Расчет цепей переменного тока реферат

Обновлено: 02.07.2024

Расчет одно-и трехфазных электрических цепей переменного тока ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Расчет однои трехфазных электрических цепей переменного тока

Введение

электрическая цепь переменный ток Электротехника — это наука о производстве, передаче и преобразовании электрической энергии. Энергия — это количественная мера движения и взаимодействия всех форм материи. Для любого вида энергии можно назвать материальный объект, который является ее носителем.

Электрическая энергия широко применяется и это объясняется ее ценными свойствами — возможностью преобразования в любые другие виды энергии. В промышленности с применением электродвигателей стало возможным отказаться от неудобного группового трансмиссионного привода и перейти на индивидуальный привод Электрическую энергию можно получить из любого другого вида энергии или путем промежуточных преобразований. Для этого используют природные энергетические ресурсы — реки и водопады, океанские приливы, органическое ядерное топливо, солнечную радиацию, ветер. На электростанциях непосредственно механическая энергия преобразуется в электрическую, с помощью механических генераторов. На тепловых электростанциях же, используется энергия органического топлива. Тепловая энергия, полученная при сжигании топлива, поступает на тепловые турбины, превращается в механическую, а затем передается генераторам.

Передача и распределение электрической энергии повсеместное использование при концентрации природных ресурсов в отдельных районах привело к необходимости передачи ее на большие расстояния, это осуществляется с помощью применения металлических проводов. При наличии проводов поле достигает высокой концентрации, поэтому передача осуществляется с высоким КПД. Исходя из того, следует, что предмет ТОЭ является одним из самых важных предметов, он является основой для дальнейшего прохождения предметов радиоэлектронной области.

2. Краткие сведения из теории

2.1 Линейные электрические цепи постоянного тока Источник ЭДС — это источник, характеризующийся электродвижущей силой и внутренним сопротивлением. Идеальным называется источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого равно нулю.

Разветвленная схема — это сложная комбинация соединений пассивных и активных элементов.

Участок электрической цепи, по которому проходит один и тот же ток, называется ветвью. Место соединения двух и более ветвей электрической цепи называется узлом. Узел в схеме обозначается точкой.

Последовательным называется такое соединение участков цепи, при котором через все участки проходит одинаковый ток. При параллельном соединении все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, находятся под одним и тем же напряжением.

Любой замкнутый путь, включающей в себя несколько ветвей, называется контуром.

Ток, протекающий через сопротивление R, пропорционален падению напряжения на сопротивлении и обратно пропорционален величине этого сопротивления.

Закон Ома: ме6жду основными параметрами цепи устанавливается строго определенная зависимость — ток на пассивном участке цепи прямо пропорционален приложенному к этому участку напряжению и обратно пропорционален его сопротивлению.

Так же имеется закон Ома для всей ветви, и он записывается вот так:

Также для расчета линейных электрических цепей постоянного тока используются два закона Кирхгофа, вот так они звучат:

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в любом узле цепи равна нулю:

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре:

Законы Кирхгофа применяются для расчета сложных электрических цепей, содержащих несколько источников ЭДС.

2.2 Нелинейные электрические цепи постоянного тока Электрическая цепь, в которой есть нелинейные элементы, называется нелинейной цепью. Для нелинейных электрических цепей остаются справедливыми законы Ома и Кирхгофа. Расчет таких цепей осуществляется графическим методом. График, выражающий зависимость тока от напряжения I (U), называется вольтамперной характеристикой. В линейной электрической цепи сопротивления ее элементов не зависят от величины или направления тока или напряжения. Вольтамперные характеристики линейных элементов (зависимость напряжения на элементе от тока) являются прямыми линиями. В нелинейной электрической цепи сопротивления ее элементов зависят от величины или направления тока или напряжения.

Нелинейные элементы имеют криволинейные вольтамперные характеристики, симметричные или несимметричные относительно осей координат.

2.3 Однофазные линейные электрические цепи переменного тока Переменными называются токи, изменение которых по величине и направлению повторяется периодически через равные промежутки времени t.

Электрическая энергия необратимо преобразуется в другой вид энергии. Реактивное сопротивление емкости обратно пропорционально частоте и емкости. Действующее значение переменного тока широко применяется при расчете цепей переменного тока. Это значение равно величине такого постоянного тока, который за время, равное одному периоду переменного тока, выделяет в том же сопротивлении такое же количество тепла, что и переменный ток. Значение переменного тока в любой момент времени называется мгновенным значением и имеет вид:

Векторная диаграмма — это совокупность векторов действующих или амплитудных значений синусоидальных величин вращающихся против часовой стрелки с одинаковой угловой частотой.

2.4 Трехфазные электрические цепи переменного тока Трехфазная система ЭДС называется системой трех переменных ЭДС одинаковой частоты, сдвинутых друг относительно друга по фазе так, что сумма трехфазных углов равна 2рили 360°. Трехфазная система применяется во всем мире, для передачи и распределения энергии.

Отдельные обмотки трехфазного приемника называются фазами.

При соединении звездой в точках перехода фазные и линейные токи одинаковы между собой в каждой фазе.

При соединении треугольником обмотки генератора образуют замкнутый контур, в котором действует сумма трех ЭДС.

2.5 Переходные процессы в линейных электрических цепях В электрических цепях возможны включения и отключения отдельных ветвей, короткие замыкания участков цепи, различного рода переключения. Любые изменения в электрических цепях можно представить в виде переключений или коммутаций. Характер коммутации указывается в схеме с помощью рубильника со стрелкой. По направлению стрелки можно судить, замыкается или размыкается рубильник.

При коммутации в цепи возникают переходные процессы, т. е. процессы переходов тока и напряжений от одного установившегося значения к другому.

Изменения токов и напряжений вызывают одновременное изменение энергии электрического и магнитного полей, связанных с элементами цепи — емкостями и индуктивностями. Однако энергия электрического поля и энергия магнитного поля могут изменяться только непрерывно, так как скачкообразное изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности. На этом рассуждении основаны законы коммутации.

Первый закон: в любой ветви с индуктивностью ток не может изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации:

iL (0-) — ток в индуктивности непосредственно перед коммутацией.

Второй закон: напряжение на емкости сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации:

где uc (0+) — напряжение на емкости в момент коммутации;

uc (0-) — напряжение на емкости непосредственно перед моментом коммутации.

Допущения, применяемые при анализе переходных процессов:

— полагают, что переходной процесс длится бесконечно большое время:

— считают, что замыкание и размыкание рубильника происходит мгновенно, без образования электрической дуги;

— принимают, что к моменту коммутации предыдущие переходные процессы в цепи закончились.

3. Расчетная часть

3.1 Расчет линейных электрических цепей постоянного тока Дано: Е₁ = 20 В; Е₂ = 30 В; R₁ = 64 Ом; R₂ = 43 Ом; R₃ = 31 Ом; R₄ = 25 Ом; R₅ = 52 Ом; R₆ = 14 Ом; r₀₁ = 1 Ом; r₀₂ = 2 Ом.

3.1.1 Метод узловых и контурных уравнений Составим систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

При расчете этим методом произвольно задаем направления токов в ветвях I₁, I₂, I₄, I₅, I₆.

В этой цепи 4 узла (1, 2, 3, 4) значит число уравнений: n — 1 = 4 — 1 = 3:

Всего в системе должно быть шесть уравнений, т.к. в цепи шесть ветвей. Три уже есть. Три недостающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимы, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по II закону Кирхгофа:

— контур 1−2-3−1 обход по часовой стрелке:

— контур 1−3-4−1 обход против часовой стрелки:

— контур 3−2-4−3 обход против часовой стрелке:

Мы получим систему из шести уравнений

3.1.2 Определим токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов Метод контурных токов основан на использовании II закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на (n — 1).

Стрелками указываем выбранные направления контурных токов I_к1, I_к2, I_к3 в контурных ячейках. Направление контуров принимаем таким же. Составляем уравнения и решаем систему уравнений матрицей.

Подставим в уравнения численные значения ЭДС и сопротивлений:

Решим систему уравнений с помощью матрицы. Вычислим определитель системы? и частные определители ?1, ?2, ?3.

Вычисляем контурные токи:

I_к3 = = = 0,1387 А Найдем действительные токи ветвей:

3.1.3 Определение токов методом наложения Определяем частные токи от ЭДС Е1, при отсутствии ЭДС Е2

R_в = = = 10,8984 Ом Определяем эквивалентное сопротивление цепи:

R_{б, 6, а, 4} = = = 17,3677 Ом

R_экв = R₁ + R_в + R_{б, 6, а, 4} = 64 + 10,8984 + 17,3677 = 92,2661 Ом Ток источника:

I I ₁ = = = 0,2144 А Для расчета оставшихся токов по закону Ома находим напряжение U_ху:

U_{х, у} = I I ₁* R_{б, 6, а, 4} = 0,2144*17,3677 = 3,7236 В

I I ₄ = = = 0,0990 А

I I ₆ = = = 0,1153 А Для расчета оставшихся токов цепи используем законы Кирхгофа:

I I ₃ = = = 0,1157 А

I I ₂ = I I ₁ — I I ₃ = 0,2144 — 0,1157 = 0,0987 А

I I ₅ = I I ₂ — I I ₆ = 0,0987 — 0,1153 = -0,0166 А Определяем частные токи от ЭДС Е2, при отсутствии ЭДС Е1

R_в = = = 6,4049 Ом Определяем эквивалентное сопротивление цепи:

R_{б, 6, в, 5} = = = 18,6641 Ом

R_экв = R₂ + R_а + R_{б, 6, в, 5} = 43 + 16,6528 + 18,6641 = 78,3169 Ом Ток источника:

I II ₂ = = = 0,3735 А Для расчета оставшихся токов по закону Ома находим напряжение U_ху:

U_{х, у} = I II ₂* R_{б, 6, в, 5} = 0,3735*18,6641 = 6,9710 В

I II ₅ = = = 0,1193 А

I II ₆ = = = 0,2541 А Для расчета оставшихся токов цепи используем законы Кирхгофа:

I II ₃ = = = 0,2254 А

I II ₄ = I II ₅ — I II ₃ = 0,1193 — 0,2254 = -0,1061 А

I II ₁ = I II ₄ + I II ₆ = -0,1061 + 0,2541 = 0,1480 А Вычисляем токи ветвей исходной схемы, выполняя алгебраические сложения токов, учитывая их направления.

I₁ = I I ₁ — I II ₁ = 0,2144 — 0,1480 = 0,0664 А

I₂ = I I ₂ — I II ₂ = 0,0987 — 0,3735 = -0,2748 А

I₃ = I I ₃ + I II ₃ = 0,1157 + 0,2254 = 0,3411 А

I₄ = I I ₄ — I II ₄ = 0,0990 — (-0,1061) = 0,2051 А

I₅ = I I ₅ — I II ₅ = -0,0166 — 0,1193 = -0,1359 А

I₆ = I I ₆ — I II ₆ = 0,1153 — 0,2541 = -0,1388 А Составим баланс мощностей для заданной схемы. Источники Е1 и Е2 вырабатывают электрическую энергию, так как направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают, то баланс мощностей для заданной цепи запишется так:

Подставляем числовые значения и вычисляем

20*0,0664 + 30*0,2748 = 0,0664 2 *65 + 0,1388 2 *14 + 0,2051 2 *25 + 0,2748 2 *45+0,1359 2 *52 + 0,3411 2 *31

9,572 Вт = 9,573 Вт С учетом погрешности расчетов баланс мощностей получился.

Использование комплексных чисел при расчете электрических цепей переменного тока, которые заменяют графические действия над векторами алгебраическими действиями над комплексными числами. Описание аналогии записей уравнений по законам Ома и Кирхгофа.

Рубрика	Физика и энергетика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	25.01.2018
Размер файла	782,2 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

В практике расчета цепей переменного тока широко используются комплексные числа.

Комплексными числами и векторами на комплексной плоскости изображаются изменяющиеся синусоидально ЭДС, ток и напряжение, а также полные сопротивление и проводимость, полная мощность и некоторые другие параметры цепи. электрический ом кирхгоф ток

Использование комплексных чисел при расчете электрических цепей переменного тока позволяет заменить графические действия над векторами алгебраическими действиями над комплексными числами. Кроме того, при использовании комплексных чисел возникает полная аналогия записей уравнений по законам Ома и Кирхгофа и методов расчета цепей переменного тока с цепями постоянного тока.

В цепях постоянного тока в уравнения входят действительные значения Е, U, I, r, в цепях переменного тока -- комплексные значения U, E, I, Z.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Для расчета и анализа разветвленных электрических цепей с несколькими источниками используются различные методы.

Метод эквивалентных преобразований

При расчете методом эквивалентных преобразований используются правила взаимных преобразований источников тока и ЭДС и замены последовательно или параллельно включенных сопротивлений эквивалентными, что позволяет получить простую схему электрической цепи, расчет которой производится с применением закона Ома. Метод законов Кирхгофа

Используя первый и второй законы Кирхгофа, можно для любой разветвленной электрической цепи составить необходимое число независимых уравнений и путем их совместного решения найти все подлежащие определению величины.

Перед составлением уравнений необходимо показать на схеме положительные направления токов. Сначала следует составить уравнения по первому закону Кирхгофа, максимальное число которых должно быть на единицу меньше числа узловых точек. Недостающие уравнения следует составить по второму закону Кирхгофа.

Метод контурных токов

Метод контурных токов дает возможность упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом законов Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений, которые приходится решать совместно.

Любая разветвленная электрическая цепь состоит из нескольких смежных контуров. В каждом контуре имеется некоторый контурный ток, одинаковый для всех элементов контура. Положительные направления контурных токов могут быть выбраны произвольно, через них легко определять и токи всех ветвей.

Контурные токи могут быть определены путем совместного решения системы уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, в которые вместо падений напряжения от токов ветвей следует ввести падения напряжения от контурных токов с соответствующими знаками.

Метод узлового напряжения

Метод узлового напряжения дает возможность достаточно просто произвести анализ и расчет электрической цепи, содержащей несколько параллельно соединенных активных и пассивных ветвей.

Формула узлового напряжения в общем случае имеет вид

Затем находим токи по закону Ома.

Метод наложения основан на том, что в линейных электрических цепях ток любой ветви может быть определен как алгебраическая сумма токов от каждого источника в отдельности.

Расчет электрических цепей методом наложения производят в таком порядке. Из электрической цепи удаляют все источники ЭДС и напряжения, кроме одного. Сохранив в электрической цепи все резистивные элементы, в том числе и внутренние сопротивления источников, производят расчет электрической цепи. Внутренние сопротивления источников с указанными напряжениями полагают равными нулю. Подобным образом поступают столько раз, сколько имеется в цепи источников.

Результирующий ток каждой ветви определяют как алгебраическую сумму токов от всех источников. Для того чтобы результирующие токи совпадали с действительными направлениями, целесообразно выбирать положительные направления результирующих токов после определения токов от всех источников.

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора дает возможность упростить анализ и расчет электрических цепей в том случае, когда требуется определить ток лишь одной ветви:

В соответствии с уравнением электрическая цепь может быть заменена эквивалентной цепью, в которой и следует рассматривать как ЭДС и внутреннее сопротивление некоторого эквивалентного генератора. В результате возможности такой замены и возникло название изложенного метода.

Рассмотрим более подробно

Метод контурных токов

Общее число неизвестных составляет m (n 1).

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 1. Параметры отдельных элементов схемы заданы.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями контурных токов в контурах-ячейках схемы(Iк1, Iк2, Iк3). Контуры-ячейки следует выбирать так, чтобы они не включали в себя ветви с источниками тока. Ветви с источниками тока J образуют свои контуры с заданными токами (J1, J2).

2) Составляются m (n 1) уравнений по 2-му закону Кирхгофа для выбранных контуров ячеек с контурными токами Iк1, Iк2, Iк3. В уравнениях учитываются падения напряжений как от собственного контурного тока, так и от смежных контурных токов.

Ниже приведена система контурных уравнений для схемы рис. 1:

В обобщенной форме система контурных уравнений имеет вид:

Ik1R11 Ik2R12 Ik3R13 K IknR1n E₁₁Ik1R21 Ik2R22 Ik3R23 K IknR2n E₂₂

Ik1R31 Ik2R32 Ik3R33 K IknR3n E₃₃

Ik1Rn1 Ik2Rn2 Ik3Rn3 K IknRnn E_nn

Здесь введены следующие обозначения:

R₁₁= R₁ + R₄; R₂₂ = R₃ + R₄ + R₅ и т. д. - собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений всех элементов контура;

R₁₂ = R₂₁ = R₄; R₂₃ = R₃₂ = R₅ и т. д. - взаимные сопротивления между двумя смежными контурами, они положительны - если контурные токи в ветви совпадают, и отрицательны - если контурные токи в ветви направлены встречно, и всегда отрицательны - если все контурные токи ориентированы одинаково (например, по часовой стрелке), равны нулю - если контуры не имеют общей ветви, например, R₁₃ = R₃₁ = 0;

E₁₁ = E₁ + J₁R₄, E₂₂ = E₂, E₃₃ = E₃ + J₂R₃ и т. д. - контурные ЭДС, равные алгебраической сумме слагаемых E_nn = E + JR от всех источников контура. Система контурных уравнений в матричной форме:

R21 R22 R KR R31 R32 R KR

матрица контурных сопротивлений,

матрица контурных токов,

матрица контурных ЭДС.

3) Система контурных уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения систем линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами, в результате чего определяются неизвестные контурные токи I_к1, I_к2, I_к3.

4) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы (рис. 1) (I₁, I₂, I₃, I₄, I₅). Токи ветвей определяются по принципу наложения как алгебраические суммы контурных токов, протекающих в данной ветви.

5) При необходимости определяются напряжения на отдельных элементах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (P_Ek = E_kI_k, P_Jk = U_k J_k) и мощности приемников энергии (P_k = I_k 2 R_k).

Для расчета сложных цепей гармонического тока можно применять все методы расчета цепей постоянного тока.

В практике расчета цепей переменного тока широко используются комплексные числа.

Запишем комплексное число в виде

Допустим, что вектор комплексного числа I_m вращается с постоянной угловой частотой щ и угол б = щt + ш. Тогда

Слагаемое I_mcos (щt + ш) представляет собой действительную часть комплексного числа и обозначается

Слагаемое I_msin (щt + ш) есть коэффициент при мнимой части комплексного числа и обозначается

Легко видеть, что коэффициент при мнимой части комплексного числа представляет собой выражение мгновенного значения синусоидального тока

и является проекцией вращающегося вектора I_m на мнимую ось комплексной плоскости.

Синусоидально изменяющиеся по времени величины изображаются на комплексной плоскости для момента времени t = 0. Тогда комплексная амплитуда I_m записывается в виде

где I_m-- комплексная амплитуда; I_m- ее модуль, а ш - угол между вектором I_m, и действительной осью. Таким образом, комплексная амплитуда изображает синусоидальный ток на комплексной плоскости для момента времени t = 0. Допустим, что в электрической цепи мгновенные значения напряжений и тока имеют выражения

Комплексные амплитуды напряжения и тока должны быть записаны в виде

U m = U m ejш 1 ; I m = I m ejш 2 ;

Где U_mиI_m-- соответственно модули комплексных амплитуд напряжений и тока; ш₁и ш₂-- начальные фазы U_mиI_m относительно действительной оси (углы начальных фаз).

Обычно принято выражать в виде комплексных чисел не амплитуды, а действующие значения напряжений и токов:

2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Методом контурных токов рассчитать мгновенные токи в ветвях и напряжения на элементах заданной сложной линейной электрической цепи. Проверку правильности расчетов произвести на основе выполнения условия баланса мощностей. Построить векторные и временные диаграммы рассчитанных токов и напряжений. Частоту колебаний ЭДС принять равной f = 1200 Гц.

До конца 19 века использовались только источники постоянного тока – химические элементы и генераторы. Это ограничивало возможности передачи электрической энергии на большие расстояния. Как известно, для уменьшения потерь в линиях электропередачи необходимо использовать очень высокое напряжение. Однако получить достаточно высокое напряжение от генератора постоянного тока практически невозможно. Проблема передачи электрической энергии на большие расстояния была решена только при использовании переменного тока и трансформаторов.

1. Принцип получения переменной ЭДС

Переменный ток имеет ряд преимуществ по сравнению с постоянным: генератор переменного тока значительно проще и дешевле генератора постоянного тока; переменный ток можно трансформировать; переменный ток легко преобразуется в постоянный; двигатели переменного тока значительно проще и дешевле, чем двигатели постоянного тока.

В принципе переменным током можно назвать всякий ток, который с течением времени изменяет свою величину, но в технике переменным током называют такой ток, периодически изменяет и величины и направление. Причем среднее значение силы такого тока за период Т равно нулю. Периодическим переменный ток называется потому, что через промежутки времени Т, характеризующие его физические величины принимают одинаковые значения.

В электротехнике наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, т.е. ток, величина которого изменяется по закону синуса (или косинуса), обладающий рядом достоинств по сравнению с другими периодическими токами.

Переменный ток промышленной частоты получают на электростанциях с помощью генераторов переменного тока (трехфазных синхронных генераторов). Это довольно сложные электрические машины, рассмотрим только физические основы их действия, т.е. идею получения переменного тока.

Пусть в однородном магнитном поле постоянного магнита равномерно вращается с угловой скоростью ω рамка площадью S .(рис. 1).

Магнитный поток через рамку будет равен:

где α – угол между нормалью к рамке n и вектором магнитной индукции B. Поскольку при равномерном вращении рамки ω= α/t, то угол α будет изменяться по закону α= ω t и формула(1.1) примет вид:

Поскольку при вращении рамки пересекающий ее магнитный поток все время меняется, то по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться ЭДС индукции Е :

Е= -dФ/dt =BSωsinωt =E0sinωt (1.3)

где Е0 = BSω – амплитуда синусоидальной ЭДС. Таким образом, в рамке возникнет синусоидальная ЭДС, а если замкнуть рамку на нагрузку, то в цепи потечет синусоидальный ток.

Величину ωt = 2πt/Т = 2πft, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими функциями. Фаза определяет значение ЭДС в любой момент времени t. Фаза измеряется в градусах или радианах.

Время Т одного полного изменения ЭДС (это время одного оборота рамки) называют периодом ЭДС. Изменение ЭДС со временем может быть изображено на временной диаграмме (рис. 2).

Величину, обратную периоду, называют частотой f = 1/T. Если период измеряется в секундах, то частота переменного тока измеряется в Герцах. В большинстве стран, включая Россию, промышленная частота переменного тока составляет 50Гц (в США и Японии – 60 Гц).

Величина промышленной частоты переменного тока обусловлена технико-экономическими соображениями. Если она слишком низка, то увеличиваются габариты электрических машин и, следовательно, расход материалов на их изготовление; заметным становится мигание света в электрических лампочках. При слишком высоких частотах увеличиваются потери энергии в сердечниках электрических машин и трансформаторах. Поэтому наиболее оптимальными оказались частоты 50 – 60 Гц. Однако, в некоторых случаях используются переменные токи как с более высокой, так и более низкой частотой. Например, в самолетах применяется частота 400 Гц. На этой частоте можно значительно уменьшить габариты и вес трансформаторов и электромоторов, что для авиации более существенно, чем увеличение потерь в сердечниках. На железных дорогах используют переменный ток с частотой 25 Гц и даже 16,66 Гц.

Действующие значения тока и напряжения

Для описания характеристик переменного тока необходимо избрать определённые физические величины. Мгновенные и амплитудные значения для этих целей неудобны, а средние значения за период равны нулю. Поэтому вводят понятие действующих значений тока и напряжения. Они основаны на тепловом действии тока, не зависящем от его направления.

Действующими значениями тока и напряжения называют соответствующие параметры такого постоянного тока, при котором в данном проводнике за данный промежуток времени выделяется столько же теплоты, что и при переменном токе. Найдем соотношение между действующими и амплитудными значениями.

В активном сопротивлении R при постоянном токе I за период постоянного тока T по закону Джоуля-Ленца выделится следующее количество теплоты:

При переменном токе i в том же сопротивлении R за бесконечно малый промежуток времени dt выделится следующее количество теплоты:

где мгновенное значение тока i определяется формулой:

Тогда теплота, выделяемая переменным током за период Т равна:

Интеграл (1.7) вычисляется следующим образом:

Второй интеграл равен нулю, поскольку это интеграл от периодической функции за один период. Приравняв, согласно определению (1.4) и (1.8), получим:

Таким образом, действующее значение переменного тока в √2 раз меньше его амплитудного значения. Аналогично вычисляются действующие значения напряжения и ЭДС:

U = U0/√2; E = E0/√2 (1.10)

Действующие значения обозначаются прописными латинскими буквами без индексов.

2. Метод векторных диаграмм

Метод векторных диаграмм – то есть изображение величин, характеризующих переменный ток векторами, а не тригонометрическими функциями, чрезвычайно удобен.

Переменный ток, в отличие от постоянного, характеризуется двумя скалярными величинами – амплитудой и фазой. Поэтому для математического описания переменного тока необходим математический объект, также характеризуемый двумя скалярными величинами. Существуют два таких математических объектов – это вектор на плоскости и комплексное число. В теории электрических цепей и те и другие используются для описания переменных токов.

При описании электрической цепи переменного тока с помощью векторных диаграмм каждому току и напряжению сопоставляется вектор на плоскости в полярных координатах, длина которого равна амплитуде тока или напряжения, а полярный угол равен соответствующей фазе. Поскольку фаза переменного тока зависит от времени, то считается, что все векторы вращаются против часовой стрелки с частотой переменного тока. Векторная диаграмма строится для фиксированного момента времени.

Более подробно построение и использование векторных диаграмм будет изложено ниже на примерах конкретных цепей.

3. Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

Рассмотрим цепь (рис. 3), в котором к активному сопротивлению (резистору) приложено синусоидальное напряжение:

U (t) = U0sin ωt (1.11)

Тогда по закону Ома ток в цепи будет равен:

I (t) = U (t)/R = U0sin ωt/R = I0 sin ωt (1.12)

Мы видим, что ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма для этой цепи приведена на рисунке 4:

Выясним, как изменяется со временем мощность в цепи переменного тока с резистором. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений тока и напряжения:

p (t) = i(t)u(t) = I0 U0 sin ωt = I0 U0(1- cos2 ωt)/2 (1.13)

Из этой формулы мы видим, что мгновенная мощность всегда положительна и пульсирует с удвоенной частотой (рис. 5):

Это означает, что электрическая энергия необратимо превращается в теплоту независимо от направления тока в цепи.

Вычислим среднее значение мощности за период:

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = I0U0/2T ∫ dt − I0U0/2T ∫ cos2ωt dt = (I0U0/2T) ∙T = IU = I R

поскольку второй интеграл равен нулю как интеграл от периодической функции за период.

Мы видим, что в цепи с резистором вся электрическая энергия необратимо превращается в тепловую энергию. Те элементы цепи, на которых происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии (не только в тепловую), называются активными сопротивлениями. Поэтому резистор представляет собой активное сопротивление.

Рассмотрим цепь (рис. 6), в котором к катушке индуктивности L, не обладающей активным сопротивлением (R=0), приложено синусоидальное напряжение (1.11):

Протекающий через катушку переменный ток создает в ней ЭДС самоиндукции eL. Тогда в соответствии со вторым правилом Кирхгофа можно записать:

Согласно закону Фарадея, ЭДС самоиндукции равна:

Подставив (1.16) в (1.15), имеем:

dI/dt = − eL/L = U/L = U0 sin ωt/L (1.17)

Интегрируя это уравнение, получим:

I =− U0cos ωt/ω L + const = U0sin (ωt − π/2)/ ωL+ const (1.18)

где const – постоянная интегрирования, которая говорит о том, что в цепи может быть и постоянный ток. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. Окончательно имеем:

I = I0 sin (ωt − π/2) (1.19)

где I0 = U0/ ωL. Деля обе части на √2, получим:

I = U/ ωL= U/ XL (1.20)

Соотношение (1.20) представляет собой закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью, а величина XL= ωL называется индуктивным сопротивлением.

Из формулы (1.19) мы видим, что в рассмотренной цепи ток отстает по фазе от напряжения на π/2. Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рисунке 7.

Вычислим мощность, потребляемую цепью с чисто индуктивным сопротивлением.

Мгновенная мощность равна:

p (t)= I0 U0 sin ωt(ωt − π/2)= − I0 U0 sin2 ωt/2 (1.21)

Мы видим, она изменяется по закону синуса с удвоенной частотой (рис. 8).

Положительные значения мощности соответствуют потреблению энергии катушкой, а отрицательные — возврату запасенной энергии обратно источнику.

Средняя за период мощность равна:

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = (− I0 U0 /2T) ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.22)

Мы видим, что цепь с индуктивностью мощности не потребляет – это чисто реактивная нагрузка.

5. Цепь переменного тока с разной нагрузкой

Цепь переменного тока с активно-индуктивной нагрузкой

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 9), в котором через катушку индуктивности L, обладающую активным сопротивлением R, протекает переменный ток:

I = I0 sin ωt (1.23)

Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности и на резисторе:

Напряжение на резисторе, как показано выше, совпадает по фазе с током:

UR = U0R sin ωt (1.25)

а напряжение на индуктивности равно ЭДС самоиндукции со знаком “минус” (по второму правилу Кирхгофа):

UL = L(dI/dt)= I0 ωLcos ωt = U0Lsin(ωt + π/2) (1.26)

где U0L= I0 ωL (1.27)

Напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Переходя к формуле (1.27) к действующим значениям переменного тока (I = I0/√2; U= U0/√2), получим:

Это закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью (т.е. не обладающей активным сопротивлением), а величина XL= ωL называется индуктивным сопротивлением. Построив векторы I, UR и UL и воспользовавшись формулой (1.24), мы найдем вектор U.

Как видно из векторной диаграммы, модуль вектора U равен

U= √ UR + UL = √ I R + I (ωL) = I√ R + (ωL) = IZ (1.29)

называется полным сопротивлением цепи.

Сдвиг по фазе φ между током и напряжением также определяется из векторной диаграммы:

tg φ = UL/ UR = ωL/ R (1.31)

В данной цепи угол сдвига фаз между током и напряжением зависит от значений R и L и изменяется в пределах от 0 до π/2.

Теперь рассмотрим как изменяется со временем мощность в цепи с активно-индуктивной нагрузкой. Мгновенные значения тока и напряжения можно представить в виде:

U(t) = U0 sin ωt (1.32)

I(t) = I0 sin(ωt − φ)

Тогда мгновенное значение мощности равно:

p(t)= I(t) U(t) = I0 U0 sin ωt sin(ωt − φ)=(I0 U0/2)[cosφ − cos(2ωt − φ)] = =(I0 U0/2)(1− cos2ωt) cosφ − (I0 U0/2) sin2ωt sin φ (1.33)

Мгновенное значение мощности имеет две составляющие: первое слагаемое — активная, и второе — реактивная (индуктивная). Поэтому средняя за период мощность не равна нулю:

Pср = 1/T ∫ pdt = (I0 U0/2T) cosφ ∫dt − (I0 U0/2T) cosφ ∫ cos2ωt dt −

−(I0 U0/2T) sin φ ∫ sin2ωt dt = (I0 U0/2) cosφ (1.34)

и является активной мощностью. Соответствующая этой мощности электрическая энергия превращается в активном сопротивлении R в теплоту.

Цепь переменного тока с емкостью

Рассмотрим электрическую цепь, в которой переменное напряжение (1.11) приложено к емкости С (рис. 11). Мгновенное значение тока в цепи с емкостью равно скорости заряда на обкладках конденсатора:

I = C (dU/dt) = ωCU0 cos ωt = I0 sin (ωt + π/2) (1.36)

В этой цепи ток опережает напряжение на π/2. Переходя в формуле (1.37) к действующим значениям переменного тока (I = I0/√2; U= U0/√2), получим:

Это закон Ома для цепи переменного тока с емкостью, а величина

Xc= 1/ωC называется емкостным сопротивлением. Векторная диаграмма для этой цепи показана на рис. 12.

Найдем мгновенную и среднюю мощность в цепи, содержащей емкость. Мгновенная мощность равна:

p(t)= i(t) u(t) = I0U0 sin (ωt + π/2) sin ωt = IUsin2 ωt (1.39)

Мгновенная мощность изменяется с удвоенной частотой (рис. 13). При этом положительные значения мощности соответствуют заряду конденсатора, а отрицательные — его разряду и возврату запасенной энергии в источник. Средняя за период мощность здесь равна нулю

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = IU/T ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.40)

т.к. в цепи с конденсатором активная мощность не потребляется, а проходит обмен электрической энергией между конденсатором и источником.

Цепь переменного тока с активно-емкостной нагрузкой

Реальная цепь переменного тока с емкостью всегда содержит активное сопротивление — сопротивление проводов, активные потери в конденсаторе и т.п. Рассмотрим реальную цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора С и активного сопротивления R (рис. 14). В этой цепи протекает ток I = I0 sin ωt .

В соответствии со вторым правилом Кирхгофа, сумма напряжений на резисторе и на емкости равна приложенному напряжению:

Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током:

UR = U0R sin ωt (1.42)

а напряжение на конденсаторе отстает от тока:

UC = U0C sin (ωt − π/2) (1.43)

Построив векторы I,UR и UC и воспользовавшись формулой (1.41), найдем вектор U. Векторная диаграмма для этой цепи показана на рисунке 15.

Как видно из векторной диаграммы, модуль вектора U равен

U =√ UR + UC =√ I R + I (1/ωC) = I √ R + (1/ωC) = IZ1 (1.44)

называется полным сопротивлением цепи.

Сдвиг по фазе φ между током и напряжением в данной цепи также определяется из векторной диаграммы:

tg φ = UC/ UR = (1/ωC)/ R (1.46)

В рассмотренной цепи угол сдвига фаз между током и напряжением зависит от значений R и C и изменяется в пределах от 0 до π/2.

Рассмотрим теперь, как изменяется со временем мощность в цепи с активно – емкостной нагрузкой. Мгновенные значения тока и напряжения можно представить в виде:

I (t) = I0 sin (ωt + φ) (1.47)

Тогда мгновенное значение мощности равно:

p(t)= I(t) U(t) = I0 U0 sin ωt sin(ωt + φ)=(I0 U0/2)[cosφ − cos(2ωt + φ)] = =(I0 U0/2)(1− cos2ωt) cosφ + (I0 U0/2) sin2ωt sin φ (1.48)

Мгновенное значение мощности имеет две составляющие: первое слагаемое — активная, а второе — реактивная (емкостная). Поэтому средняя за период мощность не равна нулю:

Pср =1/T ∫ pdt = I0U0/2T cosφ ∫ dt − I0U0/2T cosφ ∫ cos2 ωtdt + I0U0/2T ∙

sin φ ∫ sin2ωt dt = I0U0/2T cosφ (1.49)

6. Последовательная цепь, содержащая активное сопротивление, индуктивность и емкость

Теперь рассмотрим цепь переменного тока, содержащую индуктивность, емкость и резистор, включенные последовательно (рис. 16).

Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности, на емкости и на резисторе:

U = UL + UC + UR (1.50)

Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, напряжение на катушке опережает ток по фазе на π/2, а напряжение на емкости отстает от тока по фазе на π/2. Можно записать эти напряжения в следующем виде:

UR = U0R sin ωt = I0R sin ωt

UL = U0Lsin (ωt + π/2) = I0 ωL (ωt + π/2) (1.51)

UC = U0C sin (ωt − π/2) = (I0/ωC) sin (ωt − π/2)

Поскольку нам известны амплитуды и фазы этих векторов, мы можем построить векторную диаграмму и найти вектор U (рис. 17)

Из полученной векторной диаграммы мы можем найти модуль вектора приложенного к цепи напряжения U и сдвиг по фазе φ между током и напряжением:

U = √ UR + (UL − UC) = I √ R +( ωL− 1/ωC) = IZ (1.52)

Z = √ R +( ωL− 1/ωC) (1.53)

называется полным сопротивлением цепи. Из диаграммы видно, что сдвиг по фазе между током и напряжением определяется уравнением:

1 . Принцип получения переменной ЭДС

Магнитный поток через рамку будет равен:

Е= -dФ/dt =BSωsinωt =E0sinωt (1.3)

Действующие значения тока и напряжения

где мгновенное значение тока i определяется формулой:

Тогда теплота, выделяемая переменным током за период Т равна:

Интеграл (1.7) вычисляется следующим образом:

U = U0/√2; E = E0/√2 (1.10)

Действующие значения обозначаются прописными латинскими буквами без индексов.

2. Метод векторных диаграмм

3. Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

U (t) = U0sin ωt (1.11)

Тогда по закону Ома ток в цепи будет равен:

I (t) = U (t)/R = U0sin ωt/R = I0 sin ωt (1.12)

Мы видим, что ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма для этой цепи приведена на рисунке 4:

p (t) = i(t)u(t) = I0 U0 sin ωt = I0 U0(1- cos2 ωt)/2 (1.13)

Вычислим среднее значение мощности за период:

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = I0U0/2T ∫ dt − I0U0/2T ∫ cos2ωt dt = (I0U0/2T) ∙T = IU = I R

поскольку второй интеграл равен нулю как интеграл от периодической функции за период.

Согласно закону Фарадея, ЭДС самоиндукции равна:

Подставив (1.16) в (1.15), имеем:

dI/dt = − eL/L = U/L = U0 sin ωt/L (1.17)

Интегрируя это уравнение, получим:

I =− U0cos ωt/ω L + const = U0sin (ωt − π/2)/ ωL+ const (1.18)

I = I0 sin (ωt − π/2) (1.19)

где I0 = U0/ ωL. Деля обе части на √2, получим:

I = U/ ωL= U/ XL (1.20)

Вычислим мощность, потребляемую цепью с чисто индуктивным сопротивлением.

Мгновенная мощность равна:

p (t)= I0 U0 sin ωt(ωt − π/2)= − I0 U0 sin2 ωt/2 (1.21)

Мы видим, она изменяется по закону синуса с удвоенной частотой (рис. 8).

Средняя за период мощность равна:

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = (− I0 U0 /2T) ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.22)

Мы видим, что цепь с индуктивностью мощности не потребляет – это чисто реактивная нагрузка.

5. Цепь пере менного тока с разной нагрузкой

Расчет линейных электрических цепей переменного тока

Изучение простейшей электрической цепи переменного тока

Изучение простейшей электрической цепи переменного тока. Цель работы: Теоретическое и экспериментальное изучение простейшей электрической цепи. II . простейшая электрическая цепь. Напряжение между проводниками измеряется вольтметром, а ток в цепи измеряется .

Анализ электрической цепи синусоидального тока

. при анализе электрических цепей переменного тока. Угол сдвига фаз между током и напряжением участка цепи принято обозначать .

Измерение сдвига фаз в цепях переменного тока

. она равна? Упражнение 3 Цепь с комбинированной нагрузкой (RCL-цепь) Рассмотрим электрическую цепь переменного тока, содержащую все элементы .

Измерения в цепях переменного тока

. в цепях переменного тока, измеряют именно эффективные значения напряжения и силы тока. Мощность Р, выделяющаяся в электрической цепи переменного тока равна . моста переменного тока. Действие мостовых схем основано на известном свойстве электрической цепи, .

Заданы три приёмника электрической энергии со следующими параметрами: Z ₁ = -j65 Ом, Z ₂ = 14+j56 Ом, Z ₃ =56- j23 Ом. Рассчитать режимы работы электроприёмников при следующих схемах включения:

1.Присоединить приёмники последовательно к источнику с напряжением U = 300 В. Определить полное сопротивление цепи Z, ток I, напряжения на участках, угол сдвига фаз, мощности участков и всей цепи, индуктивности и ёмкости участков. Построить топографическую векторную диаграмму цепи.

2. Присоединить приёмники параллельно к источнику с напряжением

U = 300 В. Определить токи в ветвях и в неразветвленной части цепи, углы сдвига фаз в ветвях и во всей цепи, мощности ветвей и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи.

3. Составить из приёмников цепь с двумя узлами, включив в каждую

ветвь соответственно электродвижущую силу E ₂ =230 В и Е ₃ = j240 B. Рассчитать в комплексной форме токи в ветвях, напряжения на участках, мощности источников и приёмников, составить уравнение баланса мощностей. Построить векторную диаграмму в комплексной плоскости. Для расчёта применить метод контурных токов.

4. Соединить приёмники в звезду с нулевым проводом (Z _N = -j32 Ом), и подключить их к трёхфазному источнику с линейным напряжением U_Л =380 В. Определить фазные токи и напряжения источника, напряжение смещения нейтрали и ток в нулевом проводе. Построить топографическую векторную диаграмму в комплексной плоскости.

5. Соединить приёмники в треугольник и подключить его к тому же источнику трехфазного напряжения. Определить фазные и линейные напряжения и токи, мощности фаз и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи в комплексной плоскости.

6. Присоединить приёмники последовательно к источнику несинусоидального тока i=7Sin(wt+13 0 )+1,2Sin(2wt-86 0 )+0,4Sin3wtA. Определить действующие значения тока и напряжения, активную мощность цепи. Записать уравнения мгновенных значений напряжения в цепи. Значения сопротивлений считать для частоты первой гармоники.

Частоту напряжения считать равной f = 50 Гц.

1 Расчёт неразветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм

В задании на курсовую работу сопротивления даны в комплексной форме. Так как расчёт цепи нужно выполнить с помощью векторных диаграмм, определяем соответствующие заданным комплексам активные и реактивные сопротивления: X_С1 = 65 Ом, R₂ = 14 Ом, X_L ₂ =56 Ом, R₃ =56 Ом ,Х_C ₃ = 23 Ом.

Из заданных приёмников составляем неразветвлённую цепь (рис. 1).

Определяем активные и реактивные сопротивления всей цепи:

R = R₂ + R₃ = 14 + 56 = 70 Ом;

Полное сопротивление всей цепи тогда определяем из выражения:

Z = = = 77 Ом.

Ток в цепи будет общим для всех приёмников и определится по закону Ома:

I = U / Z = 300/77 = 3.9 A.

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяется по синусу

Sin j = X / Z или тангенсу Tg j = X / R,

так как эти функции являются нечётными и определяют знак угла “плюс” или “минус”. Положительный знак угла указывает на активно-индуктивный (или чисто индуктивный) характер нагрузки, а отрицательный знак угла указывает на активно-ёмкостный (или чисто ёмкостный) характер. Таким образом, угол сдвига фаз между напряжением и током определим по синусу

Читайте также: