П. Сопротивление материалов. 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2009. — 560 с. Посмотреть*Алмаметов Ф. 3., Арсеньев С: И., Курицын Н. А. , Мишин А. М. Расчетные и курсовые работы по сопротивлению материалов. — М.: Высшая школа, 2003. — 367 с.

2. *Биргер И. А., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов.— М.: Наука, 1986. —560 с.

4. *Механика разрушения и прочность материалов. Справочное пособие в 4-х томах. — Киев.: Наукова думка, 1988. — 2000 с.

5. *Миролюбов И. Н. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов. — М.: Высшая школа, 1985. — 400 с.

6. *Макаров Е. Г. Сопротивление материалов на базе marhcad. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004. — 512 с.: ил. Приобрести*Писаренко Г. С, Яковлев А. П. , Матвеев В. В. Справочник по сопротивлению материалов. — Киев.: Наука, 1975. — 400 с.

7. *Порошии И. Б. Расчеты на прочность — это просто!: Учебное пособие. —Челябинск: ЮУрГУ, 2005. — 44 с. *Работнов Юрий Николаевич. Сопротивление материалов. М., Физматгиз. 1962 г., 456 стр. с илл

8. *Сопротивление материалов / Под ред. А. Ф. Смирнова .— М.: Высшая школа, 1975. —480 с.

9. *Сурьянинов Н. Г. Методы построения эпюр в статически определимых и статически неопределимых системах — 2001, 155с.

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается поперечная нагрузка, лежащая в плоскости проходящей через продольную ось (рис.1). Брус, работающий при изгибе, называется балкой.

Изгиб называется плоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.1).

Рис.1. Прямой изгиб

При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q_y , где y – ось симметрии (главная центральная ось) и изгибающий момент M_x. , где x – другая главная центральная ось сечения, нормальная к оси симметрии.

Если изгибающий момент M_x является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым (рис.2). При наличии поперечной силы Q_y изгиб называется поперечным. Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь.

Косой изгиб - изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.

Сложный изгиб - изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.

Далее будем рассматривать плоский изгиб, то есть все силы будем прилагать в плоскости симметрии балки.

Рис.2. Чистый изгиб

Осваивать расчет балок и рам удобно, рассматривая по очереди следующие вопросы:

- Определение внутренних усилий в балках и построение эпюр внутренних усилий.

- Проверка прочности балок.

- Определение перемещений и проверка жесткости балок.

§2.Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q. Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы.

Эпюра внутренней силы – график, показывающий изменение этой силы по длине балки.

Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах которых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выражения. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены внешние нагрузки: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка одного направления и изменяющаяся по одному закону, а также начало и конец балки.

Последовательно на каждом участке вводится скользящая система координатных осей (начало координат совмещается с началом участка) и для произвольного сечения составляются выражения для определения поперечной силы и изгибающего момента. Затем по этим выражениям в пределах каждого участка строятся графики (эпюры) внутренних сил.

Перед тем, как определять внутренние усилия (поперечные силы и изгибающие моменты) и строить эпюры, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 3 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 3,б) и подвижной (рис. 3,в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 6.5,а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реактивные силы (рис. 3,б); в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция – сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис.3,в).

Изгибом называется вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях, под действием внешних нагрузок возникают внутренние изгибающие моменты.

Деформация изгиба проявляется в искривлении продольной оси бруса.

Брус с прямой осью, подвергающийся изгибу, обычно называется балкой.

Если в сечениях балки возникает только изгибающий момент (поперечные силы отсутствуют), то изгиб называется чистым.

При изгибе одни слои балки растягиваются, а противоположные им – сжимаются, например:

Из балки нагруженной только изгибающим моментом

сечениями I и II мысленно вырежем фрагмент длиной dz

Как видно в данном случае верхние слои балки сжаты, а нижние – растянуты.

При этом наибольшему растяжению/сжатию подвержены крайние нижний и верхний слои балки.

Между ними расположен нейтральный слой, длина которого вследствие изгиба балки не изменяется.

Нейтральный слой расположен на уровне центров тяжести поперечных сечений балки, нормально к плоскости, в которой действуют изгибающие нагрузки.

Линия, образованная пересечением нейтрального слоя с поперечным сечением балки называется нейтральной линией сечения.

В общем случае плоского прямого изгиба в поперечных сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент M и поперечная сила Q. Такой изгиб называется поперечным.

Для конкретизации направления внутренних усилий им присваиваются соответствующие индексы:

M_x — момент, изгибающий относительно оси x (в плоскости yOz);
Q_y — cила, направленная поперек балки вдоль оси y.

Плоский прямой (поперечный) изгиб возникает при действии на балку системы внешних сил, перпендикулярных к ее оси и лежащих в плоскости, проходящей через главную центральную ось сечения балки.

Изогнутая ось балки в этом случае – плоская кривая, совпадающая с плоскостью действия внешних сил.

Для определения внутренних силовых факторов Q и M используется метод сечений, суть которого применительно к балке показана на следующем рисунке:

Рассматривая равновесие левой от сечения (I-I) части

с учетом правила знаков для Q и M, запишем следующие уравнения равновесия:

или в общем виде:

Внутренняя сила Q в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил (активных и реактивных), действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Изгибающий момент в поперечном сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил и пар, вычисленных относительно нейтральной оси рассматриваемого сечения и действующих по одну сторону от проведенного сечения.

Между изгибающим моментом M, поперечной силой Q и интенсивностью распределенной нагрузки q существуют следующие дифференциальные зависимости:

Эти формулы могут быть использованы при построении и проверке эпюр Q и M.

Графические изображения функций Q и M по длине балки называют эпюрами поперечных сил и изгибающих моментов.

Деформация изгиба характеризуется потерей прямолинейности или первоначальной формы линией балки (ее осью) при приложении внешней нагрузки. При этом, в отличие от деформации сдвига, линия балки изменяет свою форму плавно.
Легко убедиться, что на сопротивляемость изгибу влияет не только площадь поперечного сечения балки (бруса, стержня и т. д.), но и геометрическая форма этого сечения.

Поскольку изгиб тела (балки, бруса и т. п.) осуществляется относительно какой-либо оси, на сопротивляемость изгибу влияет величина осевого момента инерции сечения тела относительно этой оси.
Для сравнения - при деформации кручения сечение тела подвергается закручиванию относительно полюса (точки), поэтому на сопротивление кручению оказывает влияние полярный момент инерции этого сечения.

На изгиб могут работать многие элементы конструкций – оси, валы, балки, зубья зубчатых колес, рычаги, тяги и т. д.

В сопротивлении материалов рассматривают несколько типов изгибов:
- в зависимости от характера внешней нагрузки, приложенной к брусу, различают чистый изгиб и поперечный изгиб;
- в зависимости от расположения плоскости действия изгибающей нагрузки относительно оси бруса - прямой изгиб и косой изгиб.

Чистый и поперечный изгиб балки

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент (рис. 2).
Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил. Тогда в каждом сечении бруса будут действовать только изгибающие моменты.

Если же изгиб имеет место в результате приложения к брусу поперечной силы (рис. 3), то такой изгиб называется поперечным . В этом случае в каждом сечении бруса действует и поперечная сила, и изгибающий момент (кроме сечения, к которому приложена внешняя нагрузка).

Если брус имеет хоть одну ось симметрии, и плоскость действия нагрузок совпадает с ней, то имеет место прямой изгиб , если же это условие не выполняется, то имеет место косой изгиб .

При изучении деформации изгиба будем мысленно представлять себе, что балка (брус) состоит из бесчисленного количества продольных, параллельных оси волокон.
Чтобы наглядно представить деформацию прямого изгиба, проведем опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка продольных и поперечных линий.
Подвергнув такой брус прямому изгибу, можно заметить, что (рис. 1):

- поперечные линии останутся при деформации прямыми, но повернутся под углом друг другу;
- сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне;
- продольные прямые линии искривятся.

Из этого опыта можно сделать вывод, что:

- при чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений;
- волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Полагая справедливой гипотезу о не надавливании волокон, можно утверждать, что при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределенные по сечению.
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью . Очевидно, что на нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

Изгибающий момент и поперечная сила

Как известно из теоретической механики, опорные реакции балок определяют, составляя и решая уравнения равновесия статики для всей балки. При решении задач сопротивления материалов, и определении внутренних силовых факторов в брусьях, мы учитывали реакции связей наравне с внешними нагрузками, действующими на брусья.
Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией – осью, к которой приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей).

Рассмотрим два случая:

1. К балке приложены две равные и противоположные по знаку пары сил.
Рассматривая равновесие части балки, расположенной слева или справа от сечения 1-1 (рис. 2), видим, что во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент М_и , равный внешнему моменту. Таким образом, это случай чистого изгиба.

Изгибающий момент есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака изгибающего момента.

2. К балке приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей), перпендикулярные оси (рис. 3). Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа, видим, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент М _и и поперечная сила Q .
Из этого следует, что в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака поперечной силы.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным .

У балки, находящейся в равновесии вод действием плоской системы сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю; следовательно, сумма моментов внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих на балку справа или слева от сечения .

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси (т. е. системы параллельных сил), алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю; следовательно сумма внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна алгебраической сумме сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения .

Так как правила знаков статики неприемлемы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, установим для них другие правила знаков, а именно: Если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным (рис 4,a).

Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными (рис. 4,b). Пользуясь этими правилами, следует мысленно представлять себе сечение балки жестко защемлённым, а связи отброшенными и замененными реакциями.

Еще раз отметим, что для определения реакций связей пользуются правилами знаков статики, а для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы – правилами знаков сопротивления материалов.
Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют "правилом дождя" , имея в виду, что в случае выпуклости вниз образуется воронка, в которой задерживается дождевая вода (знак положительный), и наоборот – если под действием нагрузок балка выгибается дугой вверх, вода на ней не задерживается (знак изгибающих моментов отрицательный).

Читайте также: